第一章 预备知识：集合、常用逻辑用语、不等式（单元测试·基础卷）数学北师大版2019必修第一册

2025-2026学年高一必修一数学单元检测卷 第一章 预备知识·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D D D C B B D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ABC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．. 14． ①②④ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）直接解一元二次不等式即可； （2）由题意可得不等式的解集为，又方程的两个根为和，从而可求解. 【详解】（1）当时，不等式等价于， ……… (1分) ∴，解得或. ∴不等式的解集为或. ……… (4分) （2）不等式等价于， ……… (5分) ∴不等式的解集为. ……… (8分) ∵方程的两个根为和， ∴或，解得， ……… (12分) ∴实数的值为. ……… (13分) 16．（15分） 【答案】长为m，宽为m时总造价最低． 【分析】设处理池的长和宽分别为，，高为，表示出总造价的关系式，再利用基本不等式即可解出． 【详解】设处理池的长和宽分别为，，高为，总造价为， 则，， ……… (4分) ……… (6分) ， ……… (10分) 当且仅当， 又，即，时取到等号， ……… (14分) 故长为m，宽为m时总造价最低． ……… (15分) 17．（15分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知，方程有两个不等根、，由题意可得出，利用韦达定理结合，可求得实数的值； （2）分析可知，方程在区间上有个不等根，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，方程有两个不等根、， 所以，，解得或， ……… (4分) 由韦达定理可得，， 所以，， ……… (6分) 即，解得（舍去）或. ……… (7分) （2）方程在区间上有个不等根， 所以，，解得. ……… (14分) 因此，实数的取值范围是. ……… (15分) 18．（17分） 【答案】(1)最小值为，最大值为 (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的对称轴为，由二次函数的单调性，即可求解. （2）分类讨论定区间与对称轴的关系，结合二次函数的图象与性质，可得答案. 【详解】（1）∵函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴在上单调递减，在上单调递增，且． ∴，． ……… (5分) （2）由（1）知对称轴为直线， ①当，即时， ，． ……… (7分) ②当，即时， ，． ……… (10分) ③当，即时， ，． ……… (13分) ④当，即时， ，． ……… (16分) 设函数的最大值为，最小值为， 则有，. ……… (17分) 19．（17分） 【答案】(1)，； (2)证明见解析 (3)1348 【分析】（1）根据定义直接求解即可； （2）由题意利用集合与中的元素间的关系证明即可； （3）由题意建立集合间的关系，并列出不等式集合元素个数的范围，最后求出最大值即可． 【详解】（1）由题意得，； ……… (2分) （2）∵，，且， ∴集合也有四个元素，且都为非负数，∵， 又∵，∴且， ∴集合中其他元素为，，， 即， 剩下的， ∵， ∴，， 即，故； ……… (8分) （3）设表示集合A中的元素个数， 设满足题意，其中， ∵， ∴， ∵，∴， ∵，∴， 中最小的元素为0，最大的元素为， ， ∴， ， ……… (13分) 实际当满足题意，证明如下： 设，， 则，， 由题意得， 即，故的最小值为674． 即时，满足题意， 综上所述，集合中元素的个数为. ……… (17分) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一必修一数学单元检测卷 第一章 预备知识·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，若，则k的值不可能为（   ） A． B． C． D．0 5．关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，那么“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知正实数，满足，则的最小值为（     ） A． B． C．4 D．7 8．设集合，，，，其中，下列说法正确的个数是（   ） ①对任意a，是的子集，对任意b，不是的子集； ②对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集； ③存在a，不是的子集，对任意b，不是的子集； ④存在a，不是的子集，存在b，使得是的子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设全集为，集合，如图所示，则（   ） A． B． C． D． 10．若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 11．下列说法正确的有（    ） A．命题“”的否定是"” B．若命题“”是真命题，则实数的取值范围是 C．设，则“”的充要条件是“都不为1” D．已知，，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．写出命题“”的否定： . 13．，当时，，求的取值范围 ． 14．已知非空数集满足： （i），有； （ii），有； （iii）且，有， 则称是的“理想子集”．给出下列四个结论： ①若，则是的“理想子集”； ②若是的“理想子集”，且存在非零实数，则； ③若是的“理想子集”，则也是的“理想子集”； ④若是的“理想子集”，则也是的“理想子集”． 其中正确结论的序号是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的值. 16．（15分） 某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      17．（15分） 已知集合，集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 18．（17分） 已知函数． (1)若，求函数的最值； (2)若，求函数的最值． 19．（17分） 已知集合A为非空数集，定义，． (1)若集合，直接写出集合及； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，且，求A集合中元素个数的最大值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一必修一数学单元检测卷 第一章 预备知识·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，若，则k的值不可能为（   ） A． B． C． D．0 5．关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，那么“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知正实数，满足，则的最小值为（     ） A． B． C．4 D．7 8．设集合，，，，其中，下列说法正确的个数是（   ） ①对任意a，是的子集，对任意b，不是的子集； ②对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集； ③存在a，不是的子集，对任意b，不是的子集； ④存在a，不是的子集，存在b，使得是的子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设全集为，集合，如图所示，则（   ） A． B． C． D． 10．若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 11．下列说法正确的有（    ） A．命题“”的否定是"” B．若命题“”是真命题，则实数的取值范围是 C．设，则“”的充要条件是“都不为1” D．已知，，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．写出命题“”的否定： . 13．，当时，，求的取值范围 ． 14．已知非空数集满足： （i），有； （ii），有； （iii）且，有， 则称是的“理想子集”．给出下列四个结论： ①若，则是的“理想子集”； ②若是的“理想子集”，且存在非零实数，则； ③若是的“理想子集”，则也是的“理想子集”； ④若是的“理想子集”，则也是的“理想子集”． 其中正确结论的序号是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的值. 16．（15分） 某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      17．（15分） 已知集合，集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 18．（17分） 已知函数． (1)若，求函数的最值； (2)若，求函数的最值． 19．（17分） 已知集合A为非空数集，定义，． (1)若集合，直接写出集合及； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，且，求A集合中元素个数的最大值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一必修一数学单元检测卷 第一章 预备知识·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用集合的并运算求集合. 【详解】由题设，且，则. 故选：D 2．若，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用特殊值法计算判断A，B，C，根据不等式的性质计算判断D. 【详解】因为，， 当时 ，，A选项错误； 当时 ，，B选项错误； 当时 ，，C选项错误； 因为，所以，又因为，所以，D选项正确； 故选：D. 3．一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出a、b、c的关系，代入新的一元二次不等式求解即可. 【详解】一元二次不等式的解为， 所以的解为，且， 由韦达定理得，代入得 ， 故选：D. 4．已知集合，，若，则k的值不可能为（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】先求出，再根据，分，，求解. 【详解】因为， 当时，即； 当，所以，即； 当，所以，即， 所以的可能取值为，，0，不可能为. 故选：C. 5．关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将不等式化为，讨论和两种情况，求出不等式的解集，从而求得的取值范围． 【详解】原不等式可化为， 若，则不等式的解集是，不等式的解集中不可能有个正整数； 所以，不等式的解集是；所以不等式的解集中个正整数分别是，，，， 令，解得,所以的取值范围是． 故选：B． 6．如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，那么“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据取整函数的定义，结合特列法以及充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】如果，那么和的整数部分是相同的，所以， 即“”是“”的必要条件， 如果，那么和的整数部分不一定相同， 例如，所以“”不是“”的充分条件. 综上，“”是“的必要不充分条件. 故选：B. 7．已知正实数，满足，则的最小值为（     ） A． B． C．4 D．7 【答案】D 【分析】对于，利用以值代参，求解基本不等式. 【详解】 ， 当且仅当,即取等号． 故选：D． 8．设集合，，，，其中，下列说法正确的个数是（   ） ①对任意a，是的子集，对任意b，不是的子集； ②对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集； ③存在a，不是的子集，对任意b，不是的子集； ④存在a，不是的子集，存在b，使得是的子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】利用全称量词命题、存在量词命题的定义，结合子集的意义判断各个命题即可. 【详解】对于集合，， 任意，即，则，即有， 因此对任意a，是的子集，命题③④错误； 对于集合，， 当时，，，则是的子集， 当时，，， 则不是的子集，命题①③错误， 所以对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集，命题②正确，正确命题的个数为1. 故选：B 【点睛】思路点睛：判断全称量词命题为真、存在量词命题为假都需推理证明；判断全称量词命题为假、存在量词命题为真只需举例说明即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设全集为，集合，如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据集合的交并补和维恩图的关系即可得到答案. 【详解】对A，由图知，故A正确； 对B，由图知不是的子集，故B错误； 对C，由图知，故C正确； 对D，由图知，故D正确. 故选：ACD. 10．若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用给定条件，结合基本不等式，逐项分析、计算判断作答即可. 【详解】对于A，因为， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，因为， 所以，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，因为， 所以，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当，即时取等号，故D错误. 故选：ABC. 11．下列说法正确的有（    ） A．命题“”的否定是"” B．若命题“”是真命题，则实数的取值范围是 C．设，则“”的充要条件是“都不为1” D．已知，，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据命题的否定即可判断A，根据恒成立转化成最值问题即可判断B,根据充要条件的判断即可求解C,根据基本不等式即可求解D. 【详解】命题“”的否定是"”,故A对， ，则，故B错误，，故C对， ，当且仅当时等号成立 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．写出命题“”的否定： . 【答案】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出其否定命题. 【详解】∵全称命题的否定是特称命题， ∴命题“”的否定是 故答案为： 13．，当时，，求的取值范围 ． 【答案】 【分析】把解析式化成交点式, 求得交点为 ， 然后根据题意得出关于 的不等式，解不等式从而得出 的取值范围. 【详解】， 抛物线与 轴的交点为 ， ，当 时，， ，解得 ， 故答案为： . 14．已知非空数集满足： （i），有； （ii），有； （iii）且，有， 则称是的“理想子集”．给出下列四个结论： ①若，则是的“理想子集”； ②若是的“理想子集”，且存在非零实数，则； ③若是的“理想子集”，则也是的“理想子集”； ④若是的“理想子集”，则也是的“理想子集”． 其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】根据“理想子集”的定义，结合元素与集合的包含关系逐一判断即可. 【详解】①集合表示所有偶数构成的集合， 所有的偶数都是整数，任意两个偶数的和仍是偶数，任意偶数和整数的积仍是偶数， 满足（i）（ii）（iii），故是的“理想子集”，①说法正确； ②若是的“理想子集”，且存在非零实数， 则由“理想子集”的概念可知对任意的有，所以，②说法正确； ③若是的“理想子集”，则，有，，有， 但对于，，不一定有， 例如，，，此时，，，③说法错误； ④若是的“理想子集”，对于显然，有，满足（i）， 令，，则，又是的“理想子集”，所以，， 同理由是的“理想子集”可得， 所以，满足（ii）（iii）， 所以若是的“理想子集”，则也是的“理想子集”，④说法正确； 故答案为：①②④ 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是通过给出一个新概念或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.本题的关键是理解“理想子集”的概念，结合元素与集合的包含关系求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的值. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）直接解一元二次不等式即可； （2）由题意可得不等式的解集为，又方程的两个根为和，从而可求解. 【详解】（1）当时，不等式等价于， ∴，解得或. ∴不等式的解集为或.. （2）不等式等价于， ∴不等式的解集为. ∵方程的两个根为和， ∴或，解得， ∴实数的值为. 16．（15分） 某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      【答案】长为m，宽为m时总造价最低． 【分析】设处理池的长和宽分别为，，高为，表示出总造价的关系式，再利用基本不等式即可解出． 【详解】设处理池的长和宽分别为，，高为，总造价为，则，， ， 当且仅当，又，即，时取到等号， 故长为m，宽为m时总造价最低． 17．（15分） 已知集合，集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知，方程有两个不等根、，由题意可得出，利用韦达定理结合，可求得实数的值； （2）分析可知，方程在区间上有个不等根，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，方程有两个不等根、， 所以，，解得或， 由韦达定理可得，， 所以，， 即，解得（舍去）或. （2）方程在区间上有个不等根， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 18．（17分） 已知函数． (1)若，求函数的最值； (2)若，求函数的最值． 【答案】(1)最小值为，最大值为 (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的对称轴为，由二次函数的单调性，即可求解. （2）分类讨论定区间与对称轴的关系，结合二次函数的图象与性质，可得答案. 【详解】（1）∵函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴在上单调递减，在上单调递增，且． ∴，． （2）由（1）知对称轴为直线， ①当，即时， ，． ②当，即时， ，． ③当，即时， ，． ④当，即时， ，． 设函数的最大值为，最小值为， 则有， . 19．（17分） 已知集合A为非空数集，定义，． (1)若集合，直接写出集合及； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，且，求A集合中元素个数的最大值． 【答案】(1)，； (2)证明见解析 (3)1348 【分析】（1）根据定义直接求解即可； （2）由题意利用集合与中的元素间的关系证明即可； （3）由题意建立集合间的关系，并列出不等式集合元素个数的范围，最后求出最大值即可． 【详解】（1）由题意得，； （2）∵，，且， ∴集合也有四个元素，且都为非负数，∵， 又∵，∴且， ∴集合中其他元素为，，， 即， 剩下的， ∵， ∴，， 即，故； （3）设表示集合A中的元素个数， 设满足题意，其中， ∵， ∴， ∵，∴， ∵，∴， 中最小的元素为0，最大的元素为， ， ∴， ， 实际当满足题意，证明如下： 设，， 则，， 由题意得， 即，故的最小值为674． 即时，满足题意， 综上所述，集合中元素的个数为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$