精品解析：上海市向明中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

向明中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期末 2025.6 一、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 1. 已知全集，集合，则________． 2. 已知，则关于的不等式的解集为________． 3. 抛物线y2=2x的焦点坐标为____． 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的极值点的个数有________个 5. 若幂函数，在上是严格减函数，则________. 6. 已知，则曲线在点处切线的斜率为________. 7. 已知两个随机事件，，若，，，则________． 8. 已知函数，则的值为________ 9. 若关于的不等式对一切实数都成立，则实数a的取值范围是_________________． 10. 已知随机变量X服从正态分布，且，则的最小值为_______. 11. 如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是________. 12. 已知，，，集合，，若存在无穷多个，使得对任意，有恒成立，则值为________. 二、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分） 13. 上海百联集团对旗下若干门店的营业额与三个影响因素分别作了相关性分析，绘制了如下的散点图，则下述大小关系正确的为（ ）． A B. C. D. 14. 已知，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要 15. 已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 给定以下两个命题：①若对任意，存在，使成立，则实数的取值范围是 ②若存在，对任意，使成立，则实数的取值范围是 则下面说法正确的是（ ） A. ①真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分52分，以下各题需写出必要的解题步骤） 17. 已知圆 （1）若直线，，，经过圆心，求的最大值． （2）若直线过点且与圆有且仅有一个公共点，求该直线方程． 18. 已知，，． （1）若，，且函数为奇函数，求的值． （2）若，且存在，使得成立，求的取值范围． 19. 某汽车生产企业对其生产的四款新能源汽车进行市场调研，从购买者中选取50名车主对车辆进行性能评分，每款车都有、、、、、5分五个等级，各评分的相应人数统计结果如下表所示． 性能评分汽车款式 基础版 基础版1 2 2 3 1 0 基础版2 4 4 5 3 1 豪华版 豪华版１ 1 3 5 4 1 豪华版2 0 0 3 5 3 （1）约定当得分为或时，认为该款车型性能优秀，否则认为性能一般，根据上述样本数据，完成以下列联表，取显著性水平，能否认为汽车性能与款式有关？说明理由． 汽车性能 汽车款式 合计 基础版 豪华版 一般 20 优秀 13 合计 （2）为进一步提升产品品质，现从样本评分为的6位基础版车主中，有放回地随机抽取2人征求意见，并做进一步打分.若基础版1的车主会打1分，而基础版2的车主会打4分，设随机变量为总得分，求的方差． 附：；， ，，． 20. 已知双曲线，左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于，两点． （1）若，为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标． （2）连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值． 21. 设、是定义域为的函数，当时， ． （1）已知，，且对任意，，当时，有成立，求实数的取值范围； （2）已知，，，且对任意，当时，有，求：当时，的函数解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 向明中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期末 2025.6 一、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 1. 已知全集，集合，则________． 【答案】; 【解析】 【分析】根据补集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以， 故答案为：. 2. 已知，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式解法计算即可. 【详解】因为，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 3. 抛物线y2=2x的焦点坐标为____． 【答案】（，0）． 【解析】 【详解】试题分析：焦点在x轴的正半轴上，且p=1，利用焦点为（，0），写出焦点坐标． 解：抛物线y2=2x的焦点在x轴的正半轴上，且p=1，∴=，故焦点坐标为（，0）， 故答案为（，0）． 考点：抛物线的简单性质． 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的极值点的个数有________个 【答案】 【解析】 【分析】根据导函数的图象确定区间单调性，进而判断极值点个数. 【详解】由题图，时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减，故只有一个极值点. 故答案为：1 5. 若幂函数，在上是严格减函数，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数的性质逐个判断即可. 【详解】由幂函数的性质可知： 当时，可知在上是严格增函数， 当时，可知在上是严格增函数， 当时，可知在上是严格减函数， 故答案为： 6. 已知，则曲线在点处切线的斜率为________. 【答案】 【解析】 【分析】求函数的导函数及导函数在时的值，结合导数的几何意义求结论即可. 【详解】因为，所以， 所以， 所以曲线在点处切线的斜率为， 故答案为：. 7. 已知两个随机事件，，若，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件概率公式计算即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 8. 已知函数，则的值为________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，结合指数幂与对数的运算法则，准确计算，即可求解. 【详解】由函数，因为，所以. 故答案为：. 9. 若关于的不等式对一切实数都成立，则实数a的取值范围是_________________． 【答案】 【解析】 【分析】对2-a分类讨论，结合二次函数的图像和性质分析得解. 【详解】当时，不等式化为，恒成立，所以符合题意； 当时，关于的不等式对一切实数都成立， 需，解得．综上可知，实数的取值范围是． 故答案为 【点睛】(1)本题主要考查二次不等式的恒成立问题，考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答本题的关键是分析出当时，. 10. 已知随机变量X服从正态分布，且，则的最小值为_______. 【答案】9 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性求得，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为，且，则由对称性得， 又， 所以，故， 又因为， 所以， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为9. 故答案为：9. 11. 如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用双曲线方程求出焦点坐标，再利用双曲线、椭圆的定义，结合矩形的条件列式求出即得离心率. 【详解】由双曲线：，得，且， 由椭圆：，得，解得， 由四边形为矩形，得，， 即，解得， 所以的离心率. 故答案为： 12. 已知，，，集合，，若存在无穷多个，使得对任意，有恒成立，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由存在无穷多个，所以必然要无穷大也符合题意，再利用时，，再化解，估算范围即可得到的值. 详解】当时，， 则， 故， 又，， 所以， 所以的值为15. 故答案为：15. 二、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分） 13. 上海百联集团对旗下若干门店的营业额与三个影响因素分别作了相关性分析，绘制了如下的散点图，则下述大小关系正确的为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据散点图判断两变量的线性相关性，再根据线性相关性与相关系数的关系判断即可. 【详解】由散点图可知，图一两个变量成正相关，且线性相关性较强，故， 图二、图三两个变量都成负相关，且图二线性相关性更强， 故，，，故，所以. 故选：C. 14. 已知，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件来判断. 【详解】当时，一定成立，故充分性成立， 当时，则，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 15. 已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直线的方向向量和法向量之间的关系写出直线的方向向量；再根据直线倾斜角、斜率和方向向量之间的关系分类讨论，结合基本不等式即可求解. 【详解】由直线的法向量为可得：直线的方向向量可取为. 当时，，此时直线垂直于轴，. 当时，直线的斜率， 则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时； 则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时； 综上可得：的取值范围是. 故选：B 16. 给定以下两个命题：①若对任意，存在，使成立，则实数的取值范围是 ②若存在，对任意，使成立，则实数的取值范围是 则下面说法正确的是（ ） A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】结合条件判断命题①，命题②，由此可得结论. 【详解】命题①中，若对任意，存在，使得， 所以，对任意的都成立， 又， 设， 则， 所以当时，取最小值，的最小值为， 所以， 所以，故命题①为真； 命题②中，若存在，对任意，使得， 即存在一个固定的，对任意，， 所以， 对于固定的，函数在上的最小值为，当时，取最小值， 所以，故，所以命题②为真， 故选：A. 三、解答题（本大题共有5题，满分52分，以下各题需写出必要的解题步骤） 17. 已知圆 （1）若直线，，，经过圆心，求的最大值． （2）若直线过点且与圆有且仅有一个公共点，求该直线的方程． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由圆的方程确定圆心坐标和半径，根据条件可得，结合基本不等式求的最大值； （2）先验证过点斜率不存在直线满足条件，再由直线与圆有且只有一个交点结合几何关系列方程求，由此可得结论. 【小问1详解】 圆的圆心坐标为，半径， 因为直线经过圆心， 所以，又，， ，当且仅当时等号成立， 即， 所以的最大值为； 【小问2详解】 过点斜率不存在的直线为， 联立，可得， 所以直线与圆有且只有一个交点，满足条件， 过点的斜率为的直线方程为， 若直线与圆有且只有一个交点， 则点到直线距离为， 所以，化简可得， 解得，即直线方程为， 所以若直线过点且与圆有且仅有一个公共点， 则该直线方程为或. 18. 已知，，． （1）若，，且函数为奇函数，求的值． （2）若，且存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，由为奇函数可得，解方程求即可， （2）由条件化简可得存在，使得成立，故，其中，结合指数函数的单调性求函数的最小值，由此可得结论. 【小问1详解】 设， 因为，，， 所以，因为函数为奇函数， 所以，即， 所以，又， 所以 【小问2详解】 因为，所以， 所以不等式，可化为， 所以，所以， 由已知存在，使得成立， 所以，其中， 因为函数在上单调递减， 所以函数在的最小值为， 所以， 所以的取值范围为． 19. 某汽车生产企业对其生产的四款新能源汽车进行市场调研，从购买者中选取50名车主对车辆进行性能评分，每款车都有、、、、、5分五个等级，各评分的相应人数统计结果如下表所示． 性能评分汽车款式 基础版 基础版1 2 2 3 1 0 基础版2 4 4 5 3 1 豪华版 豪华版１ 1 3 5 4 1 豪华版2 0 0 3 5 3 （1）约定当得分为或时，认为该款车型性能优秀，否则认为性能一般，根据上述样本数据，完成以下列联表，取显著性水平，能否认为汽车的性能与款式有关？说明理由． 汽车性能 汽车款式 合计 基础版 豪华版 一般 20 优秀 13 合计 （2）为进一步提升产品品质，现从样本评分为的6位基础版车主中，有放回地随机抽取2人征求意见，并做进一步打分.若基础版1的车主会打1分，而基础版2的车主会打4分，设随机变量为总得分，求的方差． 附：；， ，，． 【答案】（1）列联表见解析，汽车的性能与款式有关，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意根据数据关系写出列联表，再提出原假设，确定显著性水平，计算值，做出统计决断； （2）用，分别表示在第次抽取中，企业获得的得分，则，故，再求的分布列，由方程公式求，再求，可得结论. 从而求解分布列和期望. 【小问1详解】 由题意，列联表如下： 汽车性能 汽车款式 合计 基础版 豪华版 一般 20 12 32 优秀 5 13 18 合计 25 25 50 （1）提出原假设：两种款式的汽车的性能没有显著差异， （2）确定显著性水平， （3）计算， （4）统计决断：由于，而，的值超过了所确定的界限，从而否定原假设，即认为汽车的性能与款式有关； 【小问2详解】 评分为的位基础版车主中，基础版的车主有位，基础版的车主有位， 用，分别表示在第次抽取中，企业获得的得分， 则，且相互独立，则， 又随机变量的取值有， ，， 所以的分布列为， 所以，， 随机变量的取值有， ，， 所以分布列为， 所以，， 所以 20. 已知双曲线，左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于，两点． （1）若，为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标． （2）连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形两腰长相等可列方程组求点的坐标； （2）利用直线与双曲线联立方程组，由韦达定理来表示，利用这个等式可得到与直线参数的函数关系，利用函数求最大值. 【小问1详解】 当时，双曲线，且． 由点在第一象限，可知为钝角． 由为等腰三角形，得． 设点，且，则，解得， 即； 【小问2详解】 由双曲线的方程知，且由题意知关于原点对称． 设，则． 由直线不与轴垂直，可设直线方程为. 联立，得， 则，即，, 由，得， 得，所以 整理得，则, 再由，得，解得，所以， 又，得，即的最大值为． 21. 设、是定义域为的函数，当时， ． （1）已知，，且对任意，，当时，有成立，求实数的取值范围； （2）已知，，，且对任意，当时，有，求：当时，的函数解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先依据条件判断函数的单调性，然后求导使其导数大于等于0，求出的范围. （2）构造新函数，然后根据条件列出不等式，判断的单调性并确定为常数，从而得到的解析式. 【小问1详解】 由题意，对任意，当时，有成立. 则在上递增. 因为，求导得. 为了使得对所有成立，则判别式. 即，解得. 【小问2详解】 令， 则. 根据条件得到， 所以，即对任意恒成立， 那么， 当时，则，所以，所以单调递减， 所以； 当时，则，所以，所以单调递增， 所以； 所以综上，，所以，为常数. 因为，所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $