第05讲 有理数的乘法与除法（知识清单+2易错+6必考题型）-2025-2026学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（浙教版2024）

第05讲 有理数的乘法与除法 题型梳理 易错分析 易错点一 带分数相乘时错用乘法分配律 易错点二 误认为除法有分配律致错 题型方法 题型一 有理数的乘法法则 题型二 倒数 题型三 多个有理数相乘 题型四 乘法的运算律 题型五 有理数的除法法则 题型六 有理数的乘除混合运算 知识清单 知识点1．倒数 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 注意：0没有倒数． 知识点2．有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 知识点3．有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． 易错分析 【易错点一】带分数相乘时错用乘法分配律 【例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）请选择你觉得最好的方法进行计算： (1)． (2)． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江·期中）用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式2】（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式3】（2024七年级上·浙江·专题练习）简便计算下列各题： (1)； (2)． 【易错点二】误认为除法有分配律致错 【例2】计算：(1) (2) 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）​数学老师布置了一道思考题，“计算： ”小明的计算方法如下： ， ， ， ． 请判断小明的做法是否正确，如果不正确，请写出正确的解法．​ 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）老师布置了一道思考题“计算：”，小明用了一种不同的方法解决了这个问题： 原式的倒数为，所以． (1)请你用不同方法计算“”，验证小明的解法的正确性； (2)由此可以得到结论：一个数的倒数的倒数等于________； (3)请你运用小明的解法计算：． 【变式3】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）阅读下列材料： 计算：． 解法①：原式=． 解法②：原式=． 解法③：原式的倒数为， ∴原式= 解法④：原式= (1)上述解法中，肯定有错误的解法．你认为解法 是错误的； (2)在正确的解法中，选择一种解法计算： 题型方法 【题型一】有理数的乘法法则 【例1】（23-24七年级上·浙江温州·期中）若，则括号内填一个实数应该是（    ） A． B．1 C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）两个有理数的和是正数，积是负数，则这两个有理数（    ） A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负，且正数的绝对值较大 D．一正一负，且负数的绝对值较大 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）把表示成两个整数的积，共出现的可能性有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【变式3】（24-25七年级上·浙江温州·期末）计算： ． 【题型二】倒数 【例2】（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）的倒数是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江·阶段练习）下列各组数中，互为倒数的是（   ） A．1与 B．与3 C．与 D．与 【变式2】（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）下列说法：①绝对值等于1的数是1；②最大的负整数是；③最小的自然数是1；④的倒数是1．其中正确的是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式3】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）若两个数的积为，我们称它们互为负倒数，则3的负倒数是 ． 【题型三】多个有理数相乘 【例3】（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）4个有理数相乘，积的符号是负号，则这4个有理数中，负数有 (      ) A．1个或3个 B．1个或2个 C．2个或4个 D．3个或4个 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）比较大小 0（“”，“”或“”）． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）计算： (1)； (2) 【变式3】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）计算： (1) (2) 【题型四】乘法的运算律 【例4】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）分配律用式子可表达为．下列四个计算：①；②；③；④．适合运用分配律来简化计算的算式有（   ）． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【举一反三】【变式1】（20-21七年级上·浙江台州·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级上·浙江温州·阶段练习）计算：的结果是 ． 【变式3】（24-25七年级上·浙江·期末）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样两道题目： 计算：（1）．（2）． 有两位同学的解法如下： （1）． （2）． 请参考上述解法，计算下列两题： (1)． (2)． 【题型五】有理数的除法法则 【例5】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）要使算式□3的运算结果最小，则“□”内应填入的运算符号是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江温州·期中）在，2，0，，这5个数中，任取两个数相除，所得的商最小的是（   ） A． B． C． D．0 【变式2】（2024七年级上·浙江·专题练习）将转化为乘法运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级上·浙江温州·期末）计算： ． 【题型六】有理数的乘除混合运算 【例6】（24-25七年级上·浙江·阶段练习）一个数的2倍再除以3的商是6，则这个数是（   ） A． B． C．9 D．36 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·浙江台州·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）定义一种新运算：，如，则 ． 【变式3】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）计算： (1) (2) (3)（简便运算） 好题必刷 一、单选题 1．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）计算： 的结果是（　　） A． B．16 C． D． 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知算式“■”的运算结果为，“■”部分是因被污染而看不清的运算符号，则该运算符号应该是（   ）． A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）从，，，7，5，a（，且a为整数）这6个数中取其中3个不同的数作为因数，则它们积的最小值为（   ） A． B． C．168 D．无法确定 4．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）计算机中常用的16进制是逢16进1的计算制，采用数字和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数对应关系如下表． 16进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示：，则（　　） A．156 B．19 C． D． 二、填空题 6．（2022七年级上·浙江·专题练习）计算：＝ ． 7．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）数轴上在与27之间插入三个数，使这五个数中每相邻两个数之间的距离相等，则这三个数的和是 ． 8．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，小天有5张写着不同数的卡片，从中抽出2张卡片，使卡片上的数相除，所得到的商最小，最小的商是 ，从中抽出3张卡片，使卡片上的数相乘，所得到的积最大，最大的积是 ． 9．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）如图，在长为、宽为的长方形空地上修建两条宽均为的道路，余下部分种植某种花卉，则种植花卉的面积为 ． 三、解答题 10．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）计算． (1)． (2)． (3)． 11．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）计算： (1)； (2)． 12．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)． 13．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）（1）一个数与的积为，求这个数． （2）一个数除以3的商为，求这个数． 14．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）某仓库在一周的货品运输中，进出情况如表所示（进库为正，出库为负，单位；吨）， 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期天 合计    表中星期四的进出数被墨水涂污了 (1)请算出星期四货品的进出数； (2)如果进出货品的装卸费都是每吨20元，那么这一周要付多少元装卸费？ 15．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）出租车司机王师傅上午在一条南北方向的大道上营运，共连续运载8批乘客，若规定向北为正，向南为负，王师傅营运这8批乘客里程如下：，，，，，，，．（单位：千米） (1)将最后一批乘客送到目的地时，王师傅在距离第一批乘客出发地的北面还是南面？相距多少千米？ (2)上午，王师傅开车的平均速度是多少？ (3)若出租车的收费标准为：不超过3千米时收费10元，超过3千米时，超过部分每千米2元．则王师傅在上午一共营收多少元？ 16．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）出租车司机老姚某天上午营运全是在南北走向的兴海路上进行，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午行车里程（单位：）如下： ． (1)将第几名乘客送到目的地时，老姚刚好回到上午出发点？ (2)将最后一名乘客送到目的地时，老姚距上午出发点多远？在出发点的南面还是北面？ (3)若汽车耗油量为，这天上午老姚的出租车耗油多少L？ 17.（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）小实家的新房户型结构平面图如图所示，主卧与次卧是两个面积相等的正方形，阳台是直径与主卧边长相等的半圆（取3，墙体厚度不计）． (1)请算出小实家两个卧室和客厅的面积总和． (2)小实家打算将两个卧室和客厅全部铺上实木地板，卫生间、厨房全部铺上柔光砖，阳台铺木纹砖，铺贴费用如下表： 类别 实木地板 柔光砖 木纹砖 平均费用（元/） 200 90 80 问：小实家铺贴地面的总金额是多少元（结果精确到百位，并用科学记数法表示）？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 有理数的乘法与除法 题型梳理 易错分析 易错点一 带分数相乘时错用乘法分配律 易错点二 误认为除法有分配律致错 题型方法 题型一 有理数的乘法法则 题型二 倒数 题型三 多个有理数相乘 题型四 乘法的运算律 题型五 有理数的除法法则 题型六 有理数的乘除混合运算 知识清单 知识点1．倒数 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 注意：0没有倒数． 知识点2．有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 知识点3．有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． 易错分析 【易错点一】带分数相乘时错用乘法分配律 【例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）请选择你觉得最好的方法进行计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题主要考查了有理数的运算，解题关键是熟练掌握乘法运算律进行简便计算． （1）先把写成的形式，然后利用乘法分配律进行计算即可； （2）先根据有理数的乘法法则，确定积的符号，再逆用乘法分配律进行简便计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江·期中）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘法分配律： （1）根据乘法分配律求解即可； （2）先把原式变形为，再根据根据乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式变形后，利用乘法分配律计算即可求出值； （2）原式变形后，逆用乘法分配律计算即可求出值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】（2024七年级上·浙江·专题练习）简便计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键． （1）先把写成，然后按照乘法分配律计算即可； （2）先把写成，然后按照乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【易错点二】误认为除法有分配律致错 【例2】计算：(1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先化除为乘，然后根据乘法交换律，进行计算，即可； （2）先根据有理数的乘法运算律进行计算，然后再进行减法运算即可 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）​数学老师布置了一道思考题，“计算： ”小明的计算方法如下： ， ， ， ． 请判断小明的做法是否正确，如果不正确，请写出正确的解法．​ 【答案】小明的做法不正确，正确解法见解析． 【分析】此题考查了有理数的加减法和除法运算，先通分括号内的式子，再计算括号外的除法即可，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：小明的做法不正确，正确解法如下： ， ， ， ． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）老师布置了一道思考题“计算：”，小明用了一种不同的方法解决了这个问题： 原式的倒数为，所以． (1)请你用不同方法计算“”，验证小明的解法的正确性； (2)由此可以得到结论：一个数的倒数的倒数等于________； (3)请你运用小明的解法计算：． 【答案】(1)见解析 (2)这个数 (3) 【分析】本题考查有理数的除法，倒数的定义．熟练掌握有理数的运算法则，倒数的定义：“两数之积为1，两数互为倒数”是解题的关键． （1）先算括号，再算除法，得出结果进行验证即可； （2）一个数的倒数的倒数等于这个数； （3）先算原式的倒数，再求这个倒数的倒数即可． 【详解】（1）解：原式 ， 小明的解法正确； （2）解：由（1）可得到：一个数的倒数的倒数等于这个数， 故答案为：这个数； （3）解：原式的倒数为 ， 所以 【变式3】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）阅读下列材料： 计算：． 解法①：原式=． 解法②：原式=． 解法③：原式的倒数为， ∴原式= 解法④：原式= (1)上述解法中，肯定有错误的解法．你认为解法 是错误的； (2)在正确的解法中，选择一种解法计算： 【答案】(1)① (2) 【分析】（1）根据有理数的运算法则以及运算顺序观察，由于除法没有分配律，即可求解； （2）选取解法中正确的一种解法进行解题即可． 【详解】（1）解：解法①是错误的，除法没有分配律； 故答案为：①． （2）原式的倒数为 ， ∴原式 【点睛】本题考查有理数的混合运算，乘法分配律，能够根据题目中几种方式进行计算是解题的关键． 题型方法 【题型一】有理数的乘法法则 【例1】（23-24七年级上·浙江温州·期中）若，则括号内填一个实数应该是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 【详解】解：∵， ∴括号内填一个实数应该为， 故选：A． 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）两个有理数的和是正数，积是负数，则这两个有理数（    ） A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负，且正数的绝对值较大 D．一正一负，且负数的绝对值较大 【答案】C 【分析】根据同号为正，异号为负，得到，两个有理数的符号相反，再根据两数和为正，得到正数的绝对值大，即可得出结果． 【详解】解：因为两个有理数的积是负数， 所以两个有理数的符号相反，即一正一负； 又两个有理数的和是正数， 所以正数的绝对值大于负数的绝对值； 故选C． 【点睛】本题考查有理数加法的符号法则和有理数乘法的符号法则，熟练掌握相关法则，是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）把表示成两个整数的积，共出现的可能性有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的乘法，熟知两数相乘，同号得正；异号得负是解题的关键． 列举出所有情况，找到可能性的种数即可． 【详解】解：把表示成两个整数的积，共出现的可能性有： ①，②，③，④， 共4种情况． 故选：． 【变式3】（24-25七年级上·浙江温州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数乘法的计算能力，关键是能准确理解并运用有理数乘法法则进行正确地计算． 运用有理数的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型二】倒数 【例2】（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）的倒数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查倒数的概念，熟练掌握倒数的概念和计算是解题的关键，根据乘积为1的两个数互为倒数即可得到答案． 【详解】解：的倒数为：， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江·阶段练习）下列各组数中，互为倒数的是（   ） A．1与 B．与3 C．与 D．与 【答案】D 【详解】A．，故1与不是互为倒数，不符合题意； B．，故与3不是互为倒数，不符合题意； C．，故与不是互为倒数，不符合题意． D．，故与互为倒数，符合题意； 故选D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）下列说法：①绝对值等于1的数是1；②最大的负整数是；③最小的自然数是1；④的倒数是1．其中正确的是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了有理数，绝对值的意义，倒数的定义，根据绝对值的性质，可判断①，根据负整数的定义，可判断②，根据自然数的定义，可判断③，根据倒数的定义，可判断④，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①绝对值等于1的数是1或，故①不符合题意； ②最大的负整数是，故②符合题意； ③最小的自然数是0，故③不符合题意； ④的倒数是，故④不符合题意； ∴正确的是②， 故选：B． 【变式3】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）若两个数的积为，我们称它们互为负倒数，则3的负倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的负倒数的方法，正确理解互为负倒数的定义是解题的关键； 根据互为负倒数的定义可知，用，即可得到3的负倒数； 【详解】解：由题可知， ， 故答案为：． 【题型三】多个有理数相乘 【例3】（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）4个有理数相乘，积的符号是负号，则这4个有理数中，负数有 (      ) A．1个或3个 B．1个或2个 C．2个或4个 D．3个或4个 【答案】A 【分析】本题考查了多个有理数的乘法运算．熟练掌握多个有理数相乘，奇负偶正是解题的关键． 根据多个有理数相乘，奇负偶正，进行作答即可． 【详解】解：由多个不为0的数相乘，奇数个负数积为负数，偶数个负数积为正数可知，这4个有理数中，负数有1个或3个， 故选：A． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）比较大小 0（“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算和有理数的大小比较，先进行有理数的乘法运算，再与0比较大小即可得解，熟练掌握有理数的乘法运算法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解： ， ， ， 故答案为： ． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，有理数的乘法计算： （1）根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）根据有理数的乘法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【变式3】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据有理数的加减法求解即可； （2）根据有理数的乘法法则求解即可． 【详解】（1）解： （2） 【题型四】乘法的运算律 【例4】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）分配律用式子可表达为．下列四个计算：①；②；③；④．适合运用分配律来简化计算的算式有（   ）． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． 根据乘法分配律逐个判定即可 【详解】解：①，故①适合运用分配律来简化计算； ②不适合运用分配律来简化计算； ③，故③适合运用分配律来简化计算； ④，故④适合运用分配律来简化计算； 故选：D． 【举一反三】【变式1】（20-21七年级上·浙江台州·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法法则计算可判断A、C、D三项，根据乘法分配律计算可判断B项，进而可得答案． 本题考查了有理数的乘法运算，属于基础题型，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：A．，故错误， B．，故错误， C．,故错误， D. ，故正确． 故选D． 【变式2】（22-23七年级上·浙江温州·阶段练习）计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】将算式中的数字适当变形后利用乘法的分配律解答即可． 【详解】原式 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，将算式中的数字适当变形后利用乘法的分配律解答是解题的关键． 【变式3】（24-25七年级上·浙江·期末）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样两道题目： 计算：（1）．（2）． 有两位同学的解法如下： （1）． （2）． 请参考上述解法，计算下列两题： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)2025 【分析】本题考查有理数的乘法运算律： （1）仿照第一位同学的解法解答； （2）仿照第二位同学的解法解答． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 【题型五】有理数的除法法则 【例5】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）要使算式□3的运算结果最小，则“□”内应填入的运算符号是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的运算，有理数的比较，熟练掌握运算法则是解题关键．将各选项的运算符号代入计算，再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 使算式的运算结果最小，应填入的运算符号是， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江温州·期中）在，2，0，，这5个数中，任取两个数相除，所得的商最小的是（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的除法，有理数的大小比较，根据最小的负数除以最大的正数即可得到最小的负数． 【详解】解：在数，2，0，，中任取两个数相除，所得商中最小数是， 故选：B． 【变式2】（2024七年级上·浙江·专题练习）将转化为乘法运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用除法法则变形即可得到结果． 【详解】解： 故选：C． 【变式3】（24-25七年级上·浙江温州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【题型六】有理数的乘除混合运算 【例6】（24-25七年级上·浙江·阶段练习）一个数的2倍再除以3的商是6，则这个数是（   ） A． B． C．9 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘除法应用，正确的列式是解题的关键，根据题意列出求这个数的算式，再根据有理数的乘除法运算法则计算即可． 【详解】解：由题意知：这个数为， 故选：． 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·浙江台州·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算．根据有理数的加减和乘除混合运算法则计算即可判断． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）定义一种新运算：，如，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了新定义，有理数混合运算，先根据新定义计算出，然后再根据新定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴，． 故． 故答案为：0． 【变式3】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）计算： (1) (2) (3)（简便运算） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）根据加减运算法则计算即可； （2）根据乘除运算法则进行计算即可； （3）根据乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 好题必刷 一、单选题 1．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）计算： 的结果是（　　） A． B．16 C． D． 【答案】C 【分析】先算除法，再计算乘法即可求解． 【详解】解：． 故选C． 【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟知有理数的乘除运算法则，把除法转化为乘法运算是解题关键． 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知算式“■”的运算结果为，“■”部分是因被污染而看不清的运算符号，则该运算符号应该是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的加法运算、有理数的减法运算、有理数的乘法运算、有理数的除法运算法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，故选项不符合题意； B. ，故选项符合题意； C. ，故选项不符合题意； D. ，故选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算，有理数的减法运算，有理数的乘法运算，有理数的除法运算等知识点，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）从，，，7，5，a（，且a为整数）这6个数中取其中3个不同的数作为因数，则它们积的最小值为（   ） A． B． C．168 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键．根据有理数的乘法解决此题． 【详解】解：∵要使它们积的最小， ∴要取奇数个负数，且绝对值尽可能的大， ∴取，7，5， ∴积的最小值为． 故选A． 4．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，代数式的符号的判定，绝对值的化简，有理数的加减运算及乘法运算的应用，掌握以上知识是解题的关键．由题意可知，再根据有理数的加减运算及乘法运算法则即可得到答案． 【详解】解：依题意，得， ， 故只有选项D符合题意， 故选：D． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）计算机中常用的16进制是逢16进1的计算制，采用数字和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数对应关系如下表． 16进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示：，则（　　） A．156 B．19 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数乘法与加法的应用，理解十六进制与十进制之间的对应关系是解题关键．先根据有理数的乘法法则求出的值，再利用十六进制将结果表示出来即可得． 【详解】解：， ，十六进制中的C与十进制中的12对应， 数156用十六进制可表示为，即， 故选：C． 二、填空题 6．（2022七年级上·浙江·专题练习）计算：＝ ． 【答案】15 【分析】根据有理数乘法法则和乘法结合律进行计算即可． 【详解】解： =15 故答案为：15． 【点睛】本题考查有理数乘法，乘法结合律，掌握有理数乘法的计算方法是正确计算的前提． 7．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）数轴上在与27之间插入三个数，使这五个数中每相邻两个数之间的距离相等，则这三个数的和是 ． 【答案】21 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是确定插入的数字．首先确定共有多少个数字，然后被分成4组，从而确定插入的数字，然后求和即可． 【详解】解：在与27之间插入3个数，使这五个数中每相邻两个数之间的距离相等， 也就是将与27之间分成相等的4份． ， 就是将40进行4等分 即每份的值是， ，，， 这3个数分别是，6，16． 故和为， 故答案为：21． 8．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，小天有5张写着不同数的卡片，从中抽出2张卡片，使卡片上的数相除，所得到的商最小，最小的商是 ，从中抽出3张卡片，使卡片上的数相乘，所得到的积最大，最大的积是 ． 【答案】 / 105 【分析】本题主要考查了有理数除法计算，要使两张卡片上的数字的商最小，在保证两个数的为一正一负数的情况下要保证这两个数的绝对值是5个数中除0外最大和最小的；要使3张卡片的积最大，要保证抽到两个负数和较大的正数． 【详解】解：抽到和2时，商最小，最小的商为：， 抽到，和时，积最大，最大的积为：， 故答案为：；105． 9．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）如图，在长为、宽为的长方形空地上修建两条宽均为的道路，余下部分种植某种花卉，则种植花卉的面积为 ． 【答案】551 【分析】本题主要考查了有理数混合运算在图形面积中的应用，根据种植花卉的面积等于长乘以宽求解即可． 【详解】解：根据题意种植花卉的面积为：， 故答案为：551． 三、解答题 10．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）计算． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）先去括号，再根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）根据有理数的加减运算法则计算即可； （3）根据有理数的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 11．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先把减法转化为加法，再根据加法法则计算即可； （2）先算乘方，再算乘除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)27 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加减混合运算法则把原式变为省略加号和括号的形式计算即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） 13．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）（1）一个数与的积为，求这个数． （2）一个数除以3的商为，求这个数． 【答案】（1）这个数是；（2）这个数是． 【分析】本题主要考查了有理数的乘法和除法， （1）运用有理数的除法法则计算即可， （2）运用有理数的乘法则计算即可， 熟练掌握有理数的乘法和除法法则是解决此题的关键． 【详解】(1)解：， 这个数是； 解：， 这个数是． 14．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）某仓库在一周的货品运输中，进出情况如表所示（进库为正，出库为负，单位；吨）， 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期天 合计    表中星期四的进出数被墨水涂污了 (1)请算出星期四货品的进出数； (2)如果进出货品的装卸费都是每吨20元，那么这一周要付多少元装卸费？ 【答案】(1)星期四货品的进出数为吨； (2)这一周要付2940元装卸费． 【分析】本题主要考查有理数的符号表示的实际意义以及有理数的加减和乘法运算． （1）用合计减去其它天数即可推断出星期四的进出数． （2）先求出总的装卸货物的重量，再根据总价等于单价乘以总重量，故可解决此题． 【详解】（1）解：（吨） 答：星期四货品的进出数为吨； （2）解：（元） 答：这一周要付2940元装卸费． 15．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）出租车司机王师傅上午在一条南北方向的大道上营运，共连续运载8批乘客，若规定向北为正，向南为负，王师傅营运这8批乘客里程如下：，，，，，，，．（单位：千米） (1)将最后一批乘客送到目的地时，王师傅在距离第一批乘客出发地的北面还是南面？相距多少千米？ (2)上午，王师傅开车的平均速度是多少？ (3)若出租车的收费标准为：不超过3千米时收费10元，超过3千米时，超过部分每千米2元．则王师傅在上午一共营收多少元？ 【答案】(1)北面  2千米 (2)30千米/小时 (3)156元 【分析】本题考查了正数和负数在实际问题中的应用，有理数的乘法运算的实际应用，明确正负数的含义及题中的数量关系，是解题的关键． （1）把记录的数字相加即可得到结果，结果为正则在北面，结果为负则在南面； （2）先求出路程和，由速度路程时间可求解； （3）先计算起步费总额，再将超过3千米的路程相加，所得的和乘以2，将起步费加上超过3千米的费用总额，即可得答案． 【详解】（1）解：由题意得：向北为“”，向南为“”， 则将最后一批乘客送到目的地时，王师傅距离第一批乘客出发地的距离为： （千米）， 答：王师傅在距离第一批乘客出发地的北面，距离是2千米； （2）解：上午王师傅开车的距离是： （千米）， 上午王师傅开车的时间是：2小时， 答：王师傅开车的平均速度是：（千米/小时）； （3）解：一共有8批乘客，则起步费为：（元）． 超过3千米的收费总额为：（元）． 则王师傅在上午一共收入（元）． 16．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）出租车司机老姚某天上午营运全是在南北走向的兴海路上进行，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午行车里程（单位：）如下： ． (1)将第几名乘客送到目的地时，老姚刚好回到上午出发点？ (2)将最后一名乘客送到目的地时，老姚距上午出发点多远？在出发点的南面还是北面？ (3)若汽车耗油量为，这天上午老姚的出租车耗油多少L？ 【答案】(1)将第6名乘客送到目的地时，老姚刚好回到出发点 (2)老姚距上午出发点，在出发点的北面 (3)这个上午老姚的出租车耗油3.3L 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）求出和为0时的数的个数，即可； （2）求出所有数据的和，根据和的情况作答即可； （3）求出所有数据的绝对值的和，再乘以每千米的油耗即可． 【详解】（1）解：， 答：将第6名乘客送到目的地时，老姚刚好回到出发点． （2）解：， 答：老姚距上午出发点，在出发点的北面． （3）解：， 答：这个上午老姚的出租车耗油3.3L． 17.（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）小实家的新房户型结构平面图如图所示，主卧与次卧是两个面积相等的正方形，阳台是直径与主卧边长相等的半圆（取3，墙体厚度不计）． (1)请算出小实家两个卧室和客厅的面积总和． (2)小实家打算将两个卧室和客厅全部铺上实木地板，卫生间、厨房全部铺上柔光砖，阳台铺木纹砖，铺贴费用如下表： 类别 实木地板 柔光砖 木纹砖 平均费用（元/） 200 90 80 问：小实家铺贴地面的总金额是多少元（结果精确到百位，并用科学记数法表示）？ 【答案】(1)67； (2)15095元 【分析】本题考查有理数混合运算的应用，根据图形列出算式是解决本题的关键． （1）先求出每个卧室的边长，再根据图形求出客厅和卧室的面积之和即可； （2）根据题意列出算式即可求解． 【详解】（1）解：∵主卧与次卧是两个面积相等的正方形， ∴卧室的边长为m， ∴客厅的长为m， ∴两个卧室和客厅的面积总和； （2）解：（元） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$