21.2.4一元二次方程根与系数关系（导学案）数学人教版九年级上册

21.2.4一元二次方程根与系数关系（导学案）（解析版） (1)通过计算观察，猜测一元二次方程的根与系数的关系，了解根与系数关系定理，提升学生的抽象能力与运算能力； (2)经历一元二次方程的根与系数关系的探究过程，体验合情推理猜想结论，演绎推理论证结论的全过程，通过多种不同的方式论证韦达定理，发展学生的代数推理能力； (3)会利用一元二次方程的根与系数的关系解决一些简单的问题；了解根与系数关系的发展史，感受数学文化的魅力，建立模型观念。 重点：一元二次方程的根与系数的关系。 难点：韦达定理的证明。 第一环节 自主学习 温故知新： ①当时，方程有两个不等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程无实数根。 ②方程的求根公式。 【学法指导】 自研课本P15-16页内容 思考：方程的求根公式，不仅表示可以由方程的系数决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系，一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗? 1 .二次项系数为1的一元二次方程的根与系数关系 思考　　从因式分解法可知，方程（，为已知数）的两根为和，将方程化为的形式，你能看出和与之间的关系吗? （1）把方程的左边展开，化成一般形式是什么？ 化成一般形式，得方程. （2）二次项系数为1的一元二次方程的两个根的和、积与系数有什么关系？ 方程的二次项系数为1，一次项系数，常数项。 于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系: ，. 2.一元二次方程根与系数的关系 思考　一般的一元二次方程中，二次项系数未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢? （1）一般的一元二次方程中两个根是什么？ 根据求根公式可知，，. (2)它的两个根的和、积是什么？与一元二次方程系数是什么关系？ ， . 方程两个根的和、积与一元二次方程系数：，. （3）把方程的两边同除以，能否得出该结论? 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为:两个根的和等于一次项系数与二次项系 数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 【自研自探】 自研课本P15-16页内容及例题： 例1．已知一元二次方程的两根为，则的值为 （    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；由题意易得，，从而即可求解． 【详解】解：由一元二次方程的两根分别为， ∴，， ∴； 故选：C． 例2.根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根，的和与积： ；； 解：　　 方程转化为 第二环节 合作探究 1 .讨论二次项系数为1的一元二次方程的根与系数关系： 方程的二次项系数为1，一次项系数，常数项。 于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系: ，. 2.讨论一元二次方程根与系数的关系： 根据求根公式可知，， ， . 方程两个根的和、积与一元二次方程系数：，. 3.合作交流拓展 材料阅读： 韦达定理： 已知是一元二次方程的两个实数解，则 已知是一元二次方程 的两个实数根， (1)请用含的代数式表示 ___________；___________ (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值：者不存在， 请您说明理由； (3)直接写出使的值为整数的实数的整数值． 【分析】（1）根据根与系数的关系可得，再运用完全平方公式变形即可解答； （2）根据根与系数的关系可得，然后根据根与系数的关系、整式的混合运算即可解答； （3）结合（1）并结合分式的加减运算、完全平方公式可得，再根据为整数，可得或或，最后结合即可解答． 【详解】（1）解：， ，解得：， ∴． 故答案为：1，． （2）解：方程有两个实数根， ， 解得： 与矛盾 不存在的值，使成立． （3）解： 的值为整数 或或， 又， ∴或或． 1.（课本练习）不解方程，求下列方程两个根的和与积 　　　　　 　　　　 参考答案： 1.(2024-四川眉山·中考真题)已知方程的两根分别为，则的值为____. [详解]解:∵方程的两根分别为， ∴，， ∴. 故答案为: 2.(2024-四川内江·中考真题)已知关于x的一元二次方程 (为常数)有两个不相等的实数根. (1)填空: ______，______. (2)求， (3)已知，求的值. [详解](1)解:由[详解]（1）解:根与系数的关系得，，， 故答案为: ，1; (2)解:∵，， . ∵关于x的一元二次方程(P为常数)有两个不相等的实数根. ∴, ∴， ∴. (3)解:由根与系数的关系得，，， ∵ ∴ , ∴, ∴, 解得或， ∴一元二次方程为或, 当时，，不合题意，舍去; 当时，△，符合题意; ∴. 任何一个一元二次方程，当时，方程有实数根，根与系数的关系为:两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数（即) ，两个根的积等于常数项与二次项系数的比（即). 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2.4一元二次方程根与系数关系（导学案）（原卷版） (1)通过计算观察，猜测一元二次方程的根与系数的关系，了解根与系数关系定理，提升学生的抽象能力与运算能力； (2)经历一元二次方程的根与系数关系的探究过程，体验合情推理猜想结论，演绎推理论证结论的全过程，通过多种不同的方式论证根与系数关系定理，发展学生的代数推理能力； (3)会利用一元二次方程的根与系数的关系解决一些简单的问题；了解根与系数关系的发展史，感受数学文化的魅力，建立模型观念。 重点：一元二次方程的根与系数的关系。 难点：根与系数关系定理的证明。 第一环节 自主学习 温故知新： ①当时，方程有 ； 当时，方程有 ； 当时，方程 。 ②方程的求根公式 。 【学法指导】 自研课本P131页内容 思考：方程的求根公式，不仅表示可以由方程的系数决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系，一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗? 1 .二次项系数为1的一元二次方程的根与系数关系 思考　　从因式分解法可知，方程（，为已知数）的两根为和，将方程化为的形式，你能看出和与之间的关系吗? （1）把方程的左边展开，化成一般形式是什么？ 化成一般形式，得方程 . （2）二次项系数为1的一元二次方程的两个根的和、积与系数有什么关系？ 方程的二次项系数为1，一次项系数 ，常数项 . 于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系: . 2.一元二次方程根与系数的关系 思考　一般的一元二次方程中，二次项系数未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢? （1）一般的一元二次方程中两个根是什么？ 根据求根公式可知， . (2)它的两个根的和、积是什么？与一元二次方程系数是什么关系？ ， . 方程两个根的和、积与一元二次方程系数： . （3）把方程的两边同除以，能否得出该结论? 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为:两个根的和等于 ，两个根的积等于 . 【自研自探】 自研课本P15-16页内容及例题： 例1．已知一元二次方程的两根为，则的值为 （   ） A． B． C． D． 例2.根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根，的和与积： ；； 第二环节 合作探究 1 .讨论二次项系数为1的一元二次方程的根与系数关系： 方程的二次项系数为1，一次项系数 ，常数项 . 于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系: . 2.讨论一元二次方程根与系数的关系： 根据求根公式可知，， ， . 方程两个根的和、积与一元二次方程系数： . 3.合作交流拓展 材料阅读： 韦达定理： 已知是一元二次方程的两个实数解，则 已知是一元二次方程 的两个实数根， (1)请用含的代数式表示 ___________；___________ (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值：者不存在， 请您说明理由； (3)直接写出使的值为整数的实数的整数值． 1.（课本练习）不解方程，求下列方程两个根的和与积 　　　　　 　　　　 1.(2024-四川眉山·中考真题)已知方程的两根分别为，则的值为____. 2.(2024-四川内江·中考真题)已知关于x的一元二次方程 (为常数)有两个不相等的实数根. (1)填空: ______，______. (2)求， (3)已知，求的值. 任何一个一元二次方程 ，当 时，方程有 .根与系数的关系为:两个根的和等于 （即 ),两个根的积等于 （即 ). 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$