2025-2026学年初升高数学衔接-公式+因式分解+韦达定理课后训练

课后训—初高衔接1- 班主任： 日期：2025. 时长： 45-60分钟/次 正确率：80% 【题组一 平方差、完全平方】 1. 化简计算： （1）． （2） 2.已知，，则 ． 3．设[a]表示不超过a的最大整数，如，，则（   ）． A．5 B．6 C．7 D．8 【题组二 三项平方和、立方和、立方差】 （三项平方和） 4．（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值 （3）已知，求 （立方差、立方和） 5．若，，且，，则的值为 ． 6．已知为实数，且，则的值是 . 【题组三 因式分解】 （公式法） 7．给出下列等式，其中因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 8．请灵活运用公式进行因式分解： （1） （2） . （3） . （十字相乘法） 9．（1）= （2）= （3）= （4）= （5） ． （分组分解法） 10．因式分解： （1） （2）； （3）． 【题组四 解高次方程】 11． 解下列方程： （1）=0 （2）． （3） （4）； 【题组五 一元二次方程根的判别式+韦达定理】 12．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 ． 13．（1）已知方程的两根为，则 ． （2）若实数，且，是方程的两个根，则代数式的值为 14．已知两个不等实数，满足，，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课后训—初高衔接1- 班主任： 日期：2025. 时长： 45-60分钟/次 正确率：80% 【题组一 平方差、完全平方】 1.化简计算：（1）． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】先变形，再利用平方差公式，完全平方公式进而得出答案． 本题主要考查平方差公式、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：原式 ． （2） 【答案】 （）算式乘以，再利用探究中的公式计算即可． 【详解】 （）解： ． 故答案为：． 2.已知，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 3．（24-25高一上·安徽芜湖·自主招生）设[a]表示不超过a的最大整数，如，，则（   ）． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】通过将原式进行化简，然后根据题意求出每个部分的最大整数，最后求和即是答案. 【详解】因，， 所以，于是， 又，，， 所以，于是， 因此原式. 故选：A． 【题组二 三项平方和、立方和、立方差】 （三项平方和） 4．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）（1）已知，，求的值； （2）（25-26高一·上海·假期作业）已知，求的值 （3）已知，求 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）借助完全平方公式计算即可； （2）将两边同时平方即可求； （3）由题意求出，将三式分别平方相加即可求. 【详解】（1）因为， 所以， 又，所以，所以， 所以. （2）由 ，得． 因为，所以， 由（1）知，， 则，即, 因此． （3）因为， 所以， 所以，① ，② ，③ ①+②+③得， 所以. （立方差、立方和） 5．若，，且，．求的值． 【答案】 （3）的值为 【分析】 （3）运用完全平方公式变形得到，，结合（2）的计算方法得到原式，代入计算即可求解． 【详解】 （3）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 根据（2）的计算得到， 同理，， ∴． 6．已知为实数，且，则的值是 . 【答案】 【分析】计算，再根据，代入数据计算得到答案. 【详解】，故， . 故答案为：. 【点睛】本题考查了代数式的运算，属于简单题. 【题组三 因式分解】 （公式法） 7．（23-24高一上·江苏泰州·开学考试）给出下列等式，其中因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用平方差公式，立方和差公式进行因式分解即可得解. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 8．请灵活运用公式进行因式分解： ①______； ②______. ③______. 【答案】 （2）①；②；③ 【分析】根据题意，结合立方和与立方差公式，准确运算，即可求解. 【详解】解：（1） ； （2）①原式； ②； ③． 故答案为：（1）； （2）①；②；③. （十字相乘饭法） 9．（1）． 【答案】 (1)． （1）把分成，是一次项系数，由此类比分解得出答案即可； 【详解】 （1）． （2）)． (2) 【详解】 （2）解：， ①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． （3）可因式分解为_______ 【答案】 （4）可因式分解为 ． 【答案】 （5） ． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】此题考查了因式分解的方法，利用十字相乘法分解因式即可；解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 【详解】． 故答案为：． （分组分解法） 10．因式分解：（1） ． 【答案】 【知识点】分组分解法、平方差公式分解因式 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．利用分组分解法，先对因式分解得，再利用平方差公式因式分解． 【详解】解： ， 故答案为：． (2)； (3)． 【答案】(2) (3) 【分析】（2）分组提取公因式后再提取公因式得解； （3）法一分组为和，分别分解因式后，利用十字相乘法分解因式，法二分组为和，再利用十字相乘法分解为，再整体利用十字相乘法分解. 【详解】（2）． （3）法一： . 法二： ． 【题组四 解高次方程】 11．解下列方程：（1）=0 【答案】 【知识点】分组分解法 【分析】将前两项分组后两项分组，进而提取公因式再利用平方差公式分解因式． 此题主要考查了分组分解法因式分解，正确进行分组是解题关键． 【详解】解： （2）． 【答案】(2)． 【详解】（2）的因数有，将它们分别代入方程，可得： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 有因式． 利用竖式除法得： ． 原方程化为． 或． 原方程的解为． （3） ； 【答案】（3） 【详解】（3）原式 ； （4）； 【答案】（4） 【详解】（4）原式. 【题组五 一元二次方程根的判别式+韦达定理】 12．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围． 【答案】且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了一元二次方程（为常数且）根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据题意得出，计算即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：且， 的取值范围为且. 13．（1）（24-25高一上·河南南阳·期末）已知方程的两根为，则 ． 【答案】7 【分析】利用韦达定理求解即可. 【详解】方程的两根为， 由韦达定理得，， 所以. 故答案为：7. （2）（24-25高一上·广西钦州·开学考试）若实数，且，是方程的两个根，则代数式的值为（    ） A． B．2 C．2或 D．2或20 【答案】A 【分析】利用韦达定理可得，代入变形后的，即可求值. 【详解】因为，是方程的两个根， 故， 则 . 故选：A. 14．（24-25高一上·福建·开学考试）已知两个不等实数，满足，，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据题意得、为方程的两个根，得到，，将转化为，然后代入计算即可． 【详解】∵两个不等实数，满足，， ∴、为方程的两个根，∴，， ∴， ∴的值为． 故选：A． 第 2 页 共 10 页 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$