第08讲 一元一次方程及其解法（4知识点+9题型+达标检测）-2025年小升初数学无忧衔接（沪教版五四制2024）

第08讲 一元一次方程及其解法 1.理解方程的概念，能判别式子是否为方程；学会根据实际问题设未知数并列方程。 2.掌握一元一次方程定义，能识别一元一次方程；熟练运用等式性质，掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 等步骤求解一元一次方程。 知识点一 方程的概念 含有未知数的等式叫做方程. 方程必须同时具备两个条件:(1)是等式;(2)含有未知数. 知识点二 一元一次方程的概念 1.一元一次方程的概念 方程中只含有一个未知数(元),未知数的次数都是1,等号两边都是整式,这样的方程叫做一元一次方程,如等. 2.一元一次方程具有如下特点: (1)只含有一个未知数 (2)所含未知数的项的最高次数为1 (3)含未知数的项的系数不为0 (4)一元一次方程是由整式组成的,即一元一次方程中分母不含未知数 3.一元一次方程的标准形式 任何一个一元一次方程变形后总可以化为的形式其中是未知数，是已知数,且.我们把叫做一元一次方程的标准形式注意 判断一个方程是否为一元一次方程,要先将整式方程化简整理,再按一元一次方程的概念去判断.如,虽然的次数出现了2,但化简之后为或,可知它是一元一次方程 知识点三 解方程与方程的解 1.解方程 解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值的过程 2.解 方程的解就是使方程中等号左右两边相等的未知数的值.(注意：只含一个未知数的方程的解也可以叫做方程的根.) 3.判断一个数是不是方程解的方法 把这个数分别代入方程中等号的两边,若等号两边的值相等,则该数是方程的解;反之,则不是方程的解 4.方程的解和解方程的区别与联系 区别:方程的解是解方程的结果，是具体的数值,而解方程是一个变形的过程 联系:解方程的目的是求出方程的解 知识点四 根据实际问题列一元一次方程 分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是用数学的知识解决实际问题的一种方法列方程一般有三个环节: (1) 审题:提取问题中的数量信息，正确理解问题中表示数量关系的关键性词语,如多、少、倍、分、增加、减少等,这些词语体现了其中的数量关系 (2) 分析:理清问题中的关系,分析时可借用表格、图形等 (3) 建模:设出未知数并用含有未知数的代数式表示出其他未知量将问题转化为方程,可直接或间接设未知数 题型一、判断各式是否是方程 例1（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列方程中， 是一元一次方程．（写编号） ①；②；③；④． 1-1（24-25六年级上·上海·期中）下列各式中属于方程的是（　　） A． B． C． D． 1-2（24-25六年级上·上海闵行·期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，是方程的是（　　 ） A．①④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤ 1-3（24-25六年级上·上海闵行·期末）下列各项是方程的是（    ） A． B． C． D． 题型二、列方程 例2（24-25六年级上·上海·期末）有一所寄宿制学校，开学安排宿舍，如果每间宿舍住人，将会空出间宿舍；如果每间宿舍住人，就有人没床位，设在学校住宿的学生有人，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2-1（24-25六年级上·上海·期末）根据“比a的2倍大5的数等于8”可列方程为 ． 2-2（24-25六年级上·上海浦东新·期中）“比a的3倍大5数等于a的4倍”可用等式表示为 ． 2-3（24-25六年级上·上海金山·期中）学校体育组有学生41人参加了篮球队或足球队，其中只参加篮球队的学生人数是只参加足球队的学生人数的1.5倍，两队都参加的有8人，设参加足球队的学生人数有x人，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三、判断是否是一元一次方程 例3（24-25六年级上·上海·阶段练习）若关于的方程是一元一次方程，则 ． 3-1（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）关于的方程是一元一次方程，那么此方程的解为 ． 3-2（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）下列各式中是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 3-3（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知关于方程是一元一次方程，那么 ． 题型四、解一元一次方程(一)——合并同类项与移项 例4（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知关于的方程无解，则的值为 ． 4-1（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）一次式与的值互为相反数，求的值 4-2（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）解方程： 4-3（24-25六年级上·上海·期中）解方程 题型五、解一元一次方程(二)——去括号 例5（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）已知关于的方程与的解相同，求的值． 5-1（24-25六年级上·上海宝山·期末）下列方程中其解是的是（   ） A． B． C． D． 5-2（24-25六年级上·上海普陀·期末）解方程：． 5-3（24-25六年级上·上海普陀·期末）解方程：． 题型六、解一元一次方程(三)--去分母 例6（24-25六年级上·上海·阶段练习）解关于的方程：； 6-1（24-25六年级上·上海青浦·期末）解方程：． 6-2（24-25六年级上·上海·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是 ． 6-3（24-25六年级上·上海宝山·期末）解方程： (1)； (2)． 题型七、已知一元一次方程的解，求参数 例7（24-25八年级下·上海长宁·期末）如方程有一个解是，则这个方程的另一个实数解为 ． 7-1已知是关于的方程的解，则的值是 ． 7-2已知为整数，若关于的方程的解为正整数，则满足条件的所有的值是 ． 7-3当 时，关于的方程无解． 7-4已知关于的方程，若该方程的解与方程的解互为相反数，求的值． 题型八、一元一次方程解的关系 例8若方程的解与关于的方程的解相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 8-1（24-25六年级上·上海·阶段练习）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 8-2已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 8-3若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 8-4已知：关于x的方程与有相同的解，求以y为未知数的方程的解． 题型九、绝对值方程 例9如果，则 ． 9-1（24-25六年级上·上海黄浦·期末）若关于x的方程是一元一次方程，则 ． 9-2如果，那么 ． 9-3已知a是最大的负整数，，且，则 ． 9-4（24-25六年级上·上海青浦·期中）解方程： 9-5（24-25六年级上·上海闵行·期中）阅读下面材料并回答问题：点A、B在数轴上分别表示数a、b，A、B两点之间的距离表示为．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设A在原点，如图1，；当A、B两点都不在原点时， (1)回答问题：数轴上表示和的两点之间的距离是 ． (2)若数轴上表示x和的两点分别是点A、B，那么 (3)若数轴上点A表示数，点B表示数7，动点P、Q分别同时从点A、点B出发沿着数轴正方向移动，点P的移动速度是每秒3个单位长度，点Q的移动速度是每秒2个单位长度，求①运动几秒后，点P追上点Q？②运动几秒后，P、Q两点相距3个单位长度？ 9-6（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）已知数轴上两点，对应的数分别为和4，点为数轴上一动点，若规定：点到的距离是点到的距离的3倍时，我们就称点是关于的“广益点”． (1)若点到点的距离等于点到点的距离时，求点表示的数是多少； (2)若点以每秒1个单位的速度从原点开始向右运动，当点是关于的“广益点”时，求点的运动时间； (3)若点在原点的左边（即点对应的数为负数），且点是关于点，两个点的“广益点”，请求出符合条件的点表示的数． 1．解方程时，去分母后正确的等式是（   ） A． B． C． D． 2．若与互为相反数，则的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 3．关于的一元一次方程的解为，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D．3 4．运用等式的性质进行变形，错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．已知是关于x的方程的解，那么a的值是（   ） A． B．1 C． D．5 6．按照下面的程序计算：当输入为32时，输出结果为155；当输入为11时，输出结果为245；若输入的的值为正整数，输出结果为95，那么满足条件的的值最多有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．已知方程的解满足，则的值是（   ） A． B． C． D．4 8．定义一种新运算“”，规定当时，，当时，．例如：，，．如果，那么的值为 ． 9．解方程： (1) (2) 10．定义：若关于x的一元一次方程（的常数）的解满足，则称该方程为“差解方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“差解方程”．根据题意，解决下面问题： (1)方程_____（填“是”或“不是”）“差解方程”； (2)关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 一元一次方程及其解法 1.理解方程的概念，能判别式子是否为方程；学会根据实际问题设未知数并列方程。 2.掌握一元一次方程定义，能识别一元一次方程；熟练运用等式性质，掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 等步骤求解一元一次方程。 知识点一 方程的概念 含有未知数的等式叫做方程. 方程必须同时具备两个条件:(1)是等式;(2)含有未知数. 知识点二 一元一次方程的概念 1.一元一次方程的概念 方程中只含有一个未知数(元),未知数的次数都是1,等号两边都是整式,这样的方程叫做一元一次方程,如等. 2.一元一次方程具有如下特点: (1)只含有一个未知数 (2)所含未知数的项的最高次数为1 (3)含未知数的项的系数不为0 (4)一元一次方程是由整式组成的,即一元一次方程中分母不含未知数 3.一元一次方程的标准形式 任何一个一元一次方程变形后总可以化为的形式其中是未知数，是已知数,且.我们把叫做一元一次方程的标准形式 注意 判断一个方程是否为一元一次方程,要先将整式方程化简整理,再按一元一次方程的概念去判断.如,虽然的次数出现了2,但化简之后为或,可知它是一元一次方程 知识点三 解方程与方程的解 1.解方程 解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值的过程 2.解 方程的解就是使方程中等号左右两边相等的未知数的值.(注意：只含一个未知数的方程的解也可以叫做方程的根.) 3.判断一个数是不是方程解的方法 把这个数分别代入方程中等号的两边,若等号两边的值相等,则该数是方程的解;反之,则不是方程的解 4.方程的解和解方程的区别与联系 区别:方程的解是解方程的结果，是具体的数值,而解方程是一个变形的过程 联系:解方程的目的是求出方程的解 知识点四 根据实际问题列一元一次方程 分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是用数学的知识解决实际问题的一种方法列方程一般有三个环节: (1) 审题:提取问题中的数量信息，正确理解问题中表示数量关系的关键性词语,如多、少、倍、分、增加、减少等,这些词语体现了其中的数量关系 (2) 分析:理清问题中的关系,分析时可借用表格、图形等 (3) 建模:设出未知数并用含有未知数的代数式表示出其他未知量将问题转化为方程,可直接或间接设未知数 题型一、判断各式是否是方程 例1（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列方程中， 是一元一次方程．（写编号） ①；②；③；④． 【答案】②③ 【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程，据此逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：根据一元一次方程的定义可知： ①，不是一元一次方程，不符合题意； ②，是一元一次方程，符合题意； ③，是一元一次方程，符合题意； ④，不是一元一次方程，不符合题意； 故答案为：②③． 1-1（24-25六年级上·上海·期中）下列各式中属于方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程式的定义“既含有未知数又是等式”即可求解． 【详解】解：A、既含有未知数又是等式，具备了方程的条件，因此是方程，故本选项正确； B、不含有未知数，不是方程，故本选项错误； C、不是方程，故本选项错误； D、是不等式，不是方程，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了方程的定义，熟记知识点是解题关键． 1-2（24-25六年级上·上海闵行·期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，是方程的是（　　 ） A．①④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤ 【答案】C 【分析】根据方程的定义即可一一判定． 【详解】解：含有未知数的等式叫做方程， ①是方程； ②，不含有未知数，故不是方程； ③不是等式，故不是方程； ④是方程； ⑤是方程； ⑥不是等式，故不是方程； 故方程有：①④⑤， 故选：C． 【点睛】本题考查了方程的定义，熟练掌握和运用方程的定义是解决本题的关键． 1-3（24-25六年级上·上海闵行·期末）下列各项是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程的定义：含有未知数的等式叫方程可得答案． 【详解】解：A、含有未知数，但不是等式，所以不是方程，故不符合题意； B、不含有未知数，且不是等式，所以不是方程，故不符合题意； C、不是等式，所以不是方程，故不符合题意； D、符合方程的定义，故符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了方程的定义，熟知方程的定义是解题的关键． 题型二、列方程 例2（24-25六年级上·上海·期末）有一所寄宿制学校，开学安排宿舍，如果每间宿舍住人，将会空出间宿舍；如果每间宿舍住人，就有人没床位，设在学校住宿的学生有人，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是列一元一次方程，解题关键是正确找出题目中的等量关系并列出方程． 学校的宿舍数不变，可根据两种安排宿舍的方法分别表示出宿舍数，如果每间宿舍安排人，将会空出间宿舍，则宿舍数可表示为；如果每间宿舍安排人，就会有人没床位，则宿舍数可表示为，从而列出方程． 【详解】解：设在学校住宿的学生有人， 依题得：． 故选：． 2-1（24-25六年级上·上海·期末）根据“比a的2倍大5的数等于8”可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列方程，a的2倍为，则比a的2倍大5的数为，据此列出方程即可． 【详解】解：“比a的2倍大5的数等于8”可列方程为， 故答案为：． 2-2（24-25六年级上·上海浦东新·期中）“比a的3倍大5数等于a的4倍”可用等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列方程：理清题意，找准等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 2-3（24-25六年级上·上海金山·期中）学校体育组有学生41人参加了篮球队或足球队，其中只参加篮球队的学生人数是只参加足球队的学生人数的1.5倍，两队都参加的有8人，设参加足球队的学生人数有x人，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设参加足球队的学生人数有x人，则只参加足球队的人数有人，只参加篮球队的人数有人，再根据体育组有学生41人参加了篮球队或足球队即可解答． 【详解】解：设参加足球队的学生人数有x人，则只参加足球队的人数有人，只参加篮球队的人数有人 根据体育组有学生41人参加了篮球队或足球队可得：． 故选D． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、确定只参加篮球的人数和“参加篮球队人数=只参加篮球人数+两队都参加的人数”是解答本题的关键． 题型三、判断是否是一元一次方程 例3（24-25六年级上·上海·阶段练习）若关于的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 3-1（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）关于的方程是一元一次方程，那么此方程的解为 ． 【答案】 【分析】此题考查一元一次方程的知识，熟练掌握一元一次方程的定义是关键． 根据一元一次方程的定义得到，进而求得，结合m的值可得原方程为，求解可得方程的解 【详解】解：由题意得， 解得 所以原方程为 解得 故答案为： 3-2（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）下列各式中是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程，只含有一个未知数，并且未知数的次数是的整式方程是一元一次方程，据此判断即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、方程中未知数的次数是，不是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程不是整式方程，不是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程含有个未知数，不是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程是一元一次方程，该选项符合题意； 故选：． 3-3（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知关于方程是一元一次方程，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解题关键．根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程，据此列方程求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，， 解得：， 故答案为：1． 题型四、解一元一次方程(一)——合并同类项与移项 例4（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 方程整理后，由方程无解得到x前的系数为0即可得到关于的方程，求出a的值即可． 【详解】解：， ， ， ∵关于的方程无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 4-1（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）一次式与的值互为相反数，求的值 【答案】 【分析】本题考查了相反数，一元一次方程的应用，熟练掌握相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．根据相反数的定义列方程求解即可． 【详解】解：一次式与的值互为相反数， ， 解得：． 4-2（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先把原方程变形为，再把括号内的式子裂项相消得到，据此计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 4-3（24-25六年级上·上海·期中）解方程 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先把原方程变形为，进一步变形得到，再去括号解方程即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型五、解一元一次方程(二)——去括号 例5（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）已知关于的方程与的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，一元一次方程的求解，正确计算是解题的关键．先求出方程的解，再代入，求出的值即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 将代入， 得：， 解得． 5-1（24-25六年级上·上海宝山·期末）下列方程中其解是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是一元一次方程，掌握一元一次方程解的概念是解决此题关键．分别求出各项中方程的解，即可作出判断． 【详解】解：A、方程， 移项合并得：， ∴，符合题意； B、方程， 解得：，不合题意； C、方程， 去分母得：，不合题意； D、方程， 去括号，移项合并得：， 解得：，不合题意， 故选：A． 5-2（24-25六年级上·上海普陀·期末）解方程：． 【答案】． 【分析】此题考查了解一元一次方程，解方程时去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数． 方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并得，． 5-3（24-25六年级上·上海普陀·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先去括号，再移项，合并同类项，系数化1，即可作答． 【详解】解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1，得． 题型六、解一元一次方程(三)--去分母 例6（24-25六年级上·上海·阶段练习）解关于的方程：； 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 6-1（24-25六年级上·上海青浦·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，可得解． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． 6-2（24-25六年级上·上海·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． 先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义将关于y的方程变形，即可求解． 【详解】解：， 解得：， ， 解得：， 方程与是“美好方程”， ， ， 可化为：， ， ， 故答案为：． 6-3（24-25六年级上·上海宝山·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程；熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤求解即可； （2）根据解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 移项得： 合并同类项得： 系数化为得：； （2）解： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为得：． 题型七、已知一元一次方程的解，求参数 例7（24-25八年级下·上海长宁·期末）如方程有一个解是，则这个方程的另一个实数解为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查解含参数的一元一次方程，。熟练掌握一元一次方程的解和正负数的偶次幂都为正数是解题的关键，由于是方程的解，将其代入即可得到的值，从而得到，进而可求得的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴这个方程的另一个实数解为， 故答案为：． 7-1已知是关于的方程的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是已知一元一次方程的解，求参数，解题关键是熟练掌握一元一次方程的解． 根据题意得出后即可得解． 【详解】解：是关于的方程的解， ， 解得． 故答案为：． 7-2已知为整数，若关于的方程的解为正整数，则满足条件的所有的值是 ． 【答案】或/1或 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解题的关键．将原方程化为关于的一元一次方程，然后根据“关于的方程的解为正整数”求出所有情况，即可得到答案． 【详解】解：， ， 关于的方程的解为正整数， 且要为的倍数， ∵为整数， 或． 故答案为：或． 7-3当 时，关于的方程无解． 【答案】/等于2 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 由方程无解的条件确定出 a 的值即可． 【详解】解：∵关于的方程无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 7-4已知关于的方程，若该方程的解与方程的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，相反数的定义，解题关键是正确求解一元一次方程． 先解方程得出，得出方程的解为，把代入解关于m的方程即可． 【详解】解：， 解得：， ∵方程的解与方程的解互为相反数， ∴方程的解为， 把代入方程，得： ， 解得：． ∴． 题型八、一元一次方程解的关系 例8若方程的解与关于的方程的解相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程解，解一元一次方程等知识点，先求方程的解，再代入求得的值即可，熟练掌握一元一次方程解，解一元一次方程是解决此题的关键． 【详解】解：解方程，得， 把代入， 得， 解得：， 故选：C． 8-1（24-25六年级上·上海·阶段练习）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，将方程变形得，设，可得方程的解即为方程的解，即得，据此即可求解，掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：方程变形得，， 设， 则方程的解即为方程的解， ∵方程的解为， ∴， ∴， ∴一元一次方程的解为， 故答案为：． 8-2已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】2023 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用整体思想，可得出，进而可求出y的值． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解为， ∴． 故答案为：2023． 8-3若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，设，则方程的可变为，即，进而根据关于的一元一次方程的解为，可得，即得，据此解答即可求解，掌握一元一次方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：设，则方程的可变为， 即， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴， 故答案为：． 8-4已知：关于x的方程与有相同的解，求以y为未知数的方程的解． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的同解问题，掌握一元一次方程的解以及解法是解题关键． 先解方程，得到，再根据方程同解，将代入方程，解得，再代入方程，求出的值即可． 【详解】解：， 移项合并得：， 解得：， 关于x的方程与有相同的解， 将代入方程，可得， 解得：， 将代入，可得， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化1得：． 题型九、绝对值方程 例9如果，则 ． 【答案】或4 【分析】根据题意，得或，解方程即可． 本题考查了绝对值，解方程，熟练掌握解绝对值方程是解题的关键． 【详解】解：由， 得或， 解得或， 故答案为：或4． 9-1（24-25六年级上·上海黄浦·期末）若关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，绝对值方程等知识点，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键：只含有一个未知数、并且含未知数的项的次数是1次的整式方程叫做一元一次方程． 根据一元一次方程的定义可得关于的绝对值方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：关于x的方程是一元一次方程， ，， 解得：， 故答案为：． 9-2如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值的含义，根据，可得，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 9-3已知a是最大的负整数，，且，则 ． 【答案】9或13 【分析】本题主要考查了代数式求值，解绝对值方程，非负性的性质，最大的负整数为，则，解绝对值方程可求出b，由非负数的性质可求出c、d，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵a是最大的负整数， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：9或13． 9-4（24-25六年级上·上海青浦·期中）解方程： 【答案】或 【分析】本题考查了解一元一次方程，化简绝对值，分情况讨论，分别解一元一次方程，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴或 解得：或 9-5（24-25六年级上·上海闵行·期中）阅读下面材料并回答问题：点A、B在数轴上分别表示数a、b，A、B两点之间的距离表示为．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设A在原点，如图1，；当A、B两点都不在原点时， (1)回答问题：数轴上表示和的两点之间的距离是 ． (2)若数轴上表示x和的两点分别是点A、B，那么 (3)若数轴上点A表示数，点B表示数7，动点P、Q分别同时从点A、点B出发沿着数轴正方向移动，点P的移动速度是每秒3个单位长度，点Q的移动速度是每秒2个单位长度，求①运动几秒后，点P追上点Q？②运动几秒后，P、Q两点相距3个单位长度？ 【答案】(1)5 (2)或3 (3)①运动8秒时，点P可以追上点Q；②运动5秒或者11秒时，P，Q两点相距3个单位长度 【分析】本题结合数轴上的动点问题考查了一元一次方程的应用，两点之间距离等知识点，注意动点问题的多解性． （1）由即可计算； （2）根据，结合列方程计算即可； （3）①设运动x秒时，点P可以追上点Q，根据题意可知，相遇时P所在的位置为，Q所在的位置为，据此列方程解答即可；②分点P在点Q左侧和右侧两种情况分别讨论即可． 【详解】（1）解：和的两点之间的距离， 故答案为：5； （2）解：根据题意可得， ∴或， 故答案为：或3； （3）解：①设运动x秒时，点P可以追上点Q， 根据题意得：， 解得：， 答：运动8秒时，点P可以追上点Q． ②设运动y秒时，P，Q两点相距3个单位长度． 当点P在点Q左侧时，，解得：； 当点P在点Q右侧时，，解得：． 答：运动5秒或者11秒时，P，Q两点相距3个单位长度． 9-6（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）已知数轴上两点，对应的数分别为和4，点为数轴上一动点，若规定：点到的距离是点到的距离的3倍时，我们就称点是关于的“广益点”． (1)若点到点的距离等于点到点的距离时，求点表示的数是多少； (2)若点以每秒1个单位的速度从原点开始向右运动，当点是关于的“广益点”时，求点的运动时间； (3)若点在原点的左边（即点对应的数为负数），且点是关于点，两个点的“广益点”，请求出符合条件的点表示的数． 【答案】(1) (2)点P的运动时间为1秒或10秒 (3)点P表示的数是： 【分析】本题考查了数轴，广益点的定义，掌握数轴上两点间距离公式，是解决本题的关键． （1）根据点P到点A的距离等于点P到点B的距离，利用距离公式，即可得到结论； （2）根据题意可得，，再根据“广益点”的定义即可求解； （3）分两种情况进行讨论：当点A是关于的“广益点”时，当点A是关于的“广益点”时，分别代入计算即可． 【详解】（1）解：∵数轴上两点A，B对应的数分别为和4， ∴， ∵点P到点A、点B的距离相等， ∴P为的中点， ∴， ∴点P表示的数是； （2）解：根据题意可知：设点P运动的时间为t秒， ， ， 解得或， ∴点P的运动时间为1秒或10秒； （3）解：根据题意可知：设点P表示的数为n， 或， 分五种情况进行讨论： ①当点A是关于的“广益点”时， ， 即， 解得； ②当点A是关于的“广益点”时， ， 即，解得； 或，解得； 综上所述：所有符合条件的点P表示的数是：． 1．解方程时，去分母后正确的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程时去分母的方法．直接把方程两边同时乘以6去分母即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以6得：， 故选：B． 2．若与互为相反数，则的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了相反数的定义，解一元一次方程，列出方程是解题的关键． 根据相反数的定义，两个数互为相反数则它们的和为0，由此建立方程求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 解得：， 故选：B． 3．关于的一元一次方程的解为，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，掌握一元一次方程的解的定义是解题关键．将代入一元一次方程，得到关于的一元一次方程，再求出的值即可． 【详解】解：已知关于x的一元一次方程的解为， 将代入原方程，得：， 解得： 故选：A． 4．运用等式的性质进行变形，错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐一判断即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、如果，当时，那么不成立，该选项变形错误，符合题意； 、如果，那么，该选项变形正确，不合题意； 、如果，因为，那么，该选项变形正确，不合题意； 、如果，则，那么，该选项变形正确，不合题意； 故选：． 5．已知是关于x的方程的解，那么a的值是（   ） A． B．1 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，将已知解代入方程，解关于的一元一次方程即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， 解得， 故选：C． 6．按照下面的程序计算：当输入为32时，输出结果为155；当输入为11时，输出结果为245；若输入的的值为正整数，输出结果为95，那么满足条件的的值最多有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了程序框图与代数式求值，解一元一次方程；分情况考虑，95是一次输出的结果；95是丙次运算输出的结果；95是三次运算输出的结果；分别利用一元一次方程求解即可． 【详解】解：若95是一次计算输出的结果，则， 解得：； 若95是经过两次计算输出的结果，由上知，第一次输出的结果为20，第二次输出的结果为95，故， 解得：； 若95是经过三次计算输出的结果，由上知，第二次输出的结果为20，第三次输出的结果为95，故， 解得：； 由于输入的的值为正整数，故满足条件的x的值最多有3个； 故选：C． 7．已知方程的解满足，则的值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程的解的应用．由可得，再代入中求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 把代入得：， 解得， ∴ 故选：C． 8．定义一种新运算“”，规定当时，，当时，．例如：，，．如果，那么的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，新定义下的有理数运算，根据新定义运算，分两种情况得到方程，解方程即可，正确计算是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 当时，即， ∴ ， 当时，即， ∴ ， 综上可知：的值为或， 故答案为：或． 9．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程； （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1，； （2）解： 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1，． 10．定义：若关于x的一元一次方程（的常数）的解满足，则称该方程为“差解方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“差解方程”．根据题意，解决下面问题： (1)方程_____（填“是”或“不是”）“差解方程”； (2)关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【答案】(1)不是 (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的解法，理解新定义，是解题的关键． （1）根据差根方程的定义进行求解即可； （2）先求出方程的解为：，然后根据关于x的一元一次方程是“差解方程”，列出关于m的方程，解关于m的方程即可． 【详解】（1）解：方程的解为：， ， ∴方程不是“差解方程”； （2）解：方程的解为：， ∵关于x的一元一次方程是“差解方程”， ∴， 解得：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$