2025年中考数学真题完全解读（浙江卷）

2025年中考数学真题完全解读（浙江卷） 本套试卷依据《义务教育数学课程标准》与中考评价体系的基本要求命制，整体风格与2024年浙江省中考方向基本保持一致，又在题型与情境设计方面呈现出一定调整和创新。试卷依照“基础性、综合性、应用性、创新性”相结合的原则，覆盖了初中阶段的重要知识点，既凸显了对基本运算与几何推理能力的考查，又兼顾函数、统计与概率以及实际应用等多方面内容。全卷满分120分，考试时间120分钟，整体难度分布合理，区分度较高，能有效评价学生对所学知识的掌握程度及灵活运用水平。 从试卷的结构看，本卷分选择题（10题，共30分）与非选择题（包括填空题和解答题，共90分）两大部分，题量共24题。题目数量与往年浙江省中考保持大体一致，整体布局清晰： ❆选择题部分侧重对学生基础知识、基本概念的掌握情况的快速检测，包括数与代数、几何图形、统计与概率、函数基本性质等方面。在这一部分，考生需关注对运算规律、几何性质与基本统计图表的灵活识别。 ❆非选择题部分则兼具对运算能力、推理论证、建模应用以及综合表达等多维度的测查。填空题以判断与计算题为主，分值较小，但覆盖面广，需要考生对基础知识灵活调度。解答题延续了往年对几何综合、函数综合的高要求，同时增设了与真实生活情境紧密结合的题目，如与统计图表、数据分析、仰角与俯角、三视图及实际应用相关的试题，突显学生对所学知识的迁移运用、数学思维及创新能力的考查。 ❆数与代数部分紧扣初中数学主干内容，重点考查有理数与无理数、分式方程、不等式组及一元二次方程（或函数）的应用；尤其注重对分式方程、反比例函数和二次函数等常考知识点的理解与应用。 ❆几何板块贯穿全卷，如对圆、三角形、矩形、菱形及其特殊性质的考察；同时涉及相似三角形、全等三角形、角与弧以及圆心角、圆周角、切线定理等专题知识，要求学生具备从几何图形入手，能根据题意快速作出辅助线、进行综合推理的能力。 ❆函数与图象板块侧重对二次函数、反比例函数的图象与性质考察，同时也融入现实情境（如卫星导航路径问题、位似图形、运动点与观测点的距离等），要求学生对函数建模及分析有一定的思维深度。 ❆统计与概率的命题体现了对真实数据、样本与总体的理解；如条形图、扇形图的统计分析，综合考查众数、中位数、抽样估计等；对概率题则突出列表法或树状图计算的基础方法。。 本套试卷整体与历年保持相对平稳。约70%的基础题覆盖“必备知识与常规技能”部分，这些题型相对简单易上手，分布在选择题和前段的非选择题。约20%的中档题针对综合与运用能力，需要学生灵活调度多种思路，往往结合几何与代数交叉点，体现一定的区分度；剩下约10%则为较高层次或有技巧性设计的综合应用题，需要更为深层的推理、较强的空间想象及严谨的数学表达。 例如有些题目在条件设定或图形作法上给出了开放的引导，需要学生结合几何、函数或数形结合方式进行思考。题目材料贴近生活实际，呈现了真实场景，每道中高难度题都通过阅读量适中、设问条理清晰的方式，开启了对学生数学综合素养的考查，亦对命题“适应学情、教情”作了有效把握。 总体而言，本套试卷在中考评价体系的框架下，符合浙江省地区的学情特点和课程标准的水平要求，既能对学生的基本知识、基本技能进行较全面的检测，也彰显了对高层次思维、数学应用与表达能力的关注。它对于指导今后的教学具有较好导向作用：一方面，教师要继续夯实基础知识、重视知识间的内在联系；另一方面，也要注重培养学生用数学思维解决实际问题的能力，并不断提升逻辑思维和创新意识。试卷的整体有效性与科学性相对突出，能够较为精准地衡量学生的学习水平，为后续教学诊断、复习备考与改进教学提供了较为清晰的导向。 ❆多处出现与国家政策、社会实践（如“减税降费”“高速公路无人机监控”）相结合的材料，要求学生结合数学知识解决实际问题。 ❆贴近生产生活的题目增多，让学生需要运用多学科思维探究问题。 ❆如第(22)题综合了的切线性质、、和等多知识点；填空题也更强调运算与几何、概率、统计等领域的衔接。 ❆部分小题融入新知识背景（如“位似”、数据处理与图表综合），考查学生对不同章节知识的关联运用。 ❆题干中常见对数形结合的应用、函数与几何的交叉考查，需从多角度展开思考。 ❆某些大题在计算或推理中都有进一步延伸，如第(24)题先求，再涉及轴对称、最短距离等概念，逻辑链条更复杂，提高对分析与综合的要求。。 ❆需要更灵活地调动数形结合、方程思想、函数观点等多元思维方式。 ❆更侧重对问题背景的理解与数学模型的构建，要求学生既能准确解题又能条理表达、分析推理到位。 以下分析基于本套“2025年浙江省中考真题数学试题”，。全卷共包含 24道题目，题型包括“选择题”“填空题”“解答题”三种形式，具体结构如下： ❆选择题：10小题 × 3分 = 30分，占全卷 25% ❆填空题：6小题 × 3分 = 18分，占全卷 15% ❆解答题：8小题，共72分，占全卷 60% 下面通过表格形式对各题号的分值、题型、主要考查内容和难易程度进行展示和分析。 题号 分值 题型 考查内容 难易分析 1 3 选择题 相反数、数的符号运算 易：基础知识点 2 3 选择题 平行线性质与角度计算 易：基础识记 3 3 选择题 科学记数法 易：常规题 4 3 选择题 立体图形的三视图(直棱柱俯视图) 易：识图题 5 3 选择题 反比例函数的图象与性质 易：基础性质 6 3 选择题 位似图形、相似三角形 中：理解位似关系 7 3 选择题 二元一次方程组建模(彩色纸、细木条用量) 易：应用列方程 8 3 选择题 条形图与扇形图综合(统计) 易：直读统计图 9 3 选择题 直角三角形(斜边中线)、作弧求弧长 中：几何综合 10 3 选择题 二次函数(运动点与观测点间距离的平方) 中：函数应用 11 3 填空题 绝对值与立方根 易：基础计算 12 3 填空题 一元一次不等式组 易：常规解法 13 3 填空题 仰角、直角三角形(余弦应用) 易：基础三角 14 3 填空题 概率(树状图/列表法) 易：基础概念 15 3 填空题 二项式乘方展开(杨辉三角规律) 中：运算规律 16 3 填空题 矩形、圆、相似(圆周角定理、勾股) 中：综合几何 17 6 解答题 代数式化简与求值 易：基础运算 18 6 解答题 分式方程 易：常规步骤 19 8 解答题 几何(正方形剪切、全等三角形、角度求解) 中：几何综合 20 8 解答题 统计与概率(样本估计总体、众数与中位数) 中：统计应用 21 9 解答题 近似算法(完全平方公式应用)、算术平方根估算 中：技巧探究 22 9 解答题 圆的切线性质、直角三角形、等腰三角形 中：几何综合 23 10 解答题 二次函数综合应用(对称轴、顶点、参数应用) 难：综合度较高 24 16 解答题 菱形的性质、轴对称、勾股定理、最值问题 难：综合&拓展 说明： ❆第 ～题（选择题）各分，共0 分； ❆第 ～题（填空题）各分，共18分； ❆第 ～ 题（解答题）共 分； 上表中“分值”一栏，对选择题和填空题写出每题固定分值，对不定分值的解答题则以“—”表示，其合计分值已在题干说明。 易：约占 37.5 中：约占 难：约占 ❆易：约 13 题（如第1、2、3、4、5、7、8、11、12、13、14、17、18 等），考查基础重点与常规知识点，适合大部分同学把握。 ❆中：约 9 题（如第6、9、10、15、16、19、20、21、22)，多为知识综合或灵活应用，稍有难度，需要同学们加以运算或几何推理。 ❆难：约 2 题（第23、24），往往融合多个知识点或需较深推理，考查学生的综合能力与创新解题思路。 综合而言，本套试卷题目覆盖面广，层次分明。基础部分(易)占有较大比重，保证大多数考生能够获取基本分数；中等偏难部分旨在检测学生综合运用与适度拓展能力；高难度题则对尖子生提出更高挑战。建议同学们在备考时扎实掌握基础知识，熟悉常见题型和解题方法，并适当进行综合题和拔高题的训练。 本试题涵盖了初中数学多个重点板块，包括有理数与无理数、方程与不等式、函数及图象、几何图形与坐标、统计与概率等内容，命题形式多样，既注重基本概念与方法的考查，也体现了一定程度的综合与创新。建议同学们在接下来的复习中，从以下几个方面科学规划，稳步提升。 1.数与代数 ❆绝对值、相反数及立方根等概念是基础，常见易错点在于符号判断和运算顺序。复习时要熟悉 与 的区别，并在运算前先明确解题步骤。 ❆分式方程与不等式组的求解经常出现“去分母”后漏解或多解的问题。应注意分式方程的增根与检验环节，特别要检查分母不能为零的限制条件。 ❆科学记数法易出现忽略最高位或末位零的错误，应熟悉将大数化为 的要求；在书写与四则运算中保持谨慎。 2.函数与图形 ❆反比例函数 的图象位置由 的正负性决定，理解其在不同象限的分布至关重要。同学们要分清和的情形，并掌握其随 的增大而增大或减小的性质。 ❆二次函数的顶点、对称轴、最值等知识常与实际问题结合，易错点在对称轴位置、抛物线与平行线交点坐标求解不熟练。复习时可多做不同形式的变式训练，理解 的基本特征。。 3.几何与坐标 ❆平行线及圆的切线性质是常考内容。对于圆的切线，一定记住“切线垂直于过切点的半径”，并且要善用三角函数或者相似三角形进行长度与角度推导。 ❆矩形、菱形、正方形的性质以及斜边中线、角平分线等几何元素也是易出错环节。复习过程要着重理解“菱形四边相等”“正方形对角线互相垂直且平分”“直角三角形斜边中线等于半个斜边”等结论的推导过程。 ❆坐标几何易混点在于点与图形之间的对应关系，尤其是位似、对称等变换。要注意求解过程中的坐标运算、相似比判定及几何意义。 4.概率与统计 ❆对于众数、中位数、平均数三者区别与用途，要能够正确识别与计算。易错点在于遗漏或排序不当时导致的中位数误判。 ❆样本与总体之间的估计与推断，是常见的应用题。需牢记用样本结果估计总体的思路，并注意分类汇总的完整性。性。 1.选择题： ❆快速排除法：可通过检查选项的“极端值”“界限条件”或“特殊情况”来检验真伪。对于带有图象的选择题，先根据关键特征（如对称轴、顶点、坐标象限等）做判断。 ❆算理验证法：针对数值计算类题目，如分式化简、开方运算、几何量度数等，可适度尝试带入简单数字或特殊位置去验证。若满足条件或与实际情境吻合，往往能协助排除错误选项。 2.填空题： ❆注意精确性：如题中明确要求“不得用近似值”，则需在代数运算或几何推导中保证最终结果为准确值（如根式形式）。 ❆注重运算有序：在填空题中，常见失分点是因匆忙而漏掉某个关键步骤。建议先在草稿中理顺过程，再誊写到答题纸上，对繁琐运算部分要充分检查。 3.解答题： ❆书写要规整：分步骤展示思路，严格按照“写已知、求证或求解、分析和证明、结论”的顺序展开说明，便于阅卷老师快速理解。 ❆公式与定理引用务必写准确：如 、相似三角形判定、圆的切线性质、三视图对应关系等，写错或漏写会影响得分。 ❆特别注意几何证明要素：几何证明需要逻辑严谨。可先画好草图，标明已知条件并逐一推导。若需说明对称、全等或相似等关系，则应配合使用 、、 等全等或相似判定，并给出相应理由。❆每天可以安排半小时针对薄弱环节进行专项突破，如几何辅助线添加技巧、方程不等式综合运用等。 1.阶段性自检： ❆不同阶段应制定小目标，如一轮复习先熟悉各章节概念与典型题型；二轮巩固提高，梳理不同题型之间的联系与套路；三轮冲刺时重点回顾错题与盲点，保持良好状态。 ❆定期做总结笔记，将错题原因分类：是计算失误、概念不清还是思路缺失。反复翻阅并针对性改进。 2.提升自信，稳住心态： ❆考前可以多做中档及基础题，保证熟悉度与正确率。碰到新颖极端题型时，可先思考是否能化繁为简，或用熟悉方法验证操作的可行性。 ❆考试中遇到难题要学会暂时搁置，先拿下容易得分的题目。确保完成中低档题目的高分率，既能缓解紧张又能宏观把控试卷整体时间。 3.考场细节： ❆答题卡填涂精准：在选择题多选或涂卡不全等问题上，一旦失误，难以弥补。检查无误后再落笔。 ❆文字与符号规范：坐标、角度、长度单位或附加条件都应在解答中体现，保证阅卷老师能直接阅读出正确信息。 1.稳中有新，注重情境化： ❆中考试题多结合社会热点与日常实际，如税收、环保、消防、交通等背景设置情境题，考查学生解决现实问题的能力。建议同学们在复习中多留意与生活相关的应用题，关注阅读理解式的问题表述。 ❆统计与概率的考查会日益贴近“大数据”应用背景，要求考生具备基本的数据处理与分析思维。 2.综合能力与创新思维： ❆越来越多的题型会打破纯知识点的界限，需要综合运用函数、几何、代数、统计等多方面知识才能解决。这对学生的审题能力与逻辑思维有更高要求。 ❆创新类问题可能结合几何变换（旋转、对称、平移、位似）或数学建模思路，需要考生动手画图、列公式或构造辅助线来解决。 3.建议关注： ❆关注二次函数、反比例函数在综合题中的交汇；重视三视图、投影以及与圆、菱形或正多边形结合出题的可能性。 ❆充分练习解几何大题的过程化表述与“数形结合”的综合运用，把握“分步得分”的特点，整合学科知识点灵活解决问题。 以上建议旨在帮助同学们在本次考试以及整个初中数学复习过程中找准关键、把握方向。希望大家能结合自身实际，合理规划复习路径，稳扎稳打地提升成绩。预祝各位同学在接下来的考试中取得优异表现！ 浙江省2025年初中学业水平考试 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数，根据只有符号相反的两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解：的相反数是 故选A． 2. 如图所示，直线被直线c所截．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质，结合平角的定义，对顶角相等，求出每个角的度数，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，； 故选B． 3. 国家税务总局发布的数据显示，2024年，现行支持科技创新和制造业发展的主要政策减税降费及退税达26293亿元，助力我国新质生产力加速培育、制造业高质量发展．将数2629300000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，将大数用科学记数法表示时，需将其写成的形式，其中，为整数，据此进行作答即可． 【详解】解：， 故选 ：B． 4. 底面是正六边形的直棱柱如图所示，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据俯视图是从上面看到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，俯视图为： 故选A． 5. 已知反比例函数．下列选项正确的是（ ） A. 函数图象在第一、三象限 B. y随x的增大而减小 C. 函数图象在第二、四象限 D. y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据性质逐一判断即可．根据反比例函数的性质，当时，图象两支位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． 【详解】解：反比例函数中，，因此其图象的两支分布在第二、四象限，对应选项C正确，选项A错误． 当时，在第二象限（）和第四象限（）内，随的增大而增大．但选项D未明确“在每个象限内”，若跨象限变化（如从负数到正数），会减小，因此选项D的描述不准确．选项B“随的增大而减小”与时的性质矛盾，错误． 故选：C． 6. 如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，证明，即可求解． 【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7. 手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表． 材料 类别 彩色纸（张） 细木条（捆） 手工艺品A 5 3 手工艺品B 2 1 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程，根据题意，建立关于彩色纸和细木条用量的二元一次方程组． 【详解】解：每个手工艺品A用5张，每个B用2张，总用量为17张．因此可列方程为：； 每个手工艺品A用3捆，每个B用1捆，总用量为10捆．因此可列方程为：； 故方程组：； 故选C． 8. 某书店某一天图书的销售情况如图所示． 根据以上信息，下列选项错误的是（ ） A. 科技类图书销售了60册 B. 文艺类图书销售了120册 C. 文艺类图书销售占比 D. 其他类图书销售占比 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，先用教育类的数量除以所占的比例求出总销售量，再逐一进行判断即可． 【详解】解：总销售量为：（册）， ∴科技类图书销售了（册）， ∴文艺类图书销售了（册）， ∴文艺类图书销售占比为：， ∴其他类图书销售占比：； 综上：只有选项D错误，符合题意； 故选D． 9. 如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求弧长，斜边上的中线，根据斜边上的中线求出得到，进而得到，三角形的外角得到的度数，作图可知，等边对等角求出的度数，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：∵，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∴的长为； 故选B． 10. 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（ ） A. B. C. 点C的纵坐标为240 D. 点在该函数图象上 【答案】D 【解析】 【分析】作，当时，动点运动到点的位置，得到，当点运动到点的时候，最小为，，勾股定理求出的值，判断A；当时，点运动到点，根据三线合一，得到，进而求出的值，判断B；连接，勾股定理求出的长，确定的纵坐标，判断C，求出时，点的位置，再利用勾股定理求出，判断D，即可． 【详解】解：如图，作，当时，动点运动到点的位置，则由题意和图象可知，当点运动到点的时候，最小，即：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：，故选项A错误； ∴，， 当时，点运动到点，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项B错误； ∴当，即点在点时， ∴； ∴点的纵坐标为；故选项C错误； 当时，点运动到点，则：， ∴， ∴， ∴点在该函数图象上，故选项D正确； 故选D． 【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理，垂线段最短，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，从函数图象中有效的获取信息，确定点的位置，是解题的关键． 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. ________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 分别计算绝对值和立方根，再进行加法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 12. 不等式组的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的解集．熟练掌握解一元一次不等式组的解集是解题的关键． 先求第二个不等式的解集，进而可得不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得：， ∴原不等式组的解集为：， 故答案为：． 13. 无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为，从点A观测点P的仰角为，则A处到B处的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用仰角的余弦解答即可． 本题考查了仰角的计算，熟练掌握角的余弦是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 14. 现有六张分别标有数字的卡片，其中标有数字的卡片在甲手中，标有数字的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲出的卡片数字比乙大的结果数有4种， ∴甲出的卡片数字比乙大的概率是． 故答案为： 15. 【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 16. 如图，矩形内接于是上一点，连接分别交于点．若，则的直径为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，矩形的性质； 根据题意证出，得到，设，则，表示出，，连接，在中，求出，在和中，表示出，，列式计算出，再利用勾股定理计算直径即可． 【详解】解：∵为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴ ∴， 在中，， 连接， ∵为直径， ∴， 在中，， ∴在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴解得：， ∴， 的直径为：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 化简求值：，其中． 【答案】，13 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，掌握运算法则是解题的关键． 先计算单项式乘以多项式，再进行合并同类项，然后再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 19. 【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上． 【数学理解】 （1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程． （2）若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质可得，据此可利用证明； （2）由正方形的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 2024年11月9日是浙江省第31个消防日，为增强师生消防安全意识、提高自数防范能力，某县教育与消防部门共同组织消防知识竞赛．全县九年级共120个班，每班选派10名选手参加．随机抽取其中10个班级，统计其获奖人数，结果如下表． 班级 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 获奖人数 7 8 6 8 6 6 9 7 8 5 （1）若①班获奖选手的成绩分别为（单位：分）：，求该班获奖选手成绩的众数与中位数． （2）根据统计信息，估计全县九年级参赛选手获奖的总人数． 【答案】（1）众数为，中位数为 （2）全县九年级参赛选手获奖的总人数为人． 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数，用样本估计总体的知识，正确理解题意是解题的关键． （1）根据中位数和众数定义即可求解； （2）用样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：将①班获奖选手的成绩从小到大排列为：， ∵出现了次，且次数最多， ∴众数为， 第个数据， ∴中位数为； 【小问2详解】 解：10个班级获奖人数平均数为：， ∴估计全县九年级参赛选手获奖的总人数为：（人）， 答：全县九年级参赛选手获奖的总人数为人． 21. 【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【答案】（1）；（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则； （2）可求出，据此可得结论． 【详解】解：（1）设，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下； ∵，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 22. 如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，长为半径的半圆，交于点D，与相切于点E，连接 （1）求证：． （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据等边对等角导角得到，再结合圆的切线性质得到，即可证明垂直； （2）先得到是等边三角形，则，解求出，根据，求出，再由梯形面积公式求解． 【小问1详解】 证明：由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵以点O为圆心，长为半径的半圆与相切于点E， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 23. 已知抛物线（a为常数）经过点． （1）求a的值． （2）过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值． （3）设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3）8 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象性质，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出对称轴，由题意，可知，关于对称轴对称，的纵坐标均为，中点得到，对称性得到，求出，再代入函数解析式求出的值即可； （3）根据题意，易得要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，根据直线之间的距离为16，为定值，得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，令，求出的值，进而确定的值，进行求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，的：， 解得：； 【小问2详解】 由（1）知：， ∴对称轴为直线， ∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于两点， ∴关于对称轴对称，的纵坐标均为， 又∵点B为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴代入，得：， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴抛物线的顶点坐标， 当抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间时， 为直线与抛物线的交点， ∴要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称， 又∵直线之间的距离为16，为定值， ∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，如图： ∴当时，解得：， 即：， ∴的最大值为：． 24. 在菱形中，． （1）如图1，求的值． （2）如图2，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接． ①当时，求的长． ②求的最小值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先根据菱形的性质可得，再根据勾股定理可得，然后根据正弦的定义求解即可得； （2）①连接，设交于点，同理求出，则；证明，得到，由轴对称的性质可得，则，据此可得，即可得到； ②由勾股定理得，根据，可求出，根据，可推出当有最小值时，有最小值，即此时有最大值，即当有最小值时，有最小值；过点B作于H，于T，由等面积法可得，则由轴对称的性质可得，由勾股定理得，则当有最小值时，有最小值，由垂线段最短可知，故当点P与点T重合时，有最小值，最小值为，据此求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，设交于点， ∵在菱形中，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图所示，连接，设交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∴； ②在中，由勾股定理得 ∵， ∴ ， ∵， ∴要使的值最小，则要最大， ∴要有最小值， 又∵的值随着的值增大而增大， ∴的值随着的值增大而增大， ∴当有最小值时，有最小值，即此时有最大值， ∴当有最小值时，有最小值； 如图所示，过点B作于H，于T， ∵， ∴， ∴由轴对称的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴当有最小值时，有最小值， 由垂线段最短可知， ∴当点P与点T重合时，有最小值，最小值为， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，求角的正弦值，勾股定理，轴对称图形的性质，等角对等边等等，解（2）的关键在于把求出的最小值转换成求出的最小值，进而转换成求出的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$