第02讲 集合间的基本关系 讲义（知识梳理+7大题型+强化训练）-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第01讲 数与式 目录： 一、考点梳理 ……………………………………………………………………1 考点1 绝对值 ……………………………………………………………………………1 考点2 整式及乘法公式 …………………………………………………………………1 考点3 分式与二次根式 …………………………………………………………………2 考点4 指数式 ………………………………………………………………………2 二、题型归纳 ………………………………………………………………2 题型一 绝对值的应用 ……… …………………………………………………………2 题型二 式的恒等变形 ……………………………………………………………………3 题型三 分式与根式的运算及意义 ………………………………………………………6 题型四 指数幂的运算 …………………………………………………………………8 三、专题强化训练 …………………………………………………………10 考点梳理 考点1 绝对值 1、 概念：. 2、 性质：①，，；②或； ③，，. 3、 绝对值不等式：的解为；的解为或. 考点2 整式及乘法公式 ① 平方差公式： ② 完全平方公式： ③ 完全立方公式： ④ （完全平方公式） ⑤ (立方和公式) ⑥ (立方差公式) 考点3 分式与二次根式 1、分式 当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． 2、根式 式子叫做二次根式，其性质如下：(1) (2) (3) (4) 如果有，那么叫做的次方根，其中为大于的整数． 当n为奇数时，，当n为偶数时，. 考点4 指数式 当时，. 当时，⑴零指数， ⑵负指数. 幂运算法则： .⑷ 题型归纳 题型一 绝对值的应用 1．（24-25高一上·云南保山·阶段练习）已知，，，则的值等于（    ） A．7或 B．7或3 C．3或 D．或 【答案】C 【详解】由，则同号，即当时，，则； 当时，，则． 故选：C． 2．（2025高一·全国·专题练习）化简得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以. 故选：B 3．（24-25高一上·四川成都·开学考试）当时， . 【答案】4 【详解】 故原式 故答案为：4. 4．（22-23高一上·湖南衡阳·开学考试）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则＝ . 【答案】 【详解】根据数轴上点的位置， 可得， 故答案为： 5．（23-24高一上·上海普陀·期中）不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】， 解得， 故答案为： 题型二 式的恒等变形 1．（2025高一·全国·专题练习）式子可恒等变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B. 2．（2025高一·全国·专题练习）计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原式 . 故选：A. 3．（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以， 所以. 故选：C. 4．（24-25高一上·河北石家庄·开学考试）已知，那么（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】三式相加得， 三式相乘得， 所以，故. 故选：A. 5．（24-25高一上·广东深圳·开学考试）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】 ． 当时，原式． 6．（23-24高一上·北京·期末）已知，则 【答案】3 【详解】由，得，， 所以. 故答案为：3 7．（24-25高一上·安徽芜湖·自主招生）已知，则代数式的值为 ． 【答案】/ 【详解】由条件知，于是， 两边同时平方并整理得，所以， 因此， 所以原式， 故答案为：． 8．（24-25高一上·陕西·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【详解】 ， 当时，原式. 题型三 分式与根式的运算及意义 1．（24-25高一上·四川·开学考试）若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，解得， 故选：C 2．（2025高一·全国·专题练习）式子可恒等变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由完全平方公式知. 故选：C 3．（22-23高一上·江苏宿迁·开学考试）已知，则的平方根是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】由题意得，，，， 解得，，，∴，∵， ∴的平方根是． 故选：B． 4．（2025高一·全国·专题练习）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得. 故选：A. 5．（24-25高一上·河北唐山·阶段练习）下列根式计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，A正确； 由，B正确； 由，C正确； 由，D错误． 故选：D 3．（2024高一上·浙江杭州·专题练习）已知a是实数，且满足，则代数式的值是 . 【答案】1 【详解】由 有意义，可得，即，故， 依题意，须使，即， 此时，. 故答案为：1. 6．（24-25高一上·安徽芜湖·自主招生）设[a]表示不超过a的最大整数，如，，则（   ）． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】因，， 所以，于是， 又，，， 所以，于是， 因此原式. 故选：A． 7.（2025高一·全国·专题练习）化简下列繁分式： （1） ；（2） ． 【答案】 ； 【详解】（1）由题意可得：； （2）由题意可得：. 故答案为：；. 8．（24-25高一上·四川成都·开学考试）（1）； （2）； 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）原式 （2）原式= 题型四 指数幂的运算 1．（24-25高一上·四川自贡·开学考试）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高一上·广东深圳·开学考试）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：A． 3．（多选）（22-23高一上·江苏宿迁·开学考试）下列运算中，正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，原式，故D正确． 故选：BD． 4．（24-25高一上·四川成都·开学考试）约分：＝ . 【答案】 【详解】由题意知原式， 故答案为：. 专题强化训练 一、单选题 1．（24-25高一上·四川成都·开学考试）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据二次根式的意义，被开方数，解得． 故选：D． 2．（24-25高一上·山东临沂·开学考试）已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】， ∵， ∴，∴， ∴. 故选：B． 3．（24-25高一上·四川绵阳·开学考试）当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，， . 故选：B. 4．（24-25高一上·内蒙古兴安盟·开学考试）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：，故本选项错误； 对于B：，故本选项错误； 对于C：，故本选项错误； 对于D：，故本选项正确. 故选：D. 二、多选题 5．（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） A． B．16的4次方根是 C． D． 【答案】BD 【详解】对A：，故A错误； 对B：16的4次方根是，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：BD. 6．（24-25高一上·云南昆明·开学考试）由，可得：即①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．下列应用这个立方和公式进行的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】根据公式， A. ，故A正确； B.，故B正确； C.应改为，故C错误； D. ，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 7．（24-25高一上·江西赣州·开学考试）若，则的值是 ． 【答案】 【详解】因为， 所以， 故答案为： 8．（2025高一·全国·专题练习）化简： ． 【答案】 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 9．（2025高一·全国·专题练习）已知，则的值为 . 【答案】4 【详解】易知， 所以. 故答案为：4 10．（24-25高一上·四川成都·开学考试）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则 ． 【答案】 【详解】根据数轴，可得， 所以 原式. 故答案为：. 11．（24-25高一上·四川资阳·开学考试）已知，则的值为 . 【答案】 【详解】由，得，，整理得， 所以. 故答案为： 12．（2025高一·全国·专题练习）不等式的解集是 . 【答案】 【详解】根据题意可知不等式等价于或， 解得或. 故答案为： 13．（24-25高一上·上海·期中）若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是 ． 【答案】 【详解】由去分母得，解得， 关于x的分式方程有正数解，则，解得， 又是增根，当时，，即，所以， 由二次根式有意义，则，解得， 因此且，因为为整数，所以可以为：， 所以符合条件的整数的和是. 故答案为： 14．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则的值为 . 【答案】 【详解】已知，则， 故答案为： 15．（22-23高一上·江苏宿迁·开学考试）已知，，则的值是 ． 【答案】19 【详解】∵，， ∴. 故答案为：19． 16．（24-25高一上·四川成都·开学考试）已知，，求代数式的值 . 【答案】18 【详解】由，，得. 故答案为：18 四、解答题 17．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）计算： (1)； (2)计算：． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）原式 . （2）原式. 18．（2025高一上·河北保定·专题练习）先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数. 【答案】， 【详解】原式 ()， ，解得， 是使不等式成立的正整数，且，即且， ， 原式. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 数与式 目录： 一、考点梳理 ……………………………………………………………………1 考点1 绝对值 …………………………………………………………………………1 考点2 整式及乘法公式 ………………………………………………………………1 考点3 分式与二次根式 ………………………………………………………………2 考点4 指数式 …………………………………………………………………………2 二、题型归纳 ………………………………………………………………2 题型一 绝对值的应用 ……………………………………………………………………2 题型二 式的恒等变形 ……………………………………………………………………3 题型三 分式与根式的运算及意义 ……………………………………………………3 题型四 指数幂的运算 …………………………………………………………………4 三、专题强化训练 ……………………………………………………………5 考点梳理 考点1 绝对值 1、 概念：. 2、 性质：①，，；②或； ③，，. 3、 绝对值不等式：的解为；的解为或. 考点2 整式及乘法公式 ① 平方差公式： ② 完全平方公式： ③ 完全立方公式： ④ （完全平方公式） ⑤ (立方和公式) ⑥ (立方差公式) 考点3 分式与二次根式 1、分式 当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． 2、根式 式子叫做二次根式，其性质如下：(1) (2) (3) (4) 如果有，那么叫做的次方根，其中为大于的整数． 当n为奇数时，，当n为偶数时，. 考点4 指数式 当时，. 当时，⑴零指数， ⑵负指数. 幂运算法则： .⑷ 题型归纳 题型一 绝对值的应用 1．（24-25高一上·云南保山·阶段练习）已知，，，则的值等于（    ） A．7或 B．7或3 C．3或 D．或 2．（2025高一·全国·专题练习）化简得（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·四川成都·开学考试）当时， . 4．（22-23高一上·湖南衡阳·开学考试）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则＝ . 5．（23-24高一上·上海普陀·期中）不等式的解集为 ． 题型二 式的恒等变形 1．（2025高一·全国·专题练习）式子可恒等变形为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·专题练习）计算的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·河北石家庄·开学考试）已知，那么（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25高一上·广东深圳·开学考试）先化简，再求值：，其中． 6．（23-24高一上·北京·期末）已知，则 7．（24-25高一上·安徽芜湖·自主招生）已知，则代数式的值为 ． 8．（24-25高一上·陕西·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 题型三 分式与根式的运算及意义 1．（24-25高一上·四川·开学考试）若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·专题练习）式子可恒等变形为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·江苏宿迁·开学考试）已知，则的平方根是（    ） A．2 B． C．3 D． 4．（2025高一·全国·专题练习）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·河北唐山·阶段练习）下列根式计算错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024高一上·浙江杭州·专题练习）已知a是实数，且满足，则代数式的值是 . 6．（24-25高一上·安徽芜湖·自主招生）设[a]表示不超过a的最大整数，如，，则（   ）． A．5 B．6 C．7 D．8 7.（2025高一·全国·专题练习）化简下列繁分式： （1） ；（2） ． 8．（24-25高一上·四川成都·开学考试）（1）； （2）； 题型四 指数幂的运算 1．（24-25高一上·四川自贡·开学考试）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东深圳·开学考试）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（22-23高一上·江苏宿迁·开学考试）下列运算中，正确的有（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·四川成都·开学考试）约分：＝ . 专题强化训练 一、单选题 1．（24-25高一上·四川成都·开学考试）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东临沂·开学考试）已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 3．（24-25高一上·四川绵阳·开学考试）当时，（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·内蒙古兴安盟·开学考试）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） A． B．16的4次方根是 C． D． 6．（24-25高一上·云南昆明·开学考试）由，可得：即①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．下列应用这个立方和公式进行的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（24-25高一上·江西赣州·开学考试）若，则的值是 ． 8．（2025高一·全国·专题练习）化简： ． 9．（2025高一·全国·专题练习）已知，则的值为 . 10．（24-25高一上·四川成都·开学考试）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则 ． 11．（2025高一·全国·专题练习）不等式的解集是 . 12．（24-25高一上·四川成都·开学考试）若最简二次根式与可以合并，则 ． 13．（24-25高一上·上海·期中）若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是 ． 14．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则的值为 . 15．（22-23高一上·江苏宿迁·开学考试）已知，，则的值是 ． 16．（24-25高一上·四川成都·开学考试）已知，，求代数式的值 . 四、解答题 17．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）计算： (1)； (2)计算：． 18．（2025高一上·河北保定·专题练习）先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 集合间的基本关系 目录： 一、学习目标 ………………………………………………………………………1 二、知识梳理 ………………………………………………………………………1 知识点1 子集、真子集、集合相等的概念 …………………………………………………1 知识点2 空集的概念 …………………………………………………………………………2 三、题型归纳…………………………………………………………………………2 题型一 判断集合的子集（真子集）的个数…………………………………………………2 题型二 集合间关系的判断求集合的子集（真子集）………………………………………3 题型三 集合间关系的判断……………………………………………………………………3 题型四 根据集合的包含关系求参数…………………………………………………………4 题型五 判断集合相等关系……………………………………………………………………5 题型六 由集合相等求参数 ……………………………………………………………………5 题型七 空集 ……………………………… …………………………………………………6 四、强化训练 ………………………………………………………………………7 学习目标 1. 理解集合之间的包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。 2. 在具体情境中，了解空集的含义。 3. 能在用Venn图表达集合间的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用。 知识梳理 知识点1 子集、真子集、集合相等 1．子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 A⫋B (或B⫌A) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 2.Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 3．子集的性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C. 知识点2 空集的概念 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集． 【提醒】∅与的区别：⑴∅是不含任何元素的集合；⑵是含有一个元素的集合。 题型归纳 题型一 判断集合的子集（真子集）的个数 1．（24-25高一上·四川眉山·期末）若集合，A的子集个数是 个． 2．（24-25高一上·广东江门·期中）集合的非空子集的个数为 . 3．（24-25高一上·天津南开·阶段练习）已知集合，则的非空子集的个数是 . 4．（24-25高一上·福建漳州·期中）已知集合满足⫋，则集合的个数为 ． 5．（24-25高一上·广东佛山·期中）集合的子集个数为 ． 6．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知集合，，则集合的子集的个数为 ． 【常用结论】若集合中含有个元素，则有：①集合的子集个数有个；②集合的非空子集个数有个；③集合的真子集个数有个；④集合的非空真子集个数有个。 题型二 求集合的子集（真子集） 1．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知集合，集合可以为 （写出符合要求的所有） 2．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）已知集合，若集合满足⫋，则集合 . 3．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，若，若集合是的子集且有两个元素，则 ． 4．（24-25高一上·山西晋中·阶段练习）满足条件的集合的个数为 . 【方法总结】求给定集合的子集时有两个注意点：①按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；②在写子集时，要注意空集和集合本身也是给定集合的子集。 题型三 集合间关系的判断 1．（25-26高一上·全国·课后作业）指出下列各组集合之间的关系： （1），； （2），； （3），； （4），． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合，，则 ．（填“”“”“”或“”） 3．（2024高一上·全国·专题练习）是菱形 是平行四边形；是等边三角形} 是等腰三角形 4．（22-23高一·全国·课堂例题）已知集合，集合，则集合与的关系是 ． 【方法总结】集合间关系的判断的常用方法： ①列举观察法：当集合中的元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得到集合间的关系； ②集合元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合间的关系； ③数形结合法：利用数轴或Venn图，不等式的解集之间的关系适合用数轴法。 题型四 根据集合的包含关系求参数 1．（24-25高一上·上海·期末）已知集合，，且，则实数的值为 . 2．（24-25高一上·重庆·期末）已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 3．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）若集合，且，则满足要求的实数组成的集合为 . 4.（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围为 . 5．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知⫋，且若，则，则满足条件的集合的有（    ） A．4个 B．7个 C．8个 D．15个 6．（多选）（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，且⫋，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C． D．0 7．（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值集合为 ． 8．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）设集合，，若，则的值为 ． 9．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，且，则实数的取值范围是 ． 10．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ． 【方法总结】由集合间的关系求参数的步骤： ①分析集合间的关系，简化每个集合； ②借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数； ③验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心圈表示。 题型五 判断集合相等关系 1．（25-26高一上·全国·课后作业）集合与 （填“是”或“不是”）相等集合． 2．（2023高一·江苏·专题练习）集合与 相等集合．（填“是”或“不是”） 3．（23-24高一上·山西运城·阶段练习）下面关于集合的表示正确的序号是 . ①； ②； ③； ④. 4．（24-25高一上·贵州黔西·阶段练习）已知集合，则下列与相等的集合为 ．（填序号） ①    ；②； ③    ；④． 5．（23-24高一上·浙江温州·开学考试）已知，，则M N （ 填“”或“”或“”或“” ）. 【方法总结】判断集合相等的方法： ①直接比较元素是否完全相同；②证明互为子集（且） 题型六 由集合相等求参数 1．（24-25高一上·湖南·期中）设集合，，若，则 . 2．（24-25高一上·广西钦州·阶段练习）已知集合，若，则 . 3．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）已知集合，集合，若，则实数的值是 ． 4．（19-20高一上·河北唐山·期中）已知集合，且，则 . 【方法总结】由集合相等求参数的步骤： ①明确集合相等的定义：两个集合所有元素完全相同，即元素种类和数量完全一致； ②建立元素对应关系：将已知集合的元素与含参数的集合元素逐一匹配，列出所有可能的等式条件； ③解方程组并验证：解方程时需考虑所有匹配情况，避免遗漏可能性；确保解得的参数满足集合的互异性。 题型七 空集 1．（23-24高一上·甘肃白银·期中）下列表示正确的个数为（    ） ①；②；③；④中. A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高一上·北京·期中）下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为 . 3．（24-25高一上·上海·课前预习）方程的实数解集为 ． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则实数的取值范围是 ． 5．（24-25高一上·上海浦东新·期中）关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . 6．（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是 . 强化训练 一、单选题 1．（23-24高一上·甘肃白银·期中）已知集合，则集合真子集的个数（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 2．（25-26高一上·全国·课后作业）下列各项中两个集合不是同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则集合，且的子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．4 D．6 6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合．若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（   ） A． B． C． D．A，B的关系不确定 8．（25-26高一上·全国·课后作业）若集合有且仅有2个子集，则实数k的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 2、 多选题 9．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，若，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．0 D． 10．（24-25高一上·贵州·期中）已知集合恰有4个子集，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D．1 11．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，下列说法错误的是（   ） A．不存在实数，使得 B．存在实数，使得 C．当时， D．当时， 三、填空题 12．（24-25高一上·云南临沧·期中）设集合，则M的子集的个数为 ． 13．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）写出下列关系正确的序号 . （1）；（2）；（3）⫋；（4）；（5）；（6）. 14．（19-20高二下·上海浦东新·期末）已知集合，则实数k的取值范围是 . 15．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知集合，，且，则实数的值为 ． 16．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）满足关系⫋的集合的个数为 . 17．（22-23高一上·湖北十堰·阶段练习）有下列四个命题： ①是空集；       ②若 ，则有2个； ③若集合 ，则集合中所有元素之和为-2； ④集合是有限集． 其中正确的命题的个数是 个． 四、解答题 18．（24-25高一上·河南焦作·期末）设集合． (1)当时，求集合的非空真子集的个数； (2)若，求整数的所有可能取值． 19．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 20．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 集合间的基本关系 目录： 一、学习目标 ………………………………………………………………………1 二、知识梳理 ………………………………………………………………………1 知识点1 子集、真子集、集合相等的概念 …………………………………………………1 知识点2 空集的概念 …………………………………………………………………………2 三、题型归纳…………………………………………………………………………2 题型一 判断集合的子集（真子集）的个数…………………………………………………2 题型二 集合间关系的判断求集合的子集（真子集）………………………………………3 题型三 集合间关系的判断……………………………………………………………………5 题型四 根据集合的包含关系求参数…………………………………………………………6 题型五 判断集合相等关系……………………………………………………………………9 题型六 由集合相等求参数……………………………………………………………………11 题型七 空集……………………………… …………………………………………………12 四、强化训练 ………………………………………………………………………14 学习目标 1. 理解集合之间的包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。 2. 在具体情境中，了解空集的含义。 3. 能在用Venn图表达集合间的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用。 知识梳理 知识点1 子集、真子集、集合相等 1．子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 A⫋B (或B⫌A) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 2.Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 3．子集的性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C. 知识点2 空集的概念 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集． 【提醒】∅与的区别：⑴∅是不含任何元素的集合；⑵是含有一个元素的集合。 题型归纳 题型一 判断集合的子集（真子集）的个数 1．（24-25高一上·四川眉山·期末）若集合，A的子集个数是 个． 【答案】16 【详解】因为集合A有4个元素，所以A的子集个数是个. 故答案为：16. 2．（24-25高一上·广东江门·期中）集合的非空子集的个数为 . 【答案】7 【详解】易知集合中有3个元素，根据元素个数与子集个数之间的关系可得，集合的非空子集的个数为个. 故答案为：7. 3．（24-25高一上·天津南开·阶段练习）已知集合，则的非空子集的个数是 . 【答案】15 【详解】依题意，，所以的非空子集的个数是. 故答案为：15 4．（24-25高一上·福建漳州·期中）已知集合满足⫋，则集合的个数为 ． 【答案】3 【详解】设集合的真子集为，由题意可得， 集合的真子集个数为，集合的个数为. 故答案为：. 5．（24-25高一上·广东佛山·期中）集合的子集个数为 ． 【答案】 【详解】由题意得，则的子集个数为． 故答案为： 6．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知集合，，则集合的子集的个数为 ． 【答案】128 【详解】因为集合，，所以， 所以集合的子集的个数为. 故答案为：128 【常用结论】若集合中含有个元素，则有：①集合的子集个数有个；②集合的非空子集个数有个；③集合的真子集个数有个；④集合的非空真子集个数有个。 题型二 求集合的子集（真子集） 1．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知集合，集合可以为 （写出符合要求的所有） 【答案】 【详解】因为集合， 所以集合可以为. 故答案为： 2．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）已知集合，若集合满足⫋，则集合 . 【答案】 【详解】由题意得，.∵⫋，∴. 故答案为：. 3．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，若，若集合是的子集且有两个元素，则 ． 【答案】或或 【详解】由于，所以或，解得：或； 当时，不满足元素的互异性，故舍去； 当时，满足题意. 又因为集合是集合的子集且有两个元素， 所以或或. 故答案为：或或. 4．（24-25高一上·山西晋中·阶段练习）满足条件的集合的个数为 . 【答案】16 【详解】解：因为， 所以， 即集合为的子集，且中必包含元素， 又因为的含元素的子集为： 共16个. 故答案为：16 【方法总结】求给定集合的子集时有两个注意点：①按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；②在写子集时，要注意空集和集合本身也是给定集合的子集。 题型三 集合间关系的判断 1．（25-26高一上·全国·课后作业）指出下列各组集合之间的关系： （1），； （2），； （3），； （4），． 【答案】是的真子集 ；；是的真子集；是的真子集 【详解】（1）由集合和，所以是的真子集． （2）因为两个集合都表示长方形构成的集合，所以． （3）由集合与集合都表示正奇数组成的集合，但，所以，且，所以是的真子集． （4）由集合和，所以是的真子集． 故答案为：是的真子集；；是的真子集；是的真子集． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合，，则 ．（填“”“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：对于，时，； 时，，， 故答案为：． 3．（2024高一上·全国·专题练习）是菱形 是平行四边形；是等边三角形} 是等腰三角形 【答案】⫋； ⫋ 【详解】菱形是特殊的平行四边形；等边三角形是特殊的等腰三角形， 故是菱形⫋是平行四边形，是等边三角形}⫋是等腰三角形． 故答案为：⫋；⫋. 4．（22-23高一·全国·课堂例题）已知集合，集合，则集合与的关系是 ． 【答案】 【详解】解：在数轴上表示出集合A，B，如图所示，易知.    故答案为：. 【方法总结】集合间关系的判断的常用方法： ①列举观察法：当集合中的元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得到集合间的关系； ②集合元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合间的关系； ③数形结合法：利用数轴或Venn图，不等式的解集之间的关系适合用数轴法。 题型四 根据集合的包含关系求参数 1．（24-25高一上·上海·期末）已知集合，，且，则实数的值为 . 【答案】 【详解】由题意可知，解得：， 故答案为： 2．（24-25高一上·重庆·期末）已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】集合，，，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 3．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）若集合，且，则满足要求的实数组成的集合为 . 【答案】 【详解】，， 所以或， 当时，且，故； 当时，，解得或； 综上所述：实数组成的集合为. 故答案为：. 4.（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为，，， 所以，所以， 所以的取值范围为. 5．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知⫋，且若，则，则满足条件的集合的有（    ） A．4个 B．7个 C．8个 D．15个 【答案】B 【详解】因为⫋， 都满足题意，共7个. 故选：B. 6．（多选）（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，且⫋，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C． D．0 【答案】BCD 【详解】因为⫋，则或或， 当时，可得且，解得，则； 当时，可得且，解得，则； 当时，可得，解得，则， 综上可得，的值可以是或或. 故选：BCD. 7．（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值集合为 ． 【答案】 【详解】因为集合，， 所以：当时，，满足，因此为所求； 当时，，由得或，解得或． 综上所述，实数的取值集合为． 故答案为：． 8．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）设集合，，若，则的值为 ． 【答案】0或1或 【详解】由，方程至多1个解，故. ，或或， ①若，则； ②若，则； ③若，则，解得； 综上可得，或1或. 故答案为：0或1或. 9．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由方程，解得或，可得集合， 若，则满足，解得，此时满足； 若为非空集合，当，即时，，满足，符合题意； 当，即时，中有两个元素，，则满足无解， 综上可得，实数的取值范围是． 故答案为：. 10．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，，即，满足； 当时，有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【方法总结】由集合间的关系求参数的步骤： ①分析集合间的关系，简化每个集合； ②借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数； ③验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心圈表示。 题型五 判断集合相等关系 1．（25-26高一上·全国·课后作业）集合与 （填“是”或“不是”）相等集合． 【答案】是 【详解】因为，所以或． 又，所以． 故答案为：是. 2．（2023高一·江苏·专题练习）集合与 相等集合．（填“是”或“不是”） 【答案】是 【详解】因为，所以或， 又，所以. 故答案为：是. 3．（23-24高一上·山西运城·阶段练习）下面关于集合的表示正确的序号是 . ①； ②； ③； ④. 【答案】③④ 【详解】∵集合中的元素具有无序性，∴，∴①不成立； ∵是点集，而不是点集，∴②不成立； ∵与都表示大于1的实数组成的集合，∴③成立； ∵与都表示奇数组成的集合，∴④成立. 故答案为：③④. 4．（24-25高一上·贵州黔西·阶段练习）已知集合，则下列与相等的集合为 ．（填序号） ①    ；②； ③    ；④． 【答案】①② 【详解】对于①，； 对于②，中解得， 故； 对于③，当为奇数时，；当为偶数时，， 所以； 对于④，． 故答案为：①②. 5．（23-24高一上·浙江温州·开学考试）已知，，则M N （ 填“”或“”或“”或“” ）. 【答案】 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 【方法总结】判断集合相等的方法： ①直接比较元素是否完全相同；②证明互为子集（且） 题型六 由集合相等求参数 1．（24-25高一上·湖南·期中）设集合，，若，则 . 【答案】1 【详解】由题意得，解得. 故答案为：1 2．（24-25高一上·广西钦州·阶段练习）已知集合，若，则 . 【答案】 【详解】因为集合， 所以，解得，从而 故答案为： 3．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）已知集合，集合，若，则实数的值是 ． 【答案】 【详解】因为，所以； 依题意可得且. 即实数的值是. 故答案为： 4．（19-20高一上·河北唐山·期中）已知集合，且，则 . 【答案】0或 【详解】因为集合，且，分以下两种情况讨论： 当时，解得或， 若，集合A、B中的元素均不满足互异性； 若，则，符合题意； 当时，解得或， 若，集合A、B中的元素均不满足互异性； 若，则，符合题意； 综上所述，或， 故答案为：0或 【方法总结】由集合相等求参数的步骤： ①明确集合相等的定义：两个集合所有元素完全相同，即元素种类和数量完全一致； ②建立元素对应关系：将已知集合的元素与含参数的集合元素逐一匹配，列出所有可能的等式条件； ③解方程组并验证：解方程时需考虑所有匹配情况，避免遗漏可能性；确保解得的参数满足集合的互异性。 题型七 空集 1．（23-24高一上·甘肃白银·期中）下列表示正确的个数为（    ） ①；②；③；④中. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】对于①，是单元素集合，其元素为0，为空集，无元素，二者不相等，错误； 对于②，由于是单元素集合，其元素为0，是一个集合，不是的元素，错误； 对于③，空集是任何集合的子集，正确； 对于④，为空集，它没有任何元素，错误. 故选：B. 2．（24-25高一上·北京·期中）下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为 . 【答案】②④⑥ 【详解】①集合中含有一个元素，故不是空集； ②因为，，故是空集； ③集合中含有一个元素，故不是空集； ④是空集； ⑤集合中含有一个元素，故不是空集； ⑥因为方程没有实数解，故是空集； 故答案为：②④⑥. 3．（24-25高一上·上海·课前预习）方程的实数解集为 ． 【答案】 【详解】,则，则方程无实数解.故方程的实数解集为. 故答案为：． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由，可得方程无实根， 则满足，解得，所以实数的取值范围. 故答案为：. 5．（24-25高一上·上海浦东新·期中）关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . 【答案】1 【详解】可化为， 若，不等式为，不成立，不等式解集为空集， 若，不等式的解为， 若，不等式的解为， 综上，， 故答案为：1. 6．（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 强化训练 一、单选题 1．（23-24高一上·甘肃白银·期中）已知集合，则集合真子集的个数（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【详解】由题意得集合真子集的个数为. 故选：C. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）下列各项中两个集合不是同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合中的元素具有无序性，选项A中两个集合是同一个集合，故A不符题意； 选项B中两个集合都是数集，且范围都是全体实数，故是同一个集合，故B不符题意； 选项C中两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故是同一个集合，故C不符题意； 选项D中两个集合都是点集，在平面直角坐标系中，点与点是不同的， 故两集合不是同一个集合，故D正确． 故选：D 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】显然，，①③正确； ，②正确 在中，当时， 即有 因此，④正确 正确命题的个数是 故选：D 4．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为且， 所以， 所以或，得或， 根据集合中元素的互异性可得，解得且且，故. 故选：A. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则集合，且的子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．4 D．6 【答案】B 【详解】由，则，又，且 所以，故子集个数为. 故选：B 6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合．若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，则，即当时，满足； 若，则，即当时，由得，所以． 综上，． 故选：D. 7．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（   ） A． B． C． D．A，B的关系不确定 【答案】B 【详解】集合A中的元素为的整数倍． 因为集合B中的元素为，所以集合B中的元素为的奇数倍， 所以，且， 故选：B． 8．（25-26高一上·全国·课后作业）若集合有且仅有2个子集，则实数k的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意知，结合有且仅有2个子集， 即方程组只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，，满足条件； 当时，，解得或， 综上，实数的最小值为． 故选：A. 2、 多选题 9．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，若，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】ABC 【详解】若B为空集，则方程无解，解得； 若B不为空集，则，由解得， 所以或，解得或． 综上，a的值可以为，0，． 故选：ABC. 10．（24-25高一上·贵州·期中）已知集合恰有4个子集，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D．1 【答案】AB 【详解】由题设，易知集合中有2个元素，故，即且， 所以符合要求. 故选：AB 11．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，下列说法错误的是（   ） A．不存在实数，使得 B．存在实数，使得 C．当时， D．当时， 【答案】BCD 【详解】对于A：若，则，此方程组无解，故不存在实数a使得集合，故A正确； 对于B：由，则，即，此不等式组无解，不存在实数，使得故B错误； 对于C：当时，不满足，故C错误； 对于D：当，即时，，符合， 当时，要使，则，解得，不满足， 综上，当且仅当时， 所以当时不正确，故D错误． 故选：BCD 三、填空题 12．（24-25高一上·云南临沧·期中）设集合，则M的子集的个数为 ． 【答案】16 【详解】由题意得，， 集合中有4个元素，M的子集的个数为. 故答案为：16. 13．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）写出下列关系正确的序号 . （1）；（2）；（3）⫋；（4）；（5）；（6）. 【答案】（1）（2）（3）（4）（5） 【详解】一个集合是它本身的子集，故（1）正确； 集合具有无序性，故（2）正确； 空集是任意非空集合的真子集，故（3）正确； 0是集合中的元素，故（4）正确； 是有理数，故（5）正确； 空集是不包含任何元素的集合，中有一个元素0，和空集不相等，故（6）错误. 故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）. 14．（19-20高二下·上海浦东新·期末）已知集合，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【详解】∵，∴， 解得，因此实数k的取值范围是. 故答案为：. 15．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知集合，，且，则实数的值为 ． 【答案】 【详解】因为集合，，且， 所以或， 即时，不合题意； 当时，解得（舍）或， 当时，集合，，满足，所以， 故答案为：. 16．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）满足关系⫋的集合的个数为 . 【答案】7 【详解】解：由题意得：集合A中一定含有1，2，3，可能含有0，4，5，但不同时含有0，4，5， 所以集合A的个数为：， 故答案为：7 17．（22-23高一上·湖北十堰·阶段练习）有下列四个命题： ①是空集；       ②若 ，则有2个； ③若集合 ，则集合中所有元素之和为-2； ④集合是有限集． 其中正确的命题的个数是 个． 【答案】2 【详解】集合含有一个元素0，不是空集，①不正确； 因，则或或或，即符合条件的M有4个，②不正确； 因集合，则，集合 中所有元素之和为-2，③正确； 因集合，则，只有4个元素，是有限集，④正确， 所以正确的命题的个数是2. 故答案为：2 四、解答题 18．（24-25高一上·河南焦作·期末）设集合． (1)当时，求集合的非空真子集的个数； (2)若，求整数的所有可能取值． 【答案】(1)14；(2)1和2． 【详解】（1）当时，， 故，其中含有4个元素， 故其非空真子集的个数为． （2）由题意可得， 由，可得，解得， 故整数的所有可能取值为1和2． 19．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1)或；(2)或．；(3)且． 【详解】（1）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， 故当，即时，原方程的解为，符合题意． 综上，当或时，集合中只有一个元素． （2）集合中至多有一个元素，即集合中只有一个元素或没有元素． 当集合中只有一个元素时，由（1）可知，或． 当中没有元素时，，且，即． 综上，当集合中至多有一个元素时，实数的取值范围是或． （3）由题意得，且， 所以且， 故实数的取值范围是且． 20．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)或． 【详解】（1）解：由集合， 因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素， 故，所以， 所以实数的取值范围是． （2）解：由，解得或，所以， 因为，所以集合可能是，，，； 当时，即方程无实数根， 则，解得； 当时，即方程有且只有一个根0， ，解得； 当时，即方程有且只有一个根， 则，方程组无解； 当时，方程有两根和， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是或． 学科网（北京）股份有限公司 $$