第04讲 认识一元二次方程（2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

第01讲 认识一元二次方程（2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 一元二次方程的定义 典型例题二 化成一元二次方程的一般式 典型例题三 判断是否是一元二次方程 典型例题四 由一元二次方程的定义求参数 典型例题五 判断是否是一元二次方程的解 典型例题六 由一元二次方程的解求参数 典型例题七 一元二次方程的解的估算 知识点01 一元二次方程的概念 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可） 如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 【即时训练】 1．（24-25八年级下·重庆·期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·重庆渝北·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数 【即时训练】 1．（24-25八年级下·广西贺州·期中）方程化为一元二次方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）一元二次方程的一般形式是 ． 【典型例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·云南昆明·期中）关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为 ． 【例3】（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）把一元二次方程化为一般形式，并指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 1．（24-25八年级下·北京西城·阶段练习）关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若m是方程的一个根，则的值为 ． 3．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知m是方程的根，求代数式的值． 4．（2024八年级下·浙江·专题练习）已知方程是关于x的一元二次方程，求a的值． 5．（2024八年级下·上海·专题练习）阅读下题的材料： 已知：是一元二次方程的根，求的值． 小明是这样做的：将代入中，得到；两边同时除以，得到；解得． 小芳觉得小明的做法不对，将其改为：将代入中，得到；移项，得；解得，，．你认为他们两人的做法正确吗？说明理由． 【典型例题二 化成一元二次方程的一般式】 【例1】（24-25九年级上·河北邢台·期中）若一元二次方程化成一般形式后二次项的系数是2，则一次项的系数是（   ） A．3 B． C．5 D． 【例2】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）一元二次方程的常数项是 ． 【例3】（24-25八年级下·江西宜春·期中）把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 1．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．2，1，5 B．2，1， C．2，0， D．2，0，5 2．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）将方程改写成的形式，则a，b，c的值分别为（    ） A．3，， B．3，2，4 C．3，，4 D．3，2， 3．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）一元二次方程化成一般形式后为 ． 4．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知一元二次方程的二次项系数为3，则一次项系数为 ． 5．（23-24九年级上·广东江门·期中）把方程化成一般形式是 ，其中 【典型例题三 判断是否是一元二次方程】 【例1】（24-25九年级上·河南商丘·期中）把方程化为一般形式后是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）方程的二次项系数是 ． 1．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江西赣州·期末）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）方程化成一般形式后，它的二次项系数和常数项分别是（   ）． A．2，5 B．2， C．2，3 D．2， 4．（24-25九年级上·江苏常州·期中）将一元二次方程化成一般形式为 ． 5．（24-25九年级上·广东深圳·期中）关于方程的理解错误的是（    ） A．这个方程是一元二次方程 B．方程的解是 C．这个方程是一元二次方程的一般形式 D．这个方程可以用公式法求解 6．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 【典型例题四 由一元二次方程的定义求参数】 【例1】（24-25九年级上·河南许昌·期中）已知关于的一元二次方程的常数项是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·上海奉贤·期末）若是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【例3】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 1．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（   ） A．3 B．2 C．2或3 D．5 2．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）若关于的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为 ． 3．（24-25九年级上·青海西宁·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值为的 ． 4．（24-25九年级上·重庆·期末）计算： (1)； (2)先化简，再求值：，其中m的值为方程的解． 5．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值； (3)若一个波浪方程的两个根分别为，，求这个波浪方程． 【典型例题五 判断是否是一元二次方程的解】 【例1】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）若关于的一元二次方程有一个根为2025，则方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【例2】（24-25九年级上·广东佛山·期末）请写出一个关于的一元二次方程，使该方程有一个正根和一个负根，那么这个方程可以是 ． 【例3】（2025·广东潮州·模拟预测）已知． (1)化简P； (2)若a为方程的一个解，求P的值． 1．（24-25九年级上·四川达州·期末）如表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（   ） …… …… …… …… A．， B．， C．， D．， 2．（2025·广东珠海·模拟预测）若是方程的一个根，则的值为 3．（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，且k和方程的根都是整数，则_________． 4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有公共解． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根．上述结论正确的有 ．（填序号即可） 5．（24-25九年级上·福建宁德·期中）已知：实数满足． (1)求证：； (2)若，都是奇数，关于的方程是否有整数根？并说明理由； (3)若，，，求的值． 【典型例题六 由一元二次方程的解求参数】 【例1】（24-25九年级上·湖南娄底·期中）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【例2】（2025·江苏南通·模拟预测）已知关于的方程的一根为1，则该方程的另一根为 ． 43．（24-25八年级下·北京·期中）已知是方程的根，求代数式的值． 1．（24-25八年级下·山东淄博·期中）已知，是方程的两根，则代数式的值是（    ） A．13 B．12 C．11 D．10 2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）设、分别为方程的两个实数根，则 ． 3．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）已知m、n是关于x的一元二次方程的两个实数根，求的值            4．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若是方程的一个实数根，且满足，求的值． 5．（24-25九年级上·河南新乡·期中）数学课上，李老师布置的作业是图中小黑板所示的内容，小红同学看错了第②题的表示的数字，求得①的一个解是；小亮同学看错了第①题的■表示的数字，求得②的一个解为． (1)请求出老师布置的作业中“■”和“”表示的值； (2)请解答老师布置的第②题作业． 【典型例题七 一元二次方程的解的估算】 【例1】（2025·宁夏吴忠·模拟预测）观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【例2】（2025·山东临沂·模拟预测）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 【例3】（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（   ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）小明在探索一元二次方程的近似解时作了如下列表计算，观察表中对应的数据，可以估计方程的其中一个解的整数部分是（   ） x 1 2 3 4 4 13 26 A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2024八年级下·全国·专题练习）根据表格对应值： 0 1 2 0.84 2.29 3.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 4． （2024九年级上·江苏镇江·竞赛）要使关于x的方程的一根在-1和0之间，另一根在 2和3之间，试求整数a的值． 5．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 1．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·北京东城·阶段练习）一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是（    ） A．1，5，1 B．0，5， C．1，5， D．0，5，1 3．（24-25八年级下·广西百色·期中）已知m，n是方程的两个实数根，则的值是（） A．2025 B．2028 C．2030 D．4048 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 5．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） -2 -1 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D．或 6．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）已知关于x的一元二次方程不含一次项，则 ． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知α、β是方程的两个根，则 ． 8．（2025·贵州·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是 ． 9．（24-25九年级上·山东青岛·期中）根据下表得知，方程的一个近似解为 （精确到0.1） x … … … 0.56 1.25 1.96 … 10．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）对于一元二次方程，下列说法 ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则，其中正确的 11．（24-25八年级下·上海·假期作业）为何值时，关于的方程是一元二次方程． 12．（24-25八年级·上海·假期作业）将下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项系数． (1) （、是常数，且）； (2)； (3)． 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）填表： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 8x2=5x -2（x-2）2+8x=0 （x+1）（x-2）=5 14．（24-25九年级上·湖南永州·期中）定义新运算：对于任意实数a，b，c，d有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算．如：． (1)求的值； (2)已知关于x的方程的一个根为2，求m的值． 15．（23-24八年级下·浙江·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 认识一元二次方程（2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 一元二次方程的定义 典型例题二 化成一元二次方程的一般式 典型例题三 判断是否是一元二次方程 典型例题四 由一元二次方程的定义求参数 典型例题五 判断是否是一元二次方程的解 典型例题六 由一元二次方程的解求参数 典型例题七 一元二次方程的解的估算 知识点01 一元二次方程的概念 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可） 如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 【即时训练】 1．（24-25八年级下·重庆·期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键；因此此题可根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程”进行排除选项即可． 【详解】解：A、不是一元二次方程，故不符合题意； B、由可化简为，不是一元二次方程，故不符合题意； C、当时，则方程是一元二次方程，故不符合题意； D、由可变形为，是一元二次方程，故符合题意； 故选D． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·重庆渝北·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义得，求出的值即可． 【详解】解：若是关于的一元二次方程，则， 解得． 故答案为：1． 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数 【即时训练】 1．（24-25八年级下·广西贺州·期中）方程化为一元二次方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，首先利用单项式乘以多项式把等号左边展开，然后移项，把等号右边化为，再化简即可．解题的关键是掌握：任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， ，即， ∴， ∴方程化为一元二次方程的一般形式是． 故选：A． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）一元二次方程的一般形式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，直接利用多项式乘以多项式运算法则去括号，进而合并同类项求出即可． 【详解】解： ， 整理得： 故答案为： 【典型例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】解：．分母中含有未知数，不是整式方程，故该选项不符合题意； ．时，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； ．是一元二次方程，故该选项符合题意； ．含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·云南昆明·期中）关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解即可． 【详解】解：把 代入，得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 【例3】（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）把一元二次方程化为一般形式，并指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 【答案】二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：， ， ∴该方程的二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 1．（24-25八年级下·北京西城·阶段练习）关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是正确计算常数项为0的值，利用一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得， 故选：B． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若m是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 根据一元二次方程根的定义可得，即，整体代入代数式即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知m是方程的根，求代数式的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 根据方程解的定义得到，再将进行化简代入求解即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴ ． 4．（2024八年级下·浙江·专题练习）已知方程是关于x的一元二次方程，求a的值． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案． 【详解】解：由关于x的方程是一元二次方程，得 ． 解得：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 5．（2024八年级下·上海·专题练习）阅读下题的材料： 已知：是一元二次方程的根，求的值． 小明是这样做的：将代入中，得到；两边同时除以，得到；解得． 小芳觉得小明的做法不对，将其改为：将代入中，得到；移项，得；解得，，．你认为他们两人的做法正确吗？说明理由． 【答案】都不对，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的定义，由是关于的方程的一个根可得，接着对进行因式分解为，可求出的值；根据方程是一元二次方程可知：二次项系数，据此可得到的取值． 【详解】解：两人的做法都不对． 不能直接约去，因为有可能有0． 正确的解答：把代入，化简，得 ， ， 或，， 解得或，． 是一元二次方程， ， 或． 【典型例题二 化成一元二次方程的一般式】 【例1】（24-25九年级上·河北邢台·期中）若一元二次方程化成一般形式后二次项的系数是2，则一次项的系数是（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，先将方程化为一般形式，然后写出一次项系数解答即可． 将方程整理为一般形式，确定一次项系数。 【详解】解：原方程化为一般式为 此时二次项系数为2，一次项系数为， 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）一元二次方程的常数项是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程，a叫作二次项系数，b叫作一次项系数，c叫作常数项，据此即可求解． 【详解】解∶ 一元二次方程的常数项是， 故答案为： ． 【例3】（24-25八年级下·江西宜春·期中）把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是： ，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中、、分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程整理为一般形式，找出，，的值即可． 【详解】解：方程整理得：， 则，，的值分别是，，． 故选：B． 1．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．2，1，5 B．2，1， C．2，0， D．2，0，5 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的一般形式：（，，是常数且）中，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，1，． 故选：B． 2．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）将方程改写成的形式，则a，b，c的值分别为（    ） A．3，， B．3，2，4 C．3，，4 D．3，2， 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，移项将方程转化为一般式后，进行判断即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴，，的值分别为3，2，． 故选：D． 3．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）一元二次方程化成一般形式后为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，熟记一元二次方程的一般形式是解题的关键．去括号，将移到方程的左边即可． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知一元二次方程的二次项系数为3，则一次项系数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，注意：找多项式的项或项的系数时，带着前面的符号．根据一元二次方程的一般形式得出答案即可． 【详解】解：∵一元二次方程的二次项的系数为3， ∴一次项的系数为， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·广东江门·期中）把方程化成一般形式是 ，其中 【答案】 65 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常数，且），首先将方程左边按多项式乘多项式的规则进行展开后再进行合并同类项即可求出一般式，然后求出即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项、合并同类项得： ∴ ∴把方程化成一般形式是，其中． 故答案为：，65． 【典型例题三 判断是否是一元二次方程】 【例1】（24-25九年级上·河南商丘·期中）把方程化为一般形式后是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，利用平方差公式和完全平方公式将化简整理成一般式即可． 【详解】解：， ， 整理，得， 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）方程的二次项系数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查一元二次方程的一般式．根据一元二次方程的一般形式解答． 【详解】解：方程的二次项是，其系数是3． 故答案为：3． 1．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、，方程有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、，方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、，方程是一元二次方程，符合题意； D、，方程是一元一次方程，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·江西赣州·期末）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，利用去括号和移项把方程整理成（为常数，且）即可，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∴将一元二次方程化成一般形式为， 故选：． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）方程化成一般形式后，它的二次项系数和常数项分别是（   ）． A．2，5 B．2， C．2，3 D．2， 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键；因此此题可根据“，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项”进行求解即可． 【详解】解：方程的二次项系数为2，常数项为； 故选D． 4．（24-25九年级上·江苏常州·期中）将一元二次方程化成一般形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式（a，b，c是常数且）是解题的关键． 通过移项将原方程化成一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：由可得． 所以将一元二次方程化成一般形式． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·广东深圳·期中）关于方程的理解错误的是（    ） A．这个方程是一元二次方程 B．方程的解是 C．这个方程是一元二次方程的一般形式 D．这个方程可以用公式法求解 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式等等，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可判断A；解方程即可判断B；一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数，），据此可判断C；任何有解的方程都可以用公式法解方程，据此可判断D． 【详解】解：A、是一元二次方程，原说法正确，不符合题意； B、∵， ∴， 解得，原说法错误，符合题意； C、这个方程是一元二次方程的一般形式，原说法正确，不符合题意； D、这个方程可以用公式法求解，原说法正确，不符合题意； 故选：B． 6．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数且），据此求解即可． 【详解】解：， ， 故选：A． 【典型例题四 由一元二次方程的定义求参数】 【例1】（24-25九年级上·河南许昌·期中）已知关于的一元二次方程的常数项是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的定义，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：由得，， ∵的常数项是， ∴，解得：， 故选：． 【例2】（24-25九年级上·上海奉贤·期末）若是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查一元二次方程，只有一个未知数，且未知数最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义，可知，由此即可求得m的值． 【详解】解：由题意可知，， 解得或． 故答案为：3或． 【例3】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 【答案】(1)是“凤凰方程”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． （1）根据凤凰方程的意义进行计算即可； （2）根据凤凰方程的意义得到关于的方程计算即可． 【详解】（1）解：是“凤凰方程”，理由如下： ，，， ， 是“凤凰方程”； （2）是关于的“凤凰方程”，，，， ， 解得：． 1．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（   ） A．3 B．2 C．2或3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． 由常数项为2，求出m的值，再结合，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，由常数项为2， 则， 解得：或， ∵， ∴， ∴或都符合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）若关于的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，先把原方程进行化简整理，从而可得，然后根据题意可得，从而可得：，再把a的值代入中，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 由题意得：， 解得：， ∴该方程中的一次项系数， 故答案为：5． 3．（24-25九年级上·青海西宁·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值为的 ． 【答案】 【分析】本题考查利用一元二次方程概念求参数，根据一元二次方程概念得到，求解，即可解题． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，， 解得，， 综上，， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·重庆·期末）计算： (1)； (2)先化简，再求值：，其中m的值为方程的解． 【答案】(1) (2)，1 【分析】本题考查整式的混合运算，分式的化简求值，一元二次方程的解，解答本题的关键是明确整式混合运算法则和分式化简求值的方法． （1）根据单项式和多项式乘法、完全平方公式和平方差公式先计算括号，再合并求解即可． （2）根据分式的加减法和乘除法可以化简题目中的式子，然后根据 的值为方程 的解，可以求得的值，然后代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， ∵m的值为方程的解， ， ， 原式． 5．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值； (3)若一个波浪方程的两个根分别为，，求这个波浪方程． 【答案】(1)方程为波浪方程，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，波浪方程的定义，熟知波浪方程的定义是解题的关键： （1）直接根据波浪方程的定义判断即可； （2）先根据波浪方程的定义得到，再由一元二次方程的解的定义得到，据此联立①②求解即可； （3）根据根与系数的关系推出，根据波浪方程的定义得到，据此得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：方程为波浪方程，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴方程为波浪方程， （2）解：∵关于x的方程为波浪方程， ∴，且， ∴， ∵是关于x的方程的一个根， ∴， 联立①②解得； （3）解：∵一个波浪方程的两个根分别为，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴这个波浪方程为． 【典型例题五 判断是否是一元二次方程的解】 【例1】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）若关于的一元二次方程有一个根为2025，则方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为2025，可得出关于的一元二次方程有一个根为2025，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为2025， ∴关于的一元二次方程有一个根为2025， 即， 解得：， ∴方程必有一个根为2024． 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·广东佛山·期末）请写出一个关于的一元二次方程，使该方程有一个正根和一个负根，那么这个方程可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程根，根据一元二次方程有一个正根和一个负根解答即可，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有一个正根和一个负根， ∴这个方程可以是， 即， 故答案为：． 【例3】（2025·广东潮州·模拟预测）已知． (1)化简P； (2)若a为方程的一个解，求P的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式得化简求值、方程的解，正确化简分式P是解答的关键． （1）根据分式的加减混合运算法则和运算顺序化简分式P即可； （2）根据方程的解满足方程得到，代入化简式子中求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵若a为方程的一个解， ∴，即， ∴． 1．（24-25九年级上·四川达州·期末）如表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（   ） …… …… …… …… A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，二次函数的性质，根据表中的对应值得到当时，；的对称轴为直线，进而可得当时，，则根据一元二次方程解的定义可得到方程的解．． 【详解】解∶由表中数据得当时，； 二次函数的对称轴为直线， ∴当时， 所以方程的解为，． 故选：D 2．（2025·广东珠海·模拟预测）若是方程的一个根，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的意义，求代数式的值，正确理解一元二次方程根的意义是解题的关键．根据一元二次方程根的意义，得到，整理得，然后将变形后即可求得答案． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 3．（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，且k和方程的根都是整数，则_________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了由一元二次方程根的判别式求参数的取值范围，一元二次方程根的定义，掌握根的判别式是解题的关键． （1）方程化为：，由一元二次方程根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根；据此即可求解； （2）根据题意可得是整数的平方，再根据结合（1）中，进行逐一判断即可求解． 【详解】（1）解：方程化为：， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 故的取值范围：． （2）解：方程的根都是整数， 是整数的平方， ， 取，， 由（1）知， ∴． 4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有公共解． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根．上述结论正确的有 ．（填序号即可） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及根的判别式．根据倒方程的定义和一元二次方程根的定义对①进行判断；一元二次方程与它的倒方程有公共解，可以判定②正确；利用倒方程的定义和根的判别式的意义对③④进行判断． 【详解】解：①的倒方程为， 把代入方程得， 解得，所以原说法错误； ②一元二次方程与它的倒方程有公共解，公共解是， 原说法正确； ③若一元二次方程无解，则其判别式小于0，而倒方程的判别式和原方程的判别式相同，则其值也小于0，故它的倒方程也无解，原说法正确，； ④当时，一元二次方程的根的判别式， 也为一元二次方程，此方程的根的判别式， 所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以④正确，符合题意； 故答案为：②③④． 5．（24-25九年级上·福建宁德·期中）已知：实数满足． (1)求证：； (2)若，都是奇数，关于的方程是否有整数根？并说明理由； (3)若，，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)无整数根，见解析 (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式可得，即可得证； （2）利用反证法求解即可； （3）先证明出m、是方程的两根，再由一元二次方程根与系数的关系得出，，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵实数m满足， ∴关于m的方程有解， ∴， ∴ （2）解：无整数根，理由如下： 假设有整数根， 若m为奇数时， ∵a，b都是奇数， ∴为奇数，与相矛盾； 若m为偶数时， ∵a，b都是奇数， ∴为奇数，与相矛盾； ∴假设错误， 综上所述，方程无整数根； （3）解：若，，则， ∵， ∴， ∴m、是方程的两根，    ∴，， ∴． 【典型例题六 由一元二次方程的解求参数】 【例1】（24-25九年级上·湖南娄底·期中）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义．根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，，再把原式变形为，由此代值计算即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， 故选：C． 【例2】（2025·江苏南通·模拟预测）已知关于的方程的一根为1，则该方程的另一根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，根与系数的关系，先求出，再利用根与系数的关系来求解． 【详解】解：方程的一根为1， ，解得：， ， 根据根与系数的关系可知另一根为： 故答案为：． 43．（24-25八年级下·北京·期中）已知是方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得到，再把所求代数式变形，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的根， ， ． 1．（24-25八年级下·山东淄博·期中）已知，是方程的两根，则代数式的值是（    ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】B 【分析】本题考查方程的解，根与系数之间的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据方程的解得到，根与系数的关系得到，利用完全平方公式求出的值，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴，， ∴； 故选：B． 2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）设、分别为方程的两个实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据一元二次方程的解的定义可得，根据根与系数的关系可得，将所求代数式变形后代入计算，求解即可． 【详解】解：分别为方程的两个实数根， ， ， 、分别为方程的两个实数根， ， ， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）已知m、n是关于x的一元二次方程的两个实数根，求的值 【答案】4048 【分析】本题主要考查一元二次方程跟与系数的关系应用，掌握相关知识是解题的关键，将代入得，再由，即可解答． 【详解】解：根据题意，得，                           ∴． 4．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式，因式分解法解一元二次方程，掌握方程根的情况与跟的判别式的关系是解题的关键． （1）由方程根的情况，根据判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围； （2）由方程根的定义，可用表示出，代入已知等式可得到关于的方程，则可求得的取值范围． 【详解】（1）根据题意，得， ， ； （2）解：是方程的一个实数根， ， 则， ， ， ， 解得或（舍） ． 5．（24-25九年级上·河南新乡·期中）数学课上，李老师布置的作业是图中小黑板所示的内容，小红同学看错了第②题的表示的数字，求得①的一个解是；小亮同学看错了第①题的■表示的数字，求得②的一个解为． (1)请求出老师布置的作业中“■”和“”表示的值； (2)请解答老师布置的第②题作业． 【答案】(1)1，7； (2)． 【分析】此题考查一元二次方程的解和解一元二次方程． （1）根据方程解的定义进行解答即可； （2）根据方程解的定义求出的值，再解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得，■， ， 解得 （2）解： ∴， 则或， 解得 【典型例题七 一元二次方程的解的估算】 【例1】（2025·宁夏吴忠·模拟预测）观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的近似解，根据表格中的数据可知 当时，，所以方程的一个近似解是． 【详解】解：， 由表中数据可知：当时，， 一元二次方程的解是． 故选：C． 【例2】（2025·山东临沂·模拟预测）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：由题意得 x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 ∴当时，； 当时，， ∴当时，必有一个解， ∴x的取值范围是． 故答案为：． 【例3】（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【答案】(1)见解析 (2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴补充表格如下： 第一步：           3 所以 第二步：                          所以 ． （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（   ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格，找到相邻两个的值，使的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知：当时，，当时，， ∴当时，必然存在一个，使， ∴（，，，为常数）一个解的范围是； 故选D． 2．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）小明在探索一元二次方程的近似解时作了如下列表计算，观察表中对应的数据，可以估计方程的其中一个解的整数部分是（   ） x 1 2 3 4 4 13 26 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，此类题要细心观察表格中的对应数据，即可找到x的取值范围． 根据表格中的数据，可以发现：当时，；当时，，故一元二次方程的其中一个解x的范围是，进而求解． 【详解】解：根据表格中的数据，知：当时，； 当时，， ∴方程的一个解x的范围是：， 所以方程的其中一个解的整数部分是1． 故选：D． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）根据表格对应值： 0 1 2 0.84 2.29 3.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 【答案】 【分析】结合表格可知：当时，；当时，；所以方程的一个解x的范围为：． 【详解】解：由表格可知： 当时，； 当时，； ∴方程的一个解x的范围为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解方程根的定义，找出当时，；当时，． 4．（2024九年级上·江苏镇江·竞赛）要使关于x的方程的一根在-1和0之间，另一根在2和3之间，试求整数a的值． 【答案】a的值为2 【分析】首先令f（x）=ax2-（a+1）x-4，由关于x的方程ax2-（a+1）x-4=0的一根在-1和0之间，另一根在2和3之间，即可知f（-1）•f（0）＜0，f（2）•f（3）＜0，则可得不等式组 解此不等式组即可求得整数a的值． 【详解】解：令f（x）=ax2－(a+1)x－4， ∵ f（x）=0在（－1，0）之间有一根， ∴ f（－1）·f（0）=（2a－3）·（－4）<0,             ① ∵ f（x）=0在（2，3）之间有一根， ∴ f（2）·f（3）=（2a－b）·（6a－7）<0．           ② 解不等式组 ， 解得  ． ， ∴当时，， ∵a为整数， ∴ a=2时，二次方程的一根在—1和0之间，另一根在2和3之间． 【点睛】本题考查了一元二次方根的分布，函数的性质与一元二次不等式的解法．此题难度较大，解题的关键是掌握函数思想的应用． 5．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1），，，，（2） 【分析】 （1）第一步: 代入及, 可求出的值, 进而可得出;第二步: 根据及时, 的值，进而可得出； （2）由的结论, 可得出的值约为. 【详解】 解：（1）第一步: 当时, ， 当时, , ∴； 第二步: 当时,， 当时,， ∴ . 故答案为：，，，； （2）通过以上探索,的值约为. 【点睛】 本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键. 1．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，未知项的最高次数是的整式方程是一元二次方程，解决本题的关键是根据一元二次方程的定义进行判断． 【详解】解：A选项：方程中只含有一个未知数，未知项的最高次数是，是整式方程，所以方程是一元二次方程，故A选项符合题意； B选项：方程中含有二个未知数，未知项的最高次数是，所以方程不是一元二次方程，故选项B不符合题意； C选项：方程中的未知数在分母的位置，是分式方程，不是一元二次方程，故C选项不符合题意； D选项：方程整理后得到：，整理后是一元一次方程，不是一元二次方程，故D选项不符合题意． 故选：A． 2．（24-25九年级上·北京东城·阶段练习）一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是（    ） A．1，5，1 B．0，5， C．1，5， D．0，5，1 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为（其中，，，是常数），其中，，分别叫做二次项系数，一次项系数，常数项，由此即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解此题的关键． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是1，5，， 故选：C． 3．（24-25八年级下·广西百色·期中）已知m，n是方程的两个实数根，则的值是（） A．2025 B．2028 C．2030 D．4048 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系，利用方程根的定义将高次项降次，结合根与系数的关系求解． 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴． 代入所求表达式： 由根与系数的关系，方程的两根之和为：， ∴． 故选：B． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体代入的方法是解题的关键． 利用新定义得到“贺岁”方程的一个解为，则，即、，然后对原式变形后再整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意得“贺岁”方程的一个解为， ∵方程是“贺岁”方程， ∴，即、， ∴ ． 故选C． 5．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） -2 -1 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解决此题的关键是正确的理解方程解的定义． 由方程可以转化为，从表格中我们可以找到当或时，的值为6，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴ 由表格可知，当或时，的值为6， ∴或， 故选：D 6．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）已知关于x的一元二次方程不含一次项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义；根据一元二次方程的概念，方程的解的概念以及配方法解一元二次方程的一般步骤对选项进行判断即可．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）．在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：依题意，且 解得：且 ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知α、β是方程的两个根，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根，根据根与系数的关系可得出，此题得解 ．牢记两根之和等于两根之积等于是解题的关键． 【详解】解：α、β是方程的两个根， ， ， ， 根据跟与系数的关系可得， ， 故答案为：． 8．（2025·贵州·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了根的判别式及一元二次方程的定义，利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．熟知一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∴， ∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得， ∴m的取值范围是且， ∴m的值可以是2（答案不唯一）． 故答案为：2（答案不唯一） 9．（24-25九年级上·山东青岛·期中）根据下表得知，方程的一个近似解为 （精确到0.1） x … … … 0.56 1.25 1.96 … 【答案】 【分析】看0在相对应的哪两个的值之间，那么近似根就在这两个对应的的值之间． 【详解】解：， 当时，随增大而减小， 根据表格得，当时，，即， ∵0距近一些， ∴方程的一个近似根是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 10．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）对于一元二次方程，下列说法 ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则，其中正确的 【答案】①②④ 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，根据得到是原方程的一个根，进而得到，判断①；根据根的判别式判断②；把代入方程，判断③；公式法求方程的根，判断④． 【详解】解：当，则：是方程的一个根， ∴；故①正确； ∵方程有两个不相等的实根， ∴， ∵， ∴，故方程必有两个不相等的实根；故②正确； 把代入，得：，当时，；故③错误； ∵是一元二次方程的根， ∴或， ∴或， ∴；故④正确； 故答案为：①②④ 11．（24-25八年级下·上海·假期作业）为何值时，关于的方程是一元二次方程． 【答案】． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可知，从而可得：． 【详解】解：方程是一元二次方程， ， 由可得：， 由可得：， ． 12．（24-25八年级·上海·假期作业）将下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项系数． (1) （、是常数，且）； (2)； (3)． 【答案】(1)方程一般形式为；方程二次项为，二次项系数为；一次项为，一次项系数为0；常数项为； (2)方程一般形式为；方程二次项为，二次项系数为；一次项为，一次项系数为；常数项为 (3)一般形式即为；方程二次项为，二次项系数为2；一次项为，一次项系数为；常数项为6 【分析】（1）移项，将方程化为一般性质，即可得解； （2）移项，将方程化为一般性质，即可得解； （3）利用平方差公式，方程左边为，由此方程即为，方程展开化为一般形式即为，从而即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴方程一般形式为； ∴方程二次项为，二次项系数为；一次项为，一次项系数为0；常数项为； （2）解：∵， ∴方程一般形式为； ∴方程二次项为，二次项系数为；一次项为，一次项系数为；常数项为； （3）解：∵， ∴ ∴， ∴；方程二次项为，二次项系数为2；一次项为， 一次项系数为；常数项为6． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，关于x的方程，（， a，b，c，为常数）称为一元二次方程的一般形式，叫二次项，是一次项，c是常数项，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）填表： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 8x2=5x -2（x-2）2+8x=0 （x+1）（x-2）=5 【答案】8x2-5x=0 ；8； -5 ；0； -2x2+16x-8=0 ；-2 ；16 ；-8； x2-x-7=0；1 ；-1； -7. 【分析】先化成一元二次方程的一般系数，再找出系数即可； 【详解】解：（1）8x2=5x 8x2-5x=0 二次项系数为8，一次项系数为-5，常数项为0； （2）-2（x-2）2+8x=0 -2x2+16x-8=0 二次项系数为-2，一次项系数为16，常数项为-8； （3）（x+1）（x-2）=5 x2-x-7=0 二次项系数为1，一次项系数为-1，常数项为-7. 故答案为8x2-5x=0 ；8； -5 ；0； -2x2+16x-8=0 ；-2 ；16 ；-8； x2-x-7=0；1 ；-1； -7. 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式的应用，能把方程化成一般形式是解此题的关键，注意：说系数带着前面的符号． 14．（24-25九年级上·湖南永州·期中）定义新运算：对于任意实数a，b，c，d有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算．如：． (1)求的值； (2)已知关于x的方程的一个根为2，求m的值． 【答案】(1)10； (2)． 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解，理解新定义是解题的关键． （1）根据定义计算即可； （2）先根据定义化简，再将代入，即可求解． 【详解】（1）解：因为， 所以； （2）解：因为， 所以， 又因为方程的一个根为2， 所以， 解得． 15．（23-24八年级下·浙江·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)一元二次方程是“有爱方程”，见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的一般形式、用十字相乘分解因式法解一元二次方程是解题的关键． （1）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，再根据“有爱方程”的定义判断即可； （2）根据“有爱方程”的定义得到、、的数量关系，将用含和的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可； （3）根据“有爱方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项用含的代数式表示出来并代入原方程，并把代入，得到关于的一元二次方程，再利用十字相乘分解因式法求解即可． 【详解】（1）解：一元二次方程是“有爱方程”．理由如下： ， ， ， ，，， ， 一元二次方程是“有爱方程”． （2）证明：关于的一元二次方程为“有爱方程”， ， ， ， 为“有爱方程”的根． （3）是关于的“有爱方程”， ， ， 是该“有爱方程”的一个根， ， ， 或． 学科网（北京）股份有限公司 $$