21.2.3因式分解法（第2课时）（导学案）数学人教版九年级上册

21.2.3因式分解法（第2课时）（导学案）（原卷版） （1）理解配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的基本原理并掌握其具体方法。 （2）能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。 （3）通过探索用不同和方法解一元二次方程的过程，培养学生分析问题、解决问题的能力。 重点：选择合适的方法解一些一元二次方程。 难点：能够选择合适的解一元二次方程方法。 第一环节 自主学习 温故知新： ①当时，方程有 ； 当时，方程有 ； 当时，方程 。 ②解一元二次方程的基本思想是 转化为 。 ③解一元二次方程的基本方法有： 。 【学法指导】 自研课本内容 （一）配方法 （1）直接开方法。直接开方法是配方法的最简单情形，就是利用 直接 求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法。 应用时应把方程化成左边是 ，右边是 ，就可以直接开平方求这个方程的根。 （2） 配方法。解一元二次方程将一元二次方程 ，右边化为 的形式，再利用 求解。 （3）用配方法解一元二次方程的一般步骤：①将原方程的 的形式； ②将方程两边同时 ，将二次项系数化为 ；③方程两边同时 ； ④再把方程左边配成 ，右边是 形式；⑤若方程右边是 ，则两边 ，求出方程的解；若右边 ，则判定此方程 . 配方法适用 一元二次方程，对于一些一元二次用配方来解运算大，比较烦琐。 （二）公式法 （1）求根公式。一元二次方程，当 时， 方程有两个 . （2）根的判别式。当时，方程有 实数根；当时，方程有 的实数根；当时，方程 为 根。反过来也成立。 （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤：①将原方程化 ；②确定 （要注意符号）；③求出 值；④当 时，则将 ，求出方程的解；当 时，方程 。 公式法是配方法的结果，选用于 一个一元二次方程。 （三）因式分解法 （1）因式分解法。用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的 ，那么这两个因式中 ；用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边 ；②方程两边不能同时除以 。 （2）因式分解法解一元二次方程的步骤:①将方程右边 ；②将方程左边分解为 ； 　　 ③令这两个一次式 ，得到 ；④解这 ，它们的解就是 。　　　　　 能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的 ，另一边可以分解成 。 【自研自探】 自研课本内容及例题： 例1.解一元二次方程，配方后正确的是（    ） A． B． C． D． 例2　用公式法解方程　 例3．己知关于x的两个一元二次方程：方程①：；方程②： (1)证明方程①总有实数根， (2)若方程②有两个相等的实数根，求k的值． (3)若方程①和②有一个公共根a，求代数式的值． 例4.因式分解法解方程：． 例5．我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请选用不同的方法解下列一元二次方程．①；②；③；④ 第二环节 合作探究 1.讨论配方法的基本步骤和注意事项？ 2.讨论公式法的基本步骤和注意事项？根的判别式与根的关系？ 3.讨论因式法的基本步骤和注意事项？ 4.合作交流拓展．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程一定有两个实数根； (2)如果a为整数且方程的两个根均为整数，求a的值． 1．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C． D．且 2.下面是杨老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程：请认真阅读并完成任务． 解方程：． 解：                                第一步 ，                    第二步 ，                                第三步 ，                                第四步 ，．                            第五步 (1)任务一： ①杨老师解方程的方法是； A．直接开平方法            B．配方法                C．公式法                D．因式分解法 ②第二步变形的依据是； (2)任务二：请你按要求解下列方程： ①；（公式法） ②．（因式分解法） 1．（2025九年级上·河南新乡阶段测试）用配方法解方程时，则下列配方正确的是 （    ） A． B． C． D． 2．（2025九年级上·甘肃定西阶段测试）三角形的两边长分别是3和4，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．13 B．11 C．9或11 D．14和12 1.配方法解的一般步骤：①将原方程的未知数和常数项分别移到方程的 ； ②将方程两边同时除以 ，将二次项系数化为 ；③方程两边同时加上 ； ④再把方程左边是含未知数的 ，右边是 的形式；⑤若方程右边是 ，则两边 ，求出方程的解；若右边是 ，则判定此方程 . 2.公式法的一般步骤：①将原方程化为 ；②确定 （要注意符号）；③求出 值；④当 时，则将 代入公式，求出方程的解；当 时，方程 。 3.因式分解法解的步骤:①将方程右边 ；②将方程左边分解为 ；③令这两个一次式分别 ，得到 ；④解这 ，它们的解就是 。　　　　　 配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，这些方法各有优势和适用场景，选择合适的方法取决 于 和求解者的偏好。解题时需要综合考虑，灵活运用。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2.3因式分解法（第2课时）（导学案）（解析版） （1）理解配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的基本原理并掌握其具体方法。 （2）能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。 （3）通过探索用不同和方法解一元二次方程的过程，培养学生分析问题、解决问题的能力。 重点：选择合适的方法解一些一元二次方程。 难点：能够选择合适的解一元二次方程方法。 第一环节 自主学习 温故知新： ①当时，方程有两个不等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程无实数根。 ②解一元二次方程的基本思想是降次转化为两个一元一次方程。 ③解一元二次方程的基本方法有：配方方法、公式法、因分解法。 【学法指导】 自研课本内容 （一）配方法 （1）直接开方法。直接开方法是配方法的最简单情形，就是利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法。 应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根。 （2）配方法。解一元二次方程将一元二次方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数的形式，再利用直接开平方法求解。 （3）用配方法解一元二次方程的一般步骤：①将原方程的未知数和常数项分别移到方程的左、右边的形式； ②将方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 配方法适用任何一元二次方程，对于一些一元二次用配方来解运算大，比较烦琐。 （二）公式法 （1）求根公式。一元二次方程，当时， 方程有两个不等的实数根，，. （2）根的判别式。当时，方程有两个不等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根。反过来也成立。 （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤：①将原方程化为一般形式；②确定的值（要注意符号）；③求出值；④当时，则将的值代入公式，求出方程的解；当时，方程无实数根。 公式法是配方法的结果，选用于任何一个一元二次方程。 （三）因式分解法 （1）因式分解法。用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式。 （2）因式分解法解一元二次方程的步骤:①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积； 　　 ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。　　　　　 能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积。 【自研自探】 自研课本内容及例题： 例1.解一元二次方程，配方后正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，把常数项移到右边，两边都加上一次项系数一半的平方即可得到答案． 【详解】解： ∴ 则 ∴， 故选：A 例2　用公式法解方程　 【分析】按照公式法的步骤解一元二次方程。 【详解】解：化为一般式，得 ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 例3．己知关于x的两个一元二次方程：方程①：；方程②： (1)证明方程①总有实数根， (2)若方程②有两个相等的实数根，求k的值． (3)若方程①和②有一个公共根a，求代数式的值． 【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． （1）根据题意证明即可； （2）由方程②有两个相等的实数根，由二次项系数不为0及根的判别式等于0可得到关于的方程则可求得的值； （3）把分别代入两个方程，整理即可求得所求代数式的值． 【详解】解：（1） ∴无论k为何值时，方程总①有实数根 （2）∵方程②有两个相等的实数根， 且， 则， 则， ， ， ； （3）根据a是方程①和②的公共根， ③，④ 得：⑤， 得：， 代数式． 故代数式的值为5． 例4.因式分解法解方程：． 【分析】按照因式分解法的步骤解一元二次方程。 【详解】解：移项，得 ， 提取公因式，得 ， 即 ， ，． 例5．我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请选用不同的方法解下列一元二次方程．①；②；③；④ 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法、公式法和因式分解法，根据方程特点灵活选择方法是解题的关键．①变形后用因式分解法解方程即可；②用配方法解方程即可；③用公式法解方程即可；④用因式分解法解方程即可． 【详解】解：①； ∴， ∴， 则或， 解得，； ② ∴ ∴， ∴， 则，； ③ 由题意得， ∵， ∴， ∴； ④ ∴， 则或， 解得. 第二环节 合作探究 1.讨论配方法的基本步骤和注意事项？ 2.讨论公式法的基本步骤和注意事项？根的判别式与根的关系？ 3.讨论因式法的基本步骤和注意事项？ 4.合作交流拓展．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程一定有两个实数根； (2)如果a为整数且方程的两个根均为整数，求a的值． 【分析】本题主要考查根的判别式，公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． （1）计算方程根的判别式，判断其符号即可； （2）求方程两根，结合条件则可求得a的值． 【详解】（1）证明：∵关于x的一元二次方程． ∴， ∴方程总有两个实数根； （2）解：， ， 解得：或， 方程的两个根均为整数， 为整数， ，即， a为整数，， 或0． 1．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C． D．且 【分析】本题考查一元二次方程的定义及根与判别式的关系，根据一元二次方程有实数根得到，，即可得到答案 【详解】 解：∵一元二次方程有实数根， ∴，， 解得：且， 故选：A． 2.下面是杨老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程：请认真阅读并完成任务． 解方程：． 解：                                第一步 ，                    第二步 ，                                第三步 ，                                第四步 ，．                            第五步 (1)任务一： ①杨老师解方程的方法是； A．直接开平方法            B．配方法                C．公式法                D．因式分解法 ②第二步变形的依据是； (2)任务二：请你按要求解下列方程： ①；（公式法） ②．（因式分解法） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的各种解法是解题的关键． （1）①根据配方法解一元二次方程进行判断即可；②根据等式的基本性质进行判断即可； （2）①按照公式法解方程的步骤求解即可；②按照因式分解法的步骤求解即可． 【详解】（1）解：任务一：①解方程用到的方法是配方法，故选：B； ②第二步变形的依据是等式的基本性质； 故答案为：等式的基本性质． （2）解：①（公式法） ∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 或， ∴，． ②（因式分解法） ， ， ， ， 或， ，． 1．（2025九年级上·河南新乡·阶段测试）用配方法解方程时，则下列配方正确的是 （    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程方程，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先移项合并，再配方求解即可． 【详解】解： ， ， ， ， 故选：D． 2．（2025九年级上·甘肃定西·阶段测试）三角形的两边长分别是3和4，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．13 B．11 C．9或11 D．14和12 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用因式分解法求出方程的解得到第三边长，即可求出此时三角形的周长． 【详解】解：方程， 分解因式得：， 可得或， 解得：， 当时，三边长为2，3，4，此时三角形周长为； 当时，三边长分别为3，4，4，此时三角形周长为． 故三角形的周长为：9或11． 故选：C． 1.配方法解的一般步骤：①将原方程的未知数和常数项分别移到方程的左、右边的形式； ②将方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 2.公式法的一般步骤：①将原方程化为一般形式；②确定的值（要注意符号）；③求出值；④当时，则将的值代入公式，求出方程的解；当时，方程无实数根。、 3.因式分解法解的步骤:①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。　　　　　 配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，这些方法各有优势和适用场景，选择合适的方法取决于方程的具体形式和求解者的偏好。解题时需要综合考虑，灵活运用。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$