第04讲 充分条件与必要条件讲义（知识梳理+7大题型+强化训练）-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第04讲 二次函数与不等式 目录： 1、 考点梳理 ……………………………………………………………………1 考点1 一元二次不等式及其解法 …………………………………………………………1 考点2 简单分式不等式的解法 ……………………………………………………………2 考点3 含有字母系数的一元一次不等式 …………………………………………………2 2、 题型归纳 ……………………………………………………………………3 题型一 二次函数的解析式与图象…………………………………………………………3 题型二 一元二次不等式的解法……………………………………………………………4 题型三 一元二次不等式求参数……………………………………………………………5 题型四 含参数的一元二次不等式的解法…………………………………………………5 题型五 一元二次方程根的分布问题………………………………………………………6 题型六 一元二次不等式恒成立问题 ………………………………………………………6 题型七 含参的一元一次方程与不等式……………………………………………………7 题型八 简单的分式不等式…………………………………………………………………7 题型九 不等式组 …………………………………………………………………………7 3、 专题强化训练 ………………………………………………………………8 考点梳理 考点一、一元二次不等式及其解法 1．形如的不等式称为关于的一元二次不等式． 2．一元二次不等式与二次函数及一元二次方程的关系(简称：三个二次)． 一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： (1) 将二次项系数先化为正数. (2) 观察相应的二次函数的图象． ①如果图象与轴有两个交点， 此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根(也可由根的判别式来判断) ． 那么(图1)： ②如果图象与轴只有一个交点， 此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根 (也可由根的判别式来判断) ． 那么(图2)： 无解 ③如果图象与轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式来判断) ． 那么(图3)：取一切实数 无解 解一个一元二次不等式的话，也可以按以下步骤处理： (1) 化二次项系数为正； (2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根．那么“”型的解为(俗称两根之外)；“”型的解为(俗称两根之间)； (3) 否则，对二次三项式进行配方，变成，结合完全平方式为非负数的性质求解． 考点二、简单分式不等式的解法 说明：(1) ；． (2) 也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号(比如例(2))： . 考点三、含有字母系数的一元一次不等式 一元一次不等式最终可以化为的形式． (1) 当时，不等式的解为：； (2) 当时，不等式的解为：； (3) 当时，不等式化为：； ① 若，则不等式无解；② 若，则不等式的解是全体实数． 题型归纳 题型一 二次函数的解析式与图象 1．（2025高一·全国·专题练习）已知某二次函数的图象与轴交于点，点，且过点，则该二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一上·河北保定·专题练习）已知，关于x的一元二次方程的解为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一上·河北保定·专题练习）已知二次函数的图象上有三点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·湖北随州·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标为，与y轴的交点在点与点之间(包含端点)，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B． C． D． 5．（多选）（24-25高一上·山东临沂·开学考试）如图，抛物线经过点，．下列结论中正确是（   ）    A． B． C．若抛物线上有点，，，则 D．方程的解为， 6．（24-25高一上·四川·开学考试）用适当方法解方程： (1) (2) 题型二 一元二次不等式的解法 1．（2025高一·全国·专题练习）函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·重庆·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24高一上·北京·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）求不等式的解集 ． 5．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）解下列方程和不等式： (1) (2) (3) 6．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）解下列方程和不等式： (1) (2) (3) 题型三 一元二次不等式求参数 1．（24-25高一上·四川眉山·期中）关于的不等式的解集为或，求的值（    ） A． B．1 C． D．2 2．（24-25高一上·天津滨海新·期中）不等式的解集是，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知不等式的解集为，则实数 ． 题型四 含参数的一元二次不等式的解法 1．（24-25高一上·四川南充·期中）关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·海南儋州·期中）若不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·随堂练习）若，则不等式的解集为 ． 4．（2023高三·全国·专题练习）解下列关于的不等式 5．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）求关于x的不等式的解集，其中a是常数. 6．（23-24高一上·新疆喀什·期中）解不等式：. 题型五 一元二次方程根的分布问题 1．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知关于x的方程有两个负根，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高一上·重庆渝中·开学考试）已知关于的二次方程有一正数根和一负数根，则实数的取值范围是 ． 题型六：一元二次不等式恒成立问题 1．（24-25高一上·广东·期中）若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·北京通州·期中）已知不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·山东德州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 . 5．（24-25高一上·上海·期中）已知对于任意，，则实数的取值范围为 . 题型七 含参的一元一次方程与不等式 1．（24-25高一上·河北石家庄·开学考试）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．不确定 2．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）存在无数多个实数，使得成立，则实数的取值范围是 . 3．（24-25高一上·上海·期中）若关于的不等式的解集为，求不等式的解集 ． 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）若，则关于x的不等式的解集为 ． 5．（24-25高一上·上海·课后作业）求关于的方程的解集，其中是常数． 题型八 简单的分式不等式 1．（24-25高一上·浙江衢州·阶段练习）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2.（24-25高一上·上海虹口·期末）不等式的解集为 . 3．（24-25高一上·上海嘉定·期末）不等式的解集是 . 4.（24-25高一上·广东深圳·期末）设不等式的解集为，则 ． 题型九 不等式组 1．（24-25高一上·江西·开学考试）已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则b的取值范围是 ． 2．（24-25高一上·四川自贡·开学考试）已知关于x的不等式组无解，则m的取值范围是 ． 3．（24-25高一上·四川成都·开学考试）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的不等式组的解集为 . 专题强化训练 一、单选题 1．（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）若二次函数的图象过原点，，则该二次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值是（    ） A． B．4 C．5 D．6 3．（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·湖南益阳·开学考试）不等式组的解集为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2025高一上·河北保定·专题练习）已知，若关于的方程的解为、，关于的方程的解为、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6.（24-25高一上·海南儋州·期中）已知不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一上·广东江门·阶段练习）如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，正确的有（   ） A．① B．② C．③ D．④ 三、填空题 8．（17-18高一上·上海徐汇·阶段练习）不等式的解集为，则 ． 9．（2023高一·全国·课后作业）关于x的方程的解集为，则实数a的值为 . 10．（24-25高一上·陕西西安·期中）当时，不等式的解集为 . 11．（24-25高一上·福建厦门·期中）“不等式对一切实数都成立”，则的取值范围为 ． 12．（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）设a为实数，若关于x的一元一次不等式组的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是 . 四、解答题 13．（24-25高一上·福建福州·期中）解下列一元二次不等式 (1) (2) 14．（22-23高二下·广西玉林·期末）已知关于的不等式. (1)若不等式的解集为，求、的值； (2)若，解不等式. 15．（22-23高一上·山东烟台·阶段练习）已知关于的方程． (1)为何实数时，方程有两正实数根？ (2)为何实数时，方程有一个正实数根、一个负实数根？ 16．（24-25高一上·浙江金华·阶段练习）已知：关于x的方程. (1)求证：m取任何实数量，方程总有实数根； (2)若二次函数的图象关于y轴对称； ①求二次函数的解析式； ②已知一次函数，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立. 17．（22-23高一上·江苏宿迁·开学考试）已知：关于x的方程. (1)求证：m取任何实数量，方程总有实数根； (2)若二次函数的图象关于y轴对称； ①求二次函数的解析式； ②已知一次函数，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立； (3)在（2）条件下，若二次函数的图象经过点，且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值均成立，求二次函数的解析式. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 充分条件与必要条件 目录： 一、学习目标 ………………………………………………………………………1 二、知识梳理 ………………………………………………………………………1 知识点1 充分条件与必要条件…………………………………………………………………1 知识点2 充要条件………………………………………………………………………………2 三、题型归纳…………………………………………………………………………2 题型一 充分条件与必要条件的判断 …………………………………………………………2 题型二 根据充分条件、必要条件求参数 ……………………………………………………4 题型三 充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的判断 …………………………………………………………………………………………………5 题型四 根据充分不必要条件求参数 …………………………………………………………7 题型五 根据必要不充分条件求参数…………………………………………………………10 题型六 根据充要条件的求参数………………………………………………………………11 题型七 充要条件的证明………………………………………………………………………12 四、强化训练 ………………………………………………………………………13 学习目标 1. 通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系. 2. 通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系. 3. 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系. 知识梳理 知识点1 充分条件与必要条件 “若p，则q”成立 “若p，则q”不成立 推出关系 pq 条件关系 p叫作q的充分条件 q叫作p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 知识点2 充要条件 ①如果且，则称是的充分不必要条件； ②如果且，则称是的必要不充分条件； ③如果且，则称是的 充分必要条件，简称充要条件，记作. ④如果且，那么称是的既不充分又不必要条件. 题型归纳 题型一 充分条件与必要条件的判断 1．（多选）（23-24高一上·甘肃白银·期中）下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件是（     ） A．对角线相等的菱形 B．邻边相等的矩形 C．对角线相等的平行四边形 D．有一个角是直角的菱形 【答案】ABD 【详解】对选项A：对角线相等的菱形是正方形，正确； 对选项B：邻边相等的矩形是正方形，正确； 对选项C：对角线相等的平行四边形是矩形，错误； 对选项D：有一个角是直角的菱形是正方形，正确； 故选：ABD 2．（多选）（24-25高一上·山西大同·阶段练习）指出下列哪些命题中是的充分条件（   ） A．在中，， B．已知，，， C．已知，， D．已知，， 【答案】ABD 【详解】在中，由大角对大边知，，所以是的充分条件，故A正确； 由，故是的充分条件，故B正确； 由，所以不是的充分条件，故C错误. ，故是的充分条件，故D正确. 故选：ABD 3．（23-24高一上·湖北·期中）下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为无理数，则为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 【答案】A 【详解】对选项A：若则，故是的必要条件，故A正确； 对选项B：若，时，不能得到，故B错误； 对选项C：取，满足为无理数，为有理数，故C错误； 对选项D：四边形的对角线互相垂直，则这个四边形不一定是菱形，故D错误； 故选：A 4．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）在下列若则的命题中，是的必要条件的命题是（    ） A．若四边形的一组邻边相等，则四边形是平行四边形 B．若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等 C．若，则 D．若是无理数，则也是无理数 【答案】C 【详解】对于A：因为不是的充分条件，则不是的必要条件，故A错误； 对于B：若一个三角形三边分别为5，6，9，另一三角形三边分别为6，6，8， 两个三角形周长相等，却不全等，则不是的必要条件，故B错误； 对于C：由可以推出，所以是的充分条件， 则是的必要条件，故C正确； 对于D：若，则，不是无理数，不是的充分条件，则不是的必要条件，故D错误； 故选：C 5．（多选）（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）使成立的一个充分条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】根据充分条件的定义可知，，即A、B正确； 而不能推出，更不能推出，故C、D错误. 故选：AB. 6．（多选）（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）下列条件中，是“”成立的必要条件的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】“”成立的必要条件即不能比范围小，观察选项，BCD符合， 故选：BCD. 【方法总结】充分条件与必要条件的两种判断方法： ⑴定义法：第一步，确定谁是条件，谁是结论；第二步，尝试由条件推结论；第三步，若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，结论为条件的必要条件. ⑵命题判定法：如果命题：“若，则”是真命题，则是的充分条件，是的必要条件. 题型二 根据充分条件、必要条件求参数 1．（23-24高一上·重庆渝北·阶段练习）若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得， 所以且，解得， 故选：C 2．（23-24高一上·江苏·阶段练习）设p：，q：，若q是p的必要条件，则a的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【详解】由q是p的必要条件，得，所以. 故选：A 3．（多选）（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）已知命题，要使为的必要条件，则的取值可以为（    ） A． B．0 C．4 D．5 【答案】AB 【详解】由为的必要条件，可得，. 故选：AB. 4．（21-22高一上·上海普陀·期中）已知,若是的充分条件,则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解:由题知, 若是的充分条件, 则,故. 故答案为: 5．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意，“若，则”为真命题， 故实数的取值范围是. 故答案为： 【方法总结】根据充分条件与必要条件求参数的取值范围时，先将等价转化，再根据充分条件或必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式（组）进行求解. 题型三 充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的判断 1．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由，可得，所以“”是“”的充分条件， 由，可得，所以“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 2．（24-25高一上·山西太原·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为，所以或或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】集合， 因等价于， 即或，解得或，经检验符合题意； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．（24-25高一下·云南大理·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由，得，即，则或， 故“”是“”的必要不充分条件． 故选：C 5．（多选）（24-25高一上·海南儋州·期中）以下是的必要条件但不是充分条件的是（    ） A．：“是分数”，：“是有理数” B．：“”，：“” C．：“”，：“” D．：“”，：“” 【答案】BD 【详解】对于A，一方面若“是分数”，则必定有“是有理数”； 另一方面若“是有理数”，则不一定有“是分数”， 因为“可能是整数”， 所以“是分数”是“是有理数”的充分条件但不是必要条件，故A不符合题意； 对于B，若，则， 所以“”是“”的必要条件但不是充分条件，故B符合题意； 对于C，因为当且仅当，而当且仅当， 所以“”是“”的充要条件，故C不符合题意； 对于D，一方面设，则，但， 这说明了“”不是“”的充分条件， 另一方面若，则，这说明了“”是“”的必要条件， 结合以上两方面可知“”是“”的必要条件但不是充分条件，故D符合题意． 故选：BD. 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）“”是“”的 条件． 【答案】充分不必要 【详解】当时，一定成立，即充分性成立； 当时，不一定成立，即必要性不成立． 故答案为：充分不必要． 【方法总结】判断方法： ⑴定义法：①如果且，则称是的充分不必要条件； ②如果且，则称是的必要不充分条件； ③如果且，则称是的 充分必要条件，简称充要条件，记作. ④如果且，那么称是的既不充分又不必要条件. ⑵集合法：若，则是的充分不必要条件；若，则是的必要不充分条件；若，则与互为充要条件． 题型四 根据充分不必要条件求参数 1．（24-25高一上·江西赣州·期末）命题“”为真命题的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】要求命题“”为真命题的充分不必要条件， 只需要求是的非空真子集即可， 由选项可知，只有B满足题意， 故选：B. 2．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由条件可知集合是集合的真子集，所以． 故选：D． 3．（24-25高二上·安徽淮南·期中）命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由条件可知，集合是集合的真子集，所以. 故选：D 4．（多选）（24-25高一上·江苏盐城·期末）集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】BCD 【详解】， 由“”是“”的充分不必要条件，可得：是的真子集，所以， 故选：BCD 5．（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知：，，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设集合，集合， 因为的充分不必要条件是，所以是的真子集， 则，解得. 故选：D 6.（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；(2)或 【详解】（1）当时，集合， 所以或， 又， 所以. （2）因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 当时，即时，，满足是的真子集， 当时，即时， ，且不能同时取等号，解得， 综上，实数a的取值范围为或. 【方法总结】由条件关系求参数的值（范围）的步骤： ⑴根据条件关系建立构成的集合之间的关系； ⑵根据集合端点或数形结合列方程或不等式（组）求解. 题型五 根据必要不充分条件求参数 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，即． 2．（24-25高一上·北京·阶段练习）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是 ． 【答案】 【详解】设或，， 因为“或”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集，则， 即实数的最大值是. 故答案为：. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由必要不充分条件的定义可知或，或，所以或，即或． 4．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合，或 (1)当时，求； (2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围. 【答案】(1)；(2)或 【详解】（1）， 当时，或． ． （2）因为，或． 是的必要不充分条件，所以或， 所以或． 【方法总结】由条件关系求参数的值（范围）的步骤： ⑴根据条件关系建立构成的集合之间的关系； ⑵根据集合端点或数形结合列方程或不等式（组）求解. 题型六 根据充要条件的求参数 1．（24-25高一上·全国·课后作业）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【答案】B 【详解】因为“”是“”的充要条件，所以， 又，，所以. 故选：B. 2．（24-25高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，，解得. 故选：A 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意得，解得，所以． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，若是的充要条件，则实数 ． 【答案】5 【详解】因为，又，是的充要条件， 所以，解得实数． 故答案为：5 【方法总结】由条件关系求参数的值（范围）的步骤： ⑴根据条件关系建立构成的集合之间的关系； ⑵根据集合端点或数形结合列方程或不等式（组）求解. 题型七 充要条件的证明 1．（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）设全集为，给出下列条件：①；②；③；④.其中是的充要条件的有 (填序号) 【答案】③ 【详解】由、、，均等价于， 由，等价于， 所以的充要条件的有③. 故答案为：③ 2．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． 【答案】(1)，，，，，，，；(2)证明见解析 【详解】（1）若，则，所以的所有子集为： ，，，，，，，. （2）证明：若，则，所以，故充分性成立； 若，则，因为，所以， 解得或，当时，，不满足互异性，故舍去， 当时，，满足互异性，故必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，求证：的充要条件是. 【答案】证明见解析 【详解】①必要性：因为.所以. 所以. ②充分性：因为， 所以，又， 所以且. 因为. 所以，即. 综上可得，当时，的充要条件是. 强化训练 一、单选题 1．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）使不等式成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，即， 因为， 所以使不等式成立的一个充分条件是， 而其他选项皆不满足. 故选：A. 2．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为， 所以不能推出，而由可以推出， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 3．（24-25高一上·四川凉山·阶段练习）若“”是“或”的充分条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，则， 因为“”是“或”的充分条件， 所以，解得， 故选：C. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题为真命题的是（    ） A．“且”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“一元二次方程有实数根”的充要条件 D．“一个三角形的三边长满足两边的平方和等于第三边的平方”的充要条件是“此三角形为直角三角形” 【答案】D 【详解】对于A，由“且”得“”，但“”未必能推出“且”，如且满足，但不满足，故A是假命题；对于B，“”未必能推出“”，如，故B是假命题；对于C，如一元二次方程有实数根，但不满足“”，故C是假命题，D是真命题． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）下列选项正确的是（    ） A．“平行四边形的对角线互相垂直”是“这个平行四边形是菱形”的充分条件 B．“两个三角形的周长相等”是“这两个三角形全等”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的必要条件 【答案】A 【详解】对于A中，平行四边形的对角线互相垂直是菱形的判定定理，即，所以A正确； 对于B中，三边分别为3，4，5的三角形是周长为12的直角三角形， 三边为4，4，4的三角形是等边三角形，两三角形周长相等但不全等，即，所以B错误； 对于C中，例如：当时，满足，但， 所以是的充分条件，所以C错误； 对于D中，若，满足，但不成立，所以D错误． 故选：A. 6．（24-25高三下·陕西商洛·阶段练习）“一元二次方程有实数根”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若一元二次方程有实数根，则且， 所以充分性成立； 由推不出，即推不出方程一定为一元二次方程，故必要性不成立； 所以“一元二次方程有实数根”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7．（2025·广东揭阳·模拟预测）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由， 判断充分性： 当时，，满足， 所以由“”可以推出“”，充分性成立． 判断必要性： 若，因为，， 所以的值可以为，也可以是其他值如， 即由“”不能推出“”，必要性不成立． 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 二、多选题 8．（25-26高一上·全国·课后作业）下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若mn为无理数，则m，n为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 【答案】AB 【详解】若，则，即是的必要条件，故A正确；由“”可以推出“”，故B正确；取，，满足mn为无理数，但m为有理数，故C错误；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故D错误. 9．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】，解得， 由于是的子集， 故是的一个必要条件，A正确， 同理，是的子集， 故是的一个必要条件，D正确， B,C选项均不满足要求. 故选：AD. 10．（24-25高一上·江苏·期中）下列命题中为真命题的是（   ） A．“”是“”的既不充分又不必要条件 B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C．“关于的方程有实数根”的充要条件是“” D．设，，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】AD 【详解】对于A，由于与互相不能推出，所以A正确; 对于B，正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形， 即“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分而不必要条件，所以B错误； 对于C，“关于的方程有实数根”的充要条件是“”，所以C错误； 对于D，因为可以等于零，所以由不能推出，故充分性不成立，由可得且，即必要性成立， 所以“”是“”的必要而不充分条件，所以D正确. 故选：AD. 三、填空题 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的有 ． （1）若，则；（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若，则；（4）若，则，． 【答案】（1）（2）（3） 【详解】（1）由，可以推出，所以命题（1）符合题意； （2）由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以命题（2）符合题意； （3）由，可以推出，所以命题（3）符合题意； （4）由，得或，所以不一定推出，所以命题（4）不符合题意. 故答案为：（1）（2）（3） 12．（25-26高一上·全国·课后作业）已知． （1）若p是q的必要且不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】； 【详解】设集合，集合．（1）若p是q的必要且不充分条件，则．①当时，，此时；②当时，且和不能同时成立，解得．故．（2）因为p是q的充要条件，所以，所以解得． 13．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集， 当时，即时，，满足题意； 当，即时，由题意得，解得， 综上，m的取值范围是． 4、 解答题 14．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列所给的各组p，q中，q是否是p的必要条件？ (1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (2)p：，q：； (3)p：，q：. 【答案】(1)q是p的必要条件；(2)q是p的必要条件；(3)q不是p的必要条件 【详解】（1）因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件． （2）由，可得， 所以，所以q是p的必要条件． （3）当时，推不出， 故，所以q不是p的必要条件. 15．（23-24高一·上海·课堂例题）下列各组中，是的什么条件？ (1)：四边形ABCD的四条边等长，：四边形ABCD是正方形； (2)：与全等，：与的周长相等； (3)：x是2的倍数，：x是6的倍数； (4)：集合，，，：集合； (5)：，：． 【答案】(1)是的必要不充分条件；(2)是的充分不必要条件； (3)是的必要不充分条件；(4)是的充要条件；(5)是的必要不充分条件. 【详解】（1）若四边形的四条边等长，四边形不一定是正方形，如菱形； 反之，若四边形是正方形，则其四条边等长，故是的必要不充分条件； （2）若与全等，则与的周长相等， 反之，若与的周长相等，两个三角形不一定全等； 故是的充分不必要条件； （3）若是2的倍数，则不一定是6的倍数，如； 反之，若是6的倍数，则一定是2的倍数，故是的必要不充分条件； （4）若，则，又由，则， 同理可得：，则有； 反之，若，一定有，，故是的充要条件； （5）当且时，有，但与不一定相等， 反之，若，一定有，故是的必要不充分条件. 16．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】解：（1）因为“”是“”的必要不充分条件，可得A是B的真子集，则满足，解得，所以实数a的取值范围为． （2）因为“”是“”的充分不必要条件，可得B是A的真子集．①当，即时，此时，符合题意；②当，即时，则满足，即，解得．综上可得，实数a的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 二次函数与不等式 目录： 1、 考点梳理 ……………………………………………………………………1 考点1 一元二次不等式及其解法 …………………………………………………………1 考点2 简单分式不等式的解法 ……………………………………………………………2 考点3 含有字母系数的一元一次不等式 …………………………………………………2 2、 题型归纳 ……………………………………………………………………3 题型一 二次函数的解析式与图象…………………………………………………………3 题型二 一元二次不等式的解法……………………………………………………………6 题型三 一元二次不等式求参数……………………………………………………………8 题型四 含参数的一元二次不等式的解法…………………………………………………9 题型五 一元二次方程根的分布问题 ……………………………………………………11 题型六 一元二次不等式恒成立问题………………………………………………………12 题型七 含参的一元一次方程与不等式 …………………………………………………13 题型八 简单的分式不等式 ………………………………………………………………15 题型九 不等式组 …………………………………………………………………………16 3、 专题强化训练………………………………………………………………17 考点梳理 考点一、一元二次不等式及其解法 1．形如的不等式称为关于的一元二次不等式． 2．一元二次不等式与二次函数及一元二次方程的关系(简称：三个二次)． 一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： (1) 将二次项系数先化为正数. (2) 观察相应的二次函数的图象． ①如果图象与轴有两个交点， 此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根(也可由根的判别式来判断) ． 那么(图1)： ②如果图象与轴只有一个交点， 此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根 (也可由根的判别式来判断) ． 那么(图2)： 无解 ③如果图象与轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式来判断) ． 那么(图3)：取一切实数 无解 解一个一元二次不等式的话，也可以按以下步骤处理： (1) 化二次项系数为正； (2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根．那么“”型的解为(俗称两根之外)；“”型的解为(俗称两根之间)； (3) 否则，对二次三项式进行配方，变成，结合完全平方式为非负数的性质求解． 考点二、简单分式不等式的解法 说明：(1) ；． (2) 也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号(比如例(2))： . 考点三、含有字母系数的一元一次不等式 一元一次不等式最终可以化为的形式． (1) 当时，不等式的解为：； (2) 当时，不等式的解为：； (3) 当时，不等式化为：； ① 若，则不等式无解；② 若，则不等式的解是全体实数． 题型归纳 题型一 二次函数的解析式与图象 1．（2025高一·全国·专题练习）已知某二次函数的图象与轴交于点，点，且过点，则该二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因二次函数的图象与轴交于点，点， 故可设二次函数的解析式为， 把点代入得，解得， 故. 故选：A. 2．（2025高一上·河北保定·专题练习）已知，关于x的一元二次方程的解为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方程化为：，， 则， 所以. 故选：A 3．（2025高一上·河北保定·专题练习）已知二次函数的图象上有三点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 在对称轴上，最大， 点A到对称轴的距离为，点C到对称轴的距离为， 根据点距离对称轴越远，函数值越小，， . 故选：D 4．（24-25高一下·湖北随州·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标为，与y轴的交点在点与点之间(包含端点)，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意结合图象，可知，图象对称轴为，，. 对于A，由上分析，函数图象与x轴的另一交点为 ，即点， 故时，，故A正确； 对于B，由图知，当时，，故B错误； 对于C，由可得，又，代入解得， 因，故，即C错误； 对于D，由可得，又，所以，故D错误. 故选：A． 5．（多选）（24-25高一上·山东临沂·开学考试）如图，抛物线经过点，．下列结论中正确是（   ）    A． B． C．若抛物线上有点，，，则 D．方程的解为， 【答案】AC 【详解】根据二次函数图象可知：，，， 所以，所以，故A正确； 将点，代入得，， ②①得,，所以， 再代入①得，，故B错误； 因为，所以，， 因为，所以， 根据图象知：与相比，离对称轴更远，， 所以，故C正确； 因为方程，由上知， 则，所以，故D错误. 故选：AC． 6．（24-25高一上·四川·开学考试）用适当方法解方程： (1) (2) 【答案】(1)，；(2)， 【详解】（1）由原方程移项，得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 配方，得， ∴， ∴，． （2）由原方程有 则或， ∴，． 题型二 一元二次不等式的解法 1．（2025高一·全国·专题练习）函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，当时，的取值范围是. 故选：B. 2．（24-25高一上·重庆·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】由，可得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 3．（23-24高一上·北京·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不等式化为：，而， 所以的不等式无解，即解集为. 故选：B 4．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）求不等式的解集 ． 【答案】 【详解】不等式，化为，解得或， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 5．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）解下列方程和不等式： (1) (2) (3) 【答案】(1)4或；(2)或；(3) 【详解】（1）依题意，， 解得或． （2）依题意， 解得或， 所以不等式的解集为或． （3）（3）因为，所以，即， 此时有，解得， 所以不等式的解集为 6．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）解下列方程和不等式： (1) (2) (3) 【答案】(1)4或；(2)或；(3) 【详解】（1）依题意，， 解得或． （2）依题意， 解得或， 所以不等式的解集为或． （3）（3）因为，所以，即， 此时有，解得， 所以不等式的解集为 题型三 一元二次不等式求参数 1．（24-25高一上·四川眉山·期中）关于的不等式的解集为或，求的值（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】由题意得，1和是方程的两个根， 由韦达定理得，，， 所以解得，，所以. 故选：A 2．（24-25高一上·天津滨海新·期中）不等式的解集是，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设是方程的两个根， 由题意知，，解得， 所以不等式可变为， 即，解得. 所以不等式的解集为. 故选：A 3．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知不等式的解集为，则实数 ． 【答案】3 【详解】因为的解集为， 故的两个解为，故， 故，故， 故答案为：. 题型四 含参数的一元二次不等式的解法 1．（24-25高一上·四川南充·期中）关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，解得， 所以的解集为. 故选：. 2．（24-25高一上·海南儋州·期中）若不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不等式的解集为， 则需满足，解得， 故选：B 3．（24-25高一上·全国·随堂练习）若，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】因为，所以, 所以由，得, 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 4．（2023高三·全国·专题练习）解下列关于的不等式 【答案】答案见解析 【详解】由，可得或，则： 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 5．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）求关于x的不等式的解集，其中a是常数. 【详解】由， 当时，解得或，解集为； 当时，解得或，解集为； 6．（23-24高一上·新疆喀什·期中）解不等式：. 【答案】答案见解析 【详解】不等式可化为， 解方程的根，得，， 当时，解不等式得，， 当时，解不等式得，， ∴当时，解集为， 当时，解集为. 题型五 一元二次方程根的分布问题 1．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知关于x的方程有两个负根，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为关于x的方程有两个负根， 所以，即， 解得，所以实数m的取值范围是. 故选：B. 2．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记，则函数为开口向上的二次函数， 要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要时，即可， 即，解得，所以实数a的取值范围是. 故选：C. 3．（21-22高一上·重庆渝中·开学考试）已知关于的二次方程有一正数根和一负数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意知，二次方程有一正根和一负根， 得，解得. 故答案为： 题型六：一元二次不等式恒成立问题 1．（24-25高一上·广东·期中）若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设有，故， 故选：B. 2．（24-25高一上·北京通州·期中）已知不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式对一切实数都成立， 即不等式对一切实数都成立， 所以，解得. 故选：A 3．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若，则，此不等式恒不成立，故原不等式无解，符合题设； 若，因为不等式的解为空集，故，故， 综上，， 故选：A. 4．（24-25高一上·山东德州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意，对于方程，， 解得，则实数的取值范围为， 故答案为：. 5．（24-25高一上·上海·期中）已知对于任意，，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意知，不等式对恒成立， 当时，不等式变形为，恒成立； 当时，对于方程， 有，解得. 综上，的取值范围为. 故答案为： 题型七 含参的一元一次方程与不等式 1．（24-25高一上·河北石家庄·开学考试）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．不确定 【答案】B 【详解】由于是关于x的一元一次不等式， 所以，解得. 故选：B 2．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）存在无数多个实数，使得成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由可得， 因为存在无数多个实数，所以解得， 经检验时满足题意， 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·期中）若关于的不等式的解集为，求不等式的解集 ． 【答案】 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以2是方程的解， 所以，解得， 所以不等式可化为， 解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）若，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】由，得，则不等式化为：，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 5．（24-25高一上·上海·课后作业）求关于的方程的解集，其中是常数． 【详解】解：∵，即． ①当时，无解； ②当时，． 综上，当时，解集为；当时，解集为． 题型八 简单的分式不等式 1．（24-25高一上·浙江衢州·阶段练习）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，解得或， 因此，解集为， 故选：D. 2.（24-25高一上·上海虹口·期末）不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由题意，所以解集为. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海嘉定·期末）不等式的解集是 . 【答案】 【详解】不等式等价于，即， 解得，即原不等式的解集为. 故答案为：. 4.（24-25高一上·广东深圳·期末）设不等式的解集为，则 ． 【答案】1 【详解】原不等式可化为, 即，所以，解得， 所以，. 故答案为：1 题型九 不等式组 1．（24-25高一上·江西·开学考试）已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则b的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意，不等式组的解集为， 因为原不等式组的整数解共有3个，所以其整数解为， 即. 故答案为：. 2．（24-25高一上·四川自贡·开学考试）已知关于x的不等式组无解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解不等式，得：， 解不等式，得：， 又因为不等式组无解，∴，解得：， 所以的取值范围是. 故答案为：. 3．（24-25高一上·四川成都·开学考试）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的不等式组的解集为 . 【答案】 【详解】∵一次函数的图象过点， ∴，解得，∴， 又与x轴的交点是， 关于x的不等式组， 由题干函数图象及不等式组的几何意义，知不等式组的解为 故答案为：. 专题强化训练 一、单选题 1．（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）若二次函数的图象过原点，，则该二次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为二次函数的图象过原点，则，则， 把代入， 得，解得， 所以这个二次函数的解析式为：. 故选：D. 12．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值是（    ） A． B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】令， 则由韦达定理可得，故. 故选：B. 3．（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得， 解得或，即不等式解集为， 故选：C 4．（22-23高一上·湖南益阳·开学考试）不等式组的解集为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式组等价于， 又不等式组的解集为， 即，即， 故选：C． 5．（2025高一上·河北保定·专题练习）已知，若关于的方程的解为、，关于的方程的解为、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得， 由可得， 关于的方程的解为抛物线与直线的交点的横坐标， 关于的方程的解为抛物线与直线的交点的横坐标， 由于，如图，由图可知，. 故选：B. 二、多选题 6.（24-25高一上·海南儋州·期中）已知不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意知，和是方程的两个实数根，则， 故且，解得，， 故选：AC. 7．（22-23高一上·广东江门·阶段练习）如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，正确的有（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】BCD 【详解】对于①，因为开口方向向下，所以，因为对称轴是直线，即，则，当时，，所以，故①错误； 对于②，因为抛物线与轴有两个交点，所以，故②正确； 对于③，当或时，，故③正确； 对于④，当时，,当时，，两式相加得，故④正确； 故选：BCD. 三、填空题 8．（17-18高一上·上海徐汇·阶段练习）不等式的解集为，则 ． 【答案】 【详解】由不等式的解集为，得是方程的两根， 则，解得，所以. 故答案为： 9．（2023高一·全国·课后作业）关于x的方程的解集为，则实数a的值为 . 【答案】1 【详解】由得， 若该方程的解为空集，则且，解得， 故答案为：1 10．（24-25高一上·陕西西安·期中）当时，不等式的解集为 . 【答案】 【详解】依题意，，且函数的开口向下，两个零点为和， 所以不等式的解集为. 故答案为： 11．（24-25高一上·福建厦门·期中）“不等式对一切实数都成立”，则的取值范围为 ． 【详解】因为不等式对一切实数都成立， 所以，即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为:. 12．（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）设a为实数，若关于x的一元一次不等式组的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是 . 【答案】 【详解】，由题不等式组解集存在， 则. 因与异号，且解集中有3个整数，则0一定在其中； 若在解集中，则，此时解集中的整数至少6个， 不合题意，故不在解集中，则任意比小的整数都不能在解集中. 据以上分析可知，解集中的3个整数只能是0，1，2. 则. 故答案为： 四、解答题 13．（24-25高一上·福建福州·期中）解下列一元二次不等式 (1) (2) 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由，得， 解得， 所以不等式的解集为； （2）由，得， 即，解得或， 所以不等式的解集为. 14．（22-23高二下·广西玉林·期末）已知关于的不等式. (1)若不等式的解集为，求、的值； (2)若，解不等式. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）解：原不等式可化为， 由题知，、是方程的两根， 由根与系数的关系得，解得. （2）解：当时，所以原不等式化为， 当时，即时，解原不等式可得； 当时，即时，原不等式即为，解得； 当时，即时，解得， 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 15．（22-23高一上·山东烟台·阶段练习）已知关于的方程． (1)为何实数时，方程有两正实数根？ (2)为何实数时，方程有一个正实数根、一个负实数根？ 【答案】(1)    ；(2). 【详解】（1）由已知得， 解得或， 所以实数的取值范围是. （2）由已知得 解得，所以实数的取值范围是. 16．（24-25高一上·浙江金华·阶段练习）已知：关于x的方程. (1)求证：m取任何实数量，方程总有实数根； (2)若二次函数的图象关于y轴对称； ①求二次函数的解析式； ②已知一次函数，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立. 【答案】(1)证明见解析；(2)①；②证明见解析 【详解】（1）证明：关于x的方程其判别式为恒成立， 故m取任何实数量，方程总有实数根； （2）①二次函数的图象关于y轴对称， 则，解得， 故； ②证明：由于一次函数， 故， 故在实数范围内，对于x的同一个值，均成立. 17．（22-23高一上·江苏宿迁·开学考试）已知：关于x的方程. (1)求证：m取任何实数量，方程总有实数根； (2)若二次函数的图象关于y轴对称； ①求二次函数的解析式； ②已知一次函数，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立； (3)在（2）条件下，若二次函数的图象经过点，且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值均成立，求二次函数的解析式. 【答案】(1)证明见解析；(2)①；②证明见解析；(3) 【详解】（1）分两种情况： 当时，原方程可化为，即； 所以时，原方程有实数根； 当时，原方程为关于x的一元二次方程， 因为， 所以方程有两个实数根； 综上可知：m取任何实数时，方程总有实数根. （2）①因为关于x的二次函数的图象关于y轴对称； 所以，即； 所以抛物线的解析式为：. ②因为， 所以（当且仅当时，等号成立）. （3）由②知，当时，，即、的图象都经过； 因为对应x的同一个值，成立， 所以的图象必经过， 又因为经过， 所以； 设； 对于x的同一个值，这三个函数对应的函数值成立， 所以， 所以； 根据、的图象知：， 所以，即， 而，故 所以二次函数的解析式为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 充分条件与必要条件 目录： 一、学习目标 ………………………………………………………………………1 二、知识梳理 ………………………………………………………………………1 知识点1 充分条件与必要条件…………………………………………………………………1 知识点2 充要条件………………………………………………………………………………2 三、题型归纳…………………………………………………………………………2 题型一 充分条件与必要条件的判断 …………………………………………………………2 题型二 根据充分条件、必要条件求参数 ……………………………………………………3 题型三 充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的判断 …………………………………………………………………………………………………4 题型四 根据充分不必要条件求参数 …………………………………………………………4 题型五 根据必要不充分条件求参数 …………………………………………………………5 题型六 根据充要条件的求参数 ………………………………………………………………6 题型七 充要条件的证明 ………………………………………………………………………6 四、强化训练…………………………………………………………………………7 学习目标 1. 通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系. 2. 通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系. 3. 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系. 知识梳理 知识点1 充分条件与必要条件 “若p，则q”成立 “若p，则q”不成立 推出关系 pq 条件关系 p叫作q的充分条件 q叫作p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 知识点2 充要条件 ①如果且，则称是的充分不必要条件； ②如果且，则称是的必要不充分条件； ③如果且，则称是的 充分必要条件，简称充要条件，记作. ④如果且，那么称是的既不充分又不必要条件. 题型归纳 题型一 充分条件与必要条件的判断 1．（多选）（23-24高一上·甘肃白银·期中）下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件是（     ） A．对角线相等的菱形 B．邻边相等的矩形 C．对角线相等的平行四边形 D．有一个角是直角的菱形 2．（多选）（24-25高一上·山西大同·阶段练习）指出下列哪些命题中是的充分条件（   ） A．在中，， B．已知，，， C．已知，， D．已知，， 3．（23-24高一上·湖北·期中）下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为无理数，则为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 4．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）在下列若则的命题中，是的必要条件的命题是（    ） A．若四边形的一组邻边相等，则四边形是平行四边形 B．若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等 C．若，则 D．若是无理数，则也是无理数 5．（多选）（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）使成立的一个充分条件是（     ） A． B． C． D． 6．（多选）（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）下列条件中，是“”成立的必要条件的是（     ） A． B． C． D． 【方法总结】充分条件与必要条件的两种判断方法： ⑴定义法：第一步，确定谁是条件，谁是结论；第二步，尝试由条件推结论；第三步，若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，结论为条件的必要条件. ⑵命题判定法：如果命题：“若，则”是真命题，则是的充分条件，是的必要条件. 题型二 根据充分条件、必要条件求参数 1．（23-24高一上·重庆渝北·阶段练习）若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏·阶段练习）设p：，q：，若q是p的必要条件，则a的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 3．（多选）（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）已知命题，要使为的必要条件，则的取值可以为（    ） A． B．0 C．4 D．5 4．（21-22高一上·上海普陀·期中）已知,若是的充分条件,则实数的取值范围为 ． 5．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 . 【方法总结】根据充分条件与必要条件求参数的取值范围时，先将等价转化，再根据充分条件或必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式（组）进行求解. 题型三 充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的判断 1．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·山西太原·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一下·云南大理·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．（多选）（24-25高一上·海南儋州·期中）以下是的必要条件但不是充分条件的是（    ） A．：“是分数”，：“是有理数” B．：“”，：“” C．：“”，：“” D．：“”，：“” 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）“”是“”的 条件． 【方法总结】判断方法： ⑴定义法：①如果且，则称是的充分不必要条件； ②如果且，则称是的必要不充分条件； ③如果且，则称是的 充分必要条件，简称充要条件，记作. ④如果且，那么称是的既不充分又不必要条件. ⑵集合法：若，则是的充分不必要条件；若，则是的必要不充分条件；若，则与互为充要条件． 题型四 根据充分不必要条件求参数 1．（24-25高一上·江西赣州·期末）命题“”为真命题的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·安徽淮南·期中）命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高一上·江苏盐城·期末）集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知：，，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6.（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【方法总结】由条件关系求参数的值（范围）的步骤： ⑴根据条件关系建立构成的集合之间的关系； ⑵根据集合端点或数形结合列方程或不等式（组）求解. 题型五 根据必要不充分条件求参数 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·北京·阶段练习）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是 ． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 4．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合，或 (1)当时，求； (2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围. 【方法总结】由条件关系求参数的值（范围）的步骤： ⑴根据条件关系建立构成的集合之间的关系； ⑵根据集合端点或数形结合列方程或不等式（组）求解. 题型六 根据充要条件的求参数 1．（24-25高一上·全国·课后作业）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 2．（24-25高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，若是的充要条件，则实数 ． 【方法总结】由条件关系求参数的值（范围）的步骤： ⑴根据条件关系建立构成的集合之间的关系； ⑵根据集合端点或数形结合列方程或不等式（组）求解. 题型七 充要条件的证明 1．（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）设全集为，给出下列条件：①；②；③；④.其中是的充要条件的有 (填序号) 2．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，求证：的充要条件是. 强化训练 一、单选题 1．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）使不等式成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·四川凉山·阶段练习）若“”是“或”的充分条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题为真命题的是（    ） A．“且”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“一元二次方程有实数根”的充要条件 D．“一个三角形的三边长满足两边的平方和等于第三边的平方”的充要条件是“此三角形为直角三角形” 5．（24-25高一上·全国·课后作业）下列选项正确的是（    ） A．“平行四边形的对角线互相垂直”是“这个平行四边形是菱形”的充分条件 B．“两个三角形的周长相等”是“这两个三角形全等”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的必要条件 6．（24-25高三下·陕西商洛·阶段练习）“一元二次方程有实数根”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2025·广东揭阳·模拟预测）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 8．（25-26高一上·全国·课后作业）下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若mn为无理数，则m，n为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 9．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·江苏·期中）下列命题中为真命题的是（   ） A．“”是“”的既不充分又不必要条件 B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C．“关于的方程有实数根”的充要条件是“” D．设，，则“”是“”的必要不充分条件 三、填空题 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的有 ． （1）若，则；（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若，则；（4）若，则，． 12．（25-26高一上·全国·课后作业）已知． （1）若p是q的必要且不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是 ． 13．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 4、 解答题 14．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列所给的各组p，q中，q是否是p的必要条件？ (1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (2)p：，q：； (3)p：，q：. 15．（23-24高一·上海·课堂例题）下列各组中，是的什么条件？ (1)：四边形ABCD的四条边等长，：四边形ABCD是正方形； (2)：与全等，：与的周长相等； (3)：x是2的倍数，：x是6的倍数； (4)：集合，，，：集合； (5)：，：． 16．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$