专题06 不等式（全国通用）-【好题汇编】三年（2023-2025）高考数学真题分类汇编

专题06 不等式 考点 三年考情（2023-2025） 命题趋势 考点1 不等式 主要考查绝对值不等式、一元二次不等式、分式不等式等的解法。例如，2023 年全国乙卷文数第 23 题、理数第 23 题考查了绝对值不等式的解法。 线性规划：常以实际问题为背景，考查目标函数的最值问题。如 2023 年全国乙卷文数第 15 题、理数第 14 题，通过给定约束条件，求线性目标函数的最大值2。 基本不等式及其应用：考查利用基本不等式求最值、证明不等式等。在 2025 年新高考一卷导数压轴题中，就涉及利用五元基本不等式求最大值。 不等式与其他知识的综合：不等式常与函数、数列、解析几何等知识综合考查。如 2023 年全国乙卷理数第 16 题，考查了函数单调性与不等式的综合应用，根据函数在给定区间上单调递增，求解参数的取值范围 不等式与其他知识的交汇融合更为紧密，几乎涵盖高中数学的所有板块，如与函数、圆锥曲线、数列、三角函数等结合。在解答题中，特别是与函数结合时，常出现在压轴题或次压轴题的位置，具有一定难度。 思维能力要求提高：单纯考查不等式的试题减少，更多的是需要考生运用不等式的思想方法，结合其他知识进行分析、推理和求解。在证明不等式或求不等式相关的最值问题时，对逻辑推理、放缩技巧等，如 2025 年新高考一卷导数压轴题中涉及利用五元基本不等式求最大值，数列不等式中放缩法的运用等。 考点01 不等式 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·全国甲卷·高考真题）若满足约束条件，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为 7．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ． 8．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为 ． 9．（2023·全国甲卷·高考真题）若x，y满足约束条件，设的最大值为 ． 10．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 11．（2023·全国乙卷·高考真题）若x，y满足约束条件，则的最大值为 . 三、解答题 12．（2023·全国乙卷·高考真题）已知. (1)求不等式的解集； (2)在直角坐标系中，求不等式组所确定的平面区域的面积. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 不等式 考点 三年考情（2023-2025） 命题趋势 考点1 不等式 主要考查绝对值不等式、一元二次不等式、分式不等式等的解法。例如，2023 年全国乙卷文数第 23 题、理数第 23 题考查了绝对值不等式的解法。 线性规划：常以实际问题为背景，考查目标函数的最值问题。如 2023 年全国乙卷文数第 15 题、理数第 14 题，通过给定约束条件，求线性目标函数的最大值2。 基本不等式及其应用：考查利用基本不等式求最值、证明不等式等。在 2025 年新高考一卷导数压轴题中，就涉及利用五元基本不等式求最大值。 不等式与其他知识的综合：不等式常与函数、数列、解析几何等知识综合考查。如 2023 年全国乙卷理数第 16 题，考查了函数单调性与不等式的综合应用，根据函数在给定区间上单调递增，求解参数的取值范围 不等式与其他知识的交汇融合更为紧密，几乎涵盖高中数学的所有板块，如与函数、圆锥曲线、数列、三角函数等结合。在解答题中，特别是与函数结合时，常出现在压轴题或次压轴题的位置，具有一定难度。 思维能力要求提高：单纯考查不等式的试题减少，更多的是需要考生运用不等式的思想方法，结合其他知识进行分析、推理和求解。在证明不等式或求不等式相关的最值问题时，对逻辑推理、放缩技巧等，如 2025 年新高考一卷导数压轴题中涉及利用五元基本不等式求最大值，数列不等式中放缩法的运用等。 考点01 不等式 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 2．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为， 故选：C. 3．（2024·全国甲卷·高考真题）若满足约束条件，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出可行域后，利用的几何意义计算即可得. 【详解】实数满足，作出可行域如图： 由可得， 即的几何意义为的截距的， 则该直线截距取最大值时，有最小值， 此时直线过点， 联立，解得，即， 则. 故选：D. 4．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以 ． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以 ． 故选：C． 二、填空题 6．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为 【答案】 【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案. 【详解】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为， 即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为. 故答案为： 7．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 8．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】转化为一元二次不等式，解出即可. 【详解】原不等式转化为，解得， 则其解集为. 故答案为：. 9．（2023·全国甲卷·高考真题）若x，y满足约束条件，设的最大值为 ． 【答案】15 【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可. 【详解】作出可行域，如图，    由图可知，当目标函数过点时，有最大值， 由可得，即, 所以. 故答案为：15 10．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围. 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 11．（2023·全国乙卷·高考真题）若x，y满足约束条件，则的最大值为 . 【答案】8 【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可. 【详解】作出可行域如下图所示： ，移项得， 联立有，解得， 设，显然平移直线使其经过点，此时截距最小，则最大， 代入得， 故答案为：8.    三、解答题 12．（2023·全国乙卷·高考真题）已知. (1)求不等式的解集； (2)在直角坐标系中，求不等式组所确定的平面区域的面积. 【答案】(1)； (2)8. 【分析】（1）分段去绝对值符号求解不等式作答. （2）作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答. 【详解】（1）依题意，， 不等式化为：或或， 解，得无解；解，得，解，得，因此， 所以原不等式的解集为： （2）作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影，    由，解得，由, 解得，又， 所以的面积. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$