第03讲：集合的基本运算【九大题型】-【初升高暑假衔接】2024-2025学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第03讲：集合的基本运算 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　并集 知识点二　交集 知识点三　补集 1． 全集 2． (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 2．补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 【例题详解】 题型一：交集的运算 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 题型二：并集的运算 4．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 题型三：补集的运算 7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知全集，，，则等于（   ）． A． B． C． D． 9．（24-25高一上·贵州毕节·期末）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 题型四、交、并、补的综合运算 10．（24-25高一上·广西柳州·期末）已知全集，集合，集合.求： (1)求； (2)求； (3)求. 11．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知全集，集合，集合.求： (1)； (2)； (3). 12．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知全集，，. (1)求，； (2)求，. 题型五、交、并、补的运算求集合或参数 13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 15．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，，全集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 题型六：Venn图求集合 16．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高一上·重庆·期末）如图，为全集，为的子集，则阴影部分所表示的集合可以为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高一上·陕西榆林·期末）如图，已知表示全集，A，B是的两个非空子集，则阴影部分可表示为（    ）    A． B． C． D． 题型七：容斥原理实际应用 19．（24-25高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 20．（24-25高一上·江苏·阶段练习）为提升学生学习双语的热情“G11•四市十一校”教学联盟计划在2025年4月举行“语文情境默写”､“英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了几名均不擅长的同学？（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 21．（24-25高一上·全国·课后作业）二十大报告中提出加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国的要求.某校体育课开设“足球”、“篮球”两门选修课程，假设某班每位学生最少选修一门课程，其中有位学生选修了“足球”课程，有位学生选修了“篮球”课程，有位学生同时选修了这两门课程，则该班学生的人数为（   ） A． B． C． D． 题型八：集合新定义 22．（25-26高一上·全国）设P，Q为两个非空实数集合，定义．若，，则中元素的个数为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 23．（24-25高一上·陕西榆林·期末）给定数集M，若对于任意，都有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法正确的是（    ） A．自然数集是闭集合 B．无理数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则也为闭集合 24．（24-25高一上·甘肃·阶段练习）定义集合运算：，若集合，，则集合的真子集的个数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型九：集合的基本运算综合问题 25．（24-25高一上·云南昭通·期中）设集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 26．（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知集合，. (1)分别求，； (2)已知，若，求实数a的取值范围. 27．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围； (4)若将题干中集合，变为集合， 或．若，求实数的取值范围． 【专项训练】 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知非空数集A，B，C，其中A，B各有四个元素，，则集合（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）设为全集，，，都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）设全集，集合或，，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．10 5．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知全集，，，则集合中非空子集个数为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为(    ). A．10 B．9 C．7 D．4 8．（24-25高一上·山东·期中）在山东省实验中学科技节中，高一李明同学定义了可分比集合：若对于集合满足对任意，，都有，则称是可分比集合.例如：集合是可分比集合.若集合A，B均为可分比集合，且，则正整数的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、多选题 9．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，则下列说法正确的是（   ） A．集合 B．集合可能是 C．集合可能是 D．可能属于 10．（24-25高一上·全国·周测）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·江苏南通·期末）下列集合表示图中阴影部分的为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）设，，若，则实数a的值可以是（    ） A．0 B． C． D．3 13．（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）集合，，集合，若，则以下的取值满足题意的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·广东·期中）设，为非空实数集，定义，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 15．（24-25高一上·全国·课前预习）设全集，则 ． 16．（2025高一上·全国·专题练习）已知集合，则 ． 17．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知或，，若，则m的取值范围是 . 18．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，，，若C的真子集共有3个，则实数m的值为 ． 19．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，则集合与的相同元素组成的集合为 ． 20．（24-25高一上·四川眉山·期末）定义集合的商集运算为：，已知集合，，则集合的真子集个数是 . 四、解答题 21．（24-25高一上·河南郑州·期中）设全集，集合，集合 (1)求：，， (2)求：，． 22．（24-25高一上·北京密云·期末）已知集合，． (1)求集合； (2)当时，求； (3)若，写出一个符合条件的m的值． 23．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若且，求实数m的取值范围． 24．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知集合，． (1)当，时，求和； (2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 25．（24-25高一上·山西太原·阶段练习）我们知道，如果集合A⊆S，那么把S看成全集时，S的子集A的补集为 ，且. 类似的，对于集合A，B，我们把集合，且叫作集合A与B的差集，记作.据此回答下列问题: (1)在图中用阴影表示出集合(其中U是全集，A，B为U的子集); (2)若A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，求; (3)若集合，集合，且A-B=⌀，求实数a的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲：集合的基本运算 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　并集 知识点二　交集 知识点三　补集 1． 全集 2． (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 2．补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 【例题详解】 题型一：交集的运算 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集定义计算求解即可. 【详解】集合，则. 故选：D. 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求集合，利用集合的交集运算即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由交集的概念即可判断. 【详解】由题得，． 故选：B 题型二：并集的运算 4．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，然后可求并集． 【详解】由得， ∴， 又∵， 故． 故选：A. 5．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得，再由集合的并集运算可得. 【详解】， 故， 故选：D 6．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用并集的定义求解即得. 【详解】依题意，. 故选：C 题型三：补集的运算 7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由补集定义可知. 8．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知全集，，，则等于（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集定义求则，再结合交集定义求结论. 【详解】因为，， 所以， 又， 所以. 故选：B. 9．（24-25高一上·贵州毕节·期末）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据补集和并集概念求出答案. 【详解】，又， 故. 故选：D 题型四、交、并、补的综合运算 10．（24-25高一上·广西柳州·期末）已知全集，集合，集合.求： (1)求； (2)求； (3)求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据交集的概念计算； （2）根据并集的概念计算； （3）先求补集，然后求交集即可. 【详解】（1）由题意，； （2）由题意， （3）由题意，，则 11．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知全集，集合，集合.求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用交集的定义可求得集合； （2）（3）利用并集和补集的定义可求得结果. 【详解】（1）因为集合，集合，则. （2）因为全集， 则，故. （3）由题意可得，则. 12．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知全集，，. (1)求，； (2)求，. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据条件化简集合，利用集合的基本运算得到结果. （2）根据补集的概念计算，利用集合的基本运算得到结果. 【详解】（1）由题意得，，，， ∴. （2）由题意得，，， ∴，. 题型五、交、并、补的运算求集合或参数 13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得或．又，所以，故． 14．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】由，得到，分与讨论即可. 【详解】由，得到 分两种情况考虑： ①当，即时，，符合题意； ②当，即时，需， 解得：，综上得：，则实数的取值范围为. 故选：A 15．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，，全集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【详解】解：（1）解法1  易知，所以．又，且，所以，解得，故实数的取值范围是． 解法2  由，知，又，，所以，解得，故实数的取值范围是． （2）因为，，，所以，解得，故实数的取值范围是． （3）因为，或，，所以，解得，故实数的取值范围是． 题型六：Venn图求集合 16．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图得阴影部分为，即可求解； 【详解】由图可知，阴影部分为， 故选：A 17．（24-25高一上·重庆·期末）如图，为全集，为的子集，则阴影部分所表示的集合可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的图形，利用韦恩图，结合集合的运算判断即可. 【详解】由韦恩图知，阴影部分不在集合中，在集合中，其集合表示为. 故选：C 18．（24-25高一上·陕西榆林·期末）如图，已知表示全集，A，B是的两个非空子集，则阴影部分可表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析元素与各集合的关系即可. 【详解】在阴影部分区域内任取一个元素，则，且， 所以阴影部分可表示为. 故选：D． 题型七：容斥原理实际应用 19．（24-25高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 【答案】A 【分析】根据集合的容斥原理即可求解. 【详解】设集合“高三1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为； 集合“高三1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为； 则， 则. 故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人. 故选：A. 20．（24-25高一上·江苏·阶段练习）为提升学生学习双语的热情“G11•四市十一校”教学联盟计划在2025年4月举行“语文情境默写”､“英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了几名均不擅长的同学？（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】利用venn图，结合集合的运算求解. 【详解】设擅长语文的同学构成集合，擅长英语的同学构成集合，20人代表队构成全集， 则，，，， ， ， 所以语文和英语均不擅长的同学人数为人. 故选：C. 21．（24-25高一上·全国·课后作业）二十大报告中提出加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国的要求.某校体育课开设“足球”、“篮球”两门选修课程，假设某班每位学生最少选修一门课程，其中有位学生选修了“足球”课程，有位学生选修了“篮球”课程，有位学生同时选修了这两门课程，则该班学生的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设选修“足球”课程的学生构成的集合为，选修“篮球”课程的学生构成的集合为，作出韦恩图，可得出该班学生人数. 【详解】设选修“足球”课程的学生构成的集合为，选修“篮球”课程的学生构成的集合为， 如下图所示： 由图可知，该班学生人数为. 故选：B. 题型八：集合新定义 22．（25-26高一上·全国）设P，Q为两个非空实数集合，定义．若，，则中元素的个数为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】根据给定的定义，按分别求出即可. 【详解】当时，；当时，； 当时，，， 所以，共有8个元素. 故选：B 23．（24-25高一上·陕西榆林·期末）给定数集M，若对于任意，都有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法正确的是（    ） A．自然数集是闭集合 B．无理数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则也为闭集合 【答案】C 【分析】ABD举反例即可，C选项给出证明. 【详解】取，则，故A错误； 取，则，不是无理数，故B错误； 设，，则，，故C正确； 取，， 由C选项可知是闭集合，同理可证也是闭集合，则为被整除或被整除的全体整数集， 取，则，不能被或整除，即，故D错误. 故选：C 24．（24-25高一上·甘肃·阶段练习）定义集合运算：，若集合，，则集合的真子集的个数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】先根据新定义得出，再结合真子集的定义得出个数即可. 【详解】由，又由集合的定义有， 可得集合的真子集的个数为． 故选:B． 题型九：集合的基本运算综合问题 25．（24-25高一上·云南昭通·期中）设集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用集合的运算求解即可； （2）分类讨论集合是否为空集即可. 【详解】（1）当时，， 因此， 所以或. （2）由，得， 当时，则，解得，满足，因此； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 26．（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知集合，. (1)分别求，； (2)已知，若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或，且； (2). 【分析】（1）应用集合的交运算求得，再由补运算求，根据的关系求； （2）根据集合的包含关系有，即可得参数范围. 【详解】（1）由， 所以或，且； （2）由，显然不是空集，且， 所以，可得. 27．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围； (4)若将题干中集合，变为集合， 或．若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【分析】（1）由，结合数轴即可求解； （2）结合数轴即可求解； （3）由条件得到或，进而可求解； （4）由和两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为，所以，画出数轴如图： 所以，解得，故实数的取值范围是． （2）画出数轴如图，因为， 所以，解得． （3）因为，所以或． 又因为，所以或． 故实数的取值范围是． （4）①若，则，所以． ②若，因为，所以，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 【专项训练】 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知非空数集A，B，C，其中A，B各有四个元素，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意可得3，，3，，1，，1，，故2，，故． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，且，则，即. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）设为全集，，，都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】阴影在，内，而不在内，即在内，故阴影表示的集合是． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）设全集，集合或，，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．10 【答案】B 【分析】利用补集概念得到，对照求出，得到答案. 【详解】由补集知且，对比得， 则. 故选：B 5．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由新定义，列举计算即可； 【详解】当都是偶数或都是奇数时， 则或或或或或或或或； 当是偶数，是奇数时，，或； 当是奇数，是偶数时，，或； 集合中含有个元素，它的子集个数为， 故选：B 6．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知全集，，，则集合中非空子集个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意线求出，进而求出，可求得非空子集的个数. 【详解】，，， 则，所以， 则集合的非空子集的个数为. 故选：C. 7．（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为(    ). A．10 B．9 C．7 D．4 【答案】A 【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解. 【详解】有15人参加篮球社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋 社团的有3人，没有人同时参加三个社团，所以只参加篮球社团的9人； 设同时参加AI社团和围棋社团有人，因为有8人参加AI社团， 同时参加篮球社团和AI社团的有3人，所以只参加AI社团的有人； 又因为有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人， 所以只参加围棋社团的有人.综上所述，共有30人参加了学校社团， 所以，解得， 故只参加围棋社团的人数为人. 故选：A. 8．（24-25高一上·山东·期中）在山东省实验中学科技节中，高一李明同学定义了可分比集合：若对于集合满足对任意，，都有，则称是可分比集合.例如：集合是可分比集合.若集合A，B均为可分比集合，且，则正整数的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】方法一：根据可分比集合，再通过时成立，时不成立得到正整数的最大值为7；方法二：分析出，再证明满意题意. 【详解】解法一：一方面，取满足题意，则； 另一方面，若，不妨设，则，则，此时，且，矛盾！ 综上所述，正整数的最大值为7. 解法二：，则，又，即若，内的数均不属于， 若，则，则，又，矛盾， 所以，当时，符合，所以． 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，则下列说法正确的是（   ） A．集合 B．集合可能是 C．集合可能是 D．可能属于 【答案】ABD 【分析】根据集合的运算可判断A选项；分析可知，集合中一定包含元素、、，结合交集运算可判断B选项；因为不是自然数，结合交集的运算可判断C选项；根据可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，所以，故A正确； 因为集合，所以集合中一定包含元素、、， 又因为，所以集合可能是，故B正确； 因为不是自然数，所以集合不可能是，故C错误； 因为是最小的自然数，所以可能属于集合B，故D正确． 故选：ABD. 10．（24-25高一上·全国·周测）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由一元一次不等式和一元二次不等式的解法分别求出集合A、B的元素，再进行集合交、并、补的运算得出答案. 【详解】集合，集合， 对于A选项：，故A正确； 对于B选项：，故B错误； 对于C、D选项：，，故C正确； ，故D正确． 故选：ACD． 11．（24-25高一上·江苏南通·期末）下列集合表示图中阴影部分的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由集合的图示表示，再根据集合间的基本关系即可得出结论. 【详解】易知图中的阴影部分表示在集合中去除两集合的交集部分，即可表示为，即A正确； 还可表示为集合的补集与集合的交集，即，即D正确； 也可表示为集合的补集与集合的交集，即,B正确. 故选：ABD 12．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）设，，若，则实数a的值可以是（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】ABC 【分析】解方程，写出集合A的所有元素，根据集合A和集合B的关系，分析集合B中的元素的可能情况，解出相应的. 【详解】∵， 又∵，∴ 所以当时，此时；当时，此时； 当时，此时；时，此时不存在； 综上可得：实数a的值可以是， 故选：ABC. 13．（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）集合，，集合，若，则以下的取值满足题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据集合运算求出，再依据列式求解. 【详解】，， ，则， 又， ，解得. 故选：ABC. 14．（24-25高一上·广东·期中）设，为非空实数集，定义，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】分别利用题中的概念判断每一个选项即可； 【详解】选项A，由题可知，，故正确； 选项B, , 所以， 同理 所以，故选项B正确； 选项C，，故当集合中没有元素时，选项C错误； 选项D，由题可知，但是可能为空集，所以选D错误； 故选：AB 三、填空题 15．（24-25高一上·全国·课前预习）设全集，则 ． 【答案】 【分析】根据集合交集、补集运算求解即可. 【详解】， 所以，所以. 故答案为：. 16．（2025高一上·全国·专题练习）已知集合，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以． 17．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知或，，若，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出，由建立不等式即可得解. 【详解】由或，可得， 因为，， 所以且， 解得， 故答案为： 18．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，，，若C的真子集共有3个，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】先得到，，故，根据C的真子集个数得到C中只有2个元素，即，故，求出， 【详解】，，， 故，因为C的真子集共有3个， 所以集合C中只有2个元素，即， 所以，即时，经验证，符合题意． 故答案为： 19．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，则集合与的相同元素组成的集合为 ． 【答案】 【分析】逐个列举计算即可求解. 【详解】因为，， 所以当时，； 当时，； 当时，． 所以，． 所以集合A，B的相同元素组成的集合为． 故答案为： 20．（24-25高一上·四川眉山·期末）定义集合的商集运算为：，已知集合，，则集合的真子集个数是 . 【答案】 【分析】求出集合，利用题中定义可得出集合，利用并集的定义可得出集合，确定集合的元素个数，由此可得出该集合的真子集个数. 【详解】因为，则， 又因为，故， 所以，集合有个元素，故集合的真子集个数. 故答案为：. 四、解答题 21．（24-25高一上·河南郑州·期中）设全集，集合，集合 (1)求：，， (2)求：，． 【答案】(1)，； (2)，或. 【分析】（1）根据集合交集和并集的定义进行求解即可； （2）根据集合交集和补集的定义进行求解即可. 【详解】（1）由可得， ，； （2）因为， 所以， 所以， 或. 22．（24-25高一上·北京密云·期末）已知集合，． (1)求集合； (2)当时，求； (3)若，写出一个符合条件的m的值． 【答案】(1)或 (2) (3)(区间里的任何实数都符合) 【分析】（1）根据补集定义易得； （2）利用并集的定义易得； （3）根据条件可得，从而得不等式组，求出的范围，依题只需在范围内取任何实数都符合. 【详解】（1）由可得或； （2）当时，，则； （3）由可得.， 因恒成立，故； 要使，需使， 解得，故区间里的任何实数都符合. 23．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若且，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）先求得，根据，得到，分和，两种情况讨论，列出不等式（组），即可求解； （2）解：由（1）知：集合，根据题意，分，和，三种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由，即，可得，所以， 因为，所以， 当时，有，解得，满足题意； 当时，则满足，解得，即， 综上可得，实数的取值范围为. （2）解：由（1）知：集合，， ①当时，则满足，解得； ②当时，则满足，此时满足条件的m不存在； ③当时，则满足，解得， 综上可得，实数m的取值范围为． 24．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知集合，． (1)当，时，求和； (2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，或． (2)存在， 【分析】(1)代入，，根据集合的运算律求解; (2)假设存在实数，使得集合，列方程求实数，由此可得结果. 【详解】（1）当，时，． 又， 所以， ，或． （2）假设存在实数满足条件． 因为，所以由，得． 由，得解得  故存在，，使得． 25．（24-25高一上·山西太原·阶段练习）我们知道，如果集合A⊆S，那么把S看成全集时，S的子集A的补集为 ，且. 类似的，对于集合A，B，我们把集合，且叫作集合A与B的差集，记作.据此回答下列问题: (1)在图中用阴影表示出集合(其中U是全集，A，B为U的子集); (2)若A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，求; (3)若集合，集合，且A-B=⌀，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3). 【分析】（1）将集合A中B的部分去掉涂色即可； （2）根据差集的概念，求出的结果，进而再一次利用差集的概念求得； （3）因为，得到.根据集合之间的包含关系，分类讨论即可. 【详解】（1）将集合A中B的部分去掉涂色即可；阴影部分如下所示： （2），，根据差集概念，， 令，再根据差集概念得： （3）因为，所以. 由可得. 当时，，不等式不成立，此时，满足. 当时，. 因为，所以. 解，因为，此不等式恒成立. 解，两边同乘得，即. 结合，则. 当时，. 因为，所以. 解，两边同乘（不等号变向）得，即. 解，两边同乘（不等号变向）得，即， 结合，取. 综上，的取值范围是 1 学科网（北京）股份有限公司 $$