第02讲：集合间的基本关系【八大题型】-【初升高暑假衔接】2024-2025学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第02讲：集合间的基本关系 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　子集、真子集、集合相等 1．子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 A⫋B (或B⫌A) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 2.Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 3．子集的性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C. 知识点二　空集 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集． 【例题详解】 题型一. 判断集合的子集（真子集）的个数 1．（24-25高一上·广东湛江·期中）已知集合，则集合A的真子集个数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知集合，，则集合的所有真子集的个数（   ） A．7 B．4 C．8 D．15 3．（24-25高一上·河南·期中）设集合，，则B的非空子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 题型二. 求集合的子集（真子集） 4．（24-25高一上·安徽·阶段练习）满足的集合M的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．15 5．（24-25高一上·江西鹰潭·阶段练习）已知集合，，若，则满足集合A的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 6．（24-25高一上·山西晋中·阶段练习）满足条件的集合的个数为 . 题型三. 判断两个集合的包含关系 7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（   ） A． B． C． D．A，B的关系不确定 9．（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D．与的关系不确定 题型四. 根据集合的包含关系求参数 10．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，集合．若，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合．若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型五、判断集合相等关系 13．（25-26高一上·全国·课后作业）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·全国·课后作业）在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 15．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型六：由集合相等求参数问题 16．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，若集合，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 17．（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 18．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 题型七、空集 19．（22-23高一上·天津和平·阶段练习）下列四个说法中，正确的有（    ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 20．（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是 . 21．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）设集合，，若，则的值为 ． 题型八：集合间的基本关系综合问题 22．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 23．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知集合，．若，求实数的取值范围． （2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围． 24．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，．若，则实数m的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1 B． C．1或 D．0，1或 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则集合M的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（25-26高一上·全国·课后作业）下列各项中两个集合不是同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，那么集合与Q的关系是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·全国·课后作业）若集合有且仅有2个子集，则实数k的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 二、多选题 7．（2025高一上·全国·专题练习）下列四个关系中错误的是（   ） A． B． C． D．空集 8．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，若，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．0 D． 9．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，下列说法错误的是（   ） A．不存在实数，使得 B．存在实数，使得 C．当时， D．当时， 10．（24-25高三上·辽宁·期末）已知集合，，若，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．3 11．（25-26高一上·全国·课后作业）下列选项中正确的是（    ） A．质数奇数 B．集合与集合没有相同的子集 C．任何集合都有子集，但不一定有真子集 D．若，则 12．（24-25高一上·贵州黔西·阶段练习）下列四个命题：其中正确的命题为（   ） A．已知集合，集合，则 B．集合中有两个元素 C．已知集合，且，则的取值构成的集合为 D．记，，则 三、填空题 13．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，集合，若，那么a的取值是 ． 14．（25-26高一上·全国·课后作业）集合与 （填“是”或“不是”）相等集合． 15．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则实数的取值范围是 ． 16．（25-26高一上·全国·课后作业）指出下列各组集合之间的关系： （1），； （2），； （3），； （4），． 17．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ． 18．（24-25高一上·上海·期中）已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 四、解答题 19．（24-25高一上·全国）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)，． 20．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）（1）已知，求实数的值； （2）已知，求实数，的值. 21．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 22．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 23．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合． (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 24．（24-25高一上·河北衡水·期中）已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合. (1)求集合； (2)若，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲：集合间的基本关系 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　子集、真子集、集合相等 1．子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 A⫋B (或B⫌A) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 2.Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 3．子集的性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C. 知识点二　空集 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集． 【例题详解】 题型一. 判断集合的子集（真子集）的个数 1．（24-25高一上·广东湛江·期中）已知集合，则集合A的真子集个数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据集合个数，结合集合真子集公式，即可求解. 【详解】集合，则集合的子集个数. 除去集合本身，还有个真子集. 故选：C. 2．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知集合，，则集合的所有真子集的个数（   ） A．7 B．4 C．8 D．15 【答案】A 【分析】先求出集合，再根据子集的定义即可求解. 【详解】依题意，所以集合B的真子集的个数为. 故选：A. 3．（24-25高一上·河南·期中）设集合，，则B的非空子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据集合的含义得到集合的元素，然后求非空子集个数即可 【详解】要使，，则，故B中含有三个元素， 所以B的非空子集有，，，，，，共7个． 故选：C. 题型二. 求集合的子集（真子集） 4．（24-25高一上·安徽·阶段练习）满足的集合M的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【分析】根据提议写出符合条件的集合. 【详解】因为集合， 则集合M可以为，，，，，，，共7个. 故选：B. 5．（24-25高一上·江西鹰潭·阶段练习）已知集合，，若，则满足集合A的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据子集的定义，确定集合的元素，即可求解. 【详解】由，所以集合里的元素必须有1，2，3， 又因为，所以，，，，共4个. 故选：A 6．（24-25高一上·山西晋中·阶段练习）满足条件的集合的个数为 . 【答案】16 【分析】由题意可得集合为的子集，且中必包含元素，写出满足条件的集合，即可得答案. 【详解】解：因为， 所以， 即集合为的子集，且中必包含元素， 又因为的含元素的子集为： 共16个. 故答案为：16 题型三. 判断两个集合的包含关系 7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定集合，再进行选项判断. 【详解】集合A中所有的元素都是集合B的子集， 即集合A是由集合B的子集组成的集合， 所以， 故B是集合A中的一个元素，D正确． 故选：D 8．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（   ） A． B． C． D．A，B的关系不确定 【答案】B 【分析】根据集合中元素的特征分析做出判断． 【详解】集合A中的元素为的整数倍． 因为集合B中的元素为，所以集合B中的元素为的奇数倍， 所以，且， 故选：B． 9．（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D．与的关系不确定 【答案】A 【分析】根据，再利用是整数，是奇数即可判断集合间的关系. 【详解】∵， 是整数，是奇数，∴. 故选：A． 题型四. 根据集合的包含关系求参数 10．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，集合．若，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是的子集列方程，由此求得的取值集合. 【详解】由于，所以， 解得 所以实数的取值集合为. 故选：C. 11．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合，分析可知集合中必含元素、，可得出关于实数的方程，结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】因为且， 所以， 所以或，得或， 根据集合中元素的互异性可得，解得且且，故. 故选：A. 12．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合．若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和，根据集合的包含关系分别研究参数范围. 【详解】若，则，即当时，满足； 若，则，即当时，由得，所以． 综上，． 故选：D. 题型五、判断集合相等关系 13．（25-26高一上·全国·课后作业）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合元素的特征和属性进行判断. 【详解】A选项：，故A错误； B选项：中的元素为点中的元素为实数，故B错误； C选项：,，故C选项正确； D选项：中的元素为点，而中的元素为点，故D错误． 故选：C. 14．（25-26高一上·全国·课后作业）在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由集合相同概念逐个判断即可. 【详解】选项A中的两个集合不是同一个集合，集合中有两个元素，集合中只有一个元素，故A错误； 选项B中集合是点集，集合是数集，不是同一个集合，故B错误； 选项C中的两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故C正确； 选项D中的两个集合都是点集，但是在平面直角坐标系中，点与点是不同的，故D错误． 故选：C 15．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据集合相等的概念判断四个选项即可. 【详解】对于A，，，故，所以A错误； 对于B，为点集，为数集，故，所以B错误； 对于C，，，故，所以C错误； 对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确， 故选：D. 题型六：由集合相等求参数问题 16．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，若集合，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由集合相等的定义建立方程求得结果. 【详解】∵， ∴，解得， 故选：B 17．（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据集合相等有求参数，结合集合元素的互异性确定参数值. 【详解】由题设，可得或， 当时，，满足题设； 当时，，不符合集合元素的互异性； 所以. 故选：C 18．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由集合相等可得元素完全相等，得到或，又由元素的互异性即可求得结果. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 又根据集合互异性，可知，解得舍去， 所以解得，所以， 故选：A 题型七、空集 19．（22-23高一上·天津和平·阶段练习）下列四个说法中，正确的有（    ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据空集的性质判断即可. 【详解】①空集是任何集合的子集，所以①错； ②空集是任何非空集合的真子集，所以②错； ③空集是任何集合的子集，集合不一定等于空集，所以③错； ④空集只有自己本身一个子集，所以④错. 故选：A. 20．（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 21．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）设集合，，若，则的值为 ． 【答案】0或1或 【分析】由，按集合的可能情况分类讨论求解可得． 【详解】由， 方程至多1个解，故. ， 或或， ①若，则； ②若，则； ③若，则，解得； 综上可得，或1或. 故答案为：0或1或. 题型八：集合间的基本关系综合问题 22．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【分析】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【详解】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 23．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知集合，．若，求实数的取值范围． （2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据题意，当时，求得，符合题意；当时，结合，列出不等式组，即可求得的取值范围； （2）当时，求得，满足题意；当时，结合，列出不等式组，即可求得的取值范围. 【详解】解：（1）由集合， 当时，，解得，此时满足 ； 当时，要使得， 则满足且等号不能同时取，解得． 综上可得，实数的取值范围是． 解：（2）当时，由，得，满足； 当时，要使得， 则满足，解得， 综上可得，实数m的取值范围是． 24．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)． (2)或． 【分析】（1）由集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素，结合，求得的值，即可得到答案； （2）先求得，根据，所以集合可能是，，，，分情况讨论，结合二次函数的性质，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）解：由集合， 因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素， 故，所以， 所以实数的取值范围是． （2）解：由，解得或，所以， 因为，所以集合可能是，，，； 当时，即方程无实数根， 则，解得； 当时，即方程有且只有一个根0， ，解得； 当时，即方程有且只有一个根， 则，方程组无解； 当时，方程有两根和， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是或． 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，．若，则实数m的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由集合相等得，解方程即可求解. 【详解】因为集合，，且，所以，解得. 故选：D 2．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1 B． C．1或 D．0，1或 【答案】D 【分析】按照Q为空集和Q不是空集分类讨论，利用集合关系及方程的解列式求解即可. 【详解】，， 由题意，当Q为空集时，，满足； 当Q不是空集时，， 由得或，解得或． 综上，a的值是0，1或. 故选：D 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则集合M的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】因为为M的真子集，所以，且M中至少还有一个元素．又，所以或或，故满足条件的集合M有3个． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）下列各项中两个集合不是同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合中的元素是否相同，即可结合选项逐一求解. 【详解】集合中的元素具有无序性，选项A中两个集合是同一个集合，故A不符题意； 选项B中两个集合都是数集，且范围都是全体实数，故是同一个集合，故B不符题意； 选项C中两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故是同一个集合，故C不符题意； 选项D中两个集合都是点集，在平面直角坐标系中，点与点是不同的， 故两集合不是同一个集合，故D正确． 故选：D 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，那么集合与Q的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得出集合，再根据集合的基本关系得出. 【详解】由题意可得，故集合是集合的真子集． 故选：B 6．（25-26高一上·全国·课后作业）若集合有且仅有2个子集，则实数k的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据题意，转化为方程只有一个解，分和，两种情况，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由题意知，结合有且仅有2个子集， 即方程组只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，，满足条件； 当时，，解得或， 综上，实数的最小值为． 故选：A. 二、多选题 7．（2025高一上·全国·专题练习）下列四个关系中错误的是（   ） A． B． C． D．空集 【答案】AB 【分析】利用元素与集合的关系，集合与集合的关系判断即可. 【详解】对于A，应该为，对于B，应该为，故A、B错误． 对于C，，故C正确．对于D，空集，故D正确． 故选：AB. 8．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，若，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】ABC 【分析】按照B为空集和B不为空集，根据集合的包含关系分类讨论求得实数a的值，进而做出正确判断. 【详解】若B为空集，则方程无解，解得； 若B不为空集，则，由解得， 所以或，解得或． 综上，a的值可以为，0，． 故选：ABC. 9．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，下列说法错误的是（   ） A．不存在实数，使得 B．存在实数，使得 C．当时， D．当时， 【答案】BCD 【分析】根据各选项集合的包含关系得到不等式组，判断不等式组的解的情况，即可得解. 【详解】对于A：若，则，此方程组无解，故不存在实数a使得集合，故A正确； 对于B：由，则，即，此不等式组无解，不存在实数，使得故B错误； 对于C：当时，不满足，故C错误； 对于D：当，即时，，符合， 当时，要使，则，解得，不满足， 综上，当且仅当时， 所以当时不正确，故D错误． 故选：BCD 10．（24-25高三上·辽宁·期末）已知集合，，若，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】AB 【分析】由，列出等式或，求得，再逐个进行验证即可； 【详解】因为，所以或，解得或或或． 当时，，，此时，则不符合题意． 当时，，，此时，则符合题意． 当时，，，此时，则符合题意． 当时，，，此时，则不符合题意． 故选：AB 11．（25-26高一上·全国·课后作业）下列选项中正确的是（    ） A．质数奇数 B．集合与集合没有相同的子集 C．任何集合都有子集，但不一定有真子集 D．若，则 【答案】CD 【分析】根据质数奇数的定义即可求解A，根据空集即可求解B，根据集合的性质即可求解CD. 【详解】对于A.2是质数，但是它不是奇数，所以质数奇数错误，所以A错误； 对于B.集合与集合有相同的子集，所以B错误； 对于C.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以C正确； 对于D.若，则，所以D正确. 故选：CD. 12．（24-25高一上·贵州黔西·阶段练习）下列四个命题：其中正确的命题为（   ） A．已知集合，集合，则 B．集合中有两个元素 C．已知集合，且，则的取值构成的集合为 D．记，，则 【答案】BD 【分析】A选项，分别求出两个集合的范围即可判断；B选项，该集合中是5的正因数，求出集合即可判断；C选项，由集合与元素的关系解出参数值，注意互异性；D选项，弄清集合内元素的特征即可做出判断. 【详解】对于A，，，则，所以A选项错误； 对于B，因为集合，所以它的元素有两个，所以B选项正确； 对于C，因为集合，且，所以或． 当时，解得：或．而，不符合元素的互异性， 故或，所以C选项错误． 对于D，集合是由奇数组成的集合，集合是由被4除余1的整数组成的集合，则，故D选项正确． 故选：BD. 三、填空题 13．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，集合，若，那么a的取值是 ． 【答案】0或 【分析】由，，，三种情况分别讨论即可. 【详解】， 因为， 所以的所有可能为， 当，可得， 当，可得， 当，可得， 故答案为：0或 14．（25-26高一上·全国·课后作业）集合与 （填“是”或“不是”）相等集合． 【答案】是 【分析】解出集合，利用集合相等的概念可得出结果. 【详解】因为，所以或． 又，所以． 故答案为：是. 15．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到方程无实根，结合，即可求解. 【详解】由，可得方程无实根， 则满足，解得，所以实数的取值范围. 故答案为：. 16．（25-26高一上·全国·课后作业）指出下列各组集合之间的关系： （1），； （2），； （3），； （4），． 【答案】 是的真子集 是的真子集 是的真子集 【分析】根据集合的表示方法，求得集合或，结合集合间的包含关系，即可求解. 【详解】（1）由集合和，所以是的真子集． （2）因为两个集合都表示长方形构成的集合，所以． （3）由集合与集合都表示正奇数组成的集合，但，所以，且，所以是的真子集． （4）由集合和，所以是的真子集． 故答案为：是的真子集；；是的真子集；是的真子集． 17．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合，分，两种情况讨论求解即可. 【详解】当时，，即，满足； 当时，有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 18．（24-25高一上·上海·期中）已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 【答案】 【分析】分析可知有一个不等于3的实数解，分类讨论最高项系数以及根的个数，运算求解即可. 【详解】由题意可知：方程有且仅有一解， 等价于有一个不等于3的实数解， 1.当时，解为，满足题意； 2.当时，只有一解时， 则，解得， 若，则，解得，符合题意； 3.当时，且有两解但3是方程的解， 故，解得； 综上所述，实数取值集合为. 故答案为：. 四、解答题 19．（24-25高一上·全国·课后作业）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)A与B之间无包含关系． (2)． (3)． 【分析】（1）利用集合的元素类型判断集合的包含关系. （2）利用不等式解集判断集合的包含关系. （3）利用列举法判断集合的包含关系. 【详解】（1）集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，所以A与B之间无包含关系. （2）集合，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图知. （3）由列举法，，，所以． 20．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）（1）已知，求实数的值； （2）已知，求实数，的值. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）利用，再分，，三种情况讨论，利用集合的性质，即可求解； （2）利用集合相等的条件，建立方程组，即可求解. 【详解】（1）若时，解得，此时，，不满足集合的互异性，所以， 若时，解得或，当时，，，所以满足题意， 当时，，，不满足集合的互异性，所以， 若，解得（舍）或（舍）， 综上，实数的值为. （2）因为，则或， 由，解得，由，解得， 经检验，和均符合题意， 综上，或. 21．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，分类讨论与两种情况，结合一次方程与二次方程的解法即可得解； （2）先解二次方程化简集合，再由分类讨论集合的各种情况，结合二次方程的解法即可得解. 【详解】（1）因为只有一个元素，， 当时，； 当时，对于，有，解得， 把代入集合，得； 综上，或，对应的集合或. （2）因为，， 当时，对于，有，解得； 当时，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，则有，方程无解析，此时不存在满足条件； 综上，的取值范围为. 22．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 23．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合． (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 【答案】(1) (2)0或 【分析】（1）求出集合A，进而求出其子集即得. （2）按a的值是否为0，分类求解即得. 【详解】（1）若，则， 所以集合A的所有子集是：， （2）当时，方程，符合题意，因此， 当时，集合A中仅含有一个元素，则，解得， 所以实数a的值为0或. 24．（24-25高一上·河北衡水·期中）已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合. (1)求集合； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据判别式求解出结果； （2）分类讨论和，列出不等式组求解出的取值范围. 【详解】（1）因为有实根， 所以，解得， 所以. （2）因为， 当时，满足，此时，解得； 当时，因为，所以，解得， 综上所述，的取值范围是或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$