精品解析：湖南省长沙市望城区长郡斑马湖中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

高二数学试卷 一、单选题 1. “”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 5 D. 4. 已知命题“，”是假命题，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，已知，，，、边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若存在非零实数，使得成立､则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若方程有四个不同的实数根，，，，则的取值范围是（ ） A. （3，4） B. （2，4） C. [0，4） D. [3，4） 二、多选题 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确是（ ） A. 函数是以为最小正周期，且在区间上单调递减的函数 B. 若是斜三角形一个内角，则不等式的解集为 C. 函数的单调递减区间为 D. 函数的值域为 11. 设函数是定义域为R，且周期为2的偶函数，在区间[0，1]上，，其中集合，则下列结论正确的是 A. B. 在[2m，2m+1](m∈N)上单调递增 C. 在内单调递增 D. 的值域为[0，1] 三、填空题 12. 设集合，，若只有一个子集，则实数t的取值范围是______. 13. 已知样本的平均数和方差分别是1和4，若的平均数和方差也是1和4，则__________. 14. 在边长为1正六边形中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，，以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，．记，为的两个三元子集，则的最大值为______；的最小值为______． 四、解答题 15. 计算下列各式的值： （1） （2） 16. 已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为3． （1）求圆锥的体积； （2）求圆锥表面积． 17. 在中，内角所对的边分别为，满足 （1）求证：； （2）若为锐角三角形，求的最大值． 18. 已知函数. （1）若，求的定义域 （2）若为奇函数，求a值. 19. 已知函数对于任意实数x，y，恒有，且当时，，． （1）求在区间上的最大值和最小值； （2）若在区间上不存在实数x，满足，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学试卷 一、单选题 1. “”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为， 所以由推不出，如，，满足，但是，故充分性不成立； 由，且，所以，所以一定有，故必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2. 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二倍角的正弦公式求解即可. 【详解】， 故选：B 3. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据诱导公式求出，然后将所求式化弦为切代值计算即得. 【详解】， 则. 故选：A. 4. 已知命题“，”是假命题，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出原命题否定，即为真命题，然后将有解问题转化为最值问题求解即可. 【详解】命题“，”是假命题， 则“，”是真命题， 所以有解， 所以， 又， 因为，所以， 即. 故选：B. 5. 如图，在中，已知，，，、边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，取为基底，利用向量数量积求出，再利用向量夹角公式求解作答. 【详解】在中，令，，则，， 因为、边上的两条中线，相交于点，则，， 于是， ， ， 所以. 故选：A 6. 已知函数，若存在非零实数，使得成立､则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不妨设，然后分和两种情况讨论求解. 【详解】不妨设， 当时，，， 所以不存在非零实数，使得成立； 当时，若存在非零实数，使得成立， 则方程有正根，即函数与有交点， 先考虑函数的图象与直线相切的情况， 设切点为，则，得， 令，则， 所以函数在上单调递增，则， 所以方程的根只有一个，即， 所以， 所以函数的图象与直线相切时，切点为原点， 所以要使函数的图象与直线有交点，只需，即， 所以实数k的取值范围为． 故选：A. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查导数的应用，解题的关键是将问题转化为当时，函数与有交点，然后利用导数有几何意义求解函数的图象与直线相切的情况，从而可得答案，考查数学转化思想，属于较难题. 7 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由作差法，结合对数换底公式、对数运算性质、基本不等式比较得，即可判断大小. 【详解】由， ， ， ∴， ∴，， ∴. 故选：B. 8. 已知，若方程有四个不同的实数根，，，，则的取值范围是（ ） A. （3，4） B. （2，4） C. [0，4） D. [3，4） 【答案】D 【解析】 【分析】利用数形结合可得，结合条件可得，，，且，再利用二次函数的性质即得. 【详解】由方程有四个不同的实数根， 得函数的图象与直线有四个不同的交点，分别作出函数的图象与直线． 由函数的图象可知，当两图象有四个不同的交点时，． 设与交点的横坐标为，，设，则，， 由得， 所以，即． 设与的交点的横坐标为，， 设，则，，且， 所以， 则． 故选：D. 二、多选题 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】借助函数的单调性判定A、B、D；利用作差法判定C. 【详解】函数在上单调递减，由，得，A错误； 函数在上单调递增，由，得，B正确； ， 因为，根据在上单调递增，所以，则，， 则，则，C错误； 函数， 因为为增函数，且恒成立，所以为减函数， 而，则，D正确. 故选：BD 10. 下列结论正确的是（ ） A. 函数是以为最小正周期，且在区间上单调递减的函数 B. 若是斜三角形的一个内角，则不等式的解集为 C. 函数的单调递减区间为 D. 函数的值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正弦函数的周期性和单调性可判断A正确；根据正切函数的单调性可判断B，C正确；根据正弦函数的性质可判断D错. 【详解】A选项，函数的图象是在的图象基础上，将轴下方的部分翻折到轴上方，因此周期减半，即的最小正周期为；当时，，显然单调减；故A正确； B选项，因为是斜三角形的一个内角，所以或；由得，所以或；故B错； C选项，由得，即函数的单调递减区间为，故C正确； D选项，因为，所以，因此，所以，故D错. 故选：AC. 11. 设函数是定义域为R，且周期为2的偶函数，在区间[0，1]上，，其中集合，则下列结论正确的是 A. B. 在[2m，2m+1](m∈N)上单调递增 C. 在内单调递增 D. 的值域为[0，1] 【答案】AC 【解析】 【分析】A. 利用函数奇偶性和周期性求解.B. 当时， [2m，2m+1]，取特殊值验证. C. 根据，且，则，，由求解.D. 根据特殊点验证. 【详解】A. ，故正确. B. 当时， [2m，2m+1]，因为在[0，1]上，，当时，，，所以不单调递增，故错误. C. 因为，且，则，，所以，所以在内单调递增，故正确. D. 当时，，但从图象上挖走时，若时，解得，所以 [0，1]，的值域不是[0，1]，故错误. 故选： AC 【点睛】本题主要考查分段函数的图象和性质，还考查了分析转化求解问题的能力，属于中档题. 三、填空题 12. 设集合，，若只有一个子集，则实数t的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据只有一个子集，由求解. 【详解】因为只有一个子集，所以. 因为，， 所以， 解得. 故答案为： 【点睛】本题主要考查集合的子集及集合的基本运算，属于基础题. 13. 已知样本的平均数和方差分别是1和4，若的平均数和方差也是1和4，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据平均数与方差的线性变换先去计算的值，然后计算的值. 【详解】因为的平均数为，所以的平均数为；因为的方差为，所以的方差为；所以，解得：或，所以. 【点睛】本题考查平均数与方差的线性变换，难度一般.已知的平均数与方差为：，那么的平均数与方差为：. 14. 在边长为1的正六边形中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，，以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，．记，为的两个三元子集，则的最大值为______；的最小值为______． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】由“两个向量模长越大、夹角越小则两个向量的和向量的模长越大”结合可知正六边形结构特征可知的最大值为；由空1以及数量积概念可知对于，当与达到最大时与此时方向相反，故此时达到最小值. 【详解】根据向量加法平行四边形法则以及几何意义可知： 当两个向量夹角为锐角时，两个向量模长越大、夹角越小则两个向量的和向量的模长越大. 所以由正六边形结构特征可知的最大值为， 连接正六边形交于点G， 则由正六边形结构特征可知为正三角形，为其边上的中线， 且由正六边形结构特征，，， 所以由题意以及余弦定理得： 即， 所以，，， 所以， 故由向量加法法则； 由空1可知当时最大， 同理时最大， 与此时方向相反， 故此时达到最小值为. 故答案为：5；. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于明确的最大值为和的最大值为. 四、解答题 15. 计算下列各式的值： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据根式、指数运算求得正确答案. （2）根据对数运算求得正确答案. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为3． （1）求圆锥的体积； （2）求圆锥的表面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得圆锥的高为，结合圆锥的体积公式，即可求解； （2）根据题意，利用圆锥的侧面积公式和圆的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意知，圆锥母线长为，底面圆半径长为， 可得圆锥的高为， 所以圆锥的体积为. 【小问2详解】 解：由题意，可得圆锥的侧面积为， 圆锥的底面面积为， 所以圆锥的表面积为. 17. 在中，内角所对的边分别为，满足 （1）求证：； （2）若为锐角三角形，求的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，借助三角恒等变换公式化简即可. （2）利用为锐角三角形，求出，表示出，并进行换元转化为二次函数,进而求得最大值. 【小问1详解】 由题， 由正弦定理：， 所以， 整理， 所以， 或（舍）, . 【小问2详解】 为锐角三角形, 解得：,所以， 且 由（1）问，， 令， 则， 所以 因为, 当时，所求的最大值为. 18. 已知函数. （1）若，求的定义域 （2）若为奇函数，求a值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据定义域的求法，求得的定义域. （2）根据奇函数的定义域关于原点对称求得，判断为奇函数，从而确定的值. 【详解】（1）依题意， ， 所以的定义域为. （2）依题意， ， 解得或， 由于为奇函数，所以，解得， 此时， ， 所以. 19. 已知函数对于任意实数x，y，恒有，且当时，，． （1）求在区间上的最大值和最小值； （2）若在区间上不存在实数x，满足，求实数a的取值范围． 【答案】（1）最大值和最小值分别为6和 （2） 【解析】 【分析】（1）通过赋值法证明函数为奇函数且单调递增，可求函数在区间上的最大值和最小值； （2）利用（1）中的结论，不等式等价于，在区间上无解，即在区间上恒成立，利用二次函数性质求解. 【小问1详解】 由题可知函数的定义域为，令，得，解得， 令，得，所以，所以为奇函数．． 任取，且，则， 因为当时，，所以，即． 因为为奇函数，所以，则，即， 所以在上单调递增． 所以在上的最大值为，最小值为． 因为，令，得． 因为为奇函数，所以． 所以在上的最大值为6，最小值为． 【小问2详解】 由（1）知为奇函数，所以． 由得，即， 又在上单调递增，所以，即． 因为不存在，使得，所以，． 因为抛物线开口向上，所以，解得， 所以a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$