第二十讲：课题学习 图案设计（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第二十讲：课题学习 图案设计 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：图案的基本图形与形成过程 1.通过一系列的探索，那么我们如何赏析图案呢？ （1） 确定基本图案； （2）确定变换方式. 2.变换方式：平移、旋转、对称 知识点02：图案的设计 利用平移、轴对称、转账中的一种或几种进行图案设计 知识点03：知识点总结 考点1：分析图案形成的过程 【典型例题】 如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换是 （   ） A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移 【变式训练1】 将一个正方形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个心形小孔，则展开铺平后的图案是（  　） A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，为保持原图的模样，应选哪一块拼在图案的空白处(    )    A．A B．B C．C D．D 考点2：利用平移、旋转、轴对称、中心对称设计图案 【典型例题】 如图是荷兰著名版画大师埃舍尔创作的作品《飞马》，该作品运用的数学方法是（    ）    A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．中心对称 【变式训练1】 如图，双鱼图案是中心对称图形，其中一条“鱼”经过怎样的变换可以与另一条“鱼”重合？下列结论：①1次旋转；②2次平移；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号为（    ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 【变式训练2】 如图所示，甲图案变为乙图案，可以用（      ）    A．旋转、平移 B．平移、轴对称 C．旋转、轴对称 D．平移 考点3：旋转对称图形的识别 【典型例题】 下列图形中是旋转对称图形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练1】 在下列四种图形变换中，如图图案包含的变换是（   ） A．平移、旋转和轴对称 B．轴对称和平移 C．平移和旋转 D．旋转和轴对称 考点4：求旋转对称图形的旋转角度 【典型例题】 风力发电机可以在风力作用下发电，如图，要使转子叶片图案绕中心旋转后，能与原来的图案重合，则至少要旋转（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，花朵图案绕中心至少旋转后与原来的图案互相重合，x的值为（   ）． A．36 B．45 C．60 D．72 【变式训练2】 如果把一个图形绕某一点旋转一定角度后，能与原来的图形重合，那么这个图形叫作旋转对称图形．如图是一个旋转对称图形，以为旋转中心，下列旋转角度中，能使旋转后的图形与原图形重合的是（    ）． A． B． C． D． 一、单选题 1．下列四组图形都由两个梯形组成，可以通过平移其中一个梯形得到另一个梯形的一组图形是（   ） A． B． C． D． 2．如图，要使此图形旋转后与原来的图形重合，则绕中心至少旋转（   ） A． B． C． D． 3．如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．如图是由中国结和雪花两种元素组成的一个图案，这个图案绕着它的旋转中心旋转角度后能够与它本身重合，则旋转角度不可能为（   ） A． B． C． D． 5．下图的图案绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则该角度可以为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在正方形网格中，经过变换得到，正确的变换是（   ） A．把绕点C逆时针旋转90°，再向下平移2格 B．把绕点C顺时针旋转90°，再向下平移5格 C．把向下平移5格，再绕点C逆时针旋转180° D．把向下平移4格，再绕点C顺时针旋转180° 7．如图，线段是由线段a经过平移得到的，线段还可以看作是线段a经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次中心对称；②1次轴对称；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号是(      )　　      A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 8．七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．已知如图所示的“正方形”是由七块七巧板拼成的正方形（相同的板规定序号相同）．现从七巧板取出四块（序号可以相同）拼成一个小正方形（无空隙不重叠），则无法拼成的序号为（　　） A．②③④ B．①③⑤ C．①②③ D．①③④ 二、填空题 9．如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 度． 10．下列图案中，可以由一个基本图案连续旋转得到的是 ．（填序号） 11．如图，等边三角形绕其三条角平分线的交点至少旋转 ，可与其自身重合． 12．如图，该图案绕着中心至少旋转 才能与自身重合． 13．如图，五角星图案绕着它的中心O旋转后第一次与自身重合，则n的值为 ． 14．小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则旋转角度的最小值为 ． 15．如图所示的是某煤气公司的商标图案，其外层可利用图形的 变换设计而成，内层可利用图形的 变换设计而成． 16．如图，五边形中，，则这个五边形的面积等于 ． 三、解答题 17．请设计出两种方案，使图中所示的正六边形绕一点旋转某个角度后，能与自身重合．再用一张半透明的薄纸描出图中的六边形，验证你的设计方案． 18．如图1，2002年国际数学家大会在北京召开，为弘扬我国古代数学文明，大会选用了如下的“弦图”作为了会标． (1)这个图形的对称性是_____________． A．是轴对称图形，但不是中心对称图形 B．不是轴对称图形，但是中心对称图形 C．既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 (2)如图2，是一幅未画完的“弦图”，仅用无刻度的直尺，画完这幅“弦图”．（用铅笔画图，保留画图痕迹，并将最后的“弦图”用黑笔描出） 19．如图，方格纸中有形状、大小完全相同的与． (1)如何运用平移、旋转，使与重合？ (2)已知经过图形变换后得到的三角形可以与成中心对称．请你用文字语言描述图形变换的方式，并画出经过图形变换后得到的三角形，标出对称中心． 20．如图，在中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数； (2)求的长． 21．在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转后能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90度． (1)下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角为的是________（写出所有正确结论的序号）； ①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形 (2)写出一个多边形，它是旋转对称图形，有一个旋转角为，并且满足：既是轴对称图形，又是中心对称图形：________； (3)2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽发现的“弦图”，它是由四个大小相等，形状相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图2），设直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，最长的斜边为． ①此正方形会标是旋转对称图形吗？________；（是或不是） ②根据图2猜想、、之间的数量关系，并说明理由； ③若图2中大正方形的面积是25，小正方形的面积是4，现将四个直角三角形按如图3的形式重新摆放，那么图3中最大的正方形的面积为________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第二十讲：课题学习 图案设计 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：图案的基本图形与形成过程 1.通过一系列的探索，那么我们如何赏析图案呢？ （1） 确定基本图案； （2）确定变换方式. 2.变换方式：平移、旋转、对称 知识点02：图案的设计 利用平移、轴对称、转账中的一种或几种进行图案设计 知识点03：知识点总结 考点1：分析图案形成的过程 【典型例题】 如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换是 （   ） A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移 【答案】D 【分析】观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转的特征进行判断作答． 【详解】解：图（2）将图形绕着中心点旋转90°的整数倍后均能与原图形重合，图案包含旋转变换和中心对称．图（3）中有4条对称轴，本题图案包含轴对称变换．不符合题意； 图（1）三角形沿某一直线方向移动不能与图（2）（3）中三角形重合，故没有用到平移． 故选：D． 【点睛】考查图形的对称、平移、旋转等变换．对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况． 平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断． 【变式训练1】 将一个正方形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个心形小孔，则展开铺平后的图案是（  　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中所给剪纸方法，进行手动操作，答案就能很直观的呈现. 【详解】按照图中顺序进行操作，展开后心形图案应该靠近正方形上下两边，且关于中间折线对称，故只有B选项符合. 故选B. 【点睛】本题考查剪纸问题，解决此类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴，一般的方法是动手操作，拿张纸按照题中的要求进行操作. 【变式训练2】 如图，为保持原图的模样，应选哪一块拼在图案的空白处(    )    A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【分析】观察图形，发现原图是后单位图形平移得到，据此即可求解． 【详解】解：由图可知，此图案由如图的图形平移而成，   ∴空白处应该为：   故选B． 【点睛】本题考查了图案设计，平移的性质，观察得出单位图形是解题的关键． 考点2：利用平移、旋转、轴对称、中心对称设计图案 【典型例题】 如图是荷兰著名版画大师埃舍尔创作的作品《飞马》，该作品运用的数学方法是（    ）    A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．中心对称 【答案】A 【分析】本题考查了利用平移设计图案，平移变换不改变图形的形状、大小和方向，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质即可得到结论． 【详解】解：该作品运用的数学方法是平移， 故选：A． 【变式训练1】 如图，双鱼图案是中心对称图形，其中一条“鱼”经过怎样的变换可以与另一条“鱼”重合？下列结论：①1次旋转；②2次平移；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号为（    ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变换，掌握旋转、平移、轴对称的性质是关键． 根据图形变换，数形结合分析即可判定． 【详解】解：根据题意，其中一条“鱼”经过1次旋转可以与另一条“鱼”重合，或者其中一条“鱼”沿着对称轴折叠，再沿着对称轴折叠可以与另一条“鱼”重合， ∴经过①③的变换即可， 故选：A ． 【变式训练2】 如图所示，甲图案变为乙图案，可以用（      ）    A．旋转、平移 B．平移、轴对称 C．旋转、轴对称 D．平移 【答案】A 【分析】本题考查了平移、对称、旋转． 在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转； 轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合； 平移，是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移． 【详解】解：甲图案先绕根部旋转一点角度，再平移即可得到乙，只有A符合题意． 故选：A． 考点3：旋转对称图形的识别 【典型例题】 下列图形中是旋转对称图形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 根据旋转对称图形的定义对四个图形进行分析即可． 【详解】解：第一个旋转后与初始位置重合，是旋转对称图形； 第二个旋转后与初始位置重合，是旋转对称图形； 第三个不是旋转对称图形． 第四个旋转后与初始位置重合，是旋转对称图形． ∴是旋转对称图形有3个． 故选：C． 【变式训练1】 在下列四种图形变换中，如图图案包含的变换是（   ） A．平移、旋转和轴对称 B．轴对称和平移 C．平移和旋转 D．旋转和轴对称 【答案】D 【分析】根据图形的形状沿中间的竖线折叠，两部分可重合，里外各一个顺时针旋转8次，可得答案． 【详解】解：图形的形状沿中间的竖线折叠，两部分可重合，得轴对称． 里外各一个顺时针旋转8次，得旋转． 故选：D． 【点睛】本题考查了几何变换的类型，平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断． 考点4：求旋转对称图形的旋转角度 【典型例题】 风力发电机可以在风力作用下发电，如图，要使转子叶片图案绕中心旋转后，能与原来的图案重合，则至少要旋转（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：该图形被平分成三部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故旋转角的最小值为． 故选：B 【变式训练1】 如图，花朵图案绕中心至少旋转后与原来的图案互相重合，x的值为（   ）． A．36 B．45 C．60 D．72 【答案】D 【分析】本题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转对称图形的定义是解题的关键．根据旋转对称图形的定义即可求解． 【详解】解：由题意得，花朵图案绕中心至少旋转后与原来的图案互相重合， x的值为72． 故选：D． 【变式训练2】 如果把一个图形绕某一点旋转一定角度后，能与原来的图形重合，那么这个图形叫作旋转对称图形．如图是一个旋转对称图形，以为旋转中心，下列旋转角度中，能使旋转后的图形与原图形重合的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，旋转角的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据旋转后与原图形重合，找出对应的旋转角即可解答． 【详解】解：由题意知， 旋转后与原图形重合， 故选：C． 一、单选题 1．下列四组图形都由两个梯形组成，可以通过平移其中一个梯形得到另一个梯形的一组图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的平移概念，熟记图形运动的相关概念是解题关键．根据平移的定义“是指在同一个平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移”逐项判断即可． 【详解】A、可以通过轴对称得到，故此选项不符合题意 B、可以通过旋转得到，故此选项不符合题意 C、可以通过平移得到，故此选项符合题意 D、可以通过轴对称得到，故此选项不符合题意 故选：C． 2．如图，要使此图形旋转后与原来的图形重合，则绕中心至少旋转（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．根据旋转角及旋转对称图形的定义，结合图形特点作答． 【详解】解：， 要使此图形旋转后与原来的图形重合，则绕中心至少旋转， 故选：C． 3．如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质．先利用旋转的性质得到，，再利用，计算即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， 故选：B． 4．如图是由中国结和雪花两种元素组成的一个图案，这个图案绕着它的旋转中心旋转角度后能够与它本身重合，则旋转角度不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转对称图形、正多边形的性质．先求出正六边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可． 【详解】解：， 则这个图案绕着它的中心旋转或的倍数后能够与它本身重合， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 5．下图的图案绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则该角度可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转对称图形的性质，等边三角形的性质等知识，连接，根据是等边三角形，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：是等边三角形， ∴， ∵它们都是旋转角，而它们的和为， ∴图案绕其中心旋转后能与自身重合， 故选：D． 6．如图，在正方形网格中，经过变换得到，正确的变换是（   ） A．把绕点C逆时针旋转90°，再向下平移2格 B．把绕点C顺时针旋转90°，再向下平移5格 C．把向下平移5格，再绕点C逆时针旋转180° D．把向下平移4格，再绕点C顺时针旋转180° 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，平移，利用数形结合解决问题是解题的关键．由图形可直接求解． 【详解】解：绕点顺时针方向旋转，再向下平移格即可与重合． 故选：B． 7．如图，线段是由线段a经过平移得到的，线段还可以看作是线段a经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次中心对称；②1次轴对称；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号是(      )　　      A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据轴对称和中心对称的定义和性质逐个判断即可．把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫对称中心，这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点． 如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称． 【详解】解：①这两条线段组成中心对称图形，因此①正确，对称中心如下图所示：    ②这两条线段不能组成轴对称图形，无法找到这样的直线，使得一边沿着这条直线翻折后与另一边重合，因此②错误； ③这两条线段组成中心对称图形，可以找到这样的两条对称轴，使得其中一条线段经过2次轴对称后与另一天重合，两条对称轴如下图所示：    故正确的有：①③ 故选C． 【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形，能快速寻找对称中心和对称轴是解题的关键．事实上，任意一次旋转变换都可以通过两次轴对称变换来实现． 8．七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．已知如图所示的“正方形”是由七块七巧板拼成的正方形（相同的板规定序号相同）．现从七巧板取出四块（序号可以相同）拼成一个小正方形（无空隙不重叠），则无法拼成的序号为（　　） A．②③④ B．①③⑤ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】由题意画出图形可求解。 【详解】B选项拼图如下： C选项拼图如下： D选项拼图如下： 故选：A． 【点睛】本题考查几何图形的想象能力，注意同一个序号的图形有两个时，两个都可以使用． 二、填空题 9．如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 度． 【答案】72 【分析】本题主要考查了旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解题关键． 观察图形可得，图形由五个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度即可． 【详解】解：图形可看作由一个基本图形旋转5次所组成，故最小旋转角为． 故答案为：72． 10．下列图案中，可以由一个基本图案连续旋转得到的是 ．（填序号） 【答案】② 【分析】本题主要考查了求旋转角，用360度除以基本图形个数即可求出对应的旋转角度，据此求解即可． 【详解】解：①是由一个基本图案连续旋转得到的； ②是由一个基本图案连续旋转得到的， ③是由一个基本图案连续旋转得到的， ④是由一个基本图案连续旋转得到的， 故答案为：②． 11．如图，等边三角形绕其三条角平分线的交点至少旋转 ，可与其自身重合． 【答案】 【分析】本题考查了旋转对称图形的知识，把一个平面图形绕着平面上一个定点旋转一定角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，熟练掌握旋转角的求解是解题的关键．等边三角形可以被经过中心的射线平分成个全等的部分，则旋转的角度即可确定． 【详解】解：， 故答案为：． 12．如图，该图案绕着中心至少旋转 才能与自身重合． 【答案】45 【分析】此题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转对称图形的概念与特征是解答此题的关键．根据旋转对称图形的概念与特征，求出最小旋转角即可． 【详解】解：根据已知图形可知，图形是旋转对称图形，最小旋转角为：， ∴图形绕中心至少旋转与自身重合； 故答案为：45． 13．如图，五角星图案绕着它的中心O旋转后第一次与自身重合，则n的值为 ． 【答案】72 【分析】观察图形，得五角星图案可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．此题主要考查旋转的应用，解题的关键是熟知旋转的性质． 【详解】解：观察图形，五角星图案可以被平分成五部分， ∴，即旋转72度的整数倍，就可以与自身重合， ∵五角星图案绕着它的中心O旋转后第一次与自身重合， ∴， 故答案为：72． 14．小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则旋转角度的最小值为 ． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查了利用旋转设计图案的知识．根据旋转的定义确定两个对应点的位置，求得与点连线的夹角即可求得旋转角度． 【详解】解：如下图，当经过一次循环后点旋转至点的位置上，    ∴． 故答案为：． 15．如图所示的是某煤气公司的商标图案，其外层可利用图形的 变换设计而成，内层可利用图形的 变换设计而成． 【答案】 旋转 轴对称 【分析】本题考查了旋转及轴对称的定义.根据图形结合旋转及轴对称的定义即可解答. 【详解】解：由题图可得图案的外层可看成是利用图形的旋转(或中心对称) 设计而成的，内层可看成是利用图形的轴对称设计而成的. 故答案为：旋转；轴对称. 16．如图，五边形中，，则这个五边形的面积等于 ． 【答案】1 【分析】将三角形ABC绕点C顺时针旋转至AB与AE重合，连AC，AD，可得Rt△ABC≌Rt△AEF，△ACD≌△AFD可将五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积，进而求出结论． 【详解】解：延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF， 由旋转的性质可得Rt△ABC≌Rt△AEF（SAS）， ∴AC=AF，，∠B=∠AEF=90°， ∴∠DEF=∠AED+∠AFE=180°， ∴D、E、F三点共线， 又∵AD=AD， ∴△ACD≌△AFD（SSS）， ∴， ∵AB=CD=AE=BC+DE，， ∴DF=CD=1， ∵， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查全了等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 三、解答题 17．请设计出两种方案，使图中所示的正六边形绕一点旋转某个角度后，能与自身重合．再用一张半透明的薄纸描出图中的六边形，验证你的设计方案． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．（答案不唯一，只要围绕中心旋转的倍数即可．） 【分析】此题主要考查旋转对称图形，注意正六边形是旋转对称图形，确定旋转角的方法是需要准确掌握的内容．正六边形可以被经过中心的射线平分成6个全等的部分，则旋转的角度即可确定． 【详解】解：正六边形被对角线分成6个相同的部分，中心角为度， 如图所示： 方案1：围绕中心旋转60度，能够与本身重合； 方案2：围绕中心旋转120度，能够与本身重合．（答案不唯一，只要围绕中心旋转的倍数即可．） 18．如图1，2002年国际数学家大会在北京召开，为弘扬我国古代数学文明，大会选用了如下的“弦图”作为了会标． (1)这个图形的对称性是_____________． A．是轴对称图形，但不是中心对称图形 B．不是轴对称图形，但是中心对称图形 C．既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 (2)如图2，是一幅未画完的“弦图”，仅用无刻度的直尺，画完这幅“弦图”．（用铅笔画图，保留画图痕迹，并将最后的“弦图”用黑笔描出） 【答案】(1)B (2)见解析 【分析】本题考查了中心对称图形及轴对称图形，熟记定义是解题的关键； （1）根据轴对称图形及中心对称图形的定义进行判断即可． （2）根据中心对称的性质画出图形，即可求解． 【详解】（1）解：该图形绕正方形中心旋转后能与自身完全重合，所以是中心对称图形，但不关于某条直线对称，所以不是轴对称图形． 故选：B． （2）解：如图，答案不唯一 19．如图，方格纸中有形状、大小完全相同的与． (1)如何运用平移、旋转，使与重合？ (2)已知经过图形变换后得到的三角形可以与成中心对称．请你用文字语言描述图形变换的方式，并画出经过图形变换后得到的三角形，标出对称中心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了图形的平移和旋转，正确找到两个三角形的位置关系是解题的关键． （1）观察可知，是由经过平移和旋转得到的，并且，，由此可知旋转点为，旋转角度为，据此求解即可． （2）观察可知，将绕点逆时针旋转得，连接，交于点P，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，将向上平移4个单位，再向右平移3个单位，然后绕点顺时针旋转即可得出，使与重合． （2）解：将绕点逆时针旋转得，连接相交于一点，即为点P，则与关于点P中心对称，如图所示： ． 20．如图，在中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数； (2)求的长． 【答案】(1)旋转中心为点A，旋转角的度数为； (2)． 【分析】本题考查的是旋转的三要素，旋转的性质． （1）先求解，由点A旋转后与自身重合可得旋转中心，由B，D是旋转前后的对应点，可得旋转角的大小； （2）由旋转的性质，，再根据为的中点，据此求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∴， ∵当逆时针旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心为点A，旋转角的度数为； （2）解：由旋转得，，， ∵为的中点， ∴， ∴． 21．在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转后能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90度． (1)下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角为的是________（写出所有正确结论的序号）； ①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形 (2)写出一个多边形，它是旋转对称图形，有一个旋转角为，并且满足：既是轴对称图形，又是中心对称图形：________； (3)2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽发现的“弦图”，它是由四个大小相等，形状相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图2），设直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，最长的斜边为． ①此正方形会标是旋转对称图形吗？________；（是或不是） ②根据图2猜想、、之间的数量关系，并说明理由； ③若图2中大正方形的面积是25，小正方形的面积是4，现将四个直角三角形按如图3的形式重新摆放，那么图3中最大的正方形的面积为________． 【答案】(1)①③ (2)正十边形 (3)①是；②；理由见详解；③46 【分析】本题考查旋转对称图形，轴对称图形，中心对称图形及运用完全平方公式计算，掌握旋转对称图形的旋转角的计算方法是解题的关键． （1）根据旋转对称图形和旋转角的定义，进行判断即可； （2）将当作最小旋转角，进行计算即可． （3）①根据旋转对称图形和旋转角的定义，进行判断即可； ②根据各图形面积之间的关系即可得出结论；③根据各图形面积之间的关系即可得出结论． 【详解】（1）解∶①．正三角形是旋转对称图形，它有一个旋转角为； ②，正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为或； ③，正六边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为； ④，正八边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为或或， 故答案为∶①③； （2）解：，，正五边形满足有一个旋转角为是轴对称图形，但不是中心对称图形，正十边形有一个旋转角为，既是轴对称图形，又是中心对称图形． 故答案为：正十边形； （3）解：①根据旋转对称图形的定义，此正方形会标是旋转对称图形，它有一个旋转角是， 故答案为：是； ②、、之间的数量关系为， 理由：边长为的正方形的面积可以表示为， 也可以表示为，即， 所以、、之间的数量关系为； ③图2中大正方形的面积是25，即， 小正方形的面积是4，即， ， ， 那么图3中最大的正方形的面积为， 故答案为：46. 学科网（北京）股份有限公司 $$