21.2.3因式分解法（第1课时）（导学案）数学人教版九年级上册

21.2.3因式分解法（第1课时）（导学案）（原卷版） （1）了解因式分解法解一元二次方程的概念。 （2）会用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程。 （3）通过探索因式分解法解一元二次方程的过程，培养学生分析问题、解决问题的能力。 重点：因式分解法解一些一元二次方程。 难点：能够正确选择因式分解的方法。 第一环节 自主学习 温故知新： ①因式分解的常用方法： . ②如果实数，那么 ，或 . ③当时，方程有 ； 当时，方程有 ； 当时，方程 . 【学法指导】 自研课本P12-13页内容 问题　　根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过离地面的高度 (单位:m)为根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)? 思考 1.物体经过落回地面，这时它离地面的高度为多少m？我们可以列出什么方程？ 设物体经过落回地面，这时它离地面的 ，即 . 2.上面的方程①除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程? （1）方程①的右边为0，左边可以因式分解得到什么形式？ （2）在实数范围内，两个因式的积等于0时，这两个因式可以取什么值？ （3）根据上面的结论，怎样将方程①降次，转化为一元一次方程？怎样完成问题的解答？ （1） 方程①的右边为0，左边可以因式分解 . (2)如果两个因式的积为0，那么这两个因式中 ；反之，如果两个因式中任何一个为0（或，)，那么它们的积也 . （3） 方程①转化为 ②. 所以，方程①的两个根是 . 这两个根中，表示物体约 落回地面，而 表示物体被上抛离开地面的时刻，即在0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m。 思考　　上面解方程①时，二次方程是如何降为一次的? 通过因式分解，转化为每个一次因式 ，得到 方程. 总结：可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开平方降次，而是先 ，使方程化为 ，再使这 ，从而实现 ，这种解一元二次方程的方法叫做 . 【自研自探】 自研课本P12-13页内容及例题： 例1．方程 的正确解法是（    ） A．化为 　　B．化为 ​　　C．化为 D．化为 ​ 例2.解下列方程: ；　　　 . 例3.解方程：(1)；(2)． 第二环节 合作探究 1.讨论如果方程左边为一个2次式，右边为0可以怎样将一元二次方程转化为两个一次方程？ 2.什么是因式分解法解一元二次方程，其依据是什么？ 3.合作交流拓展 解方程组: 1.（课本练习）解下列方程： 　　　　　 　　　　 　　. 2.如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，求小圆形场地的半径. 　　　　　　 1.(2024·四川凉山·中考真题)已知，则的值为 . 2.(2024·广东广州·中考真题)定义新运算: ，例如：，，若，则的值为____. 1.先 ，使方程化为 的形式，再使 ，从而实现 ，这种解一元二次方程的方法叫做 。 2.因式分解法步骤：先将方程的 到一边，另一边 ；再将一边化 ，另一边 ；后分别使 ，化为 ；再后 ，得原方程的解。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2.3因式分解法（第1课时)(导学案)（解析版） （1）了解因式分解法解一元二次方程的概念。 （2）会用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程。 （3）通过探索因式分解法解一元二次方程的过程，培养学生分析问题、解决问题的能力。 重点：因式分解法解一些一元二次方程。 难点：能够正确选择因式分解的方法。 第一环节 自主学习 温故知新： ①因式分解的常用方法：提取公因式法，应用公式法(平方差公式、完全平方公式)。 ②如果实数，那么 0 或 0 。 ③当时，方程有两个不等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程无实数根。 【学法指导】 自研课本P12-13页内容 问题　　根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过离地面的高度 (单位:m)为根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)? 思考 1.物体经过落回地面，这时它离地面的高度为多少m？我们可以列出什么方程？ 设物体经过落回地面，这时它离地面的高度为0m，即.① 2.上面的方程①除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程? （1）方程①的右边为0，左边可以因式分解得到什么形式？ （2）在实数范围内，两个因式的积等于0时，这两个因式可以取什么值？ （3）根据上面的结论，怎样将方程①降次，转化为一元一次方程？怎样完成问题的解答？ （1） 方程①的右边为0，左边可以因式分解得到. (2)如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0（，或)；反之，如果两个因式中任何一个为0（或，)，那么它们的积也等于0. （3） 方程①转化为，或.② 所以，方程①的两个根是，. 这两个根中，表示物体约在2.04s时落回地面，而表示物体被上抛离开地面的时刻，即在0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m. 思考　　上面解方程①时，二次方程是如何降为一次的? 通过因式分解，转化为每个一次因式等于0，得到两个一次方程. 总结：可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 【自研自探】 自研课本P12-13页内容及例题： 例1．方程 的正确解法是（    ） A．化为 　　B． ​　　C．化为 D．化为 ​ 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法——因式分解法，解题时先把（x+1）看做一个整体，然后移项后提公因式即可把方程化为ab=0的形式求解即可解决，解题关键是整体思想的应用. 【详解】根据因式分解法解一元二次方程的解法，先移项为，然后提公因式（x+1）可得. 故选C. 例2.解下列方程: ；　　　 . 参考答案：；. 例3.解方程：(1)；(2)． 【分析】本题考查了解一元二次方程： （1）利用公式法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解； 熟练掌握公式法及因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：，，， ， ， 解得：，． （2）移项得：， 因式分解得：， 即或， 解得：，． 第二环节 合作探究 1.讨论如果方程左边为一个2次式，右边为0可以怎样将一元二次方程转化为两个一次方程？ 2.什么是因式分解法解一元二次方程，其依据是什么？ 3.合作交流拓展 解方程组: [分析]本题考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解题的关键是利用代入法进行求解. [详解]解: 由(2)得: ,代入(1)中得:( 解得: . 当时，, 当时，, ∴方程组的解为,或者,. 1.（课本练习）解下列方程： 　　　　　 　　　　 　　. 2.如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，求小圆形场地的半径. 　　　　　　 参考答案： 1. 2. . 1.(2024·四川凉山·中考真题)已知，则的值为___. [详解】解:∵，∴ 将y代入, 得，，即，∴或, ∵∴舍去,∴. ,故答案为:3. 2.(2024·广东广州·中考真题)定义新运算: ，例如：，，若，则的值为____. 【详解]解: ∵ 而 ∴①当时，则有 解得， ②当时， 解得， 综上所述，的值是或. 故答案为是或. 1.先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 2.因式分解法步骤：先将方程的所有项移到一边，另一边为0；再将一边化为两个一次因式相乘，另一边为0；后分别使两个一次因式等于0，化为两个一元一次方程；再后解这两个一元一次方程，得原方程的解。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$