1.3弧度制讲义-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第二册

授课主题 1.3弧度制 知 识 梳 理 1.定义 角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制 1度的角 周角的为1度的角，记作1° 弧度制 定义 以弧度为单位来度量角的单位制 1弧度的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 rad 2.弧度数 (1)正角：正角的弧度数是一个正数. (2)负角：负角的弧度数是一个负数. (3)零角：零角的弧度数是0. (4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝. 3.角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2πrad 2π rad＝360° 180°＝πrad π rad＝180° 1°＝rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 4.扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 度量单位类别 α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l＝ l＝α·R 扇形的面积 S＝ S＝l·R＝α·R2 例题讲解 考点一 角度与弧度的互化及应用 例1、将下表中的角度和弧度互化： 角度 0° 30° 45° 120° 135° 150° 360° 弧度 例2、用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合，如图所示（不包括边界）。 例3、（1）填空：①18°=______rad；②67°30′=______rad；③=______°；④2 rad=______°。 （2）已知两角和为1弧度，且两角差为1°，则这两个角的弧度数分别是________。 考点二 弧长公式与面积公式 例1、(多选)已知某扇形的周长为44，圆心角为2，则(    ) A．该扇形的半径为11 B．该扇形的半径为22 C．该扇形的面积为100 D．该扇形的面积为121 例2、已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为 (1)若，，求扇形的弧长 (2)若扇形的周长为，当为多少弧度时，该扇形面积最大并求出最大面积． 例3、已知弧长50cm的弧所对圆心角为200度，求这条弧所在的圆的半径（精确到1cm）。 例4、已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 例5、将一条绳索绕在半径为40 cm的轮圈上，绳索的下端B处悬挂着物体W，如果轮子按逆时针方向每分钟旋转6圈，现想将物体W的位置向上提升100 cm，需要多长时间才能完成这一工作？ 例6、如图，点是圆上的点. (1)若，，求劣弧的长； (2)已知扇形的周长为，求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小. 举一反三 1．把下列角度与弧度进行互化． (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4).(5) (6)(7)(8)(9)(10) 2.下列转化结果错误的是（ ） A．67°30′化成弧度是 B．化成度是―600° C．―150°化成弧度是 D．化成度是15° 3.分别使用角度制与弧度制表示下列角的集合： (1) 与终边相同的角 (2) 终边在y轴正半轴上的角的集合 (3) 终边在y轴负半轴上的角的集合 (4) 终边在y轴上的角的集合 4．已知扇形的半径为1，圆心角为，则这个扇形的弧长为(    ) A． B． C． D．60 5．已知扇形的周长为30． (1)若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角，弧长及面积; (2)求该扇形面积的最大值及此时扇形的半径 . 6.一个扇形的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数。 7.如图，扇形AOB的面积是4 cm2，它的周长是10 cm，求扇形的圆心角的弧度数及弦AB的长． 8．已知扇形的半径为，弧长为，圆心角为. (1)若扇形的面积为定值，求扇形周长的最小值及对应的圆心角的值； (2)若扇形的周长为定值，求扇形面积的最大值及对应的圆心角的值. 课 后 作 业 1．1920°转化为弧度数为（ ） A． B． C． D． 2．将分针拨快20分钟，则分针转过的弧度数为（ ） A． B． C． D． 3．半径为1 cm，中心角为150°的角所对的弧长为（ ） A．cm B．cm C．cm D．cm 4．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(    ) A．   B．   C．   D．   5.下列说法正确的是(    ) A．角60和角600是终边相同的角 B．第三象限角的集合为 C．终边在轴上角的集合为 D．第二象限角大于第一象限角 6.一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆(半径为1cm)的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁以的速度爬行，黑蚂蚁以的速度爬行，则2秒钟后，两只蚂蚁之间的直线距离为(    ) A．1 B． C． D． 7.《梦溪笔谈》是我国科技史上的杰作，其中收录了扇形弧长的近似计算公式：.如图，公式中“弦”是指扇形中所对弦的长，“矢”是指所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径.若扇形的面积为，扇形的半径为4，利用上面公式，求得该扇形的弧长的近似值为(    )    A． B． C． D． 8．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜欢在扇面上写字作画．如图是书画家唐寅(1470—1523)的《枯木寒鸦图》扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为(    )      A． B． C． D． 9．勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.如图，勒洛三角形ABC的周长为π，则该勒洛三角形ABC的面积为(    ) A． B． C． D． 10．数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形，再分别以点为圆心，线段长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形(如图所示).若莱洛三角形的周长为，则其面积是(    ) A． B． C． D． 11．水滴是刘慈欣的科幻小说《三体II·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力(SIM)材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴.如图所示，水滴是由线段和圆的优弧围成，其中恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为1，点到圆弧所在圆圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为(    ) A． B． C． D． 12.设，则下列结论错误的是(    ) A． B． C． D． 13．(多选)下列结论正确的是(    ) A．是第二象限角 B．第三象限角的集合为 C．终边在轴上的角的集合为 D．若角为锐角，则角为钝角 14．(多选)若角是第二象限角，则下列各角中是第三象限角的是(    ) A． B． C． D． 15.(多选)下列转化结果正确的是(    ) A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．化成角度是 16．若扇形的圆心角为，半径.则它的弧长为 . 17．已知是边长为2的等边三角形.如图，将的顶点与原点重合，在轴上，然后将三角形沿着轴正方向滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个点之间的距离称为“一个周期”，则完成“一个周期”时，顶点的路径长度为 . 18． 扇形的周长是16，圆心角是2 rad，则扇形的面积是________． 19．将下列各角写成的形式： （1）= ；（2）= ． 20.在直径为10 cm的轮子上有一长为6 cm的弦，P是该弦的中点，轮子以每秒5弧度的速度旋转，则经过5秒后点P转过弧长是________． 21．用弧度制表示下图中顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（包含边界）． 22．已知扇形OAB的中心角为4，其面积为2 cm2，求扇形的周长和弦AB的长． 23．已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r． (1)若，求扇形的弧长． (2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积． 24．某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值． 25．已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； (2)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积． 26.已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是R. (1)若，，求扇形的弧长l及面积S； (2)若扇形的周长是一定值C()，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？并求最大面积； (3)若扇形的面积是一定值S()，当为多少弧度时，该扇形有最小周长？并求最小周长. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 1.3弧度制 知 识 梳 理 1.定义 角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制 1度的角 周角的为1度的角，记作1° 弧度制 定义 以弧度为单位来度量角的单位制 1弧度的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 rad 2.弧度数 (1)正角：正角的弧度数是一个正数. (2)负角：负角的弧度数是一个负数. (3)零角：零角的弧度数是0. (4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝. 3.角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2πrad 2π rad＝360° 180°＝πrad π rad＝180° 1°＝rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 4.扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 度量单位类别 α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l＝ l＝α·R 扇形的面积 S＝ S＝l·R＝α·R2 例题讲解 考点一 角度与弧度的互化及应用 例1、将下表中的角度和弧度互化： 角度 0° 30° 45° 120° 135° 150° 360° 弧度 【解析】， 故： 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 例2、用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合，如图所示（不包括边界）。 【答案】（1）（2） 【解析】（1）如下图①，以OB为终边的角为330°，可看成是－30°，化为弧度，即， 而rad，∴所求集合为。 （2）如上图②，以OB为终边的角225°，可看成是－135°，化成弧度，即， 而rad，∴所求集合为。 【总结】在表示角的集合时，一定要使用统一的单位，只能用角度制或弧度制中的一种，不能混用。 例3、（1）填空：①18°=______rad；②67°30′=______rad；③=______°；④2 rad=______°。 （2）已知两角和为1弧度，且两角差为1°，则这两个角的弧度数分别是________。 【答案】 （1）；；－405；114.6（2）， 【解析】（1）①18°=rad×18=rad；②67°30′=67.5°=rad×67.5=rad； ③；④。 （2）设两个角的弧度数分别为x，y，因为， 所以有，解得。 即所求两角的弧度数分别为，。 【总结 】 （1）进行角度与弧度换算时，要抓住关系：πrad=180°； （2）度数×=弧度数，弧度数×=度数。 考点二 弧长公式与面积公式 例1、(多选)已知某扇形的周长为44，圆心角为2，则(    ) A．该扇形的半径为11 B．该扇形的半径为22 C．该扇形的面积为100 D．该扇形的面积为121 【答案】AD 【解析】设该扇形的半径为r，弧长为l，则， 即，解得． 故该扇形的面积． 故选：AD. 例2、已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为 (1)若，，求扇形的弧长 (2)若扇形的周长为，当为多少弧度时，该扇形面积最大并求出最大面积． 【答案】(1)(2)当时，扇形的面积最大，最大面积是． 【解析】(1)设扇形的弧长为．，即，. (2)由题设条件知，, 因此扇形的面积 当时，有最大值，此时, 当时，扇形的面积最大，最大面积是． 例3、已知弧长50cm的弧所对圆心角为200度，求这条弧所在的圆的半径（精确到1cm）。 【答案】15 【解析】，（cm） 【总结】弧度制下扇形的弧长公式、面积公式均得到简化，解决这类问题通常采用弧度制。 例4、已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】10 、2，100 【解析】设扇形的圆心角为，半径为r，弧长为，面积为S，则+2r=40，∴=40－2r， ∴． ∴当半径r=10 cm时，扇形的面积最大，最大面积为100 cm2，这时． 例5、将一条绳索绕在半径为40 cm的轮圈上，绳索的下端B处悬挂着物体W，如果轮子按逆时针方向每分钟旋转6圈，现想将物体W的位置向上提升100 cm，需要多长时间才能完成这一工作？ ． 【答案】4 【解析】 如图，当BB＇=100 cm时，的长是100 cm，所对的圆心角．∵轮子每分钟匀速旋转6圆，∴每秒匀速转过，即，于是t秒转过rad，∴，解得． 例6、如图，点是圆上的点. (1)若，，求劣弧的长； (2)已知扇形的周长为，求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小. 【答案】(1) (2) 【解析】(1)，，又，为等边三角形， ，则劣弧的长为. (2)设圆的半径为，扇形的弧长为，圆心角为， 扇形的周长为，， 方法一：扇形面积(当且仅当时取等号)， 当扇形面积取得最大值时，圆心角. 方法二：扇形面积， 则当时，取得最大值，此时， 当扇形面积取得最大值时，圆心角. 举一反三 1．把下列角度与弧度进行互化． (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4).(5) (6)(7)(8)(9)(10) 【答案】(1)(2)(3)(4)－40°.(5)弧度(6)π弧度(7)弧度(8)(9)(10) 【解析】(1)， (2)， (3)， (4) (5)弧度弧度， (6)弧度弧度， (7)弧度弧度． (8)弧度， (9)弧度， (10)弧度． 2.下列转化结果错误的是（ ） A．67°30′化成弧度是 B．化成度是―600° C．―150°化成弧度是 D．化成度是15° 【答案】C 3.分别使用角度制与弧度制表示下列角的集合： (1) 与终边相同的角 (2) 终边在y轴正半轴上的角的集合 (3) 终边在y轴负半轴上的角的集合 (4) 终边在y轴上的角的集合 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 4．已知扇形的半径为1，圆心角为，则这个扇形的弧长为(    ) A． B． C． D．60 【答案】B 【解析】易知，由扇形弧长公式可得. 故选：B 5．已知扇形的周长为30． (1)若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角，弧长及面积; (2)求该扇形面积的最大值及此时扇形的半径 . 【答案】(1)，，； (2)，. 【解析】(1)由题知扇形的半径，扇形的周长为30， ∴， ∴，，. (2)设扇形的圆心角，弧长，半径为，则， ∴， ∴ 当且仅当，即取等号， 所以该扇形面积的最大值为，此时扇形的半径为. 6.一个扇形的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数。 【答案】2 rad。 【解析】 由已知得。所以（rad）。 7.如图，扇形AOB的面积是4 cm2，它的周长是10 cm，求扇形的圆心角的弧度数及弦AB的长． 【答案】， 【解析】 设长为cm，扇形半径为R cm，则由题意， 得，解得 或 （不合题意，舍去）． ∴（rad）． ∴弦（cm）． 8．已知扇形的半径为，弧长为，圆心角为. (1)若扇形的面积为定值，求扇形周长的最小值及对应的圆心角的值； (2)若扇形的周长为定值，求扇形面积的最大值及对应的圆心角的值. 【答案】(1)时的最小值为； (2)时的最大值为 【解析】(1)由题设，，又且， ∴，当且仅当时等号成立， ∴时的最小值为. (2)由(1)知：，， 当且仅当时，的最大值为. 课 后 作 业 1．1920°转化为弧度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】1920°=5×360°+120°，弧度数为5×2π+ 2．将分针拨快20分钟，则分针转过的弧度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】把分针拨快，即分针顺时针旋转，所以这个角度是负角，又，故选A． 3．半径为1 cm，中心角为150°的角所对的弧长为（ ） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】D 【解析】150°=，（cm）． 4．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(    ) A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解析】当时，，此时表示的范围与表示的范围一样； 当时，，此时表示的范围与表示的范围一样，故选：C． 5.下列说法正确的是(    ) A．角60和角600是终边相同的角 B．第三象限角的集合为 C．终边在轴上角的集合为 D．第二象限角大于第一象限角 【答案】C 【解析】，与终边不相，故A错误； 第三象限角的集合为，故B错误； 终边在轴上角的集合为， 即， 即，故C正确； 是第二象限角，第一象限角，， 故D错误； 故选：C. 6.一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆(半径为1cm)的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁以的速度爬行，黑蚂蚁以的速度爬行，则2秒钟后，两只蚂蚁之间的直线距离为(    ) A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】   如图所示，红蚂蚁以的速度爬行，黑蚂蚁以的速度爬行， 则2秒钟后，红蚂蚁绕圆的角度为，到达B处，黑蚂蚁绕圆的角度为，到达C处， 此时，即为正三角形，故. 故选：A 7.《梦溪笔谈》是我国科技史上的杰作，其中收录了扇形弧长的近似计算公式：.如图，公式中“弦”是指扇形中所对弦的长，“矢”是指所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径.若扇形的面积为，扇形的半径为4，利用上面公式，求得该扇形的弧长的近似值为(    )    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设该扇形的圆心角为，由扇形面积公式得，所以， 取的中点，连接，交于点， 则，则， ，， 所以扇形的弧长的近似值为. 故选：D    8．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜欢在扇面上写字作画．如图是书画家唐寅(1470—1523)的《枯木寒鸦图》扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为(    )      A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，设，，    由弧长公式可得：，解得：， 扇形的面积， 扇形的面积 所以扇面的面积． 故选：D． 9．勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.如图，勒洛三角形ABC的周长为π，则该勒洛三角形ABC的面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为勒洛三角形ABC的周长为π， 所以每段圆弧长为，解得， 即正三角形的边长为1， 由题意可得， 故选：C 10．数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形，再分别以点为圆心，线段长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形(如图所示).若莱洛三角形的周长为，则其面积是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】莱洛三角形的周长为，可得弧长， 则等边三角形的边长， 分别以点A、B、C为圆心，圆弧所对的扇形面积均为， 等边的面积， 所以莱洛三角形的面积是. 故选：C. 11．水滴是刘慈欣的科幻小说《三体II·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力(SIM)材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴.如图所示，水滴是由线段和圆的优弧围成，其中恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为1，点到圆弧所在圆圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图， 设圆弧所在圆的圆心为，连接，依题意得， 且，则， 所以， 所以该封闭图形的面积为. 故选：A. 12.设，则下列结论错误的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为表示终边落在轴上角的集合， 表示终边落在轴正半轴上角的集合， 表示终边落在轴负半轴上角的集合， 所以，，正确；，故错误. 故选：D 13．(多选)下列结论正确的是(    ) A．是第二象限角 B．第三象限角的集合为 C．终边在轴上的角的集合为 D．若角为锐角，则角为钝角 【答案】AC 【解析】对于选项A：因为，且为第二象限角， 所以是第二象限角，故A正确； 对于选项B：第三象限角的集合为，故B错误； 对于选项C：终边在轴上的角的集合为，故C正确； 对于选项D：若角为锐角，即，则，所以角不一定为钝角， 例如，则为直角，故D错误； 故选：AC. 14．(多选)若角是第二象限角，则下列各角中是第三象限角的是(    ) A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为角是第二象限角，所以，， 对于A ，，，故是第三象限角，故A正确； 对于B，，，故是第一象限角，故B不正确； 对于C ，，，故是第三象限角，故C正确； 对于D，,,故是第三象限角或轴负半轴上的角或第四象限角，故D不正确. 故选：AC 15.(多选)下列转化结果正确的是(    ) A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．化成角度是 【答案】ABD 【解析】对于A, 化成弧度是,故A正确， 对于B，，故B正确， 对于C，，故C错误， 对于D，，故D正确， 故选：ABD 16．若扇形的圆心角为，半径.则它的弧长为 . 【答案】 【解析】因为，又扇形的圆心角为，半径为， 所以它的弧长为， 故答案为： 17．已知是边长为2的等边三角形.如图，将的顶点与原点重合，在轴上，然后将三角形沿着轴正方向滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个点之间的距离称为“一个周期”，则完成“一个周期”时，顶点的路径长度为 . 【答案】/ 【解析】如图， 顶点先以2为半径绕点顺时针旋转弧度，再以2为半径绕点顺时针旋转弧度，其路径长度为. 故答案为： 18． 扇形的周长是16，圆心角是2 rad，则扇形的面积是________． 【答案】16 【解析】由题意得r+r+2r=16，即4r=16，r=4，扇形的弧长为=2r=2×4=8，扇形的面积是． 19．将下列各角写成的形式： （1）= ；（2）= ． 【答案】（1）（2） 20.在直径为10 cm的轮子上有一长为6 cm的弦，P是该弦的中点，轮子以每秒5弧度的速度旋转，则经过5秒后点P转过弧长是________． 【答案】100 cm 【解析】 如图，CD=6 cm，OD=5 cm，易知OP=4 cm；A、P两点角速度相同，故5秒后P点转过的角度为25弧度，从而P转过的弧长为25×4=100（cm）． 21．用弧度制表示下图中顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（包含边界）． 【解析】【解析】以OB为终边的330°角与―30°角的终边相同，―30°=，而，∴符合条件的角的集合为 22．已知扇形OAB的中心角为4，其面积为2 cm2，求扇形的周长和弦AB的长． 【解析】设的长为，半径OA=r． 则，所以． ① 设扇形的中心角的弧度数为， 则，所以=4r．　　② 由①②解得r=1，=4． 所以扇形的周长为+2r=6（cm）． 如右图所示，作OH⊥AB于H，则（cm）． 23．已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r． (1)若，求扇形的弧长． (2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积． 【答案】(1) (2) 【解析】(1)设扇形的弧长为l． 因为，即， 所以． (2)由题设条件，知，则， 所以扇形的面积． 当时，S有最大值36， 此时， 所以当时，扇形的面积最大，最大面积是36． 24．某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值． 【答案】(1)； (2)当时，y的值最大，最大值为． 【解析】(1)根据题意，弧的长度为米，弧的长度米， ， ． (2)依据题意，可知， 化简得：，， 当，． ∴当时，y的值最大，且最大值为． 25．已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； (2)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积． 【答案】(1) (2)取得最大值25，此时 【解析】(1)由题意得，解得(舍去)，． 所以扇形圆心角． (2)由已知得，． 所以， 所以当时，取得最大值25， ,解得. 当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大为25. 26.已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是R. (1)若，，求扇形的弧长l及面积S； (2)若扇形的周长是一定值C()，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？并求最大面积； (3)若扇形的面积是一定值S()，当为多少弧度时，该扇形有最小周长？并求最小周长. 【答案】13.(1)，；(2)当弧度时，扇形面积最大，为；(3)当弧度时，扇形周长最小，为. 【解析】(1)若，，则，所以扇形的弧长，扇形的面积； (2)扇形周长， ， ． 当且仅当，即时，扇形面积有最大值． (3)扇形的面积，所以 所以当且仅当即时周长取得最小值 学科网（北京）股份有限公司 $$