专题02 平面向量（全国通用）-【好题汇编】三年（2023-2025）高考数学真题分类汇编

专题02 平面向量 考点 三年考情（2023-2025） 命题趋势 考点1 平面向量 通常以选择题、填空题的形式出现，分值一般为 5 分左右。向量的线性运算，如加法、减法、数乘运算等是基础内容，常与平面向量基本定理结合考查。例如，通过已知向量表示未知向量，判断向量之间的关系等。向量的数量积运算及其应用是重点，包括数量积的定义、坐标运算、几何意义等，常涉及求向量的模、夹角，判断向量的垂直关系等。如 2024 年新高考 Ⅰ 卷和 Ⅱ 卷都考查了平面向量的垂直运算，Ⅱ 卷还结合了数量积的综合运算1。 向量常与解析几何、三角函数、平面几何等知识相结合。如 2023 年全国甲卷理科第 12 题，考查了向量与圆的综合问题 命题主要集中在平面向量基本定理、坐标运算、数量积运算及其应用等方面，如证明垂直、求距离、夹角、模长等。例如，2023 年全国甲卷考查了向量夹角，2024 年新课标全国 Ⅱ 卷考查了向量模长。整体难度一般不高，以基础题和中档题为主，注重对基本知识点和运算能力的考查1。常与解析几何、三角函数、平面几何等知识相结合，作为解题工具出现。如 2023 年全国甲卷理科第 12 题，考查了向量与圆的综合问题 考点01 平面向量 一、单选题 1．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（   ） 等级 风速大小m/s 名称 2 1.1~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.1 劲风 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 5．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 7．（2024·广东江苏·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 8．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 9．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 11．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则 14．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则 ． 15．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 16．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ． 17．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平面向量 考点 三年考情（2023-2025） 命题趋势 考点1 平面向量 通常以选择题、填空题的形式出现，分值一般为 5 分左右。向量的线性运算，如加法、减法、数乘运算等是基础内容，常与平面向量基本定理结合考查。例如，通过已知向量表示未知向量，判断向量之间的关系等。向量的数量积运算及其应用是重点，包括数量积的定义、坐标运算、几何意义等，常涉及求向量的模、夹角，判断向量的垂直关系等。如 2024 年新高考 Ⅰ 卷和 Ⅱ 卷都考查了平面向量的垂直运算，Ⅱ 卷还结合了数量积的综合运算1。 向量常与解析几何、三角函数、平面几何等知识相结合。如 2023 年全国甲卷理科第 12 题，考查了向量与圆的综合问题 命题主要集中在平面向量基本定理、坐标运算、数量积运算及其应用等方面，如证明垂直、求距离、夹角、模长等。例如，2023 年全国甲卷考查了向量夹角，2024 年新课标全国 Ⅱ 卷考查了向量模长。整体难度一般不高，以基础题和中档题为主，注重对基本知识点和运算能力的考查1。常与解析几何、三角函数、平面几何等知识相结合，作为解题工具出现。如 2023 年全国甲卷理科第 12 题，考查了向量与圆的综合问题 考点01 平面向量 一、单选题 1．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（   ） 等级 风速大小m/s 名称 2 1.1~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.1 劲风 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【答案】A 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【详解】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出． 【详解】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解. 【详解】因为，所以， 则，， 所以. 故选：B. 4．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解. 【详解】方法一：以为基底向量，可知， 则， 所以； 方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得， 所以； 方法三：由题意可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故选：B. 5．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答. 【详解】向量满足， 所以. 故选：B 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 7．（2024·广东江苏·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 8．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得 ，或 然后结合三角函数的性质即可确定的最大值. 【详解】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得    当点位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值.    当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力. 9．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图形,根据几何意义求解. 【详解】因为,所以, 即,即,所以. 如图,设, 由题知,是等腰直角三角形, AB边上的高, 所以, , . 故选:D. 10．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 11．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 12．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出． 【详解】因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即， 故选：D. 二、填空题 13．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则 【答案】 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 14．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则 ． 【答案】 【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解. 【详解】法一：因为，即， 则，整理得， 又因为，即， 则，所以. 法二：设，则， 由题意可得：，则， 整理得：，即. 故答案为：. 15．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解. 【详解】空1：因为为的中点，则，可得， 两式相加，可得到， 即，则； 空2：因为，则，可得， 得到， 即，即. 于是. 记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号， 则时，有最大值. 故答案为：；.    16．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 【详解】解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 17．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得 ，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得. 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故 . 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$