第一章 空间向量与立体几何 （全章复习）（知识回顾+5重难点题型）-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（人教A版2019选修一）

第一章 空间向量与立体几何 全章复习 题型梳理 题型方法 题型一 空间向量及其运算 题型二 空间向量的基本定理 题型三 空间向量垂直与平行的坐标表示 题型四 用空间向量研究距离、夹角的问题 题型五 用空间向量研究夹角的问题 知识清单 知识点01空间向量的概念及运算 1．空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加法的三角形法则和平行四边形法则，减法的几何意义，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等；向量的基底表示和坐标表示是向量运算的基础． 2．向量的运算过程较为繁杂，要注意培养学生的数学运算能力． 知识点02利用空间向量证明位置关系 1．用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明． 2．将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力． 知识点03利用空间向量计算距离 1．空间距离的计算思路 (1)点P到直线l的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量＝a，则向量在直线l上的投影向量为＝(a·u)u，则点P到直线l的距离为 (如图)． (2)设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为 (如图)． 2．通过利用向量计算空间的距离，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力． 知识点04利用空间向量求空间角 1．空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|. (2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成的角θ满足sin θ＝|cos〈m，n〉|. (3)设n1，n2分别是两个平面α，β的法向量，则两平面α，β的夹角θ满足cos θ＝|cos〈n1，n2〉|. 2．通过利用向量计算空间角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力． 题型方法 【题型一】空间向量及其运算 【例1】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）在长方体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用 空间向量的线性运算结合向量相等即可求解. 【详解】. 故选：C. 解题技巧 空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件 (1)空间向量的数乘运算、共线向量的概念、向量共线的充要条件与平面向量的性质是一致的． (2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线的向量共面，特别地，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y. 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共线定理及空间向量线性运算可得结果. 【详解】如图：连接交于H，则H为中点，连接, 因为平面，平面，设，则， 又平面，所以平面，故K为与平面的交点， 又因为与平面交于点F，所以F与K重合， 又E为的中点，G为平面的重心， 因为点A，F，G三点共线，则 又因为点E，F，H三点共线，则， , 所以，解得，即，故. 故选：C. 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则 ． 【答案】/0.4 【分析】根据空间向量共面定理即可求得. 【详解】∵， 由空间向量共面定理得：， 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）如图，在长方体中，，点在棱的延长线上，且．设． (1)试用，，表示向量 (2)求． 【答案】(1)； (2)4 【分析】（1）由向量的加法运算法则，即可表示出 （2）将用，，表示，再根据向量的数量积运算法则，即可求得. 【详解】（1）点在棱的延长线上，且， ， ． （2）由题意得， 又， ． 【题型二】空间向量的基本定理 【例2】（24-25高二上·广东湛江·期中）如图，在四面体中，．点在上，且为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，利用空间向量基本定理可得答案. 【分析】连接． 故选：B. 解题技巧 利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要选择基底或建立空间直角坐标系转化为其坐标运算，再借助于向量的有关性质求解(证)． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·广东东莞·期末）已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】A 【分析】利用空间向量基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A选项，假设、、共面， 则存在、使得 ，所以，，无解， 所以，、、不共面，可以作为空间的一组基底； 对于B选项，因为，则、、共面， 则、、不能作为空间的一组基底； 对于C，因为，所以，、、共面， 则、、不能作为空间的一组基底； 对于D，，则、、共面， 则、、不能作为空间的一组基底. 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，若，则 . 【答案】 【分析】根据向量的运算法则利用表示，由条件结合空间向量基本定理列方程求可得结论. 【详解】在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点， 所以 又 所以 即. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·山西晋城·期中）如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，． (1)试用，，表示向量； (2)已知，，且，若，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）借助空间向量线性运算法则计算即可得； （2）由题意可得，结合数量积公式计算即可得. 【详解】（1） ． （2）由可得， 即， 即， 即， 即，． 【题型三】空间向量垂直与平行的坐标表示 【例3】（24-25高二下·江苏盐城·期末）向量，，若，则实数m的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】利用向量共线列式求解. 【详解】向量，，由，得， 所以. 故选：D 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知空间向量，若与垂直，则（    ） A． B． C． D．14 【答案】B 【分析】根据空间向量数量积的运算及空间向量的模求解. 【详解】因为与垂直， 所以，解得， 所以， 故. 故选：B 【变式2】（24-25高二下·上海·阶段练习）向量 且 ，则实数 . 【答案】/ 【分析】利用向量的坐标运算，再结合向量平行列式计算，即可求解. 【详解】，， 因为，所以， 即， 有， 故实数 . 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知空间中三点、、，设，. (1)若向量与互相垂直，求的值； (2)若，且与共线，求向量. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出向量、的坐标，进而求出向量的坐标，由题意可得出，结合空间向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，解之即可； （2）设，其中，求出的值，利用向量模的性质求出的值，即可得出向量的坐标. 【详解】（1）由题意可得，， 所以，， 因为向量与互相垂直，则，解得. （2）由题意可得，则， 因为与共线，设，其中，则，解得， 当时，；当时，. 综上所述，或. 【题型四】用空间向量研究距离的问题 【例4】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出平面的一个法向量，利用点到平面距离的向量求法计算可得结果. 【详解】设平面的一个法向量为， 则，令，可得，； 所以， 则点到平面的距离为. 故选：D 解题技巧 利用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可．． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量求得点到直线的距离的表达式，再由二次函数性质可求得最小值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，可得， 设，所以可得； 因此， 因此点到直线的距离为 . 当（满足题意）时，取得最小值，即点到直线的距离的最小值为. 故选：A 【变式2】（24-25高二上·湖北宜昌·期中）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若，则直线BD1与CD之间的距离为 . 【答案】 【分析】求得与，都垂直的一个向量，利用可求直线与之间的距离. 【详解】以为轴，为轴，为轴建立空间直线坐标系，    则，，， 设与，都垂直的一个向量， 则，取，则，， 所以与BD1，CD都垂直的一个向量， 所以直线与之间的距离为. 故答案为： 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知正方体的棱长为1，为中点，求下列问题： (1)求异面直线与的距离； (2)求到平面的距离； (3)求到平面的距离； (4)求平面与平面的距离. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用异面直线距离的向量公式求解即可； （2）求出平面的法向量，利用点到平面距离的向量公式求解即可； （3）利用直线到平面距离的向量公式求解即可； （4）求出平面、平面的一个法向量，可得平面平面，转化为点到平面的距离，利用点到平面的距离向量求法即可求解. 【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系，    则、、、，、、 、、， 所以，， 设是与，都垂直的向量， 则，即，即，令得， 选与的两点向量为， 得与的距离. （2），设为平面的法向量，则， 即，即，令得， 选点到平面两点向量为， 由公式得：点到平面的距离. （3）由（2）可知：平面的法向量可设， 设与平面的两点向量为， 故直线到平面的距离. （4），， 设分别为平面、平面的一个法向量， 所以，令，可得，所以， ，令，可得，所以， 所以，所以平面平面， 可得点到平面的距离即为所求，， 所以点到平面的距离为， 故平面与平面的距离为. 【题型五】用空间向量研究夹角的问题 【例5】（24-25高二下·福建龙岩·期中）若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则l与所成的角为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】由线面角的向量公式，求得正弦值，可得答案. 【详解】由题意可知与夹角的正弦值为，且夹角的取值范围为，则夹角为. 故选：B. 解题技巧 在建立空间直角坐标系的过程中，一定要依据题目所给几何图形的特征，建立合理的空间直角坐标系，这样才会容易求得解题时需要的坐标． 直线和平面所成的角、两个平面的夹角，此类问题有两种思路：①转化为两条直线所成的角求解；②利用平面的法向量求解． 【举一反三】【变式1】（24-25高一下·浙江台州·期末）在棱长均相等的正四棱锥S-ABCD中，E是棱SC的中点，则AE与BS所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系结合向量求解异面直线的夹角. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系: 设点 ，，，. 则 为 . 因为在正四棱锥中，所以由图形可知. 因为 是 的中点，所以由，. 得到中点坐标： . 所以 所以 设这两条异面直线夹角为 则 故选：A. 【变式2】（2025高二·全国·专题练习）单位正方体中，、、分别是、和的中点，则过、、三点的截面与底面所成二面角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】依题意建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】 如图，在单位正方体上建系，则， 于是， 设截面的法向量为，则，取，则， 而平面的一个法向量=为， 设过、、三点的截面与底面所成二面角为， 则. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）如图1，四边形是矩形，四边形是等腰梯形，，，.将梯形沿AD折起，使平面平面，连接BF，CF，CE，得到空间几何体，如图2所示.    (1)求的大小； (2)求直线AB到平面的距离； (3)求直线BF与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，用空间向量的数量积证线线垂直. （2）利用线面平行，把问题转化成点到平面的距离，再用空间向量求点到平面的距离. （3）用空间向量求直线与平面所成角的三角函数. 【详解】（1）以为坐标原点，，的方向分别为轴轴的正方向， 以过点垂直于平面且向上的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，，， 因为，所以，即. （2）因为，平面，平面，所以平面， 所以直线AB到平面的距离即为点到平面的距离， 设平面的法向量为，则 令，得， 所以点到平面的距离为. （3）设直线BF与平面所成的角为，则， 所以直线BF与平面所成角的正弦值为. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且，若M，A，B，C四点共面，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用共面向量定理的推论求解即可. 【详解】依题意，，所以. 故选：A 2．（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）已知，，且，则（   ） A．-6 B．5 C．4 D．6 【答案】D 【分析】利用空间向量共线的坐标公式计算即得. 【详解】由可得，解得. 故选：D. 3．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知，，，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】求得，，根据题意建立等式求解即可. 【详解】由题意得，， 因为三点共线，所以， 即， 解得，，，所以． 故选：B 4．（24-25高二下·浙江·阶段练习）在空间四边形ABCD中， M、N分别是AB、CD的中点， 且.设 ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算可求得，可判断AB；，可判断C；由，可得，进而计算可得，可判断D. 【详解】，故AB错误； 因为，所以，所以不一定等于，故C错误； 因为，所以，所以， 所以， 所以， 所以，故D正确. 故选：D. 5．（24-25高二下·江苏扬州·期末）在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用、、表示出，再应用空间向量数量积的运算律求的模长，从而得解． 【详解】如下图所示： 因为，，，， 由空间向量数量积的定义可得，， 同理可得， 由题意可知，四边形是平行四边形， ， ， ， 故，则线段的长度为． 故选：C． 6．（24-25高二下·安徽六安·阶段练习）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ） ①； ② ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据空间向量的加法法则判断． 【详解】由正方体，空间向量的加法法则可得． ；； ；． 故选：D． 二、多选题 7．（24-25高一下·江西宜春·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A．若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 B．已知两个向量，，且，则 C．若，且，，则 D．点关于平面对称的点的坐标是 【答案】BCD 【分析】利用空间中四点共面的推论可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；利用空间向量垂直的坐标表示可判断C选项；根据空间直角坐标系中点的对称性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，若、、、四点共面，则存在、，使得， 即， 所以，且， 因为对空间中任意一点有，且， 故、、、四点不共面，A错； 对于B选项，已知两个向量，，且， 设，即，则，解得，故，B对； 对于C选项，若，且，， 则，C对； 对于D选项，点关于平面对称的点的坐标是，D对. 故选：BCD. 8．（24-25高二下·江苏扬州·期末）如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上（含端点）运动，下列选项中正确的有（    ） A．线段长度的最大值是 B．点P到平面的距离是定值 C．直线与BD所成角的最小值是 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，设，且，利用空间两点间的距离通过求函数最大值即可判断A；由∥平面得到点P到平面的距离即为点到平面的距离，并通过等体积法求得距离可判断B；利用空间向量表示线线角、线面角并利用函数单调性求得最值或范围，从而判断CD. 【详解】如图，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 设，且. 对于A，， 当时，.故A正确； 对于B，正方体中，∥，平面，平面， 所以∥平面，因为，所以点P到平面的距离是等于点到平面的距离, 设到平面的距离为，由得，，得，故B不正确； 设，且. 对于C，，， 设直线与BD的所成角为， 则 令，则， 函数，在上单调递减，在上单调递增，所以 ，所以，故C正确； 对于D，设平面的法向量，则 取，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为： 因为在上单调递增 ，故D正确 故选：ACD 9．（24-25高二下·广西·阶段练习）如图，在平行六面体中，向量，，的模长均为2，且它们彼此的夹角都是动点在棱上，则（   ） A． B．直线BD与直线AP所成角为90° C．平面与平面ABCD的夹角为60° D．多面体的外接球体积为 【答案】ABD 【分析】对于选项A，通过向量运算求；选项B，可证平面得到，选项C，找出平面与平面ABCD的夹角并计算可判断；选项D，根据题意可确定球心在中点处，求出半径即可. 【详解】在平行六面体中， ， 向量，，的模长均为2，且它们彼此的夹角都是 所以 ， 即，故A正确； 对于B，连接AC交BD于O，连接， 由题知，，所以为等边三角形，四边形为菱形， ， 同理可得，也为等边三角形，即也为等边三角形，， 又，平面，平面，即平面， 平面，，故B正确； 对于C，连接交于，连接，， 平面，平面，， 又，平面平面， 所以就是平面与平面ABCD的夹角， 在平行六面体中，， ，为等边三角形， ，， ，故C错误； 对于D，连接交于，为、中点， 又，，所以四边形为正方形， ，又， 所以， 即， 所以多面体外接球球心在中点处， 半径，体积，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 10．（24-25高二下·江苏泰州·期末）若向量与垂直，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据空间向量互相垂直则数量积为零列式计算即可. 【详解】向量与垂直， 所以，解得. 故答案为： 11．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知，向量，若，则 . 【答案】 【分析】根据空间向量数量积的坐标表示，建立方程，可得答案. 【详解】由得，， 解得，所以. 故答案为：. 12．（24-25高二上·陕西西安·期末）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 【答案】 【分析】根据题意，可知存在，使得，结合空间向量基本定理运算求解. 【详解】由不能构成空间的一个基底，则存在，使得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 四、解答题 13．（24-25高二下·上海浦东新·期末）给定点与点． (1)求在上的投影向量； (2)判断四点是否共面？ 【答案】(1) (2)四点不共面，理由见解析 【分析】（1）由关系式求解即可； （2）判断是否存在唯一实数，使成立即可； 【详解】（1）因为，， 所以， 所以在上的投影向量为. （2）四点不共面，理由如下： 因为，，， 设，即，该方程组无解， 所以四点不共面. 14．（24-25高三下·山西·阶段练习）如图，在直四棱柱中，，，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由直棱柱的性质可得，再结合，可证得平面，则，然后根据已知的条件可得∽，从而可证得，进而可得，最后利用线面垂直的判定定理可证得结论； （2）由题意可证得，，，所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，从而利用向量的夹角公式可求得结果； （3）设，则表示出点的坐标，从而可表示出的坐标，然后表示出到直线的距离，化简可求出其最小值. 【详解】（1）证明：由直四棱柱知底面， 因为平面，所以， 又，，，平面， 所以平面， 因为平面，所以． 因为，，， 所以，， 所以∽，所以， 因为，所以，所以， 又，，平面，所以平面． （2）解：因为底面，平面， 所以， 因为，所以，，两两垂直， 所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，，， 由（1）知，为平面的一个法向量． 设为平面的一个法向量， 因为，， 所以，即，令，可得． 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）解：设，， 则，， 设到直线的距离为，则 ， 所以当时，，即到直线距离的最小值为． 15．（23-24高二上·山东淄博·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，进而根据向量夹角公式计算即可； （2）利用向量法求线面距离作答即可. 【详解】（1）在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 所以直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）知，，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线FC到平面的距离是. 16．（23-24高二下·安徽合肥·期末）如图所示，两个正方形框架ABCD，ADEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.点M，N分别在正方形对角线BD和AE上移动，且AN和BM的长度保持相等，记. (1)为何值时，MN的长最小？ (2)当MN的长最小时，求平面MNA与平面MND夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式得出，最后配方法进行求解即可； （2）求出，再利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系（如图）， ， . ； 当时，|MN|最小，最小值为； （2）由（1）可知，当M，N为中点时，MN最短， 则，取MN的中点，连接AG，DG，则， ， 是平面MNA与平面MND的夹角或其补角. ， . 平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是 17．（24-25高二上·广东江门·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设．    (1)试用 表示向量，， (2)求； (3)求证： 【答案】(1)，； (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）根据向量的加法、减法运算即可求解； （2）根据向量的数量积运算及模长公式即可求解； （3）根据向量的减法、数量积运算性质及垂直的向量表示即可证明. 【详解】（1）， . （2）因为， 所以， ， ， 所以. （3）因为． 所以. 18．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图所示，已知斜四棱柱的底面是菱形，且，且．    (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据已知条件可以构造空间向量，利用空间向量的数量积为0得到垂直关系； （2）根据线面垂直的性质知，要使平面，只需且，根据数量积的定义可知需证明，，结合向量的加减运算和数量积的定义，即可求出与的关系； 【详解】（1）证明：设，，，则， 底面是菱形，有， 则， ∴，即. （2）要使平面，只需且. 欲使，则可证明，即， 也就是， 即， 由于，显然当时，上式成立. 同理可得，当时，. 因此，当时，能使平面. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何 全章复习 题型梳理 题型方法 题型一 空间向量及其运算 题型二 空间向量的基本定理 题型三 空间向量垂直与平行的坐标表示 题型四 用空间向量研究距离、夹角的问题 题型五 用空间向量研究夹角的问题 知识清单 知识点01空间向量的概念及运算 1．空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加法的三角形法则和平行四边形法则，减法的几何意义，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等；向量的基底表示和坐标表示是向量运算的基础． 2．向量的运算过程较为繁杂，要注意培养学生的数学运算能力． 知识点02利用空间向量证明位置关系 1．用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明． 2．将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力． 知识点03利用空间向量计算距离 1．空间距离的计算思路 (1)点P到直线l的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量＝a，则向量在直线l上的投影向量为＝(a·u)u，则点P到直线l的距离为 (如图)． (2)设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为 (如图)． 2．通过利用向量计算空间的距离，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力． 知识点04利用空间向量求空间角 1．空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|. (2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成的角θ满足sin θ＝|cos〈m，n〉|. (3)设n1，n2分别是两个平面α，β的法向量，则两平面α，β的夹角θ满足cos θ＝|cos〈n1，n2〉|. 2．通过利用向量计算空间角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力． 题型方法 【题型一】空间向量及其运算 【例1】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）在长方体中，（   ） A． B． C． D． 解题技巧 空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件 (1)空间向量的数乘运算、共线向量的概念、向量共线的充要条件与平面向量的性质是一致的． (2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线的向量共面，特别地，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y. 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则 ． 【变式3】（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）如图，在长方体中，，点在棱的延长线上，且．设． (1)试用，，表示向量 (2)求． 【题型二】空间向量的基本定理 【例2】（24-25高二上·广东湛江·期中）如图，在四面体中，．点在上，且为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 解题技巧 利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要选择基底或建立空间直角坐标系转化为其坐标运算，再借助于向量的有关性质求解(证)． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·广东东莞·期末）已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【变式2】（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，若，则 . 【变式3】（24-25高二上·山西晋城·期中）如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，． (1)试用，，表示向量； (2)已知，，且，若，求的值． 【题型三】空间向量垂直与平行的坐标表示 【例3】（24-25高二下·江苏盐城·期末）向量，，若，则实数m的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知空间向量，若与垂直，则（    ） A． B． C． D．14 【变式2】（24-25高二下·上海·阶段练习）向量 且 ，则实数 . 【变式3】（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知空间中三点、、，设，. (1)若向量与互相垂直，求的值； (2)若，且与共线，求向量. 【题型四】用空间向量研究距离的问题 【例4】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（   ） A． B． C． D． 解题技巧 利用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可．． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·湖北宜昌·期中）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若，则直线BD1与CD之间的距离为 . 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知正方体的棱长为1，为中点，求下列问题： (1)求异面直线与的距离； (2)求到平面的距离； (3)求到平面的距离； (4)求平面与平面的距离. 【题型五】用空间向量研究夹角的问题 【例5】（24-25高二下·福建龙岩·期中）若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则l与所成的角为（   ） A． B． C．或 D．或 解题技巧 在建立空间直角坐标系的过程中，一定要依据题目所给几何图形的特征，建立合理的空间直角坐标系，这样才会容易求得解题时需要的坐标． 直线和平面所成的角、两个平面的夹角，此类问题有两种思路：①转化为两条直线所成的角求解；②利用平面的法向量求解． 【举一反三】【变式1】（24-25高一下·浙江台州·期末）在棱长均相等的正四棱锥S-ABCD中，E是棱SC的中点，则AE与BS所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025高二·全国·专题练习）单位正方体中，、、分别是、和的中点，则过、、三点的截面与底面所成二面角的余弦值为 ． 【变式3】（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）如图1，四边形是矩形，四边形是等腰梯形，，，.将梯形沿AD折起，使平面平面，连接BF，CF，CE，得到空间几何体，如图2所示.    (1)求的大小； (2)求直线AB到平面的距离； (3)求直线BF与平面所成角的正弦值. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且，若M，A，B，C四点共面，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）已知，，且，则（   ） A．-6 B．5 C．4 D．6 3．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知，，，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D．3 4．（24-25高二下·浙江·阶段练习）在空间四边形ABCD中， M、N分别是AB、CD的中点， 且.设 ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江苏扬州·期末）在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·安徽六安·阶段练习）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ） ①； ② ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 7．（24-25高一下·江西宜春·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A．若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 B．已知两个向量，，且，则 C．若，且，，则 D．点关于平面对称的点的坐标是 8．（24-25高二下·江苏扬州·期末）如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上（含端点）运动，下列选项中正确的有（    ） A．线段长度的最大值是 B．点P到平面的距离是定值 C．直线与BD所成角的最小值是 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 9．（24-25高二下·广西·阶段练习）如图，在平行六面体中，向量，，的模长均为2，且它们彼此的夹角都是动点在棱上，则（   ） A． B．直线BD与直线AP所成角为90° C．平面与平面ABCD的夹角为60° D．多面体的外接球体积为 三、填空题 10．（24-25高二下·江苏泰州·期末）若向量与垂直，则实数的值为 ． 11．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知，向量，若，则 . 12．（24-25高二上·陕西西安·期末）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 四、解答题 13．（24-25高二下·上海浦东新·期末）给定点与点． (1)求在上的投影向量； (2)判断四点是否共面？ 14．（24-25高三下·山西·阶段练习）如图，在直四棱柱中，，，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值． 15．（23-24高二上·山东淄博·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 16．（23-24高二下·安徽合肥·期末）如图所示，两个正方形框架ABCD，ADEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.点M，N分别在正方形对角线BD和AE上移动，且AN和BM的长度保持相等，记. (1)为何值时，MN的长最小？ (2)当MN的长最小时，求平面MNA与平面MND夹角的余弦值. 17．（24-25高二上·广东江门·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设．    (1)试用 表示向量，， (2)求； (3)求证： 18．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图所示，已知斜四棱柱的底面是菱形，且，且．    (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$