专题01 集合、逻辑用语与复数（全国通用）-【好题汇编】三年（2023-2025）高考数学真题分类汇编

专题01 集合、逻辑用语与复数 考点 三年考情（2023-2025） 命题趋势 考点1 集合 集合的交、并、补运算（如 2023 年全国新高考卷、2024 年全国甲卷、2025 年天津卷）14；元素与集合的关系（如 2024 年上海卷、2025 年全国二卷）14；集合与不等式的结合（如 2024 年新高考一卷、2025 年全国一卷） 这一部分知识属于基础题型，必考题。往往以送分题的形式出现，通常出现在选择题或填空题的前几题，属于基础题。以其他数学知识为背景进行考查，如函数、数列、不等式等。 考点2 常用逻辑用语 通查结合其他知识点进行考察 考点3 复数 2023 年：全国甲卷、全国乙卷、全国新 Ⅰ 卷、全国新 Ⅱ 卷、北京卷都有考查，各考 1 次。 2024 年：全国甲卷考 2 次，全国新 Ⅰ 卷、全国新 Ⅱ 卷各考 1 次。 2025 年：全国一卷考 1 次，在一些省份的适应性演练中也有出现。 考点01 集合 一、单选题 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·全国一卷·高考真题）设全集，集合，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 3．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·天津·高考真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 10．（2024·广东江苏·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 11．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 12．（2023·全国乙卷·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 13．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 14．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 15．（2023·全国乙卷·高考真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 16．（2023·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 17．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 18．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 二、填空题 19．（2025·上海·高考真题）已知全集，集合，则 ． 20．（2006·上海·高考真题）已知集合，集合.若，则实数 . 三、解答题 21．（2025·北京·高考真题）已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 22．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 考点02 常用逻辑用语 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 5．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 7．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 9．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 考点03 复数 一、单选题 1．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D．1 3．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 4．（2024·北京·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 5．（2024·全国甲卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D．2 6．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 8．（2024·广东江苏·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 9．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 10．（2023·全国乙卷·高考真题）（    ） A．1 B．2 C． D．5 11．（2023·全国甲卷·高考真题）（    ） A． B．1 C． D． 12．（2023·全国甲卷·高考真题）设，则（    ） A．-1 B．0    C．1 D．2 13．（2023·全国乙卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 14．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 15．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、填空题 16．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ． 17．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是 ． 18．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ． 19．（2023·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为 ． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合、逻辑用语与复数 考点 三年考情（2023-2025） 命题趋势 考点1 集合 集合的交、并、补运算（如 2023 年全国新高考卷、2024 年全国甲卷、2025 年天津卷）14；元素与集合的关系（如 2024 年上海卷、2025 年全国二卷）14；集合与不等式的结合（如 2024 年新高考一卷、2025 年全国一卷） 这一部分知识属于基础题型，必考题。往往以送分题的形式出现，通常出现在选择题或填空题的前几题，属于基础题。以其他数学知识为背景进行考查，如函数、数列、不等式等。 考点2 常用逻辑用语 通查结合其他知识点进行考察 考点3 复数 2023 年：全国甲卷、全国乙卷、全国新 Ⅰ 卷、全国新 Ⅱ 卷、北京卷都有考查，各考 1 次。 2024 年：全国甲卷考 2 次，全国新 Ⅰ 卷、全国新 Ⅱ 卷各考 1 次。 2025 年：全国一卷考 1 次，在一些省份的适应性演练中也有出现。 考点01集合 一、单选题 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 2．（2025·全国一卷·高考真题）设全集，集合，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 3．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出. 【详解】因为，所以， 故选：D. 4．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 5．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域，结合图形分析求解即可. 【详解】对任意给定，则，且， 可知，即， 再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域， 如图阴影部分所示，其中， 可知任意两点间距离最大值， 阴影部分面积. 故选：C. 【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解． 6．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 7．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算. 【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 故选：C 8．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 9．（2024·天津·高考真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合交集的概念直接求解即可. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：B 10．（2024·广东江苏·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而 . 故选：A. 11．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简集合，然后根据交集的定义计算. 【详解】由题意，，， 根据交集的运算可知，. 故选：A 12．（2023·全国乙卷·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得的值，然后计算即可. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 13．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的交并补运算即可得解. 【详解】因为全集，集合，所以， 又，所以， 故选：A. 14．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出． 【详解】因为整数集，，所以，． 故选：A． 15．（2023·全国乙卷·高考真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可. 【详解】由题意可得，则，选项A正确； ，则，选项B错误； ，则或，选项C错误； 或，则 或，选项D错误； 故选：A. 16．（2023·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对集合B求补集，应用集合的并运算求结果； 【详解】由，而， 所以. 故选：A 17．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以 ． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以 ． 故选：C． 18．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 二、填空题 19．（2025·上海·高考真题）已知全集，集合，则 ． 【答案】/ 【分析】根据补集的含义即可得到答案. 【详解】根据补集的含义知. 故答案为：. 20．（2006·上海·高考真题）已知集合，集合.若，则实数 . 【答案】1 【分析】根据集合子集的概念求解. 【详解】因为， 所以，即， 所以， 此时，满足题意. 故答案为：1 三、解答题 21．（2025·北京·高考真题）已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 【答案】(1)或 (2)不能，理由见解析 (3)证明过程见解析 【分析】（1）根据新定义即可得解； （2）假设与能同时在中，导出矛盾，从而得出与不能同时在中的结论； （3）假设全体元素构成一个K列，通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论. 【详解】（1）根据题目定义可知，或， 若第一项为，显然或不符合题意（不在集合中），所以下一项是或； （2）假设二者同时出现在中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨设在之前. 显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从到必定要向下一项走奇数次. 但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从到必定要向下一项走偶数次. 这导致矛盾，所以二者不能同时出现在中. （3）法1：若中的所有元素构成K列，考虑K列中形如的项， 这样的项共有个，由题知其下一项为，共计16个， 而，因为只能6由2来，3只能由7来， 横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点， 即对于16个，有12个与之相对应，矛盾． 综上，由M的全部元素组成的序列都不是K列． 法2：假设全体元素构成一个K列，则. 设，. 则和都包含个元素，且中元素的相邻项必定在中. 如果存在至少两对相邻的项属于，那么属于的项的数目一定多于属于的项的数目， 所以至多存在一对相邻的项属于. 如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如和， 否则将导致属于的项的个数比属于的项的个数多2，此时. 从而这个序列的前项中，第奇数项属于，第偶数项属于； 这个序列的后项中，第奇数项属于，第偶数项属于. 如果不存在相邻的属于的项，那么也可以看作上述表示在或的特殊情况. 这意味着必定存在，使得. 由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数的点的数量一定分别是和（不一定对应）. 但容易验证，和都包含个横纵坐标之和为奇数的点和个横纵坐标之和为偶数的点，所以，得. 从而有. 这就得到. 再设，. 则同理有. 这意味着. 从而得到，但显然它们是不同的集合，矛盾. 所以由M的全部元素组成的序列都不是K列． 22．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 【答案】(1)不是； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）直接代入计算和即可； （2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案； （3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可. 【详解】（1）（1），，则不是中的元素. （2）法一：因为，则存在实数使得，且， 当时，，其在上严格单调递增， 当时，，其在上也严格单调递增， 则，则， 令，解得，则， 则. 法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点， 由图知，假设交点分别为，， 联立方程组得 （3）（3）对任意，因为其是偶函数， 则，而， 所以， 所以，因为，则， 所以，所以， 所以当时，，，则， ，则， 而，， 则，则， 所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下： 其中，但其对应的值均未知. 首先说明， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以，即， 令，则， 当时，即使让，此时最多7个零点， 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有3个零点， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以， 则最多在之间取得6个零点， 以及在处成为零点，故不超过9个零点. 综上，零点不超过9个. 考点02 常用逻辑用语 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得. 【详解】由，则“”是“”的充分条件； 又当时，，可知， 故“”不是“”的必要条件， 综上可知，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 4．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 5．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 7．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 8．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【详解】当时，例如但， 即推不出； 当时，， 即能推出. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 9．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案. 【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B 10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.， 【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 考点03 复数 1．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由复数除法即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 3．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出． 【详解】由可得，，所以， 故选：B. 4．（2024·北京·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据复数乘法即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 5．（2024·全国甲卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】先根据共轭复数的定义写出，然后根据复数的乘法计算. 【详解】依题意得，，故. 故选：D 6．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【详解】由，则. 故选：A 7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由复数模的计算公式直接计算即可. 【详解】若，则. 故选：C. 8．（2024·广东江苏·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 9．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算. 【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，， 由共轭复数的定义可知，. 故选：D 10．（2023·全国乙卷·高考真题）（    ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】由题意首先化简，然后计算其模即可. 【详解】由题意可得， 则. 故选：C. 11．（2023·全国甲卷·高考真题）（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的四则运算求解即可. 【详解】 故选：C. 12．（2023·全国甲卷·高考真题）设，则（    ） A．-1 B．0    C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出． 【详解】因为， 所以，解得：． 故选：C. 13．（2023·全国乙卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可. 【详解】由题意可得， 则. 故选：B. 14．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出． 【详解】因为，所以，即． 故选：A． 15．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为， 则所求复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 二、填空题 16．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ． 【答案】 【分析】先由复数除法运算化简，再由复数模长公式即可计算求解. 【详解】先由题得，所以. 故答案为： 17．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】先设，利用复数的乘方运算及概念确定，再根据复数的几何意义数形结合计算即可. 【详解】设， 由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动， 设，则，由图象可知， 所以. 故答案为： 18．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ． 【答案】 【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 19．（2023·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为 ． 【答案】/ 【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，然后计算其运算结果即可. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$