2025年九年级数学秋季开学摸底考（湖南长沙专用）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年秋季九年级开学摸底考试模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教版八年级下册+九年级上册第1章一元二次方程 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上). 1．（本题3分）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（本题3分）在中，的对边分别是，不能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（本题3分）下列说法正确的是（   ） A．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C．四条边相等的四边形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是矩形 4．（本题3分）某鞋店店主对上一周新进的某种女鞋销售情况统计如下： 尺码 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 1 2 5 11 7 3 1 该店主决定本周进货时，增加一些23.5码的鞋，影响该店主决策的统计量是（   ） A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数 5．（本题3分）若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（   ） A．3 B．2 C．2或3 D．5 6．（本题3分）如果将直线向上平移2个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法正确的是（   ） A．它的图象经过第一、二、三象限 B．y随x的增大而减小 C．它的图象与x轴交于点 D．当时， 7．（本题3分）如图，中，，，，利用尺规在、上分别截取，，使；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．点P为上一动点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．无法确定 8．（本题3分）如图，将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，已知，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，在菱形中，，点E，F分别是边上任意点（不与端点重合），且，连接相交于点G，连接与相交于点H，下列结论：①；②的大小为定值；③与一定不垂直；④若，则，其中正确的结论有（ ） A．①② B．①②④ C．③④ D．①③④ 10．（本题3分）如图，为矩形的边上一点，且，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是，现，两点同时出发，设运动时间为，的面积为，与的对应关系如图所示，则矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（本题3分）甲、乙、丙三名运动员在次射击训练中，平均成绩都是环，甲的方差为（环2），乙的方差为（环2），丙的方差为（环2），则这三名运动员中次训练成绩最稳定的是 ． （填“甲”或“乙”或“丙”）． 12．（本题3分）已知，，是一个三角形的三条边，且满足，则这个三角形的面积是 ． 13．（本题3分）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为 ． 14．（本题3分）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是菱形，则应选择 （限填序号）． 15．（本题3分）如果一次函数当自变量x的取值范围是时，函数y的取值范围是，那么 ． 16．（本题3分）如图，在菱形中，边长为1，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形边中点，可得四边形；按此规律继续下去，则四边形的面积是 ． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．17-19题每题6分，20-21题每题8分，22-23题每题9分，24-25题每题10分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）计算题： (1)； (2)． 18．（本题6分）如图，在中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，已知． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．（本题6分）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 20．（本题8分）如图，已知直线经过点，交x轴于点，直线交直线于点B． (1)求直线的函数表达式 (2)求的面积 21．（本题8分）某校为了解学生对人工智能的了解情况，举办了人工智能有关的知识竞赛，现从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩是：64，68，72，80，83，85，86，88，89，89，90，93，93，93，95，96，98，99，99，100． 八年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：89，86，87，83，85，88，89． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 88 a 89.5 10.3 八年级 88 94 b 9.6 八年级抽取学生竞赛成绩扇形统计图    根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的___________，___________，___________； (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校七年级有1200名，八年级有1250名学生参加了此次知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 22．（本题9分）如图，在四边形中，，，E为边上一点，且，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 23．（本题9分）服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五•一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． (1)要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ (2)平均每天销售这种服装盈利能不能达到1500元？如果能达到，请计算应该降价多少元？如果不能，请说明为什么？ 24．（本题10分）如图1所示，直线：（）与轴正半轴、轴负半轴分别交于、两点． (1)当时，试确定直线解析式； (2)在（1）的条件下，如图所示，设为线段延长线上一点，连结，过、两点分别作于，于，若，求的长； (3)如图3所示，当取不同的值时，点在轴负半轴上运动，以点为直角顶点分别作等腰直角和等腰直角，且点在第三象限，点在第四象限，连接交轴于点，试探究的长是否为定值？若是，求出的值；若不是，请说明理由． 25．（本题10分）【问题初探】 （1）如图1，在正方形中，是对角线，点E是边上任意一点，，垂足为F连接取的中点G连接、．求证：是等腰直角三角形． 【变式探究】 （2）如图2，点E是边延长线上任意一点，其他条件不变，且，求的长． 【迁移拓展】 （3）如图3，在矩形中，是对角线，点E是边延长线上任意一点，，作交于点F，连接取的中点G连接猜想的形状，并证明． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季九年级开学摸底考试模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教版八年级下册+九年级上册第1章一元二次方程 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上). 1．（本题3分）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（本题3分）在中，的对边分别是，不能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（本题3分）下列说法正确的是（   ） A．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C．四条边相等的四边形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是矩形 4．（本题3分）某鞋店店主对上一周新进的某种女鞋销售情况统计如下： 尺码 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 1 2 5 11 7 3 1 该店主决定本周进货时，增加一些23.5码的鞋，影响该店主决策的统计量是（   ） A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数 5．（本题3分）若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（   ） A．3 B．2 C．2或3 D．5 6．（本题3分）如果将直线向上平移2个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法正确的是（   ） A．它的图象经过第一、二、三象限 B．y随x的增大而减小 C．它的图象与x轴交于点 D．当时， 7．（本题3分）如图，中，，，，利用尺规在、上分别截取，，使；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．点P为上一动点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．无法确定 8．（本题3分）如图，将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，已知，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，在菱形中，，点E，F分别是边上任意点（不与端点重合），且，连接相交于点G，连接与相交于点H，下列结论：①；②的大小为定值；③与一定不垂直；④若，则，其中正确的结论有（ ） A．①② B．①②④ C．③④ D．①③④ 10．（本题3分）如图，为矩形的边上一点，且，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是，现，两点同时出发，设运动时间为，的面积为，与的对应关系如图所示，则矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（本题3分）甲、乙、丙三名运动员在次射击训练中，平均成绩都是环，甲的方差为（环2），乙的方差为（环2），丙的方差为（环2），则这三名运动员中次训练成绩最稳定的是 ． （填“甲”或“乙”或“丙”）． 12．（本题3分）已知，，是一个三角形的三条边，且满足，则这个三角形的面积是 ． 13．（本题3分）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为 ． 14．（本题3分）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是菱形，则应选择 （限填序号）． 15．（本题3分）如果一次函数当自变量x的取值范围是时，函数y的取值范围是，那么 ． 16．（本题3分）如图，在菱形中，边长为1，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形边中点，可得四边形；按此规律继续下去，则四边形的面积是 ． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．17-19题每题6分，20-21题每题8分，22-23题每题9分，24-25题每题10分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）计算题： (1)； (2)． 18．（本题6分）如图，在中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，已知． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．（本题6分）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 20．（本题8分）如图，已知直线经过点，交x轴于点，直线交直线于点B． (1)求直线的函数表达式 (2)求的面积 21．（本题8分）某校为了解学生对人工智能的了解情况，举办了人工智能有关的知识竞赛，现从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩是：64，68，72，80，83，85，86，88，89，89，90，93，93，93，95，96，98，99，99，100． 八年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：89，86，87，83，85，88，89． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 88 a 89.5 10.3 八年级 88 94 b 9.6 八年级抽取学生竞赛成绩扇形统计图    根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的___________，___________，___________； (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校七年级有1200名，八年级有1250名学生参加了此次知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 22．（本题9分）如图，在四边形中，，，E为边上一点，且，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 23．（本题9分）服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五•一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． (1)要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ (2)平均每天销售这种服装盈利能不能达到1500元？如果能达到，请计算应该降价多少元？如果不能，请说明为什么？ 24．（本题10分）如图1所示，直线：（）与轴正半轴、轴负半轴分别交于、两点． (1)当时，试确定直线解析式； (2)在（1）的条件下，如图所示，设为线段延长线上一点，连结，过、两点分别作于，于，若，求的长； (3)如图3所示，当取不同的值时，点在轴负半轴上运动，以点为直角顶点分别作等腰直角和等腰直角，且点在第三象限，点在第四象限，连接交轴于点，试探究的长是否为定值？若是，求出的值；若不是，请说明理由． 25．（本题10分）【问题初探】 （1）如图1，在正方形中，是对角线，点E是边上任意一点，，垂足为F连接取的中点G连接、．求证：是等腰直角三角形． 【变式探究】 （2）如图2，点E是边延长线上任意一点，其他条件不变，且，求的长． 【迁移拓展】 （3）如图3，在矩形中，是对角线，点E是边延长线上任意一点，，作交于点F，连接取的中点G连接猜想的形状，并证明． 试卷第4页，共7页 试卷第3页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季九年级开学摸底考试模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教版八年级下册+九年级上册第1章一元二次方程 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上). 1．（本题3分）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义分析即可． 【详解】解：①当时，不是二次根式； ②当时，不是二次根式； ③是二次根式； ④当时，不是二次根式； ⑤是二次根式； ⑥是二次根式． 故选B． 2．（本题3分）在中，的对边分别是，不能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题所考察的知识点是勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两边平方和等于第三边平方，则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可． 【详解】A. 三边为，，，最大边为，计算得：，不满足勾股定理，不能构成直角三角形； B. 三边为，，，最大边为，计算得：，满足勾股定理，能构成直角三角形； C. 三边为，，，最大边为，计算得：，满足勾股定理，能构成直角三角形； D. 三边为，，，最大边为，计算得：，满足勾股定理，能构成直角三角形． 故答案选：A． 3．（本题3分）下列说法正确的是（   ） A．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C．四条边相等的四边形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定和矩形的判定，根据平行四边形、矩形、菱形的判定方法逐一判断即可求解． 【详解】解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，该选项说法错误，不合题意； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，该选项说法错误，不合题意； 四条边相等的四边形是菱形，该选项说法错误，不合题意； 有一个角是直角的平行四边形是矩形，该选项说法正确，符合题意； 故选：． 4．（本题3分）某鞋店店主对上一周新进的某种女鞋销售情况统计如下： 尺码 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 1 2 5 11 7 3 1 该店主决定本周进货时，增加一些23.5码的鞋，影响该店主决策的统计量是（   ） A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数 【答案】D 【分析】本题主要考查数据的收集和处理．根据题意，联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码，则考虑该店主最应关注的销售数据是众数． 【详解】解：因为众数是在一组数据中出现次数最多的数， 又根据题意，每双鞋的销售利润相同，鞋店为销售额考虑，应关注卖出最多的鞋子的尺码，这样可以确定进货的数量， 所以该店主最应关注的销售数据是众数． 故选：D． 5．（本题3分）若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（   ） A．3 B．2 C．2或3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． 由常数项为2，求出m的值，再结合，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，由常数项为2， 则， 解得：或， ∵， ∴， ∴或都符合题意． 故选：C． 6．（本题3分）如果将直线向上平移2个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法正确的是（   ） A．它的图象经过第一、二、三象限 B．y随x的增大而减小 C．它的图象与x轴交于点 D．当时， 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的平移问题，一次函数的增减性，一次函数图象与其系数之间的关系，一次函数与不等式之间的关系，根据平移方式可得直线的解析式为，据此可判断函数图象经过的象限和增减性，则可判断A、B；，求出当时，，则可判断C、D． 【详解】解：∵将直线向上平移2个单位长度后得到直线， ∴直线的解析式为， ∴直线的图象经过第二、三、四象限，y随x的增大而减小， 在中，当时，， ∴它的图象与x轴交于点，当时，， ∴四个选项中，只有B选项的说法正确，符合题意， 故选：B． 7．（本题3分）如图，中，，，，利用尺规在、上分别截取，，使；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．点P为上一动点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】过点G作于H．根据角平分线性质得出，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，得出，求出x的值，根据垂线段最短可知，的最小值为， 【详解】解：如图，过点G作于H． 由作图可知，平分， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即， 根据垂线段最短可知，的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查作图-基本作图，勾股定理，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 8．（本题3分）如图，将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，已知，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题注意考查勾股定理与折叠问题．设边的长为，首先根据长方形的性质得出，，，进而求出的长度，然后根据折叠的性质得出，，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设边的长为， ∵四边形是长方形， ∴，，． ， ． 由折叠的性质可知，， ． 在中， ∵， ， 解得， ∴边的长为， 故选：C． 9．（本题3分）如图，在菱形中，，点E，F分别是边上任意点（不与端点重合），且，连接相交于点G，连接与相交于点H，下列结论：①；②的大小为定值；③与一定不垂直；④若，则，其中正确的结论有（ ） A．①② B．①②④ C．③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，再结合全等三角形的判定与性质，对每个结论一一判断求解即可． 【详解】解：①∵四边形是菱形． ∴， 又， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴①符合题意； ②由①得， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴②符合题意； ③当点E，F分别是中点时， 由（1）知，为等边三角形， ∵点E，F分别是中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴③不符合题意； ④过点F作交于P点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，故本选项符合题意： ∴正确的结论是①②④． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 10．（本题3分）如图，为矩形的边上一点，且，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是，现，两点同时出发，设运动时间为，的面积为，与的对应关系如图所示，则矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积，勾股定理，解决问题的关键是确定矩形的长和宽． 根据与的对应关系，求得矩形的长和宽，代入面积公式计算即可． 【详解】解：从函数图象和运动过程可得，， 当点运动到点时，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， 故选：． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（本题3分）甲、乙、丙三名运动员在次射击训练中，平均成绩都是环，甲的方差为（环2），乙的方差为（环2），丙的方差为（环2），则这三名运动员中次训练成绩最稳定的是 ． （填“甲”或“乙”或“丙”）． 【答案】丙 【分析】本题考查了方差，解题的关键是正确理解方差的意义． 比较三名运动员成绩的方差，根据“方差越小，数据的波动越小”，即可选出成绩最稳定的运动员． 【详解】解：∵甲的方差为（环2），乙的方差为（环2），丙的方差为（环2） ∴丙的方差甲的方差乙的方差， ∴这三名运动员中次训练成绩最稳定的是丙， 故答案为：丙 ． 12．（本题3分）已知，，是一个三角形的三条边，且满足，则这个三角形的面积是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质．根据绝对值、完全平方数和算术平方根的非负性，可求解出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理求得此三角形是直角三角形，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由非负性得：， 解得：， ∵， ∴此三角形是直角三角形， ∴三角形的面积为：． 故答案为：3． 13．（本题3分）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的根与△有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．根据，构建方程求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， ． 故答案为：． 14．（本题3分）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是菱形，则应选择 （限填序号）． 【答案】①③或③① 【分析】本题主要考查了菱形的判定定理，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，据此可得到答案． 【详解】解：添加条件①时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，故①符合题意； 添加条件②时， ∵四边形是平行四边形，， ∴不能得到四边形是菱形，故②不符合题意； 添加条件③时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，故③符合题意； 故答案为：①③． 15．（本题3分）如果一次函数当自变量x的取值范围是时，函数y的取值范围是，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，当时，根据一次函数的增减性得到当时，，当时，；当时，根据一次函数的增减性得到当时，，当时，，据此利用待定系数法讨论求解即可． 【详解】解： 当时，y随x增大而减小， ∵当时，， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， 当时，y随x增大而增大， ∵当时，， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（本题3分）如图，在菱形中，边长为1，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形边中点，可得四边形；按此规律继续下去，则四边形的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的性质、矩形的判定是解题的关键．连接、交于点，根据菱形的性质得到，，根据等边三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理、矩形的判定得到四边形为矩形，求出四边形的面积，总结规律，关键规律解答即可． 【详解】解：解：如图，连接、交于点， 四边形为菱形， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 顺次连接菱形各边中点，可得四边形， ，，，，， 四边形为矩形， 四边形的面积为， 则四边形的面积是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．17-19题每题6分，20-21题每题8分，22-23题每题9分，24-25题每题10分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）计算题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先进行二次根式的化简，再去掉括号合并即可； （2）根据二次根式的运算顺序，先进行乘除运算，再合并即可． 【详解】（1）原式 =； （2）原式 =． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 18．（本题6分）如图，在中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，已知． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用AASAAS证明两个三角形全等”是解本题的关键． （1）先证明，，进而即可得到结论； （2）连接，利用勾股定理先求出，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 19．（本题6分）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)99 (2)10 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，代数式求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． （1）先求出，．再计算，然后整体代入计算即可； （2）先求出，．再计算，然后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ． ∴． （2）解：， ， ． ∴． 20．（本题8分）如图，已知直线经过点，交x轴于点，直线交直线于点B． (1)求直线的函数表达式 (2)求的面积 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）设的函数表达式为，把，代入解析式，即可求出k和b的值，即可求得直线的表达式； （2）把的函数表达式和联立成方程组，即可求出B点，进一步求出三角形的面积． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， ∵图象经过点，，   ∴， 解得，   ∴直线的函数表达式为； （2）解：联立， 解得， ∴点B的坐标为 ， ∵， ∴． 21．（本题8分）某校为了解学生对人工智能的了解情况，举办了人工智能有关的知识竞赛，现从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩是：64，68，72，80，83，85，86，88，89，89，90，93，93，93，95，96，98，99，99，100． 八年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：89，86，87，83，85，88，89． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 88 a 89.5 10.3 八年级 88 94 b 9.6 八年级抽取学生竞赛成绩扇形统计图    根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的___________，___________，___________； (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校七年级有1200名，八年级有1250名学生参加了此次知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 【答案】(1)，， (2)七年级的成绩更好，理由见解析（答案不唯一） (3)1100 【分析】本题考查了扇形统计图、频数分布表、中位数、众数以及用样本估计总体，掌握相关统计量的意义以及计算方法是解答本题的关键． （1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）利用中位数作判断即可（答案不唯一）； （3）总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． 【详解】（1）解：七年级成绩的众数； 八年级20名学生竞赛成绩，组占，则组人数为人；组数据是89，86，87，83，85，88，89共7人． 将八年级成绩从小到大排列，、组共人，为前5个， 组7人，为第6到12个；组8人，为第13到20个， 中位数是第10和11个数据的平均数，这两个数据在组， 组数据排序后为，第10个是88，第11个是89， 所以， 八年级成绩的中位数； ，即， 故答案为：、、； （2）解：七年级的成绩更好，理由如下： 两个年级的平均数相同，但是七年级的中位数比八年级高，故七年级的成绩更好； （3）解：八（3）（人）， 答：估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有1100人． 22．（本题9分）如图，在四边形中，，，E为边上一点，且，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查特殊四边形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． （1）根据题意可直接得出四边形是平行四边形，结合，即得出平行四边形是矩形； （2）由角平分线的定义，得出，结合平行线的性质得出，即得出，再根据求解即可． 【详解】（1）证明：，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵平分， ∴． ， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 23．（本题9分）服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五•一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． (1)要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ (2)平均每天销售这种服装盈利能不能达到1500元？如果能达到，请计算应该降价多少元？如果不能，请说明为什么？ 【答案】(1)每件服装应降价20元 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每件服装应降价x元，则平均每天可售出件，根据平均每天销售这种服装盈利1200元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每件服装应降价y元，则平均每天可售出件，根据平均每天销售这种服装盈利达到1500元，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：设每件服装应降价x元，则平均每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又∵要尽量减少库存， ∴， 答：每件服装应降价20元； （2）解：平均每天销售这种服装盈利不能达到1500元，理由如下： 设每件服装应降价y元，则平均每天可售出件， 依题意得：， 整理得：． ∵， ∴该方程无实数根， ∴平均每天销售这种服装盈利不能达到1500元． 24．（本题10分）如图1所示，直线：（）与轴正半轴、轴负半轴分别交于、两点． (1)当时，试确定直线解析式； (2)在（1）的条件下，如图所示，设为线段延长线上一点，连结，过、两点分别作于，于，若，求的长； (3)如图3所示，当取不同的值时，点在轴负半轴上运动，以点为直角顶点分别作等腰直角和等腰直角，且点在第三象限，点在第四象限，连接交轴于点，试探究的长是否为定值？若是，求出的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是， 【分析】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点，全等三角形，勾股定理的应用；应用数形结合思想，灵活运用掌握的几何性质定理是解题的关键； （1）利用一次函数的性质求出，再结合题意求得值，即可解答； （2）由（1）知，．可证得，则有，．即可求得，进而根据勾股定理，即可求解； （3）过点E作轴于C，则，同理可证，，则，．进一步证得，则有，由（1）知，则，即可知为定长． 【详解】（1）解：由题知，．把代入中，得； 把代入中，得． ∴， ∵点B在y轴负半轴上， ∴．即，． ∵， ∴， ∴． 则直线解析式为． （2）解：由（1）知，． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴在中，； （3）解：长为定值．理由如下， 如图，过点E作轴于C， 则， ∵为等腰直角三角形， ∴，． 由（2）同理可证，， ∴，． ∵为等腰直角三角形， ∴，． ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 25．（本题10分）【问题初探】 （1）如图1，在正方形中，是对角线，点E是边上任意一点，，垂足为F连接取的中点G连接、．求证：是等腰直角三角形． 【变式探究】 （2）如图2，点E是边延长线上任意一点，其他条件不变，且，求的长． 【迁移拓展】 （3）如图3，在矩形中，是对角线，点E是边延长线上任意一点，，作交于点F，连接取的中点G连接猜想的形状，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）是等边三角形，证明见解析 【分析】（1）先根据正方形的性质得出，再根据垂直的意义得出，然后根据中点的意义得出，再根据等边对等角得出，，进而得出，从而可得为等腰直角三角形； （2）先根据正方形的性质，得出，，再利用直角三角形斜边上的中线的性质，得出，再利用等边对等角，可得，，从而可得出，再利用等腰直角三角形的性质得出； （3）先猜想：是等边三角形，再说理，先根据矩形的性质，得出，，,从而可根据证明，再利用全等三角形的性质得出．再证明，结合全等三角形的性质可得出是的中位线，从而可得，再根据平行线的性质得出，从而可得，于是可证明是等边三角形． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵G是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． （2）∵四边形是正方形，， ∴，． ∵G为的中点，， ∴． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （3）猜想：是等边三角形． 延长、交于点M，延长、交于点N， ∵四边形是矩形，G为的中点， ∴，，． ∴． ∵， ∴（）． ∴． ∴在中，． ∵，，， ∴，． ∴． ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴． ∴． ∵， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，中位线定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定等知识点，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解． 试卷第4页，共26页 试卷第3页，共26页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季九年级开学摸底考试模拟卷 数学·答案及评分参考 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A D D C B C C B C 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 丙 12．3 13． 2 14． ①③或③① 15． 16．/ 三、解答题（本大题共9小题，共72分．17-19题每题6分，20-21题每题8分，22-23题每题9分，24-25题每题10分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（1）原式 =；（3分) （2）原式 =．（3分) 18.（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴；（3分) （2）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴．（3分) 19.（1）解：， ， ． ∴．（3分) （2）解：， ， ． ∴．（3分) 20.（1）解：设直线的函数表达式为， ∵图象经过点，，   ∴， 解得，   ∴直线的函数表达式为；（4分) （2）解：联立， 解得， ∴点B的坐标为 ， ∵， ∴．（4分) 21.（1）解：七年级成绩的众数； 八年级20名学生竞赛成绩，组占，则组人数为人；组数据是89，86，87，83，85，88，89共7人． 将八年级成绩从小到大排列，、组共人，为前5个， 组7人，为第6到12个；组8人，为第13到20个， 中位数是第10和11个数据的平均数，这两个数据在组， 组数据排序后为，第10个是88，第11个是89， 所以， 八年级成绩的中位数； ，即， 故答案为：、、；（3分) （2）解：七年级的成绩更好，理由如下： 两个年级的平均数相同，但是七年级的中位数比八年级高，故七年级的成绩更好（3分)； （3）解：八（3）（人）， 答：估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有1100人．（2分) 22.（1）证明：，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形；（3分) （2）解：∵平分， ∴．（2分) ， ∴， ∴，（2分) ∴． ∵， ∴．（2分) 23.（1）解：设每件服装应降价x元，则平均每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又∵要尽量减少库存， ∴， 答：每件服装应降价20元；（5分) （2）解：平均每天销售这种服装盈利不能达到1500元，理由如下： 设每件服装应降价y元，则平均每天可售出件， 依题意得：， 整理得：． ∵， ∴该方程无实数根， ∴平均每天销售这种服装盈利不能达到1500元．（4分) 24.（1）解：由题知，．把代入中，得； 把代入中，得． ∴， ∵点B在y轴负半轴上， ∴．即，． ∵， ∴， ∴． 则直线解析式为．（3分) （2）解：由（1）知，． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴在中，；（3分) （3）解：长为定值．理由如下， 如图，过点E作轴于C， 则， ∵为等腰直角三角形， ∴，． 由（2）同理可证，， ∴，． ∵为等腰直角三角形， ∴，． ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， 即．（4分) 25.（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵G是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形．（3分) （2）∵四边形是正方形，， ∴，． ∵G为的中点，， ∴． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴．（3分) （3）猜想：是等边三角形． 延长、交于点M，延长、交于点N， ∵四边形是矩形，G为的中点， ∴，，． ∴． ∵， ∴（）． ∴． ∴在中，． ∵，，， ∴，． ∴． ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴． ∴． ∵， ∴是等边三角形．（4分) 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季九年级开学摸底考试模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6分） 19．（6分） 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（9分） 23．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$