2025年浙江省中考数学试卷

2025年浙江省中考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．（3分）的相反数是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）如图所示，直线a，b被直线c所截．若a∥b，∠1＝91°，则（　　） A．∠2＝91° B．∠3＝91° C．∠4＝91° D．∠5＝91° 3．（3分）国家税务总局发布的数据显示，2024年，现行支持科技创新和制造业发展的主要政策减税降费及退税达26293亿元，助力我国新质生产力加速培育、制造业高质量发展．将数2629300000000用科学记数法表示为（　　） A．26.293×1011 B．2.6293×1012 C．0.26293×1013 D．2.6293×1013 4．（3分）底面是正六边形的直棱柱如图所示，其俯视图是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）已知反比例函数y.下列选项正确的是（　　） A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大 6．（3分）如图，五边形ABCDE，A′B′C′D′E′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A′的坐标分别为（2，0），（3，0）．若DE的长为3，则D′E′的长为（　　） A． B．4 C． D．5 7．（3分）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如表． 材料类别 彩色纸（张） 细木条（捆） 手工艺品A 5 3 手工艺品B 2 1 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）某书店某一天图书的销售情况如图所示． 根据以上信息，下列选项错误的是（　　） A．科技类图书销售了60册 B．文艺类图书销售了120册 C．文艺类图书销售占比30% D．其他类图书销售占比18% 9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝35°，CD是斜边AB上的中线，以点C为圆心，CD长为半径作弧，与AB的另一个交点为点E．若AB＝2，则的长为（　　） A．π B．π C．π D．π 10．（3分）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）（0≤x≤n），PQ2为y（单位：km2）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，81），且经过E（1，225）和F（n，225）两点．下列选项正确的是（　　） A．m＝12 B．n＝24 C．点C的纵坐标为240 D．点（15，85）在该函数图象上 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）|﹣5|　 　 ． 12．（3分）不等式组的解集是　 　 ． 13．（3分）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为500m，从点A观测点P的仰角为α，cosα＝0.98，则A处到B处的距离为　 　 m． 14．（3分）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，4，5的卡片在甲手中，标有数字2，3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是　 　 ． 15．（3分）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方（a+b）n展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4． 【应用体验】 已知（x+2）4＝x4+mx3+24x2+32x+16，则m的值为 　 　 ． 16．（3分）如图，矩形ABCD内接于⊙O，E是上一点，连接EB，EC分别交AD于点F，G．若AF＝1，EG＝FG＝3，则⊙O的直径为 　 　 ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）化简求值：x（5﹣x）+x2+3，其中x＝2． 18．（8分）解分式方程：0． 19．（8分）【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线BD上． 【数学理解】 （1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程．（2）若裁剪过程中满足DE＝DA，求“机翼角”∠BAE的度数． 20．（8分）2024年11月9日是浙江省第31个消防日，为增强师生消防安全意识、提高自救防范能力，某县教育与消防部门共同组织消防知识竞赛．全县九年级共120个班，每班选派10名选手参加．随机抽取其中10个班级，统计其获奖人数，结果如表． 班级 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 获奖人数 7 8 6 8 6 6 9 7 8 5 （1）若①班获奖选手的成绩分别为（单位：分）：83，91，83，90，83，88，91，求该班获奖选手成绩的众数与中位数． （2）根据统计信息，估计全县九年级参赛选手获奖的总人数． 21．（8分）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： （a±b）2＝a2±2ab+b2 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为64＜67＜81， 所以89， 则可以设成以下两种形式： ①8+s，其中0＜s＜1； ②9﹣t，其中0＜t＜1． 小明以①的形式求的近似值的过程如表． 因为8+s， 所以67＝（8+s）2， 即67＝64+16s+s2． 因为s2比较小， 将s2忽略不计， 所以67≈64+16s， 即16s≈67﹣64， 得s， 故8.19． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的半圆，交BC于点D，与AC相切于点E，连接OD，OE． （1）求证：OD⊥OE． （2）若AB＝BC，OB，求四边形ODCE的面积． 23．（10分）已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）． （1）求a的值． （2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值． （3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n﹣m的最大值． 24．（12分）在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8． （1）如图1，求sin∠BAC的值． （2）如图2，E是AD延长线上的一点，连接BE，作△FBE与△ABE关于直线BE对称，EF交射线AC于点P，连接BP． ①当EF⊥AC时，求AE的长． ②求PA﹣PB的最小值． 2025年浙江省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A． B B． A C C C D B D 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．【解析】解：的相反数是． 故选：A． 2．【解析】解：∵a∥b， ∴∠3＝∠1＝91°， 由邻补角互补得∠4＝180°﹣∠3＝89°， 由对顶角相等得∠5＝∠4＝89°， 由邻补角互补得∠2＝180°﹣∠1＝89°， 故正确的是B选项． 故选：B． 3．【解析】解：2629300000000＝2.6293×1012． 故选：B． 4．【解析】解：从上面看这个几何体，看到的图形是一个正六边形，因此选项A中的图形符合题意， 故选：A． 5．【解析】解：∵反比例函数y，k＝﹣7＜0， ∴函数图象在第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， 故选项C符合题意． 故选：C． 6．【解析】解：∵五边形ABCDE，A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A，A'的坐标分别为（2，0），（3，0）， ∴， ∵∠DOE＝∠DOE， ∴△DOE∽△D'OE'， ∴， ∵DE＝3， ∴， 故选：C． 7．【解析】解：根据题意可列方程组． 故选：C． 8．【解析】解：A．总数量＝150÷37.5%＝400（册），则科技类图书销售了400×15%＝60（册），此选项正确，不符合题意； B．文艺类图书销售了400﹣（150+60+70）＝120（册），此选项正确，不符合题意； C．文艺类图书销售占比100%＝30%，此选项正确，不符合题意； D．其他类图书销售占比100%＝17.5%，此选项错误，符合题意； 故选：D． 9．【解析】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点， ∴CDAB， ∴CD＝AD， ∴∠ACD＝∠A＝35°， ∴∠CDE＝∠A+∠ACD＝70°， 由题意知：CD＝CE， ∴∠CED＝∠CDE＝70°， ∴∠DCE＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∵AB＝2， ∴CD2＝1， ∴的长π． 故选：B． 10．【解析】解：如图，作PG⊥AB于G，当x＝1时，动点Q运动到点H的位置，则由题意和图象可知PH2＝225，当点Q运动到点G的时候，PQ2最小，即：PG2＝81，HG＝m﹣1＝12． 在Rt△PGH中，由勾股定理，得225＝81+（m﹣1）2， ∴m＝13． ∴A错误． ∴AG＝m＝13，HG＝m﹣1＝12． 当x＝n时，点Q运动到点B，则PB2＝225﹣PH2， ∴PB＝PH， ∵PG⊥AB， ∴BG＝HG＝12， ∴AB＝13+12＝25， ∴选项B错误． ∴当x＝0，即点Q在A点时， ∴AP2＝AG2+PG2＝132+81＝250． ∴点C的纵坐标为250． ∴选项C错误． 当x＝15时，点Q运动到点K， ∴AK＝15． ∴GK＝AK﹣AG＝2． ∴PK2＝KG2+PG2＝4+81＝85． ∴点（15，85）在该函数图象上． ∴选项D正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．【解析】解：原式＝5﹣3＝2， 故答案为：2． 12．【解析】解：解不等式2x﹣3＜5得，x＜4， 所以不等式组的解集为：﹣2≤x＜4． 故答案为：﹣2≤x＜4． 13．【解析】解：在Rt△ABP中，∵∠B＝90°，AP＝500m，∠A＝α， ∴AB＝AP•cosα＝500×0.98＝490（m）， 答：A处到B处的距离为490m． 故答案为：490． 14．【解析】解：列表如下： 2 3 6 1 （1，2） （1，3） （1，6） 4 （4，2） （4，3） （4，6） 5 （5，2） （5，3） （5，6） 共有9种等可能的结果，其中甲出的卡片数字比乙大的结果有：（4，2），（4，3），（5，2），（5，3），共4种， ∴甲出的卡片数字比乙大的概率为． 故答案为：． 15．【解析】解：∵（x+2）4＝x4+mx3+24x2+32x+16， ∴mx3＝4x3×2， ∴m＝8， 故答案为：8． 16．【解析】解：连接AC， ∵四边形ABCD是矩形，且矩形ABCD内接于⊙O， ∴∠D＝∠BAD＝90°， ∴AC是⊙O的直径， ∵AF＝1，EG＝FG＝3， ∴∠BEC＝∠GFE＝∠AFB， ∵∠BEC＝∠BAC， ∴∠AFB＝∠BAC， ∴∠ALB＝∠GAC+∠AFB＝∠GAC+∠BAC＝∠BAD＝90°， ∴∠GAC＝∠ABE＝90°﹣∠BAC， ∵∠ABE＝∠ACG， ∴∠GAC＝∠ACG， ∴CG＝AG＝AF+FG＝1+3＝4， ∵∠CDG＝∠AEG＝90°，∠CGD＝∠AGE， ∴△CDG∽△AEG， ∴1， ∴DG＝EG＝3， ∴AD＝AG+DG＝4+3＝7，CD， ∴AC2， ∴⊙O的直径为2， 故答案为：2． 三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【解析】解：x（5﹣x）+x2+3 ＝5x﹣x2+x2+3 ＝5x+3， 当x＝2时， 原式＝5×2+3＝13． 18．【解析】解：， 方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得3（x﹣1）﹣（x+1）＝0， 去括号，得3x﹣3﹣x﹣1＝0， 解得：x＝2， 检验：把x＝2代入（x+1）（x﹣1）≠0， ∴分式方程的解为x＝2． 19．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD， 又∵BE＝BE， ∴△ABE≌△CBE（SAS）； （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，∠ADB＝45°， ∵DE＝DA， ∴∠DAE＝∠DEA， ∴∠DAE+∠DEA+∠ADE＝180°， ∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°， ∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝22.5°． 20．【解析】解：①班获奖选手的成绩从小到大排列为：83，83，83，88，90，91，91， 排在中间的两个数都是88，故该班获奖选手成绩的中位数为88； 83出现的次数最多，故该班获奖选手成绩的众数为83； （2）随机抽取的10个班级获奖人数的平均数为：（7+8+6+8+6+6+9+7+8+5）＝7（人）， 120×7＝840（人）， 答：估计全县九年级参赛选手获奖的总人数为840人． 21．【解析】解：（1）设，其中0＜t＜1， ∴， ∴67＝81﹣18t+t2， ∵t2比较小，将t2忽略不计， ∴67≈81﹣18t， ∴， ∴； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下； ∵8.18×8.18＝66.9124，8.19×8.19＝67.0761，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 22．【解析】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 由作图可知：OB＝OD， ∴∠B＝∠ODB， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵以点O为圆心，OB长为半径的半圆与AC相切于点E， ∴OE⊥AC， ∴OD⊥OE； （2）解：∵AB＝AC，AB＝BC， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠A＝60°， 在Rt△AEO中，OE＝OD＝OB， 则OA2，AE1， ∴AB＝2， ∴EC＝AC﹣AE＝21＝1， 则四边形ODCE的面积为：（1）3． 23．【解析】解：（1）把（1，0）代入y＝x2﹣ax+5， 得：1﹣a+5＝0， 解得：a＝6； （2）由（1）知：y＝x2﹣6x+5， ∴对称轴为直线， ∵点A（0，t）在y轴上，过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点， ∴B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t， 又∵点B为线段AC的中点， ∴xc＝2xB， ∴， ∴xB＝2， ∴x＝2代入y＝x2﹣6x+5， 得：y＝22﹣6×2+5＝﹣3， ∴t＝﹣3； （3）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标（3，﹣4）， 当抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间时，m，n为直线与抛物线的交点， ∴要使n﹣m最大，则，m，n为一条直线与抛物线的交点，x＝m和x＝n关于对称轴对称， 又∵直线l1，l2之间的距离为16，为定值， ∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点（3，﹣4），即：y＝﹣4时，n﹣m最大，此时另一条直线的解析式为y＝16﹣4＝12，如图： ∴当x2﹣6x+5＝12时， 解得：x1＝7，x2＝﹣1， 即n＝7，m＝﹣1， ∴n﹣m的最大值为：7﹣（﹣1）＝8． 24．【解析】解：（1）如图，设AC，BD交于点O， ∵在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8， ∴AC⊥BC，， ∴， ∴； （2）①如图，设AC，BD交于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BC，，BD＝2OB，AD＝AB＝5， ∴， ∴BD＝6； ∵EF⊥AC，AC⊥BC， ∴EF∥BD， ∴∠DBE＝∠FEB， 由轴对称的性质可得∠AEB＝∠FEB， ∴∠DEB＝∠DBE， ∴DE＝DB＝6， ∴AE＝AD+DE＝11； ②在 Rt△BOP中，由勾股定理得， ∵PA＝OA+OP＝4+OP， ∴PA﹣PB＝4+OP ， ∵， ∴要使 PA﹣PB的值最小，则要最大， ∴要有最小值， 又∵的值随着OP的值增大而增大， ∴的值随着OP的值增大而增大， ∴当OP有最小值时，有最小值，即此时有最大值， ∴当OP有最小值时，PA﹣PB有最小值； 如图所示，过点B作BH⊥AD于H，BT⊥FE于T， ∵， ∴， ∴由轴对称的性质可得， 在Rt△POB中，由勾股定理得， ∴当PB有最小值时，OP有最小值， 由垂线段最短可知， ∴当点P与点T重合时，BP有最小值，最小值为， ∴， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$