第03讲 集合间的基本运算讲义（知识梳理+10大题型+强化训练）-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第03讲 集合间的基本运算 目录： 一、学习目标 ………………………………………………………………………1 二、知识梳理 ………………………………………………………………………1 知识点1 并集……………………………………………………………………………………1 知识点2 交集……………………………………………………………………………………2 知识点3 补集……………………………………………………………………………………2 三、题型归纳…………………………………………………………………………3 题型一 并集的运算 ……………………………………………………………………………3 题型二 已知集合的并集求参数 ………………………………………………………………4 题型三 交集的运算 ……………………………………………………………………………4 题型四 已知集合的交集求参数 ………………………………………………………………5 题型五 补集的运算 ……………………………………………………………………………6 题型六 根据集合的补集求参数 ………………………………………………………………6 题型七 交、并、补的综合运算 ………………………………………………………………7 题型八 根据集合交、并、补混合运算求参数 ………………………………………………8 题型九 Venn图求集合 ………………………………………………………………………8 题型十 容斥原理 ………………………………… …………………………………………10 四、强化训练 ………………………………………………………………………10 学习目标 1. 理解两个集合的的并集和交集的含义，能求两个集合的并集和交集. 2. 在具体情境中，了解全集的含义。 3. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集. 4. 能用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用. 知识梳理 知识点1 并集 1. 并集的概念： （1）文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为A与B的并集。 （2）符号语言：． （3）图形语言：如图所示. 图中阴影部分表示并集． 注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的． 2.并集的性质：①A∪BA；②A∪BB；③A∪A＝ ；④A∪＝ ；⑤A∪B= B∪A. 知识点2 交集 1. 交集的概念 （1）文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的 交集。 （2）符号语言：且. （3）图形语言：如图所示. 2. 交集的性质：①= ； ② A ；③ ；④如果，则A，反之也成立 3. 交并集与集合子集之间的转换 ；； ； 知识点3 补集 （1）全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示．全集包含所要研究的这些集合． （2）补集的概念： ① 文字语言：设U是全集，A是U的一个子集（即），则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集。 ② 符号语言：． ③ 图形语言：如图所示. （3）补集的性质： ①； ② ；③＝；④；⑤； ⑥；⑦． 题型归纳 题型一 并集的运算 1．（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建厦门·期末）已知集合，，则（   ）． A． B． C． D． 3．（24-25高一下·海南海口·期中）集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·广东揭阳·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知集合，，则集合（    ） A． B．或 C．或 D．或 6.（24-25高一上·河南商丘·期末）若集合，，则中元素的个数为（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 7．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知集合，那么满足条件的集合的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型二 已知集合的并集求参数 1．（24-25高一下·河南·阶段练习）已知集合，集合B满足，则a的所有可能取值的集合为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·江苏·开学考试）已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合或，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，且，则实数的取值范围是 ． 5．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知集合，，若，则的取值集合是 ． 题型三 交集的运算 1．（24-25高一上·福建三明·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·云南曲靖·期中）已知集合，，则的真子集个数是（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 3．（24-25高一下·贵州·阶段练习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃白银·三模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·上海金山·期末）集合，，若，则 . 题型四 已知集合的交集求参数 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，，若，则的最大值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．（多选）（24-25高一下·四川广元·阶段练习）设集合，则下列选项中，满足的实数a的取值范围可以是（ ） A． B． C． D． 4.（多选）（24-25高一下·河北保定·阶段练习）设，下列选项正确的是（   ） A．集合的子集个数为4 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型五 补集的运算 1．（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知全集，集合，则（   ） A． B．或 C． D．或 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·天津滨海新·期中）已知全集，集合，，则(    ) A． B． C． D． 题型六 根据集合的补集求参数 1．（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）设全集，若集合满足，则M的子集个数为（ ） A．3 B．1 C．4 D．2 2．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）设全集，集合，则的值是（    ） A．4 B．5 C．7 D．9 3．（2022·海南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．不存在 4．（25-26高一上·全国·课后作业）设全集，集合或，，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．10 5．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，若，则（    ） A．2 B． C． D．1 题型七 交、并、补的综合运算 1．（24-25高一下·广西来宾·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东广州·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北保定·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高一上·江苏扬州·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，，则 ，（ ． 7．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知全集，集合，，求，. 题型八 根据集合交、并、补混合运算求参数 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知或，，若，则m的取值范围是 . 4．（22-23高一上·广东江门·阶段练习）设全集，已知集合，，且，则实数的取值范围是 . 5．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，非空集合，设全集为实数集. (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围. 题型九 Venn图求集合 1．（24-25高一上·重庆·期末）如图，为全集，为的子集，则阴影部分所表示的集合可以为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）设全集为，则图中的阴影部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·四川眉山·期中）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） 5．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）已知U为全集，集合M，N是U的子集，若，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 题型十 容斥原理 1．（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为(    ). A．10 B．9 C．7 D．4 2．（24-25高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 3．（24-25高一上·江苏·阶段练习）为提升学生学习双语的热情“G11•四市十一校”教学联盟计划在2025年4月举行“语文情境默写”､“英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了几名均不擅长的同学？（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 4．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知南雅中学高一班有55名学生，在秋季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为 5．（24-25高一上·天津滨海新·期末）1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 强化训练 一、单选题 1．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·辽宁鞍山·阶段练习）已知，，则的子集个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2025·吉林·模拟预测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，则满足的集合B的个数是（   ） A．7 B．8 C．15 D．16 5．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 6．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）已知集合，若，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·全国·课后作业）若全集，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、单选题 9．（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）设，，若，则实数a的值可以是（    ） A．0 B． C． D．3 11.（24-25高一上·安徽·阶段练习）如图，U是全集，M，N是U的两个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高一上·全国·课后作业）若全集，集合或，则 . 13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． （1）若，则 ； （2）若，则实数的取值范围是 ． 14．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 四、解答题 15．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知集合，集合，集合．求： (1)求，； (2)求，． 16．（23-24高一上·四川乐山·期中）记全集，已知集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 17．（24-25高一上·云南昭通·期中）设集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 18．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设集合． (1)若，求实数的值； (2)若且，求实数的值． 19．（24-25高一上·河北邯郸·期末）已知集合， (1)当时，求； (2)若，求实数t的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 一元二次方程根与系数的关系 目录： 1、 考点梳理 ……………………………………………………………………1 考点1 一元二次方程的根的判别式 …………………………………………………1 考点2 一元二次方程根与系数的关系 ………………………………………………1 2、 题型归纳 ………………………………………………………………1 题型一 一元二次方程的判别式求参数问题 …………………………………………2 题型二 一元二次方程的根与系数的关系 ………………………………………2 题型三 根与系数的关系与判别式的综合应用 ……………………………………3 3、 专题强化训练 ………………………………………………………4 考点梳理 考点一、一元二次方程的根的判断式 一元二次方程，用配方法将其变形为： (1) 当时，方程有两个不相等的实数根： ； (2) 当时，方程有两个相等的实数根：； (3) 当时，方程没有实数根． 由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式：. 考点二、一元二次方程的根与系数的关系 定理：一元二次方程的两个根，则，. 说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是． 题型归纳 题型一 一元二次方程的判别式求参数问题 1．（2025高一·全国·专题练习）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 2．（24-25高一上·山西晋中·开学考试）关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 3．（2025高一·全国·专题练习）如果关于的方程没有实数根，那么，关于的方程的实数根的个数为（   ） A．2 B．1 C．0 D．1或2 4．（24-25高一上·辽宁·期中）关于x的方程有唯一解，则m的取值集合为（    ） A． B． C． D． 题型二 一元二次方程的根与系数的关系 1．（24-25高一上·浙江嘉兴·期中）已知1，是方程的两个根，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 2．（24-25高一下·辽宁·开学考试）若关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东潍坊·阶段练习）已知是方程的两根，求的值（  ） A． B． C．0 D． 4．（多选）（24-25高一上·四川内江·开学考试）已知，关于的方程有两个不相等的正实数根，则可取的值为（    ） A．2 B． C． D．4 5．（24-25高一上·上海·期中）已知方程的两实根为，则的值为 ． 6．（24-25高一上·北京西城·期末）设方程的两根为和，则 ． 7．（24-25高一上·北京·期中）设，是方程的两根，不解方程，求下列各式的值： （1） ； （2） ． 题型三 根和系数的关系与判别式的综合应用 1．（多选）（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知关于的一元二次方程，下列结论中正确的结论是（    ） A．方程总有两个不等的实数根 B．若两个根为，且，则 C．若两个根为，则 D．若（为常数），则代数式的值为一个完全平方数 2．（2025高一上·河北保定·专题练习）已知关于的一元二次方程. (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值. 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）法国数学家佛郎索瓦·韦达1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系.发现一元二次方程，根与系数有如下的关系：，，此即为韦达定理.韦达定理的逆定理仍成立：如果两个数满足，，则这两个数是方程，的两个根.例如：，，则m，n是方程的两个根.请根据上述材料解决以下问题 (1)已知m，n是两个不相等的实数，满足，，求的值. (2)已知实数x，y满足，，求的值. 专题强化训练 1．（2025高一上·河北保定·专题练习）方程有两个相等的实数根，且满足，则m的值是（    ） A．或3 B．3 C． D．或2 2．（多选）（22-23高一上·湖南永州·开学考试）关于的一元二次方程无实数解，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，是关于x的一元二次方程的两根，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·河北石家庄·开学考试）如果是正实数，方程和方程都有实数解，那么的最小值是（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 5．（24-25高一上·江西·开学考试）若一元二次方程的两根分别为，则 ． 6．（24-25高一上·四川成都·开学考试）已知是一元二次方程的两实根，则代数式 ． 7．（24-25高一上·四川成都·开学考试）已知：是一元二次方程的两实数根. (1)求的值；(2)求的值． 8．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知关于的方程（其中均为实数）有两个不等实根． (1)若，求的取值范围； (2)若为两个整数根，为整数，且，求； 9．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）材料：法国数学家弗朗索瓦韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：，； 材料：如果实数满足，，且，则可利用根的定理构造一元二次方程，然后将看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)①已知一元二次方程的两根分别为，则__________，__________． ②已知实数满足：，，则__________ (2)已知实数满足：，，且，求的取值范围； (3)设实数分别满足，，且，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 一元二次方程根与系数的关系 目录： 1、 考点梳理 ……………………………………………………………………1 考点1 一元二次方程的根的判别式 …………………………………………………1 考点2 一元二次方程根与系数的关系 ………………………………………………1 2、 题型归纳 ………………………………………………………………1 题型一 一元二次方程的判别式求参数问题 …………………………………………2 题型二 一元二次方程的根与系数的关系 ………………………………………3 题型三 根与系数的关系与判别式的综合应用 ……………………………………5 3、 专题强化训练 ………………………………………………………7 考点梳理 考点一、一元二次方程的根的判断式 一元二次方程，用配方法将其变形为： (1) 当时，方程有两个不相等的实数根： ； (2) 当时，方程有两个相等的实数根：； (3) 当时，方程没有实数根． 由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式：. 考点二、一元二次方程的根与系数的关系 定理：一元二次方程的两个根，则，. 说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是． 题型归纳 题型一 一元二次方程的判别式求参数问题 1．（2025高一·全国·专题练习）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【详解】由题意可得：，解得， 故选：B 2．（24-25高一上·山西晋中·开学考试）关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【详解】当，则，显然有实根，符合； 当，则只需，可得且， 综上，. 故选：B 3．（2025高一·全国·专题练习）如果关于的方程没有实数根，那么，关于的方程的实数根的个数为（   ） A．2 B．1 C．0 D．1或2 【答案】D 【详解】关于的方程没有实数根， 当时，方程为有解，不符合题意， 所以，整理得，解得， 则方程， 当时，，此时方程有一个实数根； 当且时， 故此时方程有两个不相等的实数根， 综上：方程的实数根的个数为1或2. 故选：D 4．（24-25高一上·辽宁·期中）关于x的方程有唯一解，则m的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由有唯一解可知有唯一解， 当时，方程为，有一解，满足题意； 当时，方程为，有一解，满足题意； 当时，由原方程可得有唯一解， 所以，解得，此时方程有一解，满足题意. 综上，m的取值集合为， 故选：D 题型二 一元二次方程的根与系数的关系 1．（24-25高一上·浙江嘉兴·期中）已知1，是方程的两个根，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由一元二次方程根与系数的关系可得，即可得. 故选：C 2．（24-25高一下·辽宁·开学考试）若关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，所以. 故选：B 3．（24-25高一上·山东潍坊·阶段练习）已知是方程的两根，求的值（  ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【详解】由是方程的两根，得， 所以. 故选：C 4．（多选）（24-25高一上·四川内江·开学考试）已知，关于的方程有两个不相等的正实数根，则可取的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】BC 【详解】当时，显然不合题意； 当时，关于的方程有两个不等的正实根， 则，即，解得， 所以， ，， 则. 故选：BC. 5．（24-25高一上·上海·期中）已知方程的两实根为，则的值为 ． 【答案】 【详解】方程的两实根为，则有，， 所以. 故答案为：. 6．（24-25高一上·北京西城·期末）设方程的两根为和，则 ． 【答案】5 【详解】方程的两根为和，则， 所以. 故答案为：5 7．（24-25高一上·北京·期中）设，是方程的两根，不解方程，求下列各式的值： （1） ； （2） ． 【答案】； ． 【详解】设，是方程的两根， 则，， （1）； （2）． 故答案为：；． 题型三 根和系数的关系与判别式的综合应用 1．（多选）（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知关于的一元二次方程，下列结论中正确的结论是（    ） A．方程总有两个不等的实数根 B．若两个根为，且，则 C．若两个根为，则 D．若（为常数），则代数式的值为一个完全平方数 【答案】AC 【详解】一元二次方程即， 对于A，一元二次方程的判别式， 所以方程总有两个不等的实数根，正确； 对于B，当时，方程为， 此时，与矛盾，错误； 对于C，若方程的两个根为， 则根据韦达定理知， ， ， 所以，正确； 对于D，若，则， 当为奇数时，不是整数，所以代数式的值不是一个完全平方数，错误. 故选：AC 2．（2025高一上·河北保定·专题练习）已知关于的一元二次方程. (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值. 【答案】(1)证明见解析；(2)或1 【详解】（1）， . ，， 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）方程的两个实数根为，. ，即，. 整理，得. 解得. 的值为或1. 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）法国数学家佛郎索瓦·韦达1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系.发现一元二次方程，根与系数有如下的关系：，，此即为韦达定理.韦达定理的逆定理仍成立：如果两个数满足，，则这两个数是方程，的两个根.例如：，，则m，n是方程的两个根.请根据上述材料解决以下问题 (1)已知m，n是两个不相等的实数，满足，，求的值. (2)已知实数x，y满足，，求的值. 【答案】(1)；(2)46或65. 【详解】（1）由，，得是方程的两个根， 则，所以. （2）由，，得，， 因此是方程的两个实根， 解方程，得，则或， 当时，是方程的根，，符合题意， 因此； 当时，是方程的根，，符合题意， 因此. 所以的值为46或65. 专题强化训练 1．（2025高一上·河北保定·专题练习）方程有两个相等的实数根，且满足，则m的值是（    ） A．或3 B．3 C． D．或2 【答案】C 【详解】方程有两个相等的实数根， 则， 解得或①， 由韦达定理，，， 又因，则得， 解得或②， 综合① ② ，可得m的值为. 故选：C. 2．（多选）（22-23高一上·湖南永州·开学考试）关于的一元二次方程无实数解，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】关于的一元二次方程无实数解， 则有，解得. AB选项中的取值符合. 故选：AB. 3．（多选）（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，是关于x的一元二次方程的两根，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由是关于x的一元二次方程的两根，得，A错误，B正确； ，C正确； ，即有， 解得或，D错误. 故选：BC 4．（24-25高一上·河北石家庄·开学考试）如果是正实数，方程和方程都有实数解，那么的最小值是（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】方程和方程都有实数解， ，， 是正实数，，即， ，的最小值为4，又， ，的最小值为2， 所以的最小值为6. 故选：. 5．（24-25高一上·江西·开学考试）若一元二次方程的两根分别为，则 ． 【答案】4 【详解】由一元二次方程的两根分别为，可得， 由韦达定理知：，， . 故答案为：4. 6．（24-25高一上·四川成都·开学考试）已知是一元二次方程的两实根，则代数式 ． 【答案】1 【详解】由是一元二次方程的两实根，得， 所以. 故答案为：1 7．（24-25高一上·四川成都·开学考试）已知：是一元二次方程的两实数根. (1)求的值；(2)求的值． 【答案】(1)27；(2) （2）根据题意，可得，计算即可得到答案. 【详解】（1）∵是一元二次方程的两实数根， ∴，， ∴； （2）因为，， 根据题意，， ∴. 8．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知关于的方程（其中均为实数）有两个不等实根． (1)若，求的取值范围； (2)若为两个整数根，为整数，且，求； 【答案】(1)且；(2)或. （2）由题可得，由韦达定理结合为整数可得的值，即可得答案. 【详解】（1）当时，， 因方程有两个不等实根，则且； （2）当时，，因为两个整数根， 则为整数，又为整数，则. 当时，方程为，则； 当时，方程为，则. 综上：或. 9．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）材料：法国数学家弗朗索瓦韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：，； 材料：如果实数满足，，且，则可利用根的定理构造一元二次方程，然后将看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)①已知一元二次方程的两根分别为，则__________，__________． ②已知实数满足：，，则__________ (2)已知实数满足：，，且，求的取值范围； (3)设实数分别满足，，且，求的值． 【答案】(1)①，；②；(2)；(3) 【详解】（1）①一元二次方程的两根分别为， ，； ②实数满足：，， 是方程的解，，， . （2）实数满足：，， 是方程的解.    ，. . ，，， ，， . （3）因为，. ，. 是方程的两解. ，，，， 1. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 集合间的基本运算 目录： 一、学习目标 ………………………………………………………………………1 二、知识梳理 ………………………………………………………………………1 知识点1 并集……………………………………………………………………………………1 知识点2 交集……………………………………………………………………………………2 知识点3 补集……………………………………………………………………………………2 三、题型归纳…………………………………………………………………………3 题型一 并集的运算 ……………………………………………………………………………3 题型二 已知集合的并集求参数 ………………………………………………………………5 题型三 交集的运算 ……………………………………………………………………………6 题型四 已知集合的交集求参数 ………………………………………………………………8 题型五 补集的运算 ……………………………………………………………………………9 题型六 根据集合的补集求参数………………………………………………………………10 题型七 交、并、补的综合运算………………………………………………………………12 题型八 根据集合交、并、补混合运算求参数………………………………………………14 题型九 Venn图求集合 ………………………………………………………………………16 题型十 容斥原理 ………………………………… …………………………………………17 四、强化训练 ………………………………………………………………………20 学习目标 1. 理解两个集合的的并集和交集的含义，能求两个集合的并集和交集. 2. 在具体情境中，了解全集的含义。 3. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集. 4. 能用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用. 知识梳理 知识点1 并集 1. 并集的概念： （1）文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为A与B的并集。 （2）符号语言：． （3）图形语言：如图所示. 图中阴影部分表示并集． 注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的． 2.并集的性质：①A∪BA；②A∪BB；③A∪A＝ ；④A∪＝ ；⑤A∪B= B∪A. 知识点2 交集 1. 交集的概念 （1）文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的 交集。 （2）符号语言：且. （3）图形语言：如图所示. 2. 交集的性质：①= ； ② A ；③ ；④如果，则A，反之也成立 3. 交并集与集合子集之间的转换 ；； ； 知识点3 补集 （1）全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示．全集包含所要研究的这些集合． （2）补集的概念： ① 文字语言：设U是全集，A是U的一个子集（即），则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集。 ② 符号语言：． ③ 图形语言：如图所示. （3）补集的性质： ①； ② ；③＝；④；⑤； ⑥；⑦． 题型归纳 题型一 并集的运算 1．（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由. 故选：A. 2．（24-25高一上·福建厦门·期末）已知集合，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，，所以. 故选：C 3．（24-25高一下·海南海口·期中）集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，所以. 故选：D. 4．（24-25高一下·广东揭阳·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设. 故选：C. 5．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知集合，，则集合（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】由，或， 则或. 故选：D. 6.（24-25高一上·河南商丘·期末）若集合，，则中元素的个数为（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】因为集合，， 所以， 所以中元素的个数为 故选：C. 7．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知集合，那么满足条件的集合的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由题意，集合含有元素，且集合的个数等于集合的子集的个数， 则集合的个数为. 故选：C. 题型二 已知集合的并集求参数 1．（24-25高一下·河南·阶段练习）已知集合，集合B满足，则a的所有可能取值的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知，所以，因此或π， 所以a的所有可能取值的集合为． 故选：D． 2．（24-25高三下·江苏·开学考试）已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，， ∴结合数轴可知：. 故选：A. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合或，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意有即． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】根据，结合数轴（如图）可知，在2的左侧或与2重合，故， 即实数的取值范围是． 故答案为： 5．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知集合，，若，则的取值集合是 ． 【答案】 【详解】因为，则， 若，可得或， 当，则集合，，符合题意； 当，则集合，，符合题意； 若，可得，不满足互异性，不符合题意； 综上所述：的取值集合是. 故答案为：. 题型三 交集的运算 1．（24-25高一上·福建三明·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为，， 所以， 故选：B 2．（24-25高一下·云南曲靖·期中）已知集合，，则的真子集个数是（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【详解】因为集合，，则，则集合的元素个数为3， 所以的真子集个数是， 故选：C. 3．（24-25高一下·贵州·阶段练习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以. 故选：C. 4．（2025·甘肃白银·三模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为集合，集合， 所以，则，故A，B，D项错误，C项正确. 故选：C. 5．（24-25高一上·上海金山·期末）集合，，若，则 . 【答案】 【详解】由知，. 故答案为： 题型四 已知集合的交集求参数 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，集合，且，所以， 故选：B 24．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，，若，则的最大值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】根据，，若， 可得，故的最大值为2， 故选：D. 3．（24-25高一下·四川广元·阶段练习）设集合，则下列选项中，满足的实数a的取值范围可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】因集合，， 满足，则得或， 解得或． 结合选项，实数a的取值范围可以是或． 故选：CD． 4.（多选）（24-25高一下·河北保定·阶段练习）设，下列选项正确的是（   ） A．集合的子集个数为4 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【详解】因为， 所以集合的子集个数为，故A正确； 当时，，即，故B正确； 当时，，即，故C错误； 对D，当时，，满足， 当时，，当时，，即， 当时，，当时，，即， 综上，，故D错误. 故选：AB 题型五 补集的运算 1．（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为集合，集合， 所以． 故选：C 2．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知全集，集合，则（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】因为，所以或， 故选：B. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由补集定义可知. 4．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，，故. 故选：B. 5．（24-25高三上·天津滨海新·期中）已知全集，集合，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，，所以. 故选：A. 题型六 根据集合的补集求参数 1．（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）设全集，若集合满足，则M的子集个数为（ ） A．3 B．1 C．4 D．2 【答案】C 【详解】因为全集，，所以. 则M的子集有共4个. 故选：C. 2．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）设全集，集合，则的值是（    ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【详解】由以及可得； 即，所以，解得. 故选：A 3．（2022·海南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．不存在 【答案】B 【详解】由可得，若，则,故， 故选：B 4．（25-26高一上·全国·课后作业）设全集，集合或，，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．10 【答案】B 【详解】由补集知且，对比得， 则. 故选：B 5．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，若，则（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【详解】由可得，，故， ，解得， 故选：C. 题型七 交、并、补的综合运算 1．（24-25高一下·广西来宾·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为全集，所以， 又，则， 故选：C． 2．（24-25高一下·广东广州·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得或，则. 故选：B． 3．（2025·河北保定·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为集合， 所以或，又， 所以. 故选：C. 4．（21-22高一上·江苏扬州·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，， 则，则. 故选：A. 5．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以． 因为集合，集合，所以． 所以，所以． 故选：C． 6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，，则 ，（ ． 【答案】或；或． 【详解】或  利用数轴，分别表示出全集及集合，，如图： 则或．又，所以或，或． 7．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知全集，集合，，求，. 【答案】，或 【详解】因为集，集合，， 所以 或 或 题型八 根据集合交、并、补混合运算求参数 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，所以， 由于，所以. 故选：A. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得或．又，所以，故． 3．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知或，，若，则m的取值范围是 . 【答案】 【详解】由或，可得， 因为，， 所以且， 解得， 故答案为： 4．（22-23高一上·广东江门·阶段练习）设全集，已知集合，，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为全集，集合，则， 因为集合，，所以，. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 5．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，非空集合，设全集为实数集. (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或；(2) 【详解】（1）时，， 故， 或，或， 故或； （2），则，解得， 或，， 要想，需满足，解得， 综上，的取值范围是. 题型九 Venn图求集合 1．（24-25高一上·重庆·期末）如图，为全集，为的子集，则阴影部分所表示的集合可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由韦恩图知，阴影部分不在集合中，在集合中，其集合表示为. 故选：C 2．（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）设全集为，则图中的阴影部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，阴影部分不在集合中，也不在集合中，因此不在集合中， 则阴影部分表示为，A正确，BCD错误. 故选：A 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可知，阴影部分为， 故选：A 4．（24-25高一上·四川眉山·期中）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得，阴影部分的区域内的元素且， 所以阴影部分可表示为. 故选：D. 5．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）已知U为全集，集合M，N是U的子集，若，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】根据题意画出图，如图所示，由图可知． 题型十 容斥原理 1．（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为(    ). A．10 B．9 C．7 D．4 【答案】A 【详解】有15人参加篮球社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋 社团的有3人，没有人同时参加三个社团，所以只参加篮球社团的9人； 设同时参加AI社团和围棋社团有人，因为有8人参加AI社团， 同时参加篮球社团和AI社团的有3人，所以只参加AI社团的有人； 又因为有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人， 所以只参加围棋社团的有人.综上所述，共有30人参加了学校社团， 所以，解得， 故只参加围棋社团的人数为人. 故选：A. 2．（24-25高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 【答案】A 【详解】设集合“高三1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为； 集合“高三1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为； 则， 则. 故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人. 故选：A. 3．（24-25高一上·江苏·阶段练习）为提升学生学习双语的热情“G11•四市十一校”教学联盟计划在2025年4月举行“语文情境默写”､“英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了几名均不擅长的同学？（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【详解】设擅长语文的同学构成集合，擅长英语的同学构成集合，20人代表队构成全集， 则，，，， ， ， 所以语文和英语均不擅长的同学人数为人. 故选：C. 4．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知南雅中学高一班有55名学生，在秋季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为 【答案】25 【详解】根据题意，画出Venn图如下： 所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为. 故答案为：25. 5．（24-25高一上·天津滨海新·期末）1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 【答案】 9 ；3 【详解】因为参加趣味益智类比赛的总人数为15， 且：同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人； 同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人． 又因为没有人同时参加三项比赛， 所以只参加趣味益智类一项比赛的人数为：人． 设同时参加田径和球类比赛的人数为，由题意得： ， 解得：， 故同时参加田径和球类比赛的人数为， 故答案为：9；3． 强化训练 一、单选题 1．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，，所以. 故选：B. 2．（24-25高一上·辽宁鞍山·阶段练习）已知，，则的子集个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】依题意，，所以的子集有个. 故选：C 3．（2025·吉林·模拟预测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得：， ，， 故选：A． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，则满足的集合B的个数是（   ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】B 【详解】依题意，，所以，且， 则满足条件的集合B的个数就是集合的子集个数， 所以符合条件的集合B的个数是． 故选：B. 5．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图知所求阴影部分的集合为， ，，又， ． 故选：D． 6．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）已知集合，若，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，得到，解得，故B正确. 故选：B 7．（25-26高一上·全国·课后作业）若全集，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为或，所以A，B错误，D正确； 又，故C错误. 故选：D. 8．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 二、单选题 9．（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】由题意得，. ，选项A错误. ，选项B错误. 由集合与元素的关系得，，，选项C，D正确. 故选：CD. 10．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）设，，若，则实数a的值可以是（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】ABC 【详解】∵， 又∵，∴ 所以当时，此时；当时，此时； 当时，此时；时，此时不存在； 综上可得：实数a的值可以是， 故选：ABC. 11.（24-25高一上·安徽·阶段练习）如图，U是全集，M，N是U的两个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】根据题意可知，阴影部分表示的元素不属于，也不属于， 可表示为； 也可指表示的元素属于，也属于,因此阴影部分可表示为. 故选：AC 三、填空题 12．（25-26高一上·全国·课后作业）若全集，集合或，则 . 【答案】 【详解】由或及补集定义即得. 故答案为： 13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． （1）若，则 ； （2）若，则实数的取值范围是 ． 【答案】或 ； 【详解】（1）当时，，则或． （2）因为，又，所以解得．故实数的取值范围是． 14．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】，且B为A的子集．当时，，解得．当时，若，即，此时的解为，即，符合题意．若，即，当，即时，此时，即，解得，即，不符合题意；当，即时，由此时集合，得，解得，与矛盾，不符合题意．综上所述，实数a的取值范围为． 四、解答题 15．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知集合，集合，集合．求： (1)求，； (2)求，． 【答案】(1)，； (2)，. 【详解】（1）因为，， 所以，， （2）因为，， 所以，又， 所以， 由（1），， 所以. 16．（23-24高一上·四川乐山·期中）记全集，已知集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或；(2)． 【详解】（1）由，得， 方法1：可得或， 由题，有或， 所以． 方法2：则， 所以，． （2）依题意，， 因为，所以 解得，故的取值范围为． 17．（24-25高一上·云南昭通·期中）设集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或；(2) 【详解】（1）当时，， 因此， 所以或. （2）由，得， 当时，则，解得，满足，因此； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 18．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设集合． (1)若，求实数的值； (2)若且，求实数的值． 【答案】(1)；(2) （2）根据集合的关系得到，，，然后列方程求解即可. 【详解】（1）∵，∴， ∴2，3是方程的两个根， ∴，解得. （2）∵且， ∴，，， ∴ 解得. 19．（24-25高一上·河北邯郸·期末）已知集合， (1)当时，求； (2)若，求实数t的取值范围. 【答案】(1)；(2)或. 【详解】（1）当时，，，则或， 故； （2）若， 当时，，即， 当时，，解得， 综上，t的范围为或 学科网（北京）股份有限公司 $$