第07讲 直线的倾斜角与斜率（知识清单+易错+3必考题型）-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（人教A版2019选修一）

第07讲 直线的倾斜角与斜率 题型梳理 易错分析 易错点一 忽略直线斜率变化与倾斜角变化的关系致误 题型方法 题型一 直线的倾斜角与斜率 题型二 两条直线平行与垂直的判定 题型三 平行与垂直的应用 知识清单 知识点01直线的倾斜角 1．当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 注意点： (1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角． 知识点02直线的斜率 1．把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 2. 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝，当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在． 3．直线的方向向量与斜率的关系：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝. 注意点： (1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关． (3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换． (4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0. 知识点03倾斜角和斜率的应用 设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k＝0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 随α的增大而增大 随α的增大而增大 知识点04两条直线平行的判定 对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2⇔k1＝k2. 注意点： (1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合． (2)k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在)． (3)l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在． 知识点05两条直线垂直的判定 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 注意点： (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在． (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率，即k1＝－. 易错分析 【易错点一】忽略直线斜率变化与倾斜角变化的关系致误 【例1】（24-25高二上·辽宁·期末）已知直线的倾斜角为，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 【变式3】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 题型方法 【题型一】直线的倾斜角与斜率 【例1】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）下列关于直线斜率和倾斜角的说法中，正确的是（    ） A．任意一条直线都有斜率 B．倾斜角的范围为 C．倾斜角为0的直线只有一条，即x轴 D．若直线的倾斜角为，则 解题技巧 直线倾斜角的概念和范围 (1)直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． (2)注意倾斜角的范围． 求直线的斜率的两种方法 (1)利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k＝tan α. (2)利用斜率公式：k＝(x1≠x2)． 倾斜角和斜率的应用 (1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解． 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·上海崇明·期末）直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·青海海南·期中）过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为 ． 【变式3】（21-22高二上·河北唐山·阶段练习）已知两点，过点的直线与线段有公共点． (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围． 【题型二】两条直线平行与垂直的判定 【例2】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）设与是平面内不重合的直线，甲：与的斜率相等；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 解题技巧 判断两条不重合的直线是否平行的方法 判断两条直线是否垂直的方法 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·湖北宜昌·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【变式2】（24-25高二上·云南文山·期中）已知直线和，下列命题： ①的充要条件是； ②的充分条件是； ③的必要条件是；④的充要条件是； ⑤的充分条件是；⑥的必要条件是； 正确的是 . 【变式3】（24-25高二上·贵州六盘水·期中）（1）已知，，，判断，，三点是否在同一条直线上； （2） 已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，判断与是否垂直. 【题型三】平行与垂直的应用 【例3】（24-25高二下·江西·阶段练习）若直线与直线平行，则（   ） A．2 B． C． D． 解题技巧 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·河南新乡·期中）若直线与互相垂直，则（   ） A．0 B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知关于的方程组无解，则实数的值为 . 【变式3】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知直线和， (1)若与平行，求m的值； (2)若与垂直，求m的值． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·广东潮州·期末）已知点和点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·吉林通化·阶段练习）“”是“直线和直线不重合而平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知直线与直线平行，则实数a的值为（   ） A． B． C．或1 D．或1 5．（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（24-25高二上·四川雅安·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为 B．三点共线 C．直线（其中）必过定点 D．经过点，倾斜角为的直线方程为 9．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．直线的倾斜角为 B．若直线与直线的斜率相等，则 C．的斜率为2，经过点，则 D．过点且倾斜角为的直线方程为 三、填空题 10．（24-25高二上·广东·期中）直线：与直线：平行，则 ，的倾斜角为 . 11．（24-25高二上·云南大理·阶段练习）已知直线，若且，则 . 12．（2025高三·全国·专题练习）已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ． 四、解答题 13．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）（1）判断下列不同的直线与是否平行：的斜率为2，经过两点； （2）判断下列直线与是否垂直；的倾斜角为45°，经过两点． 14．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知直线l经过两点，同当m取何值时； (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l斜率不存在； (3)直线的倾斜角为锐角？ 15．（2024高二·全国·专题练习）判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且； (4)经过点和，经过点和． 16．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知坐标平面内三点． (1)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (2)若是线段上一动点，求的取值范围． 17．（24-25高二上·陕西安康·阶段练习）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 18．（2025高三·全国·专题练习）已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 直线的倾斜角与斜率 题型梳理 易错分析 易错点一 忽略直线斜率变化与倾斜角变化的关系致误 题型方法 题型一 直线的倾斜角与斜率 题型二 两条直线平行与垂直的判定 题型三 平行与垂直的应用 知识清单 知识点01直线的倾斜角 1．当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 注意点： (1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角． 知识点02直线的斜率 1．把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 2. 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝，当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在． 3．直线的方向向量与斜率的关系：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝. 注意点： (1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关． (3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换． (4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0. 知识点03倾斜角和斜率的应用 设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k＝0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 随α的增大而增大 随α的增大而增大 知识点04两条直线平行的判定 对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2⇔k1＝k2. 注意点： (1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合． (2)k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在)． (3)l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在． 知识点05两条直线垂直的判定 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 注意点： (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在． (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率，即k1＝－. 易错分析 【易错点一】忽略直线斜率变化与倾斜角变化的关系致误 【例1】（24-25高二上·辽宁·期末）已知直线的倾斜角为，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系，已知可求出直线斜率取值范围，再根据直线的方程求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 即直线的斜率. 又由直线方程可得，所以， 解得， 即实数的取值范围是. 故选：C. 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围． 【详解】直线的方程可化为，由，可得， 所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 【变式2】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分别求得直线，的斜率，结合图形可得的范围，再由直线的斜率公式，可得倾斜角的范围. 【详解】如图所示： 由点，可得直线的斜率为，直线的斜率为， 由直线与线段相交，可得的范围是； 由斜率与倾斜角的正切图象得倾斜角 故答案为：；. 【变式3】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)或斜率不存在 (2) 【分析】（1）结合题意由斜率的定义直接求解即可； （2）由斜率与倾斜角的关系求解即可； 【详解】（1）如图，由题意可知 ， 要使直线l与线段有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是或斜率不存在. （2）由题意可知，l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间. 又的倾斜角是，的倾斜角是， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 题型方法 【题型一】直线的倾斜角与斜率 【例1】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）下列关于直线斜率和倾斜角的说法中，正确的是（    ） A．任意一条直线都有斜率 B．倾斜角的范围为 C．倾斜角为0的直线只有一条，即x轴 D．若直线的倾斜角为，则 【答案】B 【分析】利用直线斜率和倾斜角的概念，逐项判断即得. 【详解】对于A，垂直于x轴的直线没有斜率，A错误； 对于B，直线倾斜角的范围为，B正确； 对于C，垂直于y轴的直线倾斜角都为0，C错误； 对于D，直线的倾斜角为，则，D错误. 故选：B 解题技巧 直线倾斜角的概念和范围 (1)直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． (2)注意倾斜角的范围． 求直线的斜率的两种方法 (1)利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k＝tan α. (2)利用斜率公式：k＝(x1≠x2)． 倾斜角和斜率的应用 (1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解． 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·上海崇明·期末）直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求直线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】由题意有直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 则，又因为,所以， 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·青海海南·期中）过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】根据斜率公式列式求解即可. 【详解】根据题意可得，解得或， 当时，点A，B重合，不符合题意，舍去； 当时，经验证，符合题意； 综上所述：. 故答案为：. 【变式3】（21-22高二上·河北唐山·阶段练习）已知两点，过点的直线与线段有公共点． (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）由图可知要使直线与线段有公共点，只需直线的斜率满足或，从而可求得答案； （2）由斜率与倾斜角的关系可求出直线的倾斜角的取值范围． 【详解】（1）因为，， 所以 因为直线与线段有公共点， 所以由图可知直线的斜率满足或， 所以直线的斜率的取值范围是．    （2）由题意可知直线l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间， 因为直线的倾斜角是，直线的倾斜角是， 所以的取值范围是． 【题型二】两条直线平行与垂直的判定 【例2】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）设与是平面内不重合的直线，甲：与的斜率相等；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线位置关系与斜率的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为若平面内两条不重合的直线的斜率相等，则两直线平行，所以甲是乙的充分条件； 若两直线平行，则两直线的斜率可能都不存在，即斜率可能不相等，则甲不是乙的必要条件， 所以甲是乙的充分条件但不是必要条件. 故选：A. 解题技巧 判断两条不重合的直线是否平行的方法 判断两条直线是否垂直的方法 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·湖北宜昌·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】求得两条直线的斜率，从而判断出两条直线的位置关系. 【详解】直线和直线的斜率分别为，， 因为，所以. 故选：A 【变式2】（24-25高二上·云南文山·期中）已知直线和，下列命题： ①的充要条件是； ②的充分条件是； ③的必要条件是；④的充要条件是； ⑤的充分条件是；⑥的必要条件是； 正确的是 . 【答案】⑤ 【分析】根据直线平行、垂直，以及充分和必要条件等知识确定正确答案. 【详解】若，则可能、的斜率都不存在，故不能得到； 若，则可能、重合，故不能得到， 所以①②③错误. 若，则可能的斜率不存在，的斜率为，故不能得到； 若，，则， 所以⑤正确，④⑥错误. 故答案为：⑤ 【变式3】（24-25高二上·贵州六盘水·期中）（1）已知，，，判断，，三点是否在同一条直线上； （2）已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，判断与是否垂直. 【答案】（1）三点在同一直线上； （2）与互相垂直 【分析】（1）计算可得，可得结论； （2）计算可得，可得结论. 【详解】（1）因为，，， 所以，又直线均过点， 所以点三点在同一条直线上； （2）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 因为直线经过，两点，所以， 所以，所以与互相垂直. 【题型三】平行与垂直的应用 【例3】（24-25高二下·江西·阶段练习）若直线与直线平行，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用两条直线平行列式求解即得. 【详解】由直线与直线平行，得， 所以. 故选：D 解题技巧 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·河南新乡·期中）若直线与互相垂直，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论直线的斜率，再利用即可. 【详解】由题意可知直线的斜率， 当时，直线的斜率不存在，不满足； 当时，直线的斜率， 由，得，即，解得． 故选：B 【变式2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知关于的方程组无解，则实数的值为 . 【答案】 【分析】将问题转化成直线与直线平行，进而可求解. 【详解】方程组无解， 等价于直线与直线平行， 可得：， 解得：或， 当时，直线方程分别为：和重合舍去， 当时，直线方程分别为：和，平行， 故， 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知直线和， (1)若与平行，求m的值； (2)若与垂直，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意利用两条直线平行的性质，求出m的值； （2）由题意利用两条直线垂直的性质，求出m的值． 【详解】（1）若与平行，则，解得：或， 当时，直线和，与平行； 当时，直线和，与重合. 综上：. （2）当时，即时，与垂直， 即时，与垂直. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·广东潮州·期末）已知点和点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两点的斜率公式以及倾斜角与斜率的关系即可求得结果. 【详解】因为，且，所以的倾斜角 故选：B 2．（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由倾斜角与斜率关系即可求解. 【详解】设倾斜角为，，则，解得，故倾斜角为， 故选：A. 3．（24-25高二上·吉林通化·阶段练习）“”是“直线和直线不重合而平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用平行的位置关系可列出系数满足的关系式，从而求解进行判断即可. 【详解】当时，直线和直线是不重合而平行关系，即满足充分性， 当直线和直线不重合而平行时， 有，解得，故满足必要性， 故选：C. 4．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知直线与直线平行，则实数a的值为（   ） A． B． C．或1 D．或1 【答案】D 【分析】利用两条直线平行的条件列式求解. 【详解】由直线与直线平行，得，解得或， 所以实数a的值为或1. 故选：D 5．（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【详解】设直线、、的倾斜角为、、，由图可知， 所以，即. 故选：A. 6．（24-25高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意三点共线，结合两点式斜率公式，利用斜率相等列式求解即可. 【详解】由题意三点共线，设，因为，， 所以，解得，所以. 故选：B 二、多选题 7．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】应用直线平行、垂直的判定列方程求参数，注意验证即可得答案. 【详解】已知直线， 若，则，求得或， 经检验或都满足条件，故A正确，B不正确. 若，则，得，故C不正确，D正确. 故选：AD 8．（24-25高二上·四川雅安·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为 B．三点共线 C．直线（其中）必过定点 D．经过点，倾斜角为的直线方程为 【答案】ABC 【分析】对A，根据直线垂直轴判断；对B，由可判断B；对C，由题意可得出，即，解方程可判断C；对D，时，直线的斜率不存在可判断D. 【详解】对于A，直线即，垂直轴，所以直线的一个方向向量为，故A正确； 对于B，，，所以，故B正确； 对于C，由可得：， 则，解得：， 所以直线必过定点，故C正确； 对于D，当时，直线的斜率不存在，故D错误. 故选：ABC. 9．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．直线的倾斜角为 B．若直线与直线的斜率相等，则 C．的斜率为2，经过点，则 D．过点且倾斜角为的直线方程为 【答案】AD 【分析】由斜率与倾斜角的关系可得A正确；由两直线斜率关系可得B错误；由斜率的定义和两直线垂直斜率关系可得C错误；由斜率与倾斜角关系可得D正确； 【详解】对于A，直线的斜率，该直线的倾斜角为，故A正确； 对于B，直线与斜率相等时，或与重合，故B错误； 对于C，的斜率为，由，所以不成立，故C错误； 对于D，过点且倾斜角为90°的直线方程为，故D正确.     故选：AD. 三、填空题 10．（24-25高二上·广东·期中）直线：与直线：平行，则 ，的倾斜角为 . 【答案】 【分析】由斜率相等求得，注意检验是否满足题意，再由斜率求得倾斜角． 【详解】根据题意可得，解得， 经验证，符合题意，则的斜率为1，故的倾斜角为. 故答案为：；． 11．（24-25高二上·云南大理·阶段练习）已知直线，若且，则 . 【答案】 【分析】由两直线平行和垂直关系求解. 【详解】因为直线，且， 所以，解得，经检验成立， 因为直线，且， 所以，解得， 所以. 故答案为： 12．（2025高三·全国·专题练习）已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】解法一：根据题意，求出，，结合图形求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，点，在直线的两侧或其中一点在直线上，所以，即可求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 【详解】解法一：由题意，，． 设直线，的倾斜角分别为α，β，则，． 如图所示，过点作轴的垂线，与线段交点于， 当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为；当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为． 故直线倾斜角的取值范围为，其斜率的取值范围为． 故答案为：； ． 解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，即． 由题意，点，在直线的两侧或其中一点在直线上， 所以，即，解得或． 故直线的斜率的取值范围为， 所以其倾斜角的取值范围为． 故答案为：； ． 四、解答题 13．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）（1）判断下列不同的直线与是否平行：的斜率为2，经过两点； （2）判断下列直线与是否垂直；的倾斜角为45°，经过两点． 【答案】（1）；（2）； 【分析】（1）计算的斜率，根据两直线斜率相等，即可判断出结论； （2）计算出，的斜率，根据斜率之积即可判断出结论. 【详解】（1）的斜率为2，经过两点， 则的斜率为，即，的斜率相等，且两直线不同， 故； （2）的倾斜角为45°，且斜率为1， 经过两点，则的斜率为， 即两直线斜率之积等于，故. 14．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知直线l经过两点，同当m取何值时； (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l斜率不存在； (3)直线的倾斜角为锐角？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据直线斜率的定义以及公式，解得直线位置关系，可得答案. 【详解】（1）若直线l与x轴平行，则直线l的斜率，所以． （2）若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，所以. （3）由题意可知，直线l的斜率，即，解得． 15．（2024高二·全国·专题练习）判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且； (4)经过点和，经过点和． 【答案】(1)垂直 (2)不垂直 (3)垂直 (4)当或时，直线，当且时，与不垂直． 【分析】（1）的斜率为，根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可； （2）根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可； （3）根据二倍角的正切公式求出的值，判断斜率的乘积是否为即可； （4）分的斜率是否存在进行分类讨论，当两条两条直线垂直，可以是一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0， 也可以是两条直线斜率均存在时，斜率之积为，从而确定直线与垂直时的值. 【详解】（1）由题意知，直线的斜率为， 直线的斜率为， 因为，所以． （2）由题意知，直线的斜率为，直线的斜率为， 而，所以与不垂直． （3）记的斜率为，因为，所以， 解得或， 又因为为锐角，所以． 因为的斜率为，且，所以． （4）由题意，直线的斜率一定存在，直线的斜率可能存在或不存在． ①当直线的斜率不存在时，，即，此时，满足． ②当直线的斜率存在时，，由斜率公式，得，． 若，则，即，解得． 综上所述，当或时，直线，当且时，与不垂直． 16．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知坐标平面内三点． (1)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (2)若是线段上一动点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1） 设，根据求解即可； （2） 因为表示直线的斜率，求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率，由此即可得答案． 【详解】（1）如图，当点在第一象限时，，    设，则，解得， 故点的坐标为. （2）由题意得为直线的斜率，如图，    当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，． 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为． 17．（24-25高二上·陕西安康·阶段练习）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）在平面直角坐标系中画出图象，根据图象分析，，三点之间的关系，不难给出直线的斜率的取值范围； （2）根据直线斜率与倾斜角的关系，结合图象即可求解直线的倾斜角的取值范围． 【详解】（1）在平面直角坐标系中画出图象如图： ， 直线过点，且与以和为端点的线段相交. 所以直线的斜率的取值范围. （2）由（1）可知，， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 由此可得此时直线的倾斜角的取值范围， 由图可知，当直线斜率不存在时，所得直线符合题意，故此时直线的倾斜角， 综上，直线的倾斜角的取值范围. 18．（2025高三·全国·专题练习）已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用斜率公式可得出直线、、的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系可得出这三条直线的倾斜角； （2）数形结合可得出直线斜率的取值范围，再利用直线斜率与倾斜角的关系可得出直线倾斜角的取值范围. 【详解】（1）由斜率公式，得，，， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是， 所以直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. （2）如图，当直线绕点由逆时针转到时， 直线与线段恒有交点，即在线段上，此时由增大到， 所以的取值范围为， 即直线的倾斜角的取值范围为.    1 学科网（北京）股份有限公司 $$