6.1平行四边形的性质课件 -2024-2025学年北师大版八年级数学下册

第六章 平行四边形 6.1平行四边形的性质 学习目标 1、了解平行四边形的有关概念和表示方法。 2、借助平行四边形的中心对称性理解并掌握平行四边形对边相等、对角 相等、对角线互相平分等性质，并会运用平行四边形的性质解决实际问题。 一、平行四边形的概念 用符号“□”来表示平行四边形，记作“□ABCD”， 读作“平行四边形ABCD”。 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线。 1.定义： 2.表示方法： 平行四边形的定义既是它的一个性质，又是一种判定方法，即： 四边形ABCD是平行四边形 2.平行四边形ABCD 记作 读作 。 3.如图□ABCD中，对边有______组，分别是__________， 对角有_____组，分别是 ， 对角线有______条，它们是__________。 4.如图□ABCD中，∠A=60°，∠B=120°， 则∠C= ，∠D= . A B C D 自主研学 □ABCD 平行四边形ABCD 2 AB和CD,AD和CB 2 ∠A和∠C，∠B和∠D 2 AC和BD 60° 120° 二、平行四边形的性质 1.对称性： 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。 A B C D O 平行四边形的对边平行。 2.边： ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB∥CD，AD∥BC; AB=CD,AD=BC 已知： 求证： 证明： 四边形ABCD是平行四边形 AB=CD,AD=BC 平行四边形的对边相等。 几何语言： 3.角： 平行四边形的两组对角相等，邻角互补 ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∠A=∠C,∠B=∠D; ∠A+∠B=1800 ∠B+∠C=1800 ∠C+∠D=1800 ∠A+∠D=1800 已知： 求证： 证明： 四边形ABCD是平行四边形 ∠A=∠C,∠B=∠D; ∠A+∠B=180 几何语言： 例1：已知:如图在平行四边形ABCD中，E，F 是对角线AC上的两点，且AE=CF． 求证：BE = DF． A B C D E F 三、平行四边形性质的应用 如图，已知AB∥EG，EF∥BC，AC∥FG，图中共有几个平行四边形？ 把它们表示出来，并说明理由。 A B C 解： 理由：由题意知AB∥CE,AE∥BC,根据平行四边形的定义 可判定四边形ABCE是平行四边形，同理可判定四 边形ACBF、四边形ABGC都是平行四边形。 图中共有3个平行四边形，分别是 ABCE, ACBF, ABGC. 例1.如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F， 求证：BE=DF. 例题讲解 例1.如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F， 求证：BE=DF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB∥CD , AB=CD. ∴∠BAE=∠DCF 又∵BE⊥AC,DF⊥AC ∴∠BEA=∠DFC 在△ABE和△CDF中 ∵∠BEA=∠DFC，∠BAE=∠DCF，AB=CD ∴△ABE≌△CDF（AAS） ∴BE=DF. 例题讲解 例1.如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F， 求证：BE=DF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD=BC, AB=DC. 在△ABC和△CDA中 ∵AD=BC, AB=DC，AC=CA ∴△ABC≌△CDA（SSS） 又∵BE⊥AC,DF⊥AC ∴BE=DF 例题讲解 例2.如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F， 求证：BE=DF. 变式1：若将上题中条件“BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F” 改为“点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF”， 上述结论是否依然成立？ 例题讲解 知 识 点 2 平 行 四 边 形 的 性 质 性质 符号语言 图示 对 称 性 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是中心对称图形，且两条对角线的交点是它的对称中心。 边 平行四边形的两组对边分别平行（定义） ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC。 定理：平行四边形的对边相等 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD,AD=BC 角 平行四边形相邻的两个内角互补。 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC+∠BCD=180° ∠ABC+∠BAD=180° ∠BAD+∠ADC=180° ∠ADC+∠DCB=180° 定理：平行四边形的对角相等。 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∠DCB=∠BAD。 对 角 线 定理：平行四边形的对角线互相平分。 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC,OB=OD. O 例1： 如图，已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD，交AD于点E，AF∥CE，交于BC于点F。 （1）求证：△ABF≌△CDE； （2）若∠1=65°，求∠B的大小。 E F 1 (1)证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，∴∠1=∠BCE。 ∵AF∥CE， ∴∠BCE=∠AFB， ∴∠1=∠AFB。 在△ABF和△CDE中，∠B=∠D，∠AFB=∠1，AB=CD, ∴△ABF≌△CDE（AAS） (2)解： ∵CE平分∠BCD， ∴∠DCE=∠BCE=∠1=65° ∴∠B=∠D=180°-2X65°=50° 知识导图 $$