湖北省武汉市青山区2024-2025学年高一下学期6月期末数学试题

1 青山区2024—2025学年度第二学期期末质量检测 高一数学答案 一、选择题（共 8题，共 40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 B C C A A B D D 二、多项选择题（共 3题，共 18分） 9 10 11 ABC ACD ABD 三、填空题（共 3题，共 15分） 12 13 14 8π 4 3 3 + 4  2 四、解答题（共 5题，共 77分） 15．【解】（1）依题意， 1 | | | | cos , 2 1 2 a b a b a b =    =  = ， 2 2 2| | ( ) | | 2 | | 1 2 4 7a b a b a a b b+ = + = +  + = + + = . ……6 分 （2）因 2( ) | | 1 1 2a b a a a b+  = +  = + = ，设 a b+ 和 a的夹角为 ， 则 ( ) 2 2 7 cos 7| | | | 7 a b a a b a  +  = = = +  . ……13 分 16．【解】（1）由函数 ( )f x 的图象，可得 3A = ， 7π π 4 π 12 3 T   =  − =    ， 则 2π 2 π  = = ，所以 ( ) 3cos(2 )f x x = + ． 将点 7π , 3 12   −    代入函数解析式可得 7π 2 π 2 π,( Z) 12 k k + = +  ， 解得 π 2 π( Z) 6 k k = − +  ，因为 π 0 2 −   ，所以 π 6  = − ，所以 π ( ) 3cos 2 6 f x x   = −    ……5 分 （2）因为 ,0 2 π x    −    ，所以 7π π π 2 6 6 6 x−  −  − ，所以 π 3 1 cos 2 6 2 x   −  −     ， 所以 π 3 3 ( ) 3cos 2 3, 6 2 f x x    = −  −       ，即 ( )f x 在 π ,0 2   −    上的值域为 3 3 3, 2   −    ……10 分 （3）由（1）知 π ( ) 3cos 2 6 f x x   = −    ，则 ( ) ( ) π 2 3 6cos 2 3 6 g x f x x   = − = − −    ， 2 由函数 ( ) ( )2 3g x f x= − 在 ( )0,m 上恰有3个零点， 即 π 6cos 2 3 0 6 x   − − =    在 ( )0,m 上恰有3个解，即 π 1 cos 2 6 2 x   − =    在 ( )0,m 上恰有3个解， 因为 ( )0,x m ，所以 π π π 2 ,2 6 6 6 x m   −  − −    ， 则 7π π 11π 2 3 6 3 m −  ，解得 5π 23π 4 12 m  ，故 5π 23π , 4 12 m       . ……15 分 17．【解】（1）取 SA的中点为N ，连接 ,BN NM ,由于M 为 SD的中点， 所以 / /NM AD且 1 2 NM AD= ，又 / /BC AD且 1 2 BC AD= ， 因此 / /BC MN且 BC MN= ，所以四边形BCMN为平行四边形， 故 / /MC BN ,MC 平面 SAB，BN 平面 SAB， 所以 / /MC 平面 SAB ……4 分 （2）由（1）知： / /MC BN，所以直线BN 与平面 SAC的夹角即为直线CM与平面 SAC的夹角， 取 AC的中点为O，连接 , ,OB OS ON ,由于 2,AB BC= = 所以OB AC⊥ , 又 SA⊥平面 ABCD OB ， 平面 ABCD，所以 SA OB⊥ , , ,AC SA A SA AC = 平面 SAC， 故OB ⊥平面 SAC，所以 BNO 为直线BN 与平面 SAC所成的角， 由于 ( ) 2 2 2 2 2 21 1 2, 2 2 6 2 2 OB AC AB BC NO NA AO= = + = = + = + = ， 所以 2 3 tan 36 OB BNO NO  = = = ,由于 BNO 为锐角，所以 π 6 BNO = ， 故直线CM与平面 SAC的夹角为 π 6 . ……11 分 （3）由（2）知直线CM与平面 SAC的夹角为 π 6 ， 2 2 2 2MC BN AB AN= = + = , 故点M到平面 SAC的距离为 π sin 2 6 MC = . ……15 分 18．【解】（1） ( )cos 2 cos 0 = − + + =m n B a c b C ， ( )cos 2sin sin +sin cos 0 − + =B A C B C ， 2cos sin cos sin sin cos 0− + + =B A B C B C 即 ( )2cos sin sin 0− + + =B A B C ， ( )sin sinB C A+ = ， 2cos sin sin =B A A，又sin 0A  ， 1 cos 2 B = ， ( )0,πB ， π 3 B = ……5 分 （2） 1 3 sin 3 2 4 ABCS ac B= =△ ， 3ac = ， ( ) 2 22 2 2 22 16 6 1 cos 2 2 6 2 + − −+ − − −  = = = = a c ac ba c b b B ac ac ， 2 7b = ， 7b = ， ABC 的周长为4 7+ ． ……10 分 3 （3）在锐角三角形 ABC 中， π 3 B = ， 因为根据正弦定理 3 2 sin sin sin 3 2 a b c A B C = = = = ，所以 2sin , 2sina A c C= = ， 因为三角形周长为 3 2sin 2sin+ + = + +a b c A C，又因为 π 3 B = ，所以 2 π 3 C A= − ， 所以 2 3 2sin 2sin π 3 2sin 3 cos sin 3   + + = + + − = + + +    a b c A A A A A π 2 3 sin 3 6 A   = + +    ， 因为 π π 0, , 0, 2 2              A C ，即 π 2 π 0, , π 0, 2 3 2      −         A B ，所以 π π , 6 2 A       ， 即 π π 2 , π 6 3 3 A   +     ， π 3 sin ,1 6 2 A    +        ，所以 (3 3 3 3a b c + +  + ， . ……17 分 19．【详解】（1）连接BD交 AC于O，连接ON .因为直线 //MB 平面 ACN，MB 平面MBD， 平面 ACN 平面MBD ON= ，所以 //MB ON， 因为 //AD BC， 2BC AD= ， 所以根据相似的性质可得 2 BO BC OD AD = = .则 2 MN BO ND OD = = .……5 分 （2）取 AD的中点 E， AC的中点F ，连接ME， EF，MF . 因为△MAD是边长为 6 的等边三角形，则 3 3ME = ，ME AD⊥ . 又因为平面MAD ⊥平面 ABCD，平面MAD平面 ABCD AD= ，ME 平面 AMD， 所以ME ⊥平面 ABCD . 1 6 3 9 2 ACDS =   = ， 1 1 3 3 9 9 3 3 3 M ACD ACDV ME S− =   =   = ， 由（1）可知， 2 MN ND = ，所以 2 2 9 3 6 3 3 3 M ACN M ACDV V− −= =  = . ……10 分 （3）因为ME ⊥平面 ABCD，EF AC ， 平面 ABCD，所以ME EF⊥ ，ME AC⊥ . 又因为 E，F分别为 AD， AC的中点，所以 //EF CD， 而 AC CD⊥ ，所以 AC EF⊥ ，又ME EF E = ，ME EF ， 平面MEF， 则 AC ⊥平面MEF，又MF 平面MEF，得 AC MF⊥ ， 所以 MFE 是二面角M AC D− − 的平面角，即 MFE  = . 设 EF m= ，则 3 3 tan 3,3 3 ME EF m   = =    ，得 1 3m    ， . 过 N 作 //NH ME交 AD于H，连接CH ，由于ME ⊥平面 ABCD，所以NH ⊥平面 ABCD， 则 NCH 为直线CN与平面 ABCD所成的角，即 NCH  = . 1 3 3 NH ME= = ， 1 1 3 DH ED= = ， 2CD m= .因为cos 3 CD m ADC AD  = = ， 在 CHD中，根据余弦定理， 2 2 2 2 cosCH CD DH CD DH HDC= + −   ， 4 所以 2 2 8 34 1 2 2 3 3 m m CH m m + = + −   = ，则 2 2 3 3 tan 8 3 8 3 3 NH HC m m  = = = + + . 因为 1 3m    ， ，所以 2 3 3 3 11 tan 3 118 3m    =   +   ， . 故 tan的取值范围为 3 3 11 3 11       ， ……17 分 青山区2024一2025学年度第二学期期末质量检测 高一数学试卷 青山区教育科学研究院命制 2025年6月 满分150分，考试用时120分钟 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.将答案填在答题卡对应题目的相应位置上， 1.已知复数z满足i2oz+2=i-z（i是虚数单位)，复数z在复平面内对应的点位于() A,第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设有两条不同的直线m,n和两个不同的平面a,B,则下列命题正确的是() A.若a/1B,111a,则1∥B B.若m/1a,m/1B,则a/1B C.若a11B,nca,则n/IB D.若a⊥B,mca,ncB,则m⊥n 3.已知某圆台的侧面展开图是如图所示的扇环AB-AB,且4B,AB的弧长分别为2π， 4π，若AA=3,则该圆台的体积是() A. 7W2 73 元 c.14w2 3 B. 3π D.145 4.若函数f(x)=V3sin2x+2cos2x-1,则() A.的单调减区间为[红++]e B.f(x)的图象关于直线x=对称 C.f(x)的图象与x轴的两个交点A,B之间的最小距离是π D.f(x)的最小正周期为2元 5.已知△ABC是边长为4的正三角形，D是△ABC内的一点，且满足DA+DB+DC=0,则 △ABD的面积为() A.45 2w5 B. c.3 3 3 D.5 6 6.如图，圆锥OP的高h=1,侧面积S=25π，M,N是底面圆O上的 两个动点，则△PMN面积的最大值为() A.5 B.2 C.1 D. T.如图，OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成 高一数学第1页（共4页） C③扫描全能王 】亿人脑直用的扫猫App 的阴影区域内（不含边界）运动，且OP=-1OA+1OB,则1的取值范围是（) c . 8.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，Q为线段B,C 的中点，P为线段CC上的动点（含端点），则下列结论错误的是 () A.三棱锥D-DPQ的体积为定值 B。直线DP与直线4B所成角的取值范围为 C.DP+P的最小值为√3 D.若P为线段CG中点，过D,P,Q三点的平面截正方体所得的截面的面积为3而 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.将答案填在答题卡对应题 目的相应位置上 9.设，32是复数，则下列命题中的真命题是() A.若名-五=0，则云= B.若名=石2，则名=2 C.若=，则z云=五，五D.若=，则子=z 10.如图，AC为圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆 周上不与点A,C重合的点，AS⊥PC于S,AN⊥PB于N,则下 列结论正确的是（) A.BC⊥平面PAB B.AS⊥平面PBC C.平面ABC⊥平面PAC D.平面ANS⊥平面PBC 11.已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，下面四个结论正确的是() A.若A>B,则sinA>sinB B.若B=号a=25,且△MBC有两解，则b的取值范围是B,2) C,若acos A=bcosB,则△ABC为等腰三角形 D.若cos2A+cos2B>1+cos2C,则△MBC为钝角三角形 高一数学第2页（共4页） CS扫描全能王 】亿人整在用的扫猫真中 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡对应题目的相应位置 上 12.水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ》中提到的由三体文明使用强互作用力(SM)材料所 制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水 B 滴.如图所示，水滴是由线段AB,AC和圆的优弧BC围成，其中 AB,AC恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为2，点A到圆弧 所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为 13.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的 四棱锥称为“阳马”如图，四棱锥P-ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面 ABCD,PA=AB=AD,E为棱PA的中点，则异面直线CE与PB 所成角的大小为 14.如图所示，三棱台ABC-ABC中，AB=2AB,且三棱锥 A-ABC的体积'-Bc=4,则三棱锥A-BCC的体积为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤.把答案填在答题卡对应题目的相应位置上 15.(本小题13分)已知|a=1,12,ā与i的夹角是60°， (1)计算a6,la+: (2)求a+和a的夹角的余弦值. 16（本小题15分)已知函数f儿似-os(or+4>0,0>0-子<p<0的部分图象知图所 示 (1)求f(x)的解析式： 1匹 2求儿倒在[-受0上的值域： (3)若函数g(x)=2f(x)-3在(0，m)上恰有三个零点，求m的取值 范围 高一数学第3页（共4页） C③扫描全能王 】亿人脑在用的日猫真单 17.(本小题15分)如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面 ABCD,BA⊥AD,AD/IBC,AB=BC=2,AD=AS=4,M为 SD的中点. (I)求证：MC/H平面SAB: (2)求直线CM与平面SAC所成角的大小： (3)求点M到平面SAC的距离. 18.(本小题17分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且m=(cosB,cosC), n=(-2a+c,b),m.n=0, (I)求角B的大小： 2诺a+c=4,△MBC的面积为5，求△MBC的周长。 (3)若三角形为锐角三角形，且b=√3，求△ABC周长的取值范围. 19.（本小题17分)如图，在四棱锥M-ABCD中，AD∥BC,AC⊥CD,BC=2AD,△MAD 是边长为6的等边三角形，平面MAD⊥平面ABCD,点N在棱MD上，直线MB∥平面ACN. ND的值， (2)若AC=CD,求三棱锥M-ACN的体积； (3)设二面角M-AC-D的平面角为a，,直线CN与平面ABCD所成的角为O,若tana的取值 范围是[3,3√)]，求an0的取值范围。 高一数学第4页（共4页） C③扫描全能王 】亿人脑在用的日猫真P单