10.5分式方程（第1课时分式方程及其解法）（教学课件）数学北京版2024八年级上册

北京版2024·八年级上册 三、分式方程 10.5 分式方程 第一课时 分式方程及其解法 第十章 分式 学 习 目 标 1 2 3 识别分式方程特征（分母含未知数）. 掌握分式方程解法（去分母→解整式方程→检验）. 理解增根产生原因及检验必要性. 知识回顾 解整式方程: 通分，方程两边同时乘最简公分母6 解： 约分去分母 3（x-1）+2(x+1)=6 去括号 3x-3+2x+2=6 移项、合并同类项 5x=7 系数化为1 x= 知识回顾 解整式方程: x-1 x 若将分母改为 x-1 和 x，即还是整式方程吗？ 小明 改变后，分母含有未知数 分母含有未知数的方程该叫什么方程呢？ 情景导入 问题：对于章前页中的问题，如果长方形花坛的面积100m2不变，把原长延长5m后，宽变为原来的，那么原长是多少米?你能通过列方程解决吗? 分析：已知长方形的面积为100m². (1)如果原长为xm,那么原宽为 ； 宽= (2)如果把原长延长5m,那么现在的长为 ； x+5 情景导入 问题：对于章前页中的问题，如果长方形花坛的面积100m2不变，把原长延长5m后，宽变为原来的，那么原长是多少米?你能通过列方程解决吗? 分析： (2)如果把原长延长5m,那么现在的长为 ； x+5 现在的宽可以有几种表示方法? 新知探究 改造后的宽： =① 思考与交流 方程①与我们以前所学过的方程有什么不同，它还是一元一次方程吗？ 分母含有未知数 方程①不是整式方程，因为在方程里含有分式.这种分母里含有未知数的方程叫作分式方程. 新知探究 类此一元一次方程的求解过程来研究分式方程的解法: 解： 3（x-1）+2(x+1)=6 3x-3+2x+2=6 5x=7 x= 通分，方程两边同时乘最简公分母x(x-1) 约分去分母 去括号 移项、合并同类项 新知探究 把x=-1分别代入原方程的左、右两边检验： =1 =1 所以左边=右边. 所以原方程的解是x=-1. 新知探究 思考与交流 1.上面两个方程的求解过程中，去分母时所乘的式子有什么不同? 整式方程 ①分母为纯数字（如 2 和 3），乘的是分母的 最小公倍数（此处为 6）。 ②目的是将分数系数转化为整数系数。 分式方程 ①分母含未知数（如 x-1和 x），乘的是 最简公分母（此处为 x(x-1)）。 ②目的是消去所有分母，将方程转化为整式方程。 风险：所乘的最简公分母 可能为零，导致产生增根（需检验） 新知探究 思考与交流 2.解整式方程和解分式方程有什么相同点和不同点? 目标一致：通过变形将方程化为简单形式求解。 核心操作：都需去分母（整式方程消数字分母，分式方程消含字母分母）。 解法基础：去分母后均转化为整式方程求解（移项、合并同类项等）。 相同点： 新知探究 不同点： 对比项 整式方程 分式方程 分母性质 去分母方式 解的验证 风险点 分母为常数 分母为未知数 乘常数最小公倍数 乘含未知数的最简公分母 无需额外检验 必须检验（可能产生增根） 无增根 增根（使最简公分母=0的解无效） 2.解整式方程和解分式方程有什么相同点和不同点? 新知探究 思考与交流 3.解分式方程的步骤是什么? 1. 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程. 2. 解这个整式方程. 3. 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去。 4. 写出原方程的根. 简记为：“一化二解三检验”. 典例解析 例1 解下列方程 解： 方程两边乘（x-1）(x+1),去分母得得 x（x+1）-2(x-1)=(x-1)(x+1) 解得 x=3. 检验：当x=3时，方程左、右两边相等，所以x=3是原方程的解 所以，原分式方程的解为x=3. （1）-=1 典例解析 例1 解下列方程 （2）-= 解： 方程两边乘（x-2）(x+3),去分母得得 x（x+3）-(x-1)（x-2）=10 解得 x=2. 检验：当x=2时，最简公分母（x-2）(x+3)=0 原方程中的分式无意义，所以原方程无解。 典例解析 变式1 解方程 解： 方程两边乘x(x-3),得 2x=3x-9. 解得 x=9. 检验：当x=9时，x(x-3) ≠0. 所以，原分式方程的解为x=9. 典例解析 变式2 解方程 解：方程两边乘(x-1)(x+2),得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3. 解得 x=1. 检验：当x=1时， (x-1)(x+2) =0, 因此x=1是原方程的增根，不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 典例解析 归纳小结 解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母” 即方程两边同乘最简公分母. 典例解析 用框图的方式总结为： 分式方程 整式方程 去分母 解整式方程 x =a 检验 x =a是分式 方程的解 x =a不是分式 方程的解 x =a 最简公分母是 否为零？ 否 是 课堂练习 1.下列方程中,不是分式方程的是( ) C A. B. C. D. 2.将分式方程 去分母后得到的整式方程是( ) A A. B. C. D. 课堂练习 3. 解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是（ ） A.2(x-8)+5x=16(x-7) B.2(x-8)+5x=8 C.2(x-8)-5x=16(x-7) D.2(x-8)-5x=8 A 4．若关于x的分式方程 无解，则m的值为 ( ) A．－1，5 B．1 C．－1.5或2 D．－0.5或－1.5 D 课堂练习 5.解方程： . 解：方程两边乘，得 . 解得 . 检验：当时， . 原分式方程的解是 . 典例解析 6.已知关于的方程 . （1）当 时，方程的解为________； （2）当 取何值时，此方程无解？ 解：去分母，得 . 解得 . 方程无解, ,解得 . 新知探究 （3）当此方程的解是正数时，求 的取值范围. 解： ， ,解得 . ， . 综上所述，且 . 课堂总结 方法口诀： 一分二解三检验， 去分母时括号全， 增根产生分母零， 规范步骤保周全 分式方程的解法 去分母为整式方程 确定最简公分母 验根防增根 分子整体乘 代入原分母 为0则舍去 感谢聆听! $$