精品解析：安徽省合肥市第四十五中学2024-2025学年下学期八年级数学期末试卷

2024-2025学年第二学期期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此求解即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式； B．是最简二次根式； C．，被开方数是分数，不是最简二次根式； D．，被开方数是小数，不是最简二次根式； 故选：B． 2. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程的概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A中方程的未知数的最高次数是1次，故不是一元二次方程，不符合题意； B中方程含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； C中方程是一元二次方程，符合题意； D中方程不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的概念，熟知一元二次方程满足的条件是解答的关键． 3. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. 13，14，15 B. 9，40，41 C. 3，4， D. 1，， 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数，掌握勾股数的定义及勾股定理的逆定理是解题的关键．判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证较小两数的平方和是否等于最大数的平方． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故选项错误，不符合题意； B、，能构成直角三角形，是整数，故选项正确，符合题意； C、不是整数，故选项不符合题意； D、1，，，不是整数，故选项不符合题意； 故选：B． 4. 一个多边形的内角和是外角和的4倍，这个多边形的边数是(　　) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算． 【详解】多边形的外角和是，根据题意得： ， 解得． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决． 5. 如图，的对角线，交于点，若，，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平行四边形的对角线互相平分得到OA、OB的长度，再根据三角形三边关系得到AB的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=AC=3，BO=BD=4， 在△AOB中， 4-3<AB<4+3 ∴1<AB<7， 结合选项可得，AB的长度可能是6， 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和三角形的三边关系，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 6. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义，二次根式有意义，求函数自变量的取值范围需考虑分母不为零和被开方数为非负数，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， 即且， 故选：D． 7. 小明在家中利用物理知识称量某个品牌纯牛奶的净含量，称得六盒纯牛奶的含量分别为：248mL，250mL，249mL，251mL，249mL，253mL，对于这组数据，下列说法正确的是（ ）. A. 平均数为251mL B. 中位数为249mL C. 众数为250mL D. 方差为 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：中位数是一组数据按大小顺序排列，中间一个数或两个数的平均数，即为中位数；出现次数最多的数即为众数；方差就是各变量值与其均值离差平方的平均数，根据方差公式计算即可，所以计算方差前要先算出平均数，然后再利用方差公式计算．A、这组数据平均数为：（248+250+249+251+249+253）÷6=250，故此选项错误；B、数据重新排列为：248，249，249，250，251，253，其中位数是（249+250）÷2=249.5，故此选项错误；C、这组数据出现次数最多的是249，则众数为249，故此选项错误；D、这组数据的平均数250，根据方差公式S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，则其方差为：×[（248﹣250）2+（250﹣250）2+（249﹣250）2+（251﹣250）2+（249﹣250）2+（253﹣250）2]=，故此选项正确；故选D． 考点：平均数、中位数、众数、方差的定义. 8. 如图，是四边形的对角线．点E，F分别是的中点，点M，N分别是的中点，若四边形是菱形，则原四边形应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理以及菱形的性质，由题意得分别是的中位线，推出且；四边形是平行四边形；根据四边形是菱形，得到，推出，即可求解； 【详解】解：由题意得：分别是的中位线， ∴且；且；且；且； ∴且； ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，正方形的边长是6，的平分线交于点E，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在上取点F，使，连接，根据角平分计算，可得，得，得取得最小值为，当时，取得最小值，求出,即得，即得的最小值． 【详解】解：在上取点F，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点Q在上时， ，取得最小值， 当时，取得最小值， ∵正方形的边长是6， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理——最短路线问题．熟练掌握正方形性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，垂线段性质，根据题意作出辅助线，是解答此题的关键． 10. 定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”，如：一元二次方程的两根为，，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于x的一元二次方程，有以下两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有3个整数p满足要求，对于这两个结论判断正确的是（ ） A. ①②都错误 B. ①②都正确 C. ①错误，②正确 D. ①正确，②错误 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了新定义方程，解一元二次方程，根的判别式，把代入方程，求出方程的根，再根据“友好方程”的定义即可判断①；利用因式分解法解方程得，或，，分两种情况，根据“友好方程”的定义求出的取值范围，进而可判断②；理解新定义方程是解题的关键． 【详解】解：①当时，方程为， 解得，， ∴， ∵，且， ∴该方程是“友好方程”，故①正确； ②∵， ∴， ∴或， ∴，或，， ∵该方程是“友好方程”， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 当，时， ∵， ∴， 解得， ∵有且仅有个整数满足要求， ∴此时的值不存在； 当，时，， 解得， 又∵， ∴此时满足要求的整数的值只有，两个，故②错误； 综上，结论①正确，②错误， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 化简的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握是解题的关键． 直接运用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 12. 某校6月份每天需要两名志愿者参与校园卫生巡查，八6班学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有78种组队可能．如果设八6班参加的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的建立，根据题目中“共有78种组队可能”建立方程，再转化为一般形式的一元二次方程． 【详解】解：设八6班参加的学生有人 可列方程：， 化为一般形式：． 故答案为： 13. 已知样本的平均数为3，方差是2，那么样本的方差是______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查方差的计算公式及其运用，一般地设有n个数据，，若每个数据都放大或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化，方差则变为这个倍数的平方倍． 根据方差的变化规律即可解答． 【详解】解： ∵的方差是2， ∴的方差是． 故答案为18． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，过点B，C作直线，交x轴于点D． （1）点C的坐标为______； （2）点为线段上一点，且横坐标为2，若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则点P的坐标为______． 【答案】 ① ②. 或或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、求一次函数解析式、一次函数与几何的综合、平行四边形的性质等知识点掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先求得，即，；如图：过点C作轴于M，再证明可得、，即可确定点C的坐标； （2）先求得直线的解析式为，易得；设时，以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，然后分为平行四边形的一边和对角线两种情况分别运用平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：（1）当时，；当时，； ∴， ∴，， 如图：过点C作轴于M， ∵将线段绕点A顺时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即， 设时，以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形， 如图：当为平行四边形的一边且点P在x轴上方时，根据平行四边形的对角线相互平分可得： ，解得：，即； 如图：当为平行四边形的一边且点P在x轴下方时，根据平行四边形的对角线相互平分可得： ，解得：，即； 如图：当为平行四边形的对角线时，根据平行四边形的对角线相互平分可得： ，解得：，即． 综上，点P的坐标为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共9小题，满分90分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算等知识点，掌握二次根式的混合运算法则成为解题关键． 先根据二次根式的性质化简，再运用完全平方公式计算，最后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握常见的一元二次方程的解答方法是解题的关键． 直接运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， 所以该方程的解为：． 17. 如图，在网格图中，每个小正方形的边长为1，点A在格点上． （1）在网格图中，以格点为顶点，画菱形，使它的边长为． （2）求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）12或5 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、菱形的定义、菱形的面积等知识点，掌握菱形的性质成为解题的关键． （1）先以A为线段的一个端点，以2和3个方格确定边，然后确定菱形的顶点C、D，然后再顺次连接即可解答； （2）如图1：可知；如图2：，然后分别根据菱形的面积为对角线积的一半即可解答． 【小问1详解】 解：如图：菱形即为所求． 或 【小问2详解】 解：如图1：可知，则菱形面积为：； 如图2：可知，则菱形的面积为：． 综上，菱形的面积为12或5． 18. 如图，在四边形中，，对角线交于点O，且，过点O作，交于点E，交于点F． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接，，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质、平行四边形的判定和性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）通过、，再证明可得，然后结合即可证明结论； （2）设，先证为的垂直平分线推出，再利用平行线性质、等腰三角形的性质证明，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 【小问2详解】 解：设，则， 由（1）得：四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，即． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2 （1）求k的取值范围； （2）若，求出k的值． 【答案】（1）k＜2； （2）-8． 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到，即可求出k的范围； （2）利用根与系数关系即可求出k的值． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2， ∴，， ∵， ∴，即： 整理得：， ∴， 解得：，， ∵， ∴ 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与根的个数的关系，根与系数的关系（韦达定理）．熟记当时，方程有两个不等根；当时，方程有两个相等的根；当时，方程无根；将做适当变形是解本题的关键． 20. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质可得且，再证明四边形是平行四边形，然后结合即可证明结论； （2）由菱形的性质可得、，得，由勾股定理可得，进而得到，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴且， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键． 21. 我校“点爱”社团倡导全校学生参加“关注特殊儿童”自愿捐款活动，并对此次活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）．请结合以上信息解答下列问题． 组别 捐款额元 人数 A a B 100 C D E （1）本次抽样调查样本的容量是______，______； （2）补全“捐教人数分组统计图”； （3）若记A组捐款的平均数为5元，B组捐款的平均数为15元，C组捐款的平均数为25元，D组捐款的平均数为35元，E组捐款的平均数为50元，全校共有2000名学生参加此次活动，请你估计此次活动可以筹得善款的金额大约为多少元． 【答案】（1）500，20 （2）见解析 （3）元 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图、频数分布表、用样本估计整体等知识定．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）先求出B组所占的百分比，再用B组人数为100除以其所占的百分比即可求得样本容量；用样本容量乘以A组所占的百分比即可求得a的值； （2）用样本容量乘以C组所占的百分比即可求得C组人数，然后补全统计图即可； （3）先求出抽查的500名学生的平均捐款数，再乘以总人数即可解答． 【小问1详解】 解：B组所占的百分比为：， 则本次调查样本的容量是：； A组的人数为：． 故答案为：500，20． 【小问2详解】 解：∵， ∴C组的人数为200， 补全“捐款人数分组统计图1”如图所示： 【小问3详解】 解：抽查的500名学生的平均捐款数为（元）， 则估计此次活动可以筹得善款金额大约为（元）． 22. 某企业为响应国家教育扶贫的号召，决定对某乡镇全体贫困初、高中学生进行资助，初中学生每人每月资助200元，高中学生每人每月资助300元．已知该乡受资助的初中学生人数是受资助的高中学生人数的2倍，且该企业在2023年每月资助学生共支出17500元． （1）问该乡镇分别有多少名初中学生和高中学生获得了资助？ （2）2023年受资助初、高中学生中，分别有和的学生被评为优秀学生，从而获得了该乡镇政府的公开表扬（资助金额未变化）同时，为了激发更多受资助学生，决定对2024年被评为优秀学生的初中学生每人每月增加的资助，对被评为优秀学生的高中学生每人每月增加的资助．在此奖励政策的鼓励下，2024年被评为优秀学生的初、高中学生分别比2023年的人数增加了、．这样，2024年评为优秀学生的初、高中学生所获得的资助总金额一个月就达到了10800元． ①2024年优秀初中学生每人每月的资助金额为______元，优秀高中学生每人每月的资助金额为______元；（用含a的代数式表示，不用化简） ②求a的值． 【答案】（1）该乡镇分别有50名初中学生和25名高中学生获得了资助． （2）①，；②20． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程、一元一次方程的应用等知识点，读懂题意、找出合适的等量关系、列出方程是解题的关键． （1）设该乡镇有x名高中学生获得了资助，则该乡镇有名初中学生受到资助，由题意列出一元一次方程求解即可； （2）①直接根据题意列代数式即可；②以“2024年评为优秀学生的初、高中学生所获得的资助总金额一个月就达到了10800元”为等量关系，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该乡镇有x名高中学生获得了资助，则该乡镇有名初中学生受到资助， 由题意得： ， 解得：， 所以． 答：该乡镇分别有50名初中学生和25名高中学生获得了资助． 【小问2详解】 解：①2024年优秀初中学生每人每月的资助金额为； 优秀高中学生每人每月的资助金额为元． 故答案为：，． ②由题意可得： ∴， 设，则方程化为：， ∴， 解得（舍）或 ∴． 23. 如图①，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C）．延长交于点F，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）如图①，若，，求的长． （3）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明． 【答案】（1）四边形是正方形，理由见解析 （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据邻边相等的矩形是正方形证明即可； （2）过点作于点．证明，推出，，利用勾股定理求解即可； （3）过点作于点，由全等三角形的性质和等腰三角形的性质，可得结论． 【小问1详解】 解：结论：四边形是正方形．理由如下： 是由绕点按顺时针方向旋转得到的， ，， 又， ， 四边形是矩形， 由旋转可知：， 四边形是正方形； 【小问2详解】 如图①，过点作于点．则 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在中，， 根据勾股定理得：， ， 或（舍去）， ， 故答案为：12． 【小问3详解】 结论：． 证明：如图②，过点作于点， ， ， ， ， 由旋转可知：， 由（1）可知：四边形是正方形， ， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列是一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. 13，14，15 B. 9，40，41 C. 3，4， D. 1，， 4. 一个多边形内角和是外角和的4倍，这个多边形的边数是(　　) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 5. 如图，的对角线，交于点，若，，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 6. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 小明在家中利用物理知识称量某个品牌纯牛奶的净含量，称得六盒纯牛奶的含量分别为：248mL，250mL，249mL，251mL，249mL，253mL，对于这组数据，下列说法正确的是（ ）. A. 平均数为251mL B. 中位数为249mL C. 众数为250mL D. 方差为 8. 如图，是四边形的对角线．点E，F分别是的中点，点M，N分别是的中点，若四边形是菱形，则原四边形应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长是6，的平分线交于点E，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值（ ） A. 3 B. 6 C. D. 10. 定义：已知，是关于x一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”，如：一元二次方程的两根为，，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于x的一元二次方程，有以下两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有3个整数p满足要求，对于这两个结论判断正确的是（ ） A. ①②都错误 B. ①②都正确 C. ①错误，②正确 D. ①正确，②错误 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 化简的结果为______． 12. 某校6月份每天需要两名志愿者参与校园卫生巡查，八6班学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有78种组队可能．如果设八6班参加的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式：______． 13. 已知样本的平均数为3，方差是2，那么样本的方差是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，过点B，C作直线，交x轴于点D． （1）点C的坐标为______； （2）点为线段上一点，且横坐标为2，若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则点P的坐标为______． 三、解答题（本大题共9小题，满分90分） 15. 计算：． 16. 解方程：． 17. 如图，在网格图中，每个小正方形的边长为1，点A在格点上． （1）在网格图中，以格点为顶点，画菱形，使它的边长为． （2）求菱形面积． 18. 如图，在四边形中，，对角线交于点O，且，过点O作，交于点E，交于点F． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接，，，求的度数． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2 （1）求k的取值范围； （2）若，求出k的值． 20. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 21. 我校“点爱”社团倡导全校学生参加“关注特殊儿童”自愿捐款活动，并对此次活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）．请结合以上信息解答下列问题． 组别 捐款额元 人数 A a B 100 C D E （1）本次抽样调查样本的容量是______，______； （2）补全“捐教人数分组统计图”； （3）若记A组捐款平均数为5元，B组捐款的平均数为15元，C组捐款的平均数为25元，D组捐款的平均数为35元，E组捐款的平均数为50元，全校共有2000名学生参加此次活动，请你估计此次活动可以筹得善款的金额大约为多少元． 22. 某企业为响应国家教育扶贫的号召，决定对某乡镇全体贫困初、高中学生进行资助，初中学生每人每月资助200元，高中学生每人每月资助300元．已知该乡受资助的初中学生人数是受资助的高中学生人数的2倍，且该企业在2023年每月资助学生共支出17500元． （1）问该乡镇分别有多少名初中学生和高中学生获得了资助？ （2）2023年受资助的初、高中学生中，分别有和的学生被评为优秀学生，从而获得了该乡镇政府的公开表扬（资助金额未变化）同时，为了激发更多受资助学生，决定对2024年被评为优秀学生的初中学生每人每月增加的资助，对被评为优秀学生的高中学生每人每月增加的资助．在此奖励政策的鼓励下，2024年被评为优秀学生的初、高中学生分别比2023年的人数增加了、．这样，2024年评为优秀学生的初、高中学生所获得的资助总金额一个月就达到了10800元． ①2024年优秀初中学生每人每月的资助金额为______元，优秀高中学生每人每月的资助金额为______元；（用含a的代数式表示，不用化简） ②求a的值． 23. 如图①，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C）．延长交于点F，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）如图①，若，，求的长． （3）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$