1.2　一元二次方程的解法 课件 2025-2026学年苏科版九年级数学上册

1.2　一元二次方程的解法 第4课时　公 式 法 1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)的求根公式为　　　　　 　. 利用这个公式解一元二次方程的方法叫做　　　　　　.  2. 在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,若b2-4ac<0,则这个方程　　　实数根. x= 公式法 没有 1. 用公式法解方程2x-7x2=5时,首先要确定a、b、c的值,下列结论正确的是 (　　) A. a=-7,b=2,c=5 B. a=7,b=2,c=-5 C. a=7,b=-2,c=5 D. a=7,b=-2,c=-5 2. 一元二次方程y2+4y-8=0的解是 (　　) A. y1=2+2,y2=2-2 B. y1=2+2,y2=2-2 C. y1=-2+2,y2=-2-2 D. y1=-2+2,y2=-2-2 C D 1 2 3 4 5 6 3. 用公式法解一元二次方程,得x=,则该一元二次方程为 　　　　　　.  4. 用公式法解方程m(7+3m)-6=0,则b2-4ac=　　,方程的根为　 . 5. 已知关于x的方程x2-3x+p=0,且b2-4ac=29,则p的值为　　　　. 3x2+7x-2=0 121 m1=-3,m2= -5 1 2 3 4 5 6 6. 用公式法解下列方程: (1) x2-4x-1=0; (2) -3x2+6x-2=0; (3) 2y2-3=2y; (4) t2+2t=4. (1) x1=2+,x2=2-　 (2) x1=,x2=　 (3) y1=,y2=　 (4) t1=-+,t2=-- 1 2 3 4 5 6 1. 利用公式法解一元二次方程6x2+=5x时,a、b、c的值分别是 (　　) A. 6、、5 B. 6、-5、 C. 6、5、 D. 6、-5、- 2. 若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别为x1=,x2= ,则下列判断正确的是 (　　) A. a=-1 B. c=1 C. ac=-1 D. =1 B C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 把方程4-x2=3x化成ax2+bx+c=0(a>0)的形式为　　　　　　,其中b2-4ac=　　　　.  4. 用公式法解方程2x2-5x=7,其中b2-4ac=　 　,方程的根为　　　　 　. x2+3x-4=0 25 81 x1=-1,x2= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 用公式法解下列方程: (1) (2024·齐齐哈尔)x2-5x+6=0; (2) x2-2x-5=0; (3) y2-7y=-12; (4) x(x-4)=30-x2. (1) x1=2,x2=3　 (2) x1=1+,x2=1-　 (3) y1=3,y2=4　 (4) x1=5,x2=-3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 若x=-2是关于x的一元二次方程x2+ax-a2=0的一个根,则a的值为(　　) A. -1或4 B. -1或-4 C. 1或-4 D. 1或4 7. (易错题)若最简二次根式与3的被开方数相同,则x的值是 (　　) A. -2 B. 5 C. -2或5 D. 2或-5 C B [易错分析]解答本题时容易忽视“最简二次根式的被开方数不含开得尽方的数或式”而错选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. (2023·潍坊)利用某型号的计算器计算,显示结果为2.236067977.借助显示结果,可以将方程x2+x-1=0的正数解近似表示为　　　 　(结果精确到0.001).  9. 若一元二次方程3x2+(m-1)x-4=0中的b2-4ac=73,则m的值为　　　　　. 0.618 6或-4 解析:由题意,得(m-1)2-4×3×(-4)=73,∴ (m-1)2=25,∴ m-1=±5,解得m1=6, m2=-4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 点M在数轴的负半轴上,点N在该数轴的正半轴上,且点M、N对应的数 分别为2x-2、x2+x.当线段MN的长为5时,x的值为　　　　. 解析:根据题意,得(x2+x)-(2x-2)=5,整理,得x2-x-3=0.∵ a=1,b=-1,c=-3,b2-4ac=(-1)2-4×1×(-3)=13,∴ x==.∵ 点M在数轴的负半轴上,∴ 2x-2<0,即x<1,∴ x=,此时x2+x>0,符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 用公式法解下列方程: (1) y2+2y=6; (2) (2x+1)(x-1)=8(9-x)-1; (3) (x+1)2-2(x-1)2=7; (4) 1-t2=2t(2t-1). (1) y1=,y2=-3　 (2) x1=-8,x2=　 (3) x1=4,x2=2　 (4) t1=,t2= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 已知代数式3m2+4m-3与-m2+m-30的值互为相反数,求m的值. 根据题意,得(3m2+4m-3)+(-m2+m-30)=0,即2m2+5m-33=0,解得m1=3,m2= -.∴ m的值为3或- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. (分类讨论思想)已知一元二次方程x2-11x+30=0的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长,求△ABC的面积. 一元二次方程x2-11x+30=0的两个根分别为x1=5,x2=6.当等腰三角形ABC的底边长为5、腰长为6时,易得△ABC的面积为;当等腰三角形ABC的底边长为6、腰长为5时,易得△ABC的面积为12.综上所述,△ABC的面积为或12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$1.2　一元二次方程的解法 第7课时　一元二次方程解法的灵活应用 1. 一元二次方程的解法有　　　 　　　、　　　　　、　　　　　、 　　　　 　　.  2. 解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,如果b=0,那么运用____________ 比较简便;如果c=0,那么运用　　　　　　 比较简便;如果a=1,b为偶数,那么运用　　　　　　比较简便. 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 直接开平方法 因式分解法 配方法 1. 下列方程中,最适合用公式法求解的是 (　　) A. (x+2)2-9=0 B. x2=1 C. x2+2x-24=0 D. x2-3x-1=0 2. 在解方程x2-2x-3=0时,下列说法错误的是 (　　) A. 可以用配方法 B. 可以用公式法 C. 可以用因式分解法 D. 只能用因式分解法 3. 若代数式x2+5x+6与1-x的值相等,则x的值为　　　　.  4. (整体思想)若(m2+n2-1)(m2+n2-2)=6,则m2+n2的值为　　　　. D D -1或-5 4 1 2 3 4 5 6 5. 用适当的方法解下列方程: (1) (2x-1)2=6; (2) 2-y(y-3)=0; (3) 25(2x-1)2=4(3x+2)2. (1) x1=,x2=　 (2) y1=,y2=　 (3) x1=,x2= 1 2 3 4 5 6 6. 阅读下面的材料:方程x4-5x2+4=0是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是:设x2=y,则x4=y2,于是原方程可化为y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.当y=1时,x2=1,解得x=±1;当y=4时,x2=4,解得x=±2.∴ 原方程有四个根:x1=1,x2=-1,x3=2,x4=-2. 请你参考上述方法解方程:(x2+2x)2-2(x2+2x)-8=0. 设x2+2x=y,则原方程可化为y2-2y-8=0,解得y1=-2,y2=4.当y=-2时,x2+2x=-2,该方程没有实数根;当y=4时,x2+2x=4,解得x1=-1+,x2=-1-.∴ 原方程有两个根:x1=-1+,x2=-1- 1 2 3 4 5 6 1. 下列方程最适合用因式分解来解的是 (　　) A. (x-3)(x+1) =2 B. 2(x-5)2=x2-25 C. y2+3y-1=0 D. 8(3-x)2=5 2. 当用公式法解方程2x2-1=3x时,b2-4ac的值为 (　　) A. 2 B. -3 C. 17 D. -1 3. 方程x2-x=56的根是 (　　) A. x1=7,x2=8 B. x1=7,x2=-8 C. x1=-7,x2=8 D. x1=-7,x2=-8 B C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 4. 若关于x的一元二次方程(a+3)x2-ax+9-a2=0的一个根为x=0,则a的值为 　　　　.  5. 对于任意实数a、b,定义一种运算:a※b=a2+b2-ab,等式右边为通常的混合运算.若x※(x-1)=3,则x的值为　　　　. 3 2或-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 用适当的方法解下列方程: (1) x2+2x+2=0; (2) x2-2x-399=0; (3) 3x2=2(2-x); (4) (3y+2)2-4y2=0. (1) x1=x2=-　 (2) x1=-19,x2=21　 (3) x1=,x2=　 (4) y1=-,y2=-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 若直角三角形的两边长分别是方程x2-7x+12=0的两根,则该直角三角形的面积是 (　　) A. 6 B. 12 C. 12或 D. 6或 8. (整体思想)已知(x+y)(x+y+2)-8=0,则x+y的值是 (　　) A. -4或2 B. -2或4 C. 2或-3 D. 3或-2 D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. (2024·河北)淇淇在计算正数a的平方时,误算成a与2的积,求得的答案比正确答案小1,则a的值为　　　　.  10. (化归思想)已知m2+mn-n2=0,且mn≠0,则的值为　　　　. +1 解析:根据题意,得a2-2a=1,解得a=1±.∵ a为正数,∴ a=1+. 解析:由mn≠0,得m≠0.在m2+mn-n2=0的两边同时除以m2,得1+-=0,即--1=0,用公式法解关于的一元二次方程,得=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 用适当的方法解下列方程: (1) x(x+2)=-x; (2) (2024·张家港期末)(x-2)2=6-3x; (3) 4(2x-1)2-9(x+1)2=0; (4) 4(t-5)2+4(5-t)+1=0. (1) x1=,x2=　 (2) x1=2,x2=1　 (3) x1=5,x2=-　 (4) t1=t2= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 已知关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0的根的判别式的值为1,求m的值及该方程的根. 根据题意,得m≠0,且b2-4ac=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)=m2-2m+1=1,解得m1= 0(不合题意,舍去),m2=2.∴ m=2,∴ 原方程为2x2-5x+3=0,解得x1=,x2=1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 已知△ABC的两边AB、AC的长分别是关于x的一元二次方程x2-(2k+ 3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC的长为5. (1) 当k为何值时,△ABC是直角三角形? (1) 由方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0,得b2-4ac=[-(2k+3)]2-4(k2+3k+2)=1>0,∴ 无论k取何值,方程总有两个不相等的实数根.利用求根公式解方程,得x1= k+1,x2=k+2.设AB=k+1,AC=k+2.∵ 第三边BC的长为5,∴ 当△ABC是直角三角形时,分两种情况讨论:① 当BC是斜边时,有AB2+AC2=BC2,即(k+ 1)2+(k+2)2=52,解得 k1=2,k2=-5(不合题意,舍去);② 当AC是斜边时,有AB2 +BC2=AC2,即(k+1)2+52=(k+2)2,解得 k=11.∴ 当k=2或11时,△ABC是直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 当k为何值时,△ABC是等腰三角形?请求出此时△ABC的周长. (2) 由(1),不妨设AB=k+1,AC=k+2.∵ BC=5,∴ 当△ABC是等腰三角形时,分两种情况讨论:① 当AC=BC=5时,k+2=5,∴ k=3,则AB=4,此时△ABC的周长为14;② 当AB=BC=5时,k+1=5.∴ k=4,则AC=6,此时△ABC的周长为16.综上所述,当k=3或4时,△ABC是等腰三角形,△ABC的周长分别是14或16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$1.2　一元二次方程的解法 第2课时　配方法(二次项系数为1) 1. 把一个一元二次方程变形为(x+h)2=k(h、k为　　　　)的形式,当k 　　　时,就可以用　　　 　　法求出方程的解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.  2. 用配方法解一元二次方程x2+bx+c=0的一般步骤:(1) 移项:把常数项移到方程的右边;(2) 配方:在方程的两边都加上　　　　　　　　　　　,使左边成为完全平方式;(3) 利用　　　　　　法求方程的解. 常数 ≥0 直接开平方 一次项系数一半的平方 直接开平方 1. (2025·常熟期末改编)用配方法解方程x2-4x-1=0时,配方后正确的是 (　　) A. (x+2)2=3 B. (x+2)2=17 C. (x-2)2=5 D. (x-2)2=17 2. 用配方法解方程x2-x+1=0,下列过程正确的是 (　　) A. =1,解得x1=,x2=- B. =,解得x1=0,x2= C. =-,原方程没有实数解 D. =-,原方程没有实数解 C D 1 2 3 4 5 3. 在横线上填上适当的数,使等式成立: (1) x2+6x+　　　　=(x+　　　　)2;  (2) t2+(　　　　)t+=(t　　 　　)2.  4. 若将一元二次方程x2-4x+3=0配方为(x-2)2=k,则k的值是　　　　. 9 3 (或-) +(或-) 1 1 2 3 4 5 5. 用配方法解下列方程: (1) (2025·苏州期末)x2-2x-8=0; (2) (2023·齐齐哈尔)x2-3x+2=0; (3) x2+3=-5x; (4) y2=2+y. (1) x1=4,x2=-2　 (2) x1=1,x2=2　 (3) x1=-,x2=--　 (4) y1=4,y2=- 1 2 3 4 5 1. (2024·苏州期末)用配方法解方程x2-2x-3=0时,配方结果正确的是 (　　) A. (x-1)2=4 B. (x-1)2=2 C. (x-2)2=1 D. (x-2)2=7 2. 将一元二次方程y2-y-=0配方后可化为 (　　) A. =1 B. =1 C. = D. = A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. 若将关于x的一元二次方程x2+16x+c=0配方后得到方程(x+8)2=3c,则c的值为　　　　.  4. 若x=0是关于x的方程(m-3)x2+3x+m2+2m-15=0的一个根,则m的值为 　　　　. 16 解析:将方程x2+16x+c=0配方,得(x+8)2=-c+64.∵ (x+8)2=3c,∴ 3c=-c+64,解得c=16. 3或-5 解析:将x=0代入方程,得m2+2m-15=0,解得m1=-5,m2=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5. 用配方法解下列方程: (1) (2023·广州)x2-6x+5=0; (2) (2024·徐州)x2+2x-1=0; (3) x2+x+1=0; (4) x2+=x. (1) x1=1,x2=5　 (2) x1=-1,x2=--1　 (3) x1=-,x2=-3　 (4) x1=1,x2= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. (2024·东营)用配方法解一元二次方程x2-2x-2023=0,将它转化为(x+h)2 =k的形式,则hk的值为 (　　) A. -2024 B. 2024 C. -1 D. 1 7. 若代数式x2+(k2-1)x+9是完全平方式,则实数k的值为　　　　.  8. 将代数式x2+6x+7进行如下变形:x2+6x+7=x2+2·x·3+9-9+7=(x+3)2-2.当x的值为　　　　时,(x+3)2取得最小值,最小值为0,即(x+3)2-2的最小值为-2,从而代数式x2+6x+7的最小值为　　　　. D ± -3 -2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9. 用配方法解下列方程: (1) m2=8m+20; (2) x2-2=-10x; (3) y2+1=-2y; (4) x2+=x. (1) m1=-2,m2=10　 (2) x1=-5+3,x2=-5-3 (3) y1=-+1,y2=--1　 (4) x1=+,x2=-+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. 有n个关于x的一元二次方程:x2+2x-8=0;x2+2×2x-8×22=0;…;x2+2nx-8n2=0.小静同学解第1个方程x2+2x-8=0的步骤如下:① x2+2x=8;② x2+2x +1=8+1;③ (x+1)2=9;④ x+1=±3;⑤ x=1±3;⑥ x1=4,x2 =-2. (1) 小静同学的解法是从步骤　　　　开始出现错误的(填序号);  (2) 用配方法解第n个方程x2+2nx-8n2 =0(用含n的式子表示方程的根). (2) x2+2nx=8n2,x2+2nx+n2=8n2+n2,(x+n)2=9n2,x+n=±3n,x=-n±3n,∴ x1= -4n,x2=2n ⑤ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. (易错题)(2023·巴中)先化简,再求值:÷,其中x的值是方程x2-2x-3=0的根. 原式=·=x+1.由x2-2x-3=0,得x2-2x=3,x2-2x+1=4,(x-1)2=4,x-1=±2,即x-1=2或x-1=-2,∴ x1=3,x2=-1.根据分式的分母不能为0,得x≠0且x≠-1, ∴ x=3,此时原式=3+1=4　 [易错分析]解答本题时容易忽视“分式的分母不能为0”这一隐含条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $$1.2　一元二次方程的解法 第1课时　直接开平方法 1. 直接通过求平方根来解一元二次方程的方法叫做　　　　　　法.  2. 形如(x+h)2=k(h、k为常数,k≥0)的一元二次方程,可以用　　　　　 法求解. 直接开平方 直接开平方 1. 由平方根的定义,可将一元二次方程(x-1)2=9转化为一元一次方程,正确的结果是 (　　) A. x-1=3 B. x-1=-3 C. x-1=3或x-1=-3 D. x-1=3且x-1=-3 2. 如果关于x的方程(ax+b)2=c能用直接开平方法求解,那么必有 (　　) A. c≥0 B. c≤0 C. c<0 D. c可以为一切实数 C A 1 2 3 4 5 3. 用直接开平方法解方程(x+1)2=(2x-3)2时,可转化为两个一元一次方程,分别是　　　　　　　　　　　　　　　.  4. 一元二次方程y2=11的解为　　　　　　　　. x+1=2x-3,x+1=-(2x-3) y1=,y2=- 1 2 3 4 5 5. 用直接开平方法解下列方程: (1) x2=12; (2) -3m2+=0; (3) (3x-2)2=25; (4) (2024·无锡)(x-2)2-4=0. (1) x1=2,x2=-2　 (2) m1=,m2=-　 (3) x1=,x2=-1　 (4) x1=4,x2=0 1 2 3 4 5 1. 如果关于x的方程(x-9)2=m+3可以用直接开平方法求解,那么m的取值范围是 (　　) A. m>0 B. m≥0 C. m>-3 D. m≥-3 2. 如果x=4是关于x的一元二次方程x2-3x=a2的一个根,那么常数a的值为 (　　) A. 2　 B. -2　 C. ±2　 D. ±4 3. 方程2x2=12的根为　　　　　　　;方程(x+1)2=9的根为　　　　 　. D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x1=,x2=- x1=2,x2=-4 4. 用直接开平方法解下列方程: (1) m2=0; (2) 9x2-0.16=0; (3) 3(x+4)2=15; (4) (2x+3)2=(3x+2)2. (1) m1=m2=0　 (2) x1=,x2=-　 (3) x1=-4,x2=--4　 (4) x1=1,x2=-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 已知关于x的一元二次方程(x-2)2=16-m,请你选取一个适当的m的值,使方程能用直接开平方法求解,并解这个方程. (1) 选取的m的值是　　 　　;  (2) 解这个方程. 答案不唯一,如7 (2) 当m=7时,方程为(x-2)2=16-7,即(x-2)2=9,解得x1=5,x2=-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. (2024·凉山)若关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x=0,则a的值为 (　　) A. 2 B. -2 C. 2或-2 D. 7. 方程x2-=0的根是 (　　) A. x1=-7,x2=7 B. x1=x2=7 C. x1=x2= D. x1=,x2=- A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:∵ 关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x=0,∴ a2-4= 0且a+2≠0,解得a=2. D 8. 已知关于x的一元二次方程(2x+5)2+3n-4=0有实数根,则n的取值范围是 　　　　.  9. 如果关于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是x1=m+1,x2=2m -4,那么的值为　　　　. n≤ 4 解析:由题意,可得m+1+2m-4=0,解得m=1,则x1=2,x2=-2,∴ x2=4.将x2=4代入ax2=b,得=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 用直接开平方法解下列方程: (1) =0; (2) (x-5)2-16=0; (3) (y+0.3)(y-0.3)-0.16=0; (4) 4(2m-3)2=9(m-1)2. (1) x1=x2=-　 (2) x1=-4+5,x2=4+5　 (3) y1=0.5,y2=-0.5　 (4) m1=3,m2= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 若(a2+b2-1)2=17,求a2+b2的值. 令y=a2+b2,则原方程可化简为(y-1)2=17,解得y1=-+1,y2=+1.∵ y= a2+b2≥0,∴ y=+1,即a2+b2=+1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. (新考法·新定义题)定义[x]为不超过实数x的最大整数,如[1.8]=1,[-1.4] =-2,[-3]=-3.函数y=[x]在-2≤x<2范围内的图像如图所示,试求当-2≤x<2时, [x]=x2的x的值. 当1≤x<2时,x2=1,即x2=2,解得x1=,x2=-(不合题意, 舍去);当0≤x<1时,x2=0,即x2=0,解得x3=x4=0;当-1≤x<0 时,x2=-1,方程没有实数根;当-2≤x<-1时,x2=-2,方程没 有实数根.综上所述,当-2≤x<2时,满足[x]=x2的x的值为或0 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$1.2　一元二次方程的解法 第6课时　因式分解法 1. 当一个一元二次方程的一边是0,另一边能分解为两个一次因式的乘积时,就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个　　　　 　　,这种解一元二次方程的方法叫做　　　　　　　.  2. 用因式分解法解一元二次方程的数学方法是“　　　　”,使一元二次方程化归为一元　　　　次方程. 一元一次方程 因式分解法 降次 一 1. (2024·贵州)一元二次方程x2-2x=0的解是 (　　) A. x1=3,x2=1 B. x1=2,x2=0 C. x1=3,x2=-2 D. x1=-2,x2=-1 2. 方程x2+4x+3=0的解为 (　　) A. x1=1,x2=3 B. x1=-1,x2=3 C. x1=1,x2=-3 D. x1=-1,x2=-3 3. (1) 方程3x(x+2)=0的解为　　　　　　;  (2) 方程2x=5x2的解是　　　　　　.  4. 用因式分解法解方程(y-3)2-(3y-4)2=0时,可将该方程转化为两个一元一次方程:　　　　　　　　　　　　　　. B D 1 2 3 4 5 x1=0,x2=-2 x1=0,x2= y-3+3y-4=0,y-3-3y+4=0 5. 用因式分解法解下列方程: (1) (x+1)(3x-2)=0; (2) 25t2+100t=0; (3) y2-9=0; (4) x2+7=-2x; (5) (2x-1)2=3(1-2x); (6) 36(y+5)2-49(y-1)2=0. (1) x1=-1,x2=　 (2) t1=0,t2=-4　 (3) y1=-12,y2=12　 (4) x1=x2=-　 (5) x1=,x2=-1　 (6) y1=-,y2=37 1 2 3 4 5 1. 一元二次方程3x(x-5)=5(5-x)的根是 (　　) A. x1=x2=- B. x1=x2=5 C. x1=,x2=5 D. x1=-,x2=5 2. 方程x2-2x-24=0的根是 (　　) A. x1=6,x2=4 B. x1=6,x2=-4 C. x1=-6,x2=4 D. x1=-6,x2=-4 3. (1) 一元二次方程(x-2)(x+7)=0的根是　　　　　　;  (2) (2024·滨州)方程x2-4x=0的根为　　　　　　.  4. 一元二次方程x2+3-2x=0的根是　　　　　　.  5. 关于x的方程x2+4kx+2k2=4的一个解是x=-2,则k的值为　　　　. D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x1=2,x2=-7 x1=0,x2=4 x1=x2= 0或4 6. 用因式分解法解下列方程: (1) -4x2+x=0; (2) 36x2+6x+=0; (3) (2025·太仓期末)(x-2)2=3(x-2)2; (4) (3y-7)2-(y+1)2=0. (1) x1=0,x2=　 (2) x1=x2=-　 (3) x1=2,x2=5 (4) y1=,y2=4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 已知关于x的一元二次方程(k-6)x2+6x+k2-6k=0的一个根是x=0,则k的值是 (　　) A. 6 B. 0 C. 6或0 D. -6或0 8. (2023·临沂改编)已知一元二次方程x2-14x+48=0的两个根是菱形的两条对角线的长,则这个菱形的面积为 (　　) A. 12 B. 20 C. 24 D. 48 9. 若方程x2-3x=0的两个实数根分别为x1、x2,则x1-x2的值为　　　　.  10. (2024·赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程x2-10x+21=0的两个根,则这个三角形的周长为　　　　. B C ±3 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 用因式分解法解下列方程: (1) 2(x-3)=-3(x-3)2; (2) (2024·苏州期末)x2-4x=2x-8; (3) 4(x-2)2=25(x+3)2; (4) -x2-5=2x; (5) 2(8-x)2=x2-64; (6) (y-1)2-6(1-y)+9=0. (1) x1=3,x2=　 (2) x1=4,x2=2 　 (3) x1=-,x2=-　 (4) x1=x2=-　 (5) x1=8,x2=24　 (6) y1=y2=-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. (新考法·阅读理解)阅读下面的解答过程,请判断是否有错,若有错,请你写出正确的解答过程. 已知x=m是关于x的方程mx2-2x+m=0的一个根,求m的值. 解:把x=m代入原方程,化简,得m3=m. 两边同时除以m,得m2=1,解得m=1. 把m=1代入原方程检验,可知m=1符合题意. ∴ m的值是1. 解答过程有错　正确的解答过程如下:把x=m代入原方程,化简,得m3-m= 0.∴ m(m+1)(m-1)=0,∴ m=0或m+1=0或m-1=0,∴ m1=0,m2=-1,m3=1.将m的三个值分别代入原方程检验,均符合题意,∴ m的值是0或-1或1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$1.2　一元二次方程的解法 第3课时　配方法(二次项系数不为1) 用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一般步骤: (1) 化1:方程两边同除以二次项系数,将二次项系数化为　　　　;  (2) 移项:把常数项移到方程的　　　　;  (3) 配方:在方程的两边都加上　　　　　 　　　　　,使左边成为完全平方式;  (4) 直接开平方:利用　　　　　　法求方程的解. 1 右边 一次项系数一半的平方 直接开平方 1. 用配方法解关于x的方程4x2-x=4时,第一步变形正确的是 (　　) A. 4x2-4=x B. x2-x=1 C. x2-x=4 D. x2-x=1 2. 用配方法解方程2x2+4x+1=0时,原方程可变形为 (　　) A. (2x+2)2=-2 B. (2x+2)2=-3 C. = D. (x+1)2= B D 1 2 3 4 5 3. 在横线上填上适当的数,使等式成立: (1) 3x2+18x+　　　　=3(x+　　　　)2;  (2) -x2+　　　　-=-(x-　　　　)2.  4. 若一元二次方程9x2-11x-396=x的两根为a、b,且a<b,则a-3b的值为 　　　　. 27 3 5x 5 -28 1 2 3 4 5 5. 用配方法解下列方程: (1) 4x2+8x=1; (2) 2x2+6x-1=0; (3) 2-3t2-5t=0; (4) 2y2+7=9+7y. (1) x1=-1,x2=--1　 (2) x1=-,x2=--　 (3) t1=,t2=-2　 (4) y1=+,y2=-+ 1 2 3 4 5 第3课时　配方法(二次项系数不为1) 1. 将方程2x2+8x+3=0变形为(x+h)2=k的形式,正确的是 (　　) A. (x+2)2=1 B. (x+2)2= C. (x-2)2= D. (x+2)2= 2. 对于任意实数x,用配方法可以说明代数式4x2-24x+36的值一定是 (　　) A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 非正数 D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. (1) 3x2+2x+　　　　=3(x+　　　　)2;  (2) x2-4x+　　　　=(x-　　　　)2.  4. 用配方法解一元二次方程5x2-20x+3=0时,将它化为(x+h)2=k的形式,则 h+k的值为　　　　. 12 6 解析:方程5x2-20x+3=0通过配方可化为(x-2)2=,∴ h=-2,k=,∴ h+k=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 用配方法解下列方程: (1) 4x2+8x+3=0; (2) -3x2+6x+2=0; (3) (2023·无锡)2x2+x-2=0; (4) 2y2-2=3y. (1) x1=-,x2=-　 (2) x1=+1,x2=-+1　 (3) x1=-+,x2=--　 (4) y1=2,y2=- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 若方程4x2-(m+2)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式,则实数m的值为 (　　) A. 2或-2 B. 6或-6 C. 2或-6 D. -2或6 C 解析:∵ 4x2-(m+2)x+1=(2x)2-(m+2)x+12,∴ -(m+2)x=±2×2x×1,即-(m+2) =±4,解得m1=-6,m2=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 不论x、y为何值,用配方法可说明代数式x2+4y2+6x-4y+11的值 (　　) A. 总不小于1 B. 总不小于11 C. 可为任何实数 D. 可以为负数 A 解析:x2+4y2+6x-4y+11=(x2+6x+9)+(4y2-4y+1)+1=(x+3)2+(2y-1)2+1.∵ (x+ 3)2≥0,(2y-1)2≥0,∴ (x+3)2+(2y-1)2+1≥1,即x2+4y2+6x-4y+11≥1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 已知关于x的方程3x2-px+q=0通过配方可变形为(x-1)2=,则pq的值为 　　　　.  9. 若方程2x2-8x-11=0能配方成(x+h)2=k的形式,则直线y=hx-k经过第____ 象限. 解析:由(x-1)2=,得3x2-6x-1=0,即p=6,q=-1,∴ pq=-6. -6 解析:将2x2-8x-11=0化为(x-2)2=,此时h=-2,k=,则直线y=-2x-经过第二、三、四象限. 二、 三、四 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 用配方法解下列方程: (1) x2+x-=0; (2) 3x2=2x+5; (3) -2y2+2y+1=0; (4) (2x+3)(x-6)=16. (1) x1=-,x2=--　 (2) x1=-1,x2=　 (3) y1=1+,y2=-1+　 (4) x1=+,x2=-+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 当x满足不等式组时,求方程2x2-3x-5=0的根. 解不等式组 得2<x<4.解方程2x2-3x-5=0,得x1=-1,x2=. ∵ 2<x<4,∴ 满足条件的方程的根为x= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 求证:对于任意实数m,关于x的方程(-2m2+8m-12)x2-3x+1=0都是一元二次方程. ∵ -2m2+8m-12=-2(m-2)2-4,且对于任意实数m,总有(m-2)2≥0,∴ -2(m-2)2≤ 0,∴ -2(m-2)2-4≤-4,∴ 对于任意实数m,代数式-2m2+8m-12的值总不等于0,∴ 对于任意实数m,关于x的方程(-2m2+8m-12)x2-3x+1=0都是一元二次方程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$1.2　一元二次方程的解法 第5课时　一元二次方程根的判别式 1. 式子　　　　叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式.  2. 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac>0时,方程有_______ 　　　　　　根;当b2-4ac=0时,方程有　　　　 　　　　根;当b2-4ac<0时,方程　　　　　根.反之也成立. b2-4ac 两个不 两个相等的实数 相等的实数 没有实数 1. (2023·广元)一元二次方程2x2-3x+=0的根的情况是 (　　) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 2. (2025·苏州期末)关于x的一元二次方程x2+4x+m=0有两个不相等的实数根,则m的值可能是 (　　) A. 9 B. 6 C. 4 D. -1 C D 1 2 3 4 5 6 3. (2024·聊城)若关于x的方程4x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m的值 为　　　　.  4. 如果关于x的方程(a-1)x2+ax+1=0的根的判别式的值为1,那么a的值为 　　　　.  5. (2024·绵阳)已知关于x的一元二次方程x2-2(k-1)x+k2+2=0有实数根,则k 的取值范围是　　　　. 3 k≤- 1 2 3 4 5 6 6. (教材P17练习第1题变式)不解方程,直接判别下列方程根的情况: (1) x2-3x+1=0; (2) 2x2+3x+2=0; (3) x2-4x=-8; (4) (2023·泸州)x2+2ax+a2-1=0. (1) 有两个不相等的实数根　 (2) 没有实数根　 (3) 有两个相等的实数根　 (4) 有两个不相等的实数根 1 2 3 4 5 6 1. (2023·吉林)一元二次方程x2-5x+2=0的根的判别式的值是 (　　) A. 33 B. 23 C. 17 D. 2. 下列一元二次方程中,没有实数根的是 (　　) A. x2-2x-3=0 B. x2+3x+2=0 C. x2-2x+1=0 D. x2+2x+3=0 3. (2024·昆山期中改编)一元二次方程x2+3x-2=0的根的情况为 (　　) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 4. 关于x的方程x2-x-m=0有实数根,则实数m的取值范围是 (　　) A. m< B. m≤ C. m≥- D. m>- 5. (2024·徐州)关于x的方程x2+kx+1=0有两个相等的实数根,则k的值为 　　　　.  6. (2024·云南)若一元二次方程x2-2x+c=0没有实数根,则实数c的取值范围是　　　　. C ±2 c>1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 已知关于x的一元二次方程x2-(2a+1)x+a2=0. (1) 当a满足什么条件时,方程有两个相等的实数根? (2) 当a满足什么条件时,方程有两个实数根? (3) 当a满足什么条件时,方程没有实数根? (1) ∵ 方程有两个相等的实数根,∴ [-(2a+1)]2-4a2=0,即4a+1=0,解得a=-　 (2) ∵ 方程有两个实数根,∴ [-(2a+1)]2-4a2≥0,即4a+1≥0,解得a≥-　 (3) ∵ 方程没有实数根,∴ [-(2a+1)]2-4a2<0,即4a+1<0,解得a<- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. (易错题)(2024·广安)若关于x的一元二次方程(m+1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是 (　　) A. m<0且m≠-1 B. m≥0 C. m≤0且m≠-1 D. m<0 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:∵ 关于x的一元二次方程(m+1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根, ∴ 解得m<0且m≠-1. [易错分析]解答本题时容易忽视一元二次方程的“二次项系数不为0”这一特征而错选D. 9. (新考法·新定义题)(2023·遂宁)我们规定:对于任意实数a、b、c、d,有[a,b]*[c,d]=ac-bd.其中,等式的右边是通常的乘法和减法运算,如:[3,2]*[5, 1]=3×5-2×1=13.若关于x的方程[x,2x-1]*[mx+1,m]=0有两个实数根,则m的取值范围是 (　　) A. m<且m≠0 B. m≤ C. m≤且m≠0 D. m≥ 10. (2023·兰州)关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根,则b2-2(1+2c)的值为　　　　. C -2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. (2024·南充)已知x1、x2(x1<x2)是关于x的方程x2-2kx+k2-k+1=0的两个不相等的实数根. (1) 求k的取值范围; (2) 若k<5,且k、x1、x2都是整数,求k的值. (1) ∵ 原方程有两个不相等的实数根,∴ b2-4ac=(-2k)2-4×1×(k2-k+1)= 4k2-4k2+4k-4=4k-4>0,解得k>1.∴ k的取值范围是k>1　 (2) ∵ k<5,k>1,∴ 1<k<5,∴ 整数k的值为2、3、4.当k=2时,方程为x2-4x+ 3=0,解得x1=1,x2=3;当k=3或4时,此时方程的解不为整数,舍去.综上所述,k的值为2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 已知关于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0. (1) 求证:该方程总有两个实数根; (2) 若m>0,且该方程的两个实数根的差为2,求m的值. (1) ∵ b2-4ac=(-4m)2-4×1×3m2=4m2≥0,∴ 该方程总有两个实数根　 (2) ∵ x2-4mx+3m2=0,∴ x=.∵ m>0,∴ x1=m,x2=3m.由题意,得3m -m=2,解得m=1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a、b、c分别为△ABC的三边长. (1) 若x=-1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由; (2) 若方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由; (1) △ABC是等腰三角形　理由:把x=-1代入方程,得2a-2b=0,∴ a=b,∴ △ABC是等腰三角形.　 (2) △ABC是直角三角形　理由:∵ 方程有两个相等的实数根,∴ (2b)2-4(a+c)(a-c)=0,∴ b2+c2=a2,∴ △ABC是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3) 若△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根. (3) ∵ △ABC是等边三角形,∴ a=b=c,∴ 原方程变为2ax2+2ax=0.∵ a≠0, ∴ x2+x=0,∴ x==,∴ x1=0,x2=-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$