专题01 集合的四类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题01 集合的四类重难点题型 目录 典例详解 类型一、集合中求参问题 类型二、集合个数 类型三、集合交并补混合运算 类型四、集合新定义综合问题 压轴专练 类型一、集合中求参问题 1.常见求参类型 ①利用元素与集合的关系； ②利用集合中元素的互异性； ③利用集合中元素的个数； ④利用(真)子集的个数； ⑤利用集合间的关系； 【技巧方法】 ①根利用集合元素的限制条件求参数值时，要注意检验集合是否满足元素的互异性． ②利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围： 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围． 常采用数形结合的思想，借助数轴解答． ③利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围． 例1．（1）设集合，，已知且，则的取值集合为________. 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系以及集合的互异性可求出结果. 【解析】因为，即， 所以或， 若，则或； 若，即，则或. 由与互异，得， 故或， 又，即，所以，解得且， 综上所述，的取值集合为. 故答案为： （2）设集合，或，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据给定条件按集合A是否为空集两类列式计算得解. 【解析】因集合， 若，有，解得，此时，于是得， 若，因或，则由得：，解得：， 综上得：， 所以实数的取值范围为. 故选：A 变式1-1．（多选）已知，且，，，则取值可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据元素与集合的关系求解，从选项中代值检验。 【解析】选项A：当时，，，故，A错误； 选项B：当时，，，故，B正确； 选项C：当时，，，故，C正确； 选项D：当时，，，故，D正确. 故答案为：BCD. 变式1-2．已知集合. 若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由题意可得：，分和两种情况，结合包含关系分析求解. 【解析】因为则 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述：实数a取值范围为. 故选：C. 变式1-3．设全集，集合，非空集合. （1）若A是B的真子集，求实数a的取值范围； （2）若B是A的子集，求实数a取值范围. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据，即可解出；（2）根据B是A的子集，即可解出. 【解析】（1）因为A是B的真子集， 则，等号不能同时取到， 所以； （2）因为B是A的子集， 因为，则，又， 所以. 变式1-4．已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）确定，并求出集合，写出的真子集即得； （2）分类讨论，时满足题意，时，由集合中的元素属于集合，分别代入求出参数，得集合检验即可． 【解析】（1）当时，方程的根的判别式，所以. 又，故. 由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为. （2）当时，是的一个子集，此时对于方程， 有，所以. 当时，因为，所以当时， ，即，此时， 因为，所以不是的子集； 同理当时，，，也不是的子集； 当时，，，也不是的子集. 综上，满足条件的的取值范围是. 类型二、集合个数 1.常见求参类型 ①给出集合中元素的定义； ②给出集合运算的定义 【技巧方法】 （1）如果集合A中含有n个元素，则有 ①A的子集的个数有个． ②A的非空子集的个数有个． ③A的真子集的个数有个 ④A的非空真子集的个数有个 （2）对集合中元素的定义以及集合运算的定义首先弄清定义的内容，再进一步分析解决。 例2．定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合，是自恋数，则的真子集个数为（ ） A. 7 B. 15 C. 31 D. 63 【答案】A 【分析】根据自恋数的定义逐个的进行判断可得集合B，进而即得. 【解析】，所以8是自恋数； ，所以23不是自恋数； ，所以81不是自恋数； ，所以153是自恋数； ，所以254不是自恋数； ，所以370是自恋数. 所以集合. 所以真子集个数：个. 故选：A 变式2-1．已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（ ） A. ， B. ， C. D. 【答案】AC 【分析】由开点的定义和元素和集合的关系可求得结果． 【解析】对于，对任意的，存在，使得，故正确； 对于，假设集合，以0为“开点“，则对任意的，存在，， 使得，当时，该式不成立，故错误； 对于，假设集合以0为“开点“，则对任意的，存在， 使得，故正确； 对于，集合，，，当时，， 时，使得不成立，故错误． 故选：AC． 变式2-2．定义，设集合，集合，则集合的子集的个数是（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】根据题中定义，运用列举法、集合子集个数公式进行求解即可. 【解析】因为， 所以集合的子集的个数是， 故选：C 变式2-3．定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（ ） A．82 B．74 C．12 D．70 【答案】A 【分析】分别列举子集，根据“和睦数”的定义，即可求解每种情况的“和睦数”，相加即可求解. 【解析】，非空子集有个. 当子集为单元素集，，，时，“和睦数”分别为1，2，3，6，和为12； 当子集为双元素集，，，，，时， “和睦数”分别为3，4，7，5，8，9，和为36； 当子集为三元素集，，，时， “和睦数”分别为4，7，8，7，和为26； 当子集为四元素集时，“和睦数”为. 故“和睦数”的总和为. 故选：A 变式2-4．设集合是整数集的一个非空子集，对于任意的，如果且，则称为集合的一个“孤立元”，给定集合，，由中的3个元素组成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共有　　个． 【答案】7 【分析】根据集合的新定义，可得集合不含“孤立元”，则集合中的三个数必须连在一起，利用列举法，即可求解． 【解析】由集合的新定义知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，集合不含“孤立元”， 则集合中的三个数必须连在一起， 所以符合题意的集合是，2，，，3，，，4，，，5，，，6，，，7，，，8，，共7个． 故答案为：7． 类型三、集合交并补混合运算 1.常见集合交并补混合运算类型 ①与性质结合； ②与空集结合。 【技巧方法】 集合交并补混合运算的常用方法 ①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解； ②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况 例3．已知全集，若，则实数的值为（　　） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【答案】D 【分析】求出A中方程的解确定A，再由A的补集与B的交集为空集，确定A与B的包含关系进行分类讨论，即可确定m的值. 【解析】因为方程的判别式， 所以， 根据题意得到集合，， 即，， 因为，所以， 所以或， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以或. 故选：D 变式3-1．（多选）已知集合，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】求出集合中元素范围，再根据交集，并集，补集的定义逐一计算判断. 【解析】,, 则，，则AC正确， 又，， 则，则BD错误 故选：AC 变式3-2．已知集合，，且，则实数的所有值构成的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，由得到，分与，求出实数a的值，得到答案, 【解析】， 因为，所以， 当时，，满足要求， 当时，只有一个根， 若，则，解得：， 若，则，解得：， 若，则，解得：， 实数的所有值构成的集合是. 故选：D 变式3-3．已知集合． （1）若，且，求的取值范围． （2）若集合满足条件_________（三个条件中任选一个作答），求实数的取值范围. （条件①；②是的充分条件；③，使得） （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）解不等式，得到，,并求出, （2）若选①，则可知，据此列出不等式求解；；若选②，则可知，同①求解即可；若选③，则可知，同①求解即可. （3）根据，得到在中有解，令，根据对称轴，分三种情况，得到不等式，求出实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， ， 设, 则, 所以，解得, 所以， . （2）选择①. 或， ， 当时满足，此时，解得， 当时，或， 不等式的解集为 因为， 所以，解得， 综上所述. 选择选②是的充分条件. 因为是的充分条件，所以，解法同①； 选择③，使得 因为，使得，所以，解法同①； （3）， 在中有解， 对称轴为， ①当，即时， ，显然不成立,不满足条件； ②当，即时， 或， ； ③当，即时，， . 综上，实数a的取值范围是. 类型四、集合新定义综合问题 新定义有关的综合问题的求解策略： ①通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 例4．对了给定的非空集合A，定义集合，，当时，则称A只有孪生性质. （1）判断集合是否具有孪生性质，请说明理由； （2）设集合且，若C具有孪生性质，求n的最小值； （3）设集合，若，求证：. 【答案】（1）不具有孪生性质，具有孪生性质； （2）675 （3）证明见解析． 【分析】（1）根据新定义直接验证； （2）求出和，由它们的交集为空集可得； （3）求出中的可能元素，根据分析元素的性质可得． 【解析】（1）由题意，，，， ,, 所以不具有孪生性质，具有孪生性质； （2）由题意，， ，则，， 又，所以的最小值是675； （3）， 则都属于集合， 又，则， 又，所以，所以， 变式4-1．（多选）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（ ） A. ，是一个戴德金分割 B. M没有最大元素，N有一个最小元素 C. M有一个最大元素，N有一个最小元素 D. M没有最大元素，N也没有最小元素 【答案】BD 【分析】根据戴德金分割的定义，结合选项，分别举例，判断正误. 【解析】对于A，因为，，所以，故A错误； 对于B，设，，满足戴德金分割， 此时没有最大元素，有一个最小元素为0，故B正确； 对于C，若有一个最大元素，有一个最小元素， 则不能同时满足，，故C错误； 对于D，设，，满足戴德金分割， 此时没有最大元素，也没有最小元素，故D正确． 故选：BD. 变式4-2．已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”． （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 【答案】（1）是，理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【分析】（1）根据“完美集”的定义，进行判断即可； （2）根据“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设中，得到，分，，进行分类讨论， 【解析】（1）由，，则集合是“完美集”， （2）若是两个不同的正数，且是“完美集”， 设， 根据根和系数的关系知，和相当于的两根， 由，解得或（舍去）， 所以，又均为正数， 所以至少有一个大于2. （3）不妨设中， 由，得， 当时，即有，又为正整数，所以， 于是，则无解，即不存在满足条件的“完美集”； 当时，，故只能，，求得， 于是“完美集”只有一个，为． 当时，由，即有， 而， 又，因此，故矛盾， 所以当时不存在完美集， 综上知，“完美集”为. 变式4-3．已知集合A为非空数集，定义：， （1）若集合，直接写出集合S，T； （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，，记为集合A中元素的个数，求的最大值． 【答案】（1），. （2）证明见解析 （3）证明见解析 【分析】（1）根据题目定义，直接计算集合； （2）根据两集合相等即可找到的关系； （3）通过假设集合，其中，求出相应的，通过建立不等关系，进而求出相应的值． 【解析】（1）由题设中的定义可得：，. （2）取，则，而， 且，故，又， 而均为中元素且非零，故即， 故. （3）设，其中， 不妨设， 则， 所以， 因为， 又因为，所以， 中最小的元素为0，最大的元素为，， 所以， 实际上当时满足题意， 证明如下： 设， 则，， 依题意有，解得， 故的最小值为，于是当时，中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合中元素的个数的最大值为. 1.已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合A的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 20 【答案】B 【分析】由题意得若则且，若则且，若则，若则，而元素5没有限制，进而即可求出集合A的可能结果. 【解析】由题得，， 由题意可知若则且，若则且， 若则，若则，而元素5没有限制可或. 综上，集合A可为：，，，，，，，. 所以集合A的个数共8个. 故选：B. 2.已知集合中有8个子集，则的一个值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【分析】由题意可知，集合中有三个元素，则有三个因数，即可求出的值. 【解析】集合中有8个子集， 由知，集合中有三个元素，则有三个因数， 因为，， 除1和它本身外，还有1个，所以的值可以为4，9. 故答案为：4或9（写出一个即可） 3.已知全集，若，则实数的值为（　　） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【答案】D 【分析】先求出集合A的补集，再利用，即可得答案； 【解析】因为方程的判别式，所以， 根据题意得到集合，， 即，， 因为，所以， 所以或， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以或. 故选：D. 4.已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”，则下列说法中不正确的是（ ） A. 不是“可分集合” B. 是“可分集合” C. 四个元素的集合可能是“可分集合” D. 五个元素的集合不是“可分集合” 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用“可分集合”的定义逐项分析判断即得. 【解析】对于A，去掉后，不满足定义，不是“可分集合”，A正确； 对于B，集合所有元素之和为， 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意， 因此集合是“可分集合”，B正确； 对于C，不妨设，去掉，则，去掉，则， 于是，与矛盾，因此一定不是“可分集合”，C错误； 对于D，不妨设， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有①，或者②， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有③，或者④， 由①③或②④得，矛盾；由①④或②③得，矛盾， 因此集合不是“可分集合”，D正确． 故选：ABD 5.（多选）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据和分类讨论，求出m的取值范围，再判断选项即可. 【解析】①当时，令，得，此时符合题意； ②当时，，得， 则或， 因为，所以，所以或， 解得或， 因为，所以. 综上，m的取值范围为或， 故选：BC 6.（多选）已知集合中有个元素，，，且当时，，则可能为（　　） A． B． C． D．或或 【答案】AB 【分析】根据元素与集合的关系依次判断的情况是否满足题意即可. 【解析】对于A，当时，，满足题意，A正确； 对于B，当时，，满足题意，B正确； 对于C，当时，，不合题意，C错误； 对于D，由ABC知：或，D错误. 故选：AB. 7.（多选）设是一个非空集合，是的子集构成的集合，如果同时满足：①，②若，则且，那么称是的一个环.则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 是的环 B. 若，则存在的一个环，含有8个元素 C. 若，则存在的一个环，含有4个元素且 D. 若，则存在的一个环，含有7个元素且 【答案】ABC 【分析】利用题设中信息，集合集合的交集、并集的运算，以及集合间的关系，逐项判定，即可求解. 【解析】由题意知：①，②若，则且， 对于A中，全集且， 满足且当时，可得且，所以A正确； 对于B中，由的所有子集共8个， 若是的子集构成的集合，所以集合有8个元素，所以B正确； 对于C中，若，可得， 所以是个环，其中中含有4个元素，所以C正确； 对于D中，若， 可得，， ， ，，且， 所以集合中至少有8个元素，所以D错误. 故选：ABC. 8.（多选）如果我们把集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为.用表示有限集A的元素个数.则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 存在集合A，使得 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【分析】选项A，列出集合的子集，然后得到集合，然后利用元素与集合关系判断即可； 选项B，利用集合元素的个数和子集个数的关系得到的元素个数判断即可； 选项C，利用集合的运算得出集合与集合无相同元素，然后再判断的交集即可； 选项D，利用集合元素个数和集合子集个数的关系判断即可. 【解析】若， 所以 故，选项A正确； 若一个集合有个元素，则其子集个数为个，即，显然当时，无解，故选项B错误； 若已知，则集合与集合无相同元素，故集合与集合只有唯一相同子集，所以，故选项C正确； 若，假设集合有个元素，则集合有个元素，所以集合与集合的子集个数分别为个， 即 故，所以选项D正确. 故选：ACD 9.已知集合，，且，，则________. 【答案】 【分析】由得，代入中的方程得到的值，解得集合,结合，可得集合,进而利用一元二次方程根与系数的关系得到的值，然后得到答案. 【解析】因为，所以，将代入，得， 此时方程即为，有两不等实根 所以， 因为所以， 所以 所以. 故答案为：. 10.定义且,若集合,,的子集的个数是 ______. 【答案】 【分析】根据题中定义，运用列举法、集合子集个数公式进行求解即可. 【解析】解:由题知且, 且,, 所以. 子集的个数是23＝8个， 故答案为：8. 11.已知集合，若，则 ；若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】，进而得出求出m的取值范围即可. 【解析】， 所以， 若，则， ， 若，， 则，故的取值范围为. 故答案为：；. 12.已知集合，，，若，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分类讨论，分别列不等式求得的取值范围,最后根据补集思想即得. 【解析】， 由，可分为和两种情况讨论： 当时，得 当时，或，解得：或 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为： 13.已知集合． （1）判断8，9，10是否属于集合A： （2）已知集合，证明：“”的充分非必要条件是“”； （3）写出所有满足集合A的偶数． 【答案】（1），， （2）证明见详解 （3） 【分析】根据集合中元素的特征一一判断即可； （2）由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立； （3）讨论和同为奇数和偶数及和一奇一偶时，满足集合的偶数即可得出答案. 【解析】（1），， ，， 假设，，， 则，即， 且，，， 或，显然均无整数解， . 综上，，，. （2），， ，即所有奇数都属于集合，则，必有， 又，而，即，推不出， 所以的充分非必要条件是. （3）由，，， 当和同为奇数和偶数时，均为偶数， 所以为4的倍数； 当和一奇一偶时，均为奇数， 所以为奇数. 综上，所有满足集合的偶数为. 14.已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． （1）直接写出中所有元素之积的所有可能值； （2）若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； （3）若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 【答案】（1）或 （2） （3） 【分析】（1）根据集合中元素构成可得集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，从而可得结论； （2）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，从而可得结论； （3）由（1）（2）可得集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环，从而根据得元素个数，可确定的元素个数的最小值． 【解析】（1）已知非空实数集满足：任意，均有，且在实数范围内无解，所以，所以，又 则集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，组和组不相交，且， 又，则S中所有元素之积的所有可能值为或； （2）已知非空实数集满足：任意，均有，且 所以，且，又 则集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交，且， 若由四个元素组成，则，且所有元素之和为3 所以，整理得 解得或 当或或或时， 综上，； （3）由（1）（2）集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环， 且当时，同一周期内其余元素不相等， 因而和互素，所以和中的各组最多只能有一个公共元素， 因为有五个元素，若要使的元素个数最小，要使相同的元素尽量在同一个周期内， 若，此时从中选出5个元素属于，此时T包含20个元素，中包含， 若，此时从中选出5个元素属于，此时S包含15个元素，中包含， 所以的元素个数最小值为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合的四类重难点题型 目录 典例详解 类型一、集合中求参问题 类型二、集合个数 类型三、集合交并补混合运算 类型四、集合新定义综合问题 压轴专练 类型一、集合中求参问题 1.常见求参类型 ①利用元素与集合的关系； ②利用集合中元素的互异性； ③利用集合中元素的个数； ④利用(真)子集的个数； ⑤利用集合间的关系； 【技巧方法】 ①根利用集合元素的限制条件求参数值时，要注意检验集合是否满足元素的互异性． ②利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围： 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围． 常采用数形结合的思想，借助数轴解答． ③利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围． 例1．（1）设集合，，已知且，则的取值集合为________. （2）设集合，或，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式1-1．（多选）已知，且，，，则取值可能为（ ） A． B． C． D． 变式1-2．已知集合. 若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式1-3．设全集，集合，非空集合. （1）若A是B的真子集，求实数a的取值范围； （2）若B是A的子集，求实数a取值范围. 变式1-4．已知集合. (1) 若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 类型二、集合个数 1.常见求参类型 ①给出集合中元素的定义； ②给出集合运算的定义 【技巧方法】 （1）如果集合A中含有n个元素，则有 ①A的子集的个数有个． ②A的非空子集的个数有个． ③A的真子集的个数有个 ④A的非空真子集的个数有个 （2）对集合中元素的定义以及集合运算的定义首先弄清定义的内容，再进一步分析解决。 例2．定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合，是自恋数，则的真子集个数为（ ） A. 7 B. 15 C. 31 D. 63 变式2-1．已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（ ） A. ， B. ， C. D. 变式2-2．定义，设集合，集合，则集合的子集的个数是（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 变式2-3．定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（ ） A．82 B．74 C．12 D．70 变式2-4．设集合是整数集的一个非空子集，对于任意的，如果且，则称为集合的一个“孤立元”，给定集合，，由中的3个元素组成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共有　　个． 类型三、集合交并补混合运算 1.常见集合交并补混合运算类型 ①与性质结合； ②与空集结合。 【技巧方法】 集合交并补混合运算的常用方法 ①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解； ②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况 例3．已知全集，若，则实数的值为（　　） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 变式3-1．（多选）已知集合，，，则（　　） A． B． C． D． 变式3-2．已知集合，，且，则实数的所有值构成的集合是（　　） A． B． C． D． 变式3-3．已知集合． （1）若，且，求的取值范围． （2）若集合满足条件_________（三个条件中任选一个作答），求实数的取值范围. （条件①；②是的充分条件；③，使得） （3） 若，求实数的取值范围． 类型四、集合新定义综合问题 新定义有关的综合问题的求解策略： ①通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 例4．对了给定的非空集合A，定义集合，，当时，则称A只有孪生性质. （1）判断集合是否具有孪生性质，请说明理由； （2）设集合且，若C具有孪生性质，求n的最小值； （3）设集合，若，求证：. 变式4-1．（多选）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（ ） A. ，是一个戴德金分割 B. M没有最大元素，N有一个最小元素 C. M有一个最大元素，N有一个最小元素 D. M没有最大元素，N也没有最小元素 变式4-2．已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”． （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 变式4-3．已知集合A为非空数集，定义：， （1）若集合，直接写出集合S，T； （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，，记为集合A中元素的个数，求的最大值． 1.已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合A的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 20 2.已知集合中有8个子集，则的一个值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3.已知全集，若，则实数的值为（　　） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 4.已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”，则下列说法中不正确的是（ ） A. 不是“可分集合” B. 是“可分集合” C. 四个元素的集合可能是“可分集合” D. 五个元素的集合不是“可分集合” 5.（多选）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（　　） A． B． C． D． 6.（多选）已知集合中有个元素，，，且当时，，则可能为（　　） A． B． C． D．或或 7.（多选）设是一个非空集合，是的子集构成的集合，如果同时满足：①，②若，则且，那么称是的一个环.则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 是的环 B. 若，则存在的一个环，含有8个元素 C. 若，则存在的一个环，含有4个元素且 D. 若，则存在的一个环，含有7个元素且 8.（多选）如果我们把集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为.用表示有限集A的元素个数.则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 存在集合A，使得 C. 若，则 D. 若，则 9.已知集合，，且，，则________. 10.定义且,若集合,,的子集的个数是 ______. 11.已知集合，若，则 ；若，则的取值范围为 . 12.已知集合，，，若，则实数m的取值范围是 ． 13.已知集合． （1）判断8，9，10是否属于集合A： （2）已知集合，证明：“”的充分非必要条件是“”； （3）写出所有满足集合A的偶数． 14.已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． （1）直接写出中所有元素之积的所有可能值； （2）若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； （3）若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$