【第一章 有理数 07讲 有理数的混合运算】暑假小升初衔接讲义2025-2026学年七年级上册数学（新版湘教版专用）

第一章 有理数 07讲 有理数的混合运算 目录 【知识点1. 有理数的混合运算】……………………………………………………… 1 【题型1. 含乘方的有理数混合运算】………………………………………………… 3 【题型2. 有理数混合运算的应用——程序流程图与有理数计算】………………… 5 【题型3. 有理数混合运算的应用——算“24”点】………………………………… 6 【题型3. 有理数混合运算的其他应用】……………………………………………… 7 【课后作业】……………………………………………………………………………… 8 知识清单 1、有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算顺序 1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2）同级运算，从左到右进行； 3）如果有括号，就先进行括号里面的运算（先小括号，再中括号，最后大括号）。 巩固基础 1. 计算 直击考点 题型1：含乘方的有理数混合运算 1. 计算 题型2：有理数混合运算的应用——程序流程图与有理数计算 例1．按下列程序进行运算（如图所示），规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算．若，则运算最多进行多少次才停止（   ） A．3次 B．4次 C．5次 D．6次 例2．按如图所示的运算程序，输入x的值为1，则输出的y的值为（   ） A． B． C．11 D．116 例3．在下图所示的运算程序图中，若输出的数，则输入的数 ．    变式1．如图是一个数值转换机，若输入a的值为3，则输出的结果应是（　　） A． B． C． D． 变式2．如图，，，，四张卡片分别代表一种运算，例如，经过顺序的运算，可列式为： ，经过运算顺序运算，可列式为．则经过顺序的运算结果为（    ） A． B． C． D． 变式3．有一数值转换器，原理如图所示，如果开始输入的值是4，则第一次输出的结果是5，第二次输出的结果是8， ，那么第2024次输出的结果是 ． 题型3：有理数混合运算的应用——“算24点” 例1．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 变式2．“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 题型4：有理数混合运算的其他应用 例1．我国古代《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ） A．25天 B．49天 C．67天 D．124天 例2．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 二进制数转化为十进制数为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 变式1．如果哪吒的法宝混天绫每秒在原有8米的长度上翻一倍，那么在第10秒时的长度大概相当于多少个标准篮球场的周长（   ） A．50个 B．100个 C．150个 D．200个 变式2．规定一种新运算：，如，则（　　） A．11 B．13 C．-3 D．-5 变式3．[趣味题]阿凡提给地主打工，地主开价每月元工钱，阿凡提却说：“不要，不要，你只要第一天付给我角，第二天付给我角，第三天付给我角，第四天付给我角，以此类推到月底即可”．地主听了暗暗高兴，赶快签下协议，其实阿凡提挣到元工钱不必做到一个月．设最多只要天，用计算器估算的值是（　　） A． B． C． D． 课后作业 一、单选题 1．（2025·山东聊城·模拟预测）定义一种对正整数的“”运算：当为奇数时，；当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，例如，取，则有，按此规律继续计算，则第次“”运算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·四川广安·模拟预测）给定二元数对，其中或1，或1．三种转换器A，B，C对的转换规则如下： 在如图所示的“”组合转换器中，若输入，则输出结果为（ ） A． B．－1 C．0 D．2 3．（2025·广东湛江·三模）利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为，，，，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生，那么表示9班学生的识别图案是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）新定义运算：如图，在的正方形网格中，黑色格子表示0，白色格子表示1，每一行都按进行运算，其中x代表第几行，a表示每一行的第一个格子，b表示每一行的第二个格子，c表示每一行的第三个格子．例如：，那么的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种．据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切，项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如下表： 气温（℃） … 13 15 17 19 … 蟋蟀鸣叫次数（次/分钟） … 70 84 98 112 … 若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为49次，则该地当时的气温约为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）为了求的值，可令，则，因此所以，仿照以上推理，计算（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级下·福建漳州·期中）以下是小明同学数学笔记的一部分，请仔细阅读并完成相应任务． 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨是德国伟大的哲学家、数学家，是历史上少见的通才，被誉为十七世纪的亚里士多德．莱布尼茨在数学史和哲学史上都占有重要地位，二进制数的发现与完善是他在数学史上的伟大学术成就之一，现代的计算机和依赖计算机的设备里都在使用二进制． 我们在数学学习中所用的数都是十进制数，一共有十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，其进位规则是“逢十进一”，比如数字．而二进制数是用0和1两个数码来表示的数，它的进位原则是“逢二进一”，二进制数可以转化为十进制数，转化如下：比如：． 任务：已知，是两个不相等的十进制三位数，且，若三位二进制数的三个数位均为，将其转化为十进制数为（   ） A．1 B．7 C．13 D．111 二、解答题 8. 计算 9．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）阅读理解，解答相关问题． 定义“*”运算：a，b是有理数，，例如；； (1)计算：①；②． (2)是否存在整数m，n，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 10．（24-25七年级上·重庆江津·期中）若x、y互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为4，则求的值． 11．（24-25七年级下·四川成都·期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果： ； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式： ，（） ． （3）算一算：． 12．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）如表所示． 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 素材1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 十六进制数，记作． 十六进制数使用和来表示，其中，，，，，这五个数分别用字母，，，，，表示． ，且为整数进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将进制数的每个数字，依次乘的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转十进制数为：． 素材2 逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题 任务1 (1)将下列进制数转化为十进制数： ①____；② ____；③____； (2)现有三进制数，二进制数，试比较，的大小． 任务2 (1)十进制数转二进制数得 ____；十进制数转五进制数得 ____． (2)如何将一个二进制数转化为十六进制数呢？小勤提出一种想法： 第一步：先将二进制数转为十进制数得 ____； 第二步：再将所得的十进制数转化为十六进制数得 ____． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 有理数 07讲 有理数的混合运算 目录 【知识点1. 有理数的混合运算】……………………………………………………… 1 【题型1. 含乘方的有理数混合运算】………………………………………………… 3 【题型2. 有理数混合运算的应用——程序流程图与有理数计算】………………… 6 【题型3. 有理数混合运算的应用——算“24”点】………………………………… 9 【题型3. 有理数混合运算的其他应用】……………………………………………… 11 【课后作业】……………………………………………………………………………… 13 知识清单 1、有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算顺序 1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2）同级运算，从左到右进行； 3）如果有括号，就先进行括号里面的运算（先小括号，再中括号，最后大括号）。 巩固基础 1. 计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 直击考点 题型1：含乘方的有理数混合运算 1. 计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式， ， 解：原式 解：原式 解：原式， ， 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型2：有理数混合运算的应用——程序流程图与有理数计算 例1．按下列程序进行运算（如图所示），规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算．若，则运算最多进行多少次才停止（   ） A．3次 B．4次 C．5次 D．6次 【分析】本题考查有理数的混合运算；把代入代数式求值，与 244 比较，若大于 244 ，就停止计算，若结果没有大于 244 ，重新计算直至大于 244 为止． 【详解】解：若， 第一次：； 第二次：； 第三次：； 第四次：，则停止； 故选：B． 例2．按如图所示的运算程序，输入x的值为1，则输出的y的值为（   ） A． B． C．11 D．116 【分析】本题主要考查了求代数式的值，有理数的混合运算，正确理解程序图中的程序并列式计算是解题的关键．利用程序图中的程序列式计算即可． 【详解】解：输入x的值为1，则， 重新输入x的值为，则， ∴输出的y的值为11． 故选：C． 例3．在下图所示的运算程序图中，若输出的数，则输入的数 ．    【分析】本题主要考查有理数的混合运算、代数式求值等知识点，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 根据题意列式计算即可． 【详解】解：由题意得或， 则输入的数或2024． 故答案为：2023或2024． 变式1．如图是一个数值转换机，若输入a的值为3，则输出的结果应是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查代数式求值及有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据题意列式计算即可． 【详解】解：若输入a的值为3， 则， 故选：B． 变式2．如图，，，，四张卡片分别代表一种运算，例如，经过顺序的运算，可列式为： ，经过运算顺序运算，可列式为．则经过顺序的运算结果为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题意可以列出算式，计算即可．理解题目提示的运算顺序是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， ∴经过顺序的运算结果为． 故选：A． 变式3．有一数值转换器，原理如图所示，如果开始输入的值是4，则第一次输出的结果是5，第二次输出的结果是8， ，那么第2024次输出的结果是 ． 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，通过计算发现，从第二次开始，运算结果，，循环出现，由此可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当输入时，第一次输出， 当输入时，第二次输出， 当输入时，第三次输出， 当输入时，第四次输出， 当输入时，第五次输出， 当输入时，第六次输出， ， 由此可知，从第二次输入，输入三次一个循环， ∵， ∴第次输出的结果为：， 故答案为：． 题型3：有理数混合运算的应用——“算24点” 例1．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐项计算可得答案． 【详解】解：A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意；     D．，故不符合题意； 故选A． 变式1．“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 变式2．“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【分析】根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】解：①这四个数分别为6、-3、6、2， ∵， ∴①符合题意； ②这四个数分别为-4、-6、6、2， ∵， ∴②符合题意； ③这四个数分别为-4、-3、12、2， ∵， ∴③符合题意； ④这四个数分别为-4、-3、6、1， ∵， ∴④符合题意； 故选D． 题型4：有理数混合运算的其他应用 例1．我国古代《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ） A．25天 B．49天 C．67天 D．124天 【分析】本题主要考查含乘方的有理数的计算，根据题意列出计算式进行计算即可．熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：孩子自出生后的天数为：， 故选：C． 例2．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 二进制数转化为十进制数为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据二进制转化为十进制的方法，可以计算出二进制数对应的十进制数． 【详解】解： ， 故选：B． 变式1．如果哪吒的法宝混天绫每秒在原有8米的长度上翻一倍，那么在第10秒时的长度大概相当于多少个标准篮球场的周长（   ） A．50个 B．100个 C．150个 D．200个 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，乘方的应用，根据题意，正确列出算式是解题的关键． 根据1个标准篮球场的周长为86米，列式为再计算即可求解． 【详解】解：∵1个标准篮球场的周长为86米， ∴（个）， ∴在第10秒时的长度大概相当于100个标准篮球场的周长． 故选：B． 变式2．规定一种新运算：，如，则（　　） A．11 B．13 C．-3 D．-5 【分析】本题考查了新定义运算，解题关键是准确理解新定义，按照新定义方法把算式转化为有理数运算，计算求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 变式3．[趣味题]阿凡提给地主打工，地主开价每月元工钱，阿凡提却说：“不要，不要，你只要第一天付给我角，第二天付给我角，第三天付给我角，第四天付给我角，以此类推到月底即可”．地主听了暗暗高兴，赶快签下协议，其实阿凡提挣到元工钱不必做到一个月．设最多只要天，用计算器估算的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】考查了有理数的乘方在实际生活中的应用，熟练掌握有理数的乘方的运算是解题的关键； 根据乘方的定义可知天地主应付给阿凡提角，用计算器估算估计得的值，然后求出的值； 【详解】解：根据题意可知第天地主应付给阿凡提角， 那么做到第天共挣到的钱为：， 元角， 用计算器估算，当，，； 故选：B 课后作业 一、单选题 1．（2025·山东聊城·模拟预测）定义一种对正整数的“”运算：当为奇数时，；当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，例如，取，则有，按此规律继续计算，则第次“”运算的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了数字的变化规律．计算出时前8次运算的结果，找出规律再进行解答即可． 【详解】解：若， 第1次结果为：3， 第2次结果是：10， 第3次结果为：5， 第4次结果为：16， 第5次结果为：1， 第6次结果为：4， 第7次结果为：1， 第8次结果为：4， … 可以看出，从第5次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现， 且当次数为奇数时，结果是1；次数是偶数时，结果是4， 而2025次是奇数，因此最后结果是1． 故选：A． 2．（2025·四川广安·模拟预测）给定二元数对，其中或1，或1．三种转换器A，B，C对的转换规则如下： 在如图所示的“”组合转换器中，若输入，则输出结果为（ ） A． B．－1 C．0 D．2 【分析】本题主要是新定义题目，利用题目所给规则逐步求解即可． 【详解】解：输入，此时经过A、C输出结果为，经过B输出结果为1． 故答案为：A． 3．（2025·广东湛江·三模）利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为，，，，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生，那么表示9班学生的识别图案是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、有理数的乘方及用数字表示事件，理解题中所给身份识别系统是解题的关键．根据题中所给身份识别系统，依次求出选项中识别图案所表示的班级即可解决问题． 【详解】解：由题知， ，即A选项的识别图案表示6班学生． 故A选项不符合题意． ，即B选项的识别图案表示10班学生． 故B选项不符合题意． ，即C选项的识别图案表示9班学生． 故C选项符合题意． ，即D选项的识别图案表示7班学生． 故D选项不符合题意． 故选：C． 4．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）新定义运算：如图，在的正方形网格中，黑色格子表示0，白色格子表示1，每一行都按进行运算，其中x代表第几行，a表示每一行的第一个格子，b表示每一行的第二个格子，c表示每一行的第三个格子．例如：，那么的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】本题考查了新定义，乘方的运算，理解新定义，利用公式求出即可． 【详解】解：根据题意，得， 故选：A． 5．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种．据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切，项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如下表： 气温（℃） … 13 15 17 19 … 蟋蟀鸣叫次数（次/分钟） … 70 84 98 112 … 若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为49次，则该地当时的气温约为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了数字规律探究和有理数的混合运算的应用，理清题意，正确列出算式是解题关键．根据表中的数据可知，温度每升高，蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加次，据此列式计算即可． 【详解】解：有表格数据可知，温度每升高，蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加14次， 由此，在温度为时，蟋蟀每分钟鸣叫的70次的基础上可得， ， 即这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为49次，则该地当时的气温约为． 故选：A 6．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）为了求的值，可令，则，因此所以，仿照以上推理，计算（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．根据题目信息，设，求出，然后错位相减计算即可得解． 【详解】解：设，则， ， ， ， 故选：C． 7．（24-25九年级下·福建漳州·期中）以下是小明同学数学笔记的一部分，请仔细阅读并完成相应任务． 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨是德国伟大的哲学家、数学家，是历史上少见的通才，被誉为十七世纪的亚里士多德．莱布尼茨在数学史和哲学史上都占有重要地位，二进制数的发现与完善是他在数学史上的伟大学术成就之一，现代的计算机和依赖计算机的设备里都在使用二进制． 我们在数学学习中所用的数都是十进制数，一共有十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，其进位规则是“逢十进一”，比如数字．而二进制数是用0和1两个数码来表示的数，它的进位原则是“逢二进一”，二进制数可以转化为十进制数，转化如下：比如：． 任务：已知，是两个不相等的十进制三位数，且，若三位二进制数的三个数位均为，将其转化为十进制数为（   ） A．1 B．7 C．13 D．111 【分析】本题考查了二进制数转十进制数. 直接根据二进制数只有0，1两个数码，数位为即，求出三位二进制数为111，再根据转化方法计算即可. 【详解】∵三位二进制数的三个数位均为， ∴， ∵二进制数只有0，1两个数码， ∴， ∴ 即三位二进制数为111， ∴ 故选B. 二、解答题 8. 计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式， ， 解：原式， ， 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式， 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 9．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）阅读理解，解答相关问题． 定义“*”运算：a，b是有理数，，例如；； (1)计算：①；②． (2)是否存在整数m，n，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）①直接根据新定义进行运算即可；②直接根据新定义进行运算即可； （2）现根据新定义列式得出，再进行分类讨论求出m、n的值，进而计算即可． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：存在，理由如下： ∵， ∴， ∵m，n为整数， ∴或或或， ∴或或或， ∴或或或， ∴的值为2或6或． 10．（24-25七年级上·重庆江津·期中）若x、y互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为4，则求的值． 【分析】本题主要考查了有理数的运算，相反数，倒数，绝对值， 根据相反数，倒数，绝对值的性质得，再分两种情况代入计算即可. 【详解】解：因为x，y互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是4， 所以. 当时， 原式 ； 当时， 原式 . 综上所述的值是3或. 11．（24-25七年级下·四川成都·期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果： ； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式： ，（） ． （3）算一算：． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据除方运算的计算法则计算． （1）根据即可解答； （2）根据即可解答；根据定义即可解答． （3）按照除方的计算法则计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2）； ． （3） ． 12．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）如表所示． 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 素材1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 十六进制数，记作． 十六进制数使用和来表示，其中，，，，，这五个数分别用字母，，，，，表示． ，且为整数进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将进制数的每个数字，依次乘的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转十进制数为：． 素材2 逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题 任务1 (1)将下列进制数转化为十进制数： ①____；② ____；③____； (2)现有三进制数，二进制数，试比较，的大小． 任务2 (1)十进制数转二进制数得 ____；十进制数转五进制数得 ____． (2)如何将一个二进制数转化为十六进制数呢？小勤提出一种想法： 第一步：先将二进制数转为十进制数得 ____； 第二步：再将所得的十进制数转化为十六进制数得 ____． 【分析】本题考查了进制的转化问题，有理数的混合运算，有理数的大小比较，掌握以上内容是解题关键． 任务1：（1）参照素材1进行转换即可； （2）因为，，即可得出a、b的大小； 任务2：（1）利用除二取余法列式计算，逆序取余即可得到答案； （2）第一步参照素材1计算即可得到答案，第二步用除二取余法列式计算即可得到答案． 【详解】解：任务1：（1）①， ②， ③， 故答案为：13，260，6974． (2)∵， ， ∴． 任务2： （1）∵ ∴， ∵ ∴， 故答案为：，． (2)第一步：先将二进制数转为十进制数： 则， 第二步： 转换为十六进制：， 十进制的在十六进制中用表示， 故， 故答案为：，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$