第二十二章 相似形 章节（13知识点回顾+29题型练习） 核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学（沪科版）

第二十二章 相似形 章节（13知识点回顾+29题型练习） 题型汇聚 题型一 成比例线段 题型二 比例的性质 题型三 比例线段 题型四 由平行判断成比例的线段 题型五 由平行截线求相关线段的长或比值 题型六 黄金分割 题型七 相似多边形的性质 题型八 利用两角对应相等判定相似 题型九 利用三边对应成比例判定相似 题型十 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型十一 相似三角形的判定综合 题型十二 选择或补充条件使两个三角形相似 题型十三 利用相似三角形的性质求解 题型十四 证明三角形的对应线段成比例 题型十五 利用相似求坐标 题型十六 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型十七 相似三角形——动点问题 题型十八 相似三角形的判定与性质综合 题型十九 相似三角形的综合问题 题型二十 重心的有关性质 题型二十一 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 题型二十二 求两个位似图形的相似比 题型二十三 位似图形相关概念辨析 题型二十四 位似图形的识别 题型二十五 求位似图形的对应坐标 题型二十六 在坐标系中求两个位似图形的相似比、 周长比或面积比 题型二十七 在坐标系中画位似图形 题型二十八 在坐标系中画位似中心 题型二十九 相似三角形实际应用 知识清单 知识点1．比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 知识点2．比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 知识点3．黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 知识点4．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 知识点5．相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 知识点6．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似 知识点7．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 知识点8．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 知识点9．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 知识点10．作图-相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示： （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 知识点11．射影定理 （1）射影定理： ①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项． ②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． （2）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2＝BD•DC； ②AB2＝BD•BC；AC2＝CD•BC． 知识点12．位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 知识点13．作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 题型练习 题型一 成比例线段 1．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知线段、满足，且． (1)求线段、的长； (2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长． 题型二 比例的性质 3．（24-25九年级上·安徽六安·期中）若，则的值等于 ． 题型三 比例线段 4．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）若线段，，则（   ） A． B．4 C． D． 题型四 由平行判断成比例的线段 5．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合思想的典型体现．如图，将弦图放置在以为原点的平面直角坐标系中，，分别是，轴正半轴上的动点，正方形中有如图四个全等的、、、，若是中点，连接并延长交于点，连接并延长交于，点是反比例函数（）图象上一点．    （1）若，则点的坐标为 ． （2）若点的坐标为，则 ． 题型五 由平行截线求相关线段的长或比值 6．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 题型六 黄金分割 7．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）美是一种感觉，当人体下半身长与身高比值越接近0.618时，越给人一种美感，如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.6，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（） A． B． C． D． 题型七 相似多边形的性质 8．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，，，，，则边的长是（   ） A． B． C． D． 题型八 利用两角对应相等判定相似 9．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，点P在边上，过P画直线截使截得的三角形与相似，这样的直线最多可画（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 题型九 利用三边对应成比例判定相似 10． 如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 题型十 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 11．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，反比例函数的图象经过斜边的中点P，与交于点Q，连接，点A的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)证明：． 题型十一 相似三角形的判定综合 12．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，，，，则图中相似三角形有（   ） A．5对 B．6对 C．对 D．对 13．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，在的正方形方格中，的顶点都在边长为的小正方形的顶点上 (1)_____； (2)在网格纸中作一个与相似的； (3)只使用直尺，在线段上找一个点，使（保留作图痕迹） 题型十二 选择或补充条件使两个三角形相似 14．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）如图，点D在的边上，添加下列条件后不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 15．（22-23九年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，要使和相似，已具备条件 ，还需补充的条件是 ，或 ，或 ．    题型十三 利用相似三角形的性质求解 16．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，，为上一点，且，在上取一点，若以、、为顶点的三角形与相似，则的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 17．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，是直角三角形斜边上的中线，交的延长线于点E． (1)证明： (2)若，求 题型十四 证明三角形的对应线段成比例 18．（安徽合肥·二模）如图，在矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH上一点，且∠BGC=90°，延长BG交CD于点E，延长CG交AD于点F，当CD=4，DE=1时，则DF的长为（    ） A．2 B． C． D． 题型十五 利用相似求坐标 19．（九年级上·安徽安庆·期末）在直角坐标系中，已知点A（-2，0），B（0，4），C（0，3），过点C作直线交x轴于点D，使得以D，O，C为顶点的三角形与△AOB相似，点D的坐标为 ． 题型十六 在网格中画与已知三角形相似的三角形 20．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点A，B，C都在格点（网格线的交点）上． (1)将向左平移6个单位长度，得到，画出． (2)画出与相似的，使它与的相似比为． 题型十七 相似三角形——动点问题 21．（九年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从A、同时出发，那么经几秒后，点、、构成的三角形与相似    22．（22-23九年级上·安徽·期末）在矩形中，，，点从点出发，沿折线以每秒1个单位的速度运动，过点作，交于点，交于点，设点的运动时间为． (1)如图1，当点在上时，若，求四边形的面积． (2)如图2，当点在上，且时，求点到的距离． 题型十八 相似三角形的判定与性质综合 23．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，E是平行四边形的边延长线上一点，连接，交于点F，连接，则（   ） A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，中，点D在边上，满足，若，求的长． 题型十九 相似三角形的综合问题 25．（九年级上·安徽合肥·期末）如图，正方形ABCD中，点F在边AB上，且AF：FB＝1：2，AC与DF交于点N． （1）当AB＝4时，AN＝ ． （2）S△ANF：S四边形CNFB＝ ．（S表示面积） 26．（九年级上·安徽安庆·期中）如图在锐角中，，高，两动点、分别在、上滑动（不包含端点），且，以为边长向下作正方形，设，正方形与公共部分的面积为． （1）如图（1），当正方形的边恰好落在边上时，求的值． （2）如图（2），当落外部时，求出与的函数关系式（写出的取值范围）并求出为何值时最大，最大是多少？    题型二十 重心的有关性质 27．（2024·安徽芜湖·一模）如图所示，中，，，，，为中点，若点为直线下方一点，在异侧，且与相似，则下列结论： ①若，与相交于，则点必为的重心； ②若，则的最大值为； ③若，，则的长为； ④若，则当时，取得最大值． 其中正确的为(　　) A．①④ B．②③ C．②④ D．①③④ 题型二十一 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 28．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，由若干个小正方形组成的网格中，已知格点线段和格点（格点为网格线的交点）． (1)以点为位似中心，在点O同侧画出线段的位似线段，使线段与线段的位似比为； (2)以点，为顶点画一个格点平行四边形． 题型二十二 求两个位似图形的相似比 29．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是9，则四边形面积是（    ） A．25 B．20 C．9 D．4 30．（23-24九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知O是坐标原点，点A，B的坐标分别为，． (1)在y轴的左侧以O为位似中心将放大为原来的2倍得到，请在网格中画出； (2)在（1）的条件下，与的周长比为________，面积比为________． 题型二十三 位似图形相关概念辨析 31．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，的顶点，，均在格点上，为平面直角坐标系的原点，点在轴上．以为位似中心，将放大，使得放大后的与的相似比为，要求所画与在原点两侧． (1)画的图形； (2)分别写出点、的坐标； (3)在中的任意一点坐标为，经过位似变换后对应点的坐标为______． 题型二十四 位似图形的识别 32．（九年级上·安徽·期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述不正确的是(  ) A．△AMO与△ABC位似 B．△AMN与△BCD位似 C．△ANO与△ACD位似 D．△AMN与△ABD位似 题型二十五 求位似图形的对应坐标 33．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，已知和是位似图形，点O是位似中心，．若点C的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 34．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)以坐标原点O为位似中心，位似比为，将作位似变换，得到，请在图中画出． (2)设是内的任意一点，写出其经过上述变换后得到的对应点的坐标． 题型二十六 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 35．（九年级·安徽合肥·阶段练习）如图，已知反比例函数y1＝，y2＝在第一象限的图象，过y2上任意一点P作x轴的垂线交y1于点A，交x轴于点B，过点P作y轴的垂线交y1于点C，y轴于点D，连接AC，BD，则＝ ． 36．（九年级上·安徽亳州·期末）如图，在带有网格的平面直角坐标系中，网格边长为一个单位长度，给出了三角形ABC． （1）作出关于x轴对称的； （2）以坐标原点为位似中心在图中的网格中作出的位似图形，使与的位似比为1：2； （3）若的面积为3.5平方单位，求出的面积． 题型二十七 在坐标系中画位似图形 37．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的； (2)在所给的网格中画出以点O为位似中心的位似图形．，与的位似比为，并写出点的坐标． 题型二十八 在坐标系中画位似中心 38．（九年级上·安徽六安·阶段练习）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画出位似中心点O； (2)直接写出与的位似比； (3)以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，并直接写出各顶点的坐标． 题型二十九 相似三角形实际应用 39．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一点）发出的光线照射来面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为，桌面距地面，若灯泡距地面，则地面上的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 40．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”它的意思是：如图，尺，尺，问井深是多少？请解答上述问题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 相似形 章节（13知识点回顾+29题型练习） 题型汇聚 题型一 成比例线段 题型二 比例的性质 题型三 比例线段 题型四 由平行判断成比例的线段 题型五 由平行截线求相关线段的长或比值 题型六 黄金分割 题型七 相似多边形的性质 题型八 利用两角对应相等判定相似 题型九 利用三边对应成比例判定相似 题型十 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型十一 相似三角形的判定综合 题型十二 选择或补充条件使两个三角形相似 题型十三 利用相似三角形的性质求解 题型十四 证明三角形的对应线段成比例 题型十五 利用相似求坐标 题型十六 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型十七 相似三角形——动点问题 题型十八 相似三角形的判定与性质综合 题型十九 相似三角形的综合问题 题型二十 重心的有关性质 题型二十一 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 题型二十二 求两个位似图形的相似比 题型二十三 位似图形相关概念辨析 题型二十四 位似图形的识别 题型二十五 求位似图形的对应坐标 题型二十六 在坐标系中求两个位似图形的相似比、 周长比或面积比 题型二十七 在坐标系中画位似图形 题型二十八 在坐标系中画位似中心 题型二十九 相似三角形实际应用 知识清单 知识点1．比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 知识点2．比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 知识点3．黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 知识点4．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 知识点5．相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 知识点6．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似 知识点7．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 知识点8．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 知识点9．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 知识点10．作图-相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示： （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 知识点11．射影定理 （1）射影定理： ①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项． ②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． （2）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2＝BD•DC； ②AB2＝BD•BC；AC2＝CD•BC． 知识点12．位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 知识点13．作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 题型练习 题型一 成比例线段 1．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了成比例线段的定义，掌握成比例线段的定义是解题的关键． 根据最大线段最小线段的乘积等于其他两条线段的乘积，那么这些线段是成比例线段，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：、∵， ∴，，，是成比例线段； 、∵， ∴，，，不是成比例线段； 、∵， ∴，，，不是成比例线段； 、∵， ∴，，，不是成比例线段； 故选：． 2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知线段、满足，且． (1)求线段、的长； (2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长． 【答案】(1)线段的长为6，线段的长为4． (2)线段的长为 【知识点】利用二次根式的性质化简、成比例线段 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键． （1）设，，代入计算可得的值，由此即可得； （2）根据比例中项可得，由此即可得答案． 【详解】（1）解：， 设，， ∵， ， ， ，， 线段的长为6，线段的长为4． （2）解：线段是线段、的比例中项，，， ， 由题意知，， ， 线段的长为． 题型二 比例的性质 3．（24-25九年级上·安徽六安·期中）若，则的值等于 ． 【答案】/0.5 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，设，代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴． 故答案为：． 题型三 比例线段 4．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）若线段，，则（   ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【知识点】比例线段、比例的性质 【分析】本题主要考查了线段的比的意义：在同一单位下，两条线段长度的比，叫做这两条线段的比．注意线段的比是一个没有单位的正数．先统一单位，再根据线段的比的意义求解即可． 【详解】解：， ∴， 故选：A． 题型四 由平行判断成比例的线段 5．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合思想的典型体现．如图，将弦图放置在以为原点的平面直角坐标系中，，分别是，轴正半轴上的动点，正方形中有如图四个全等的、、、，若是中点，连接并延长交于点，连接并延长交于，点是反比例函数（）图象上一点．    （1）若，则点的坐标为 ． （2）若点的坐标为，则 ． 【答案】 【知识点】由平行判断成比例的线段、根据正方形的性质与判定求线段长、全等三角形综合问题、反比例函数与几何综合 【分析】（1）证明四边形是正方形，由是的中点，可得，，则，由，，可得，由，可得，同理，则，设，则，计算求出满足要求的解，进而可得结果； （2）由（1）可知，，则，可求，即，，． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∵点是反比例函数（）图象上， ∴， 解得，，（舍去）， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，， ∵坐标为， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵点是反比例函数（）图象上， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，正方形的判定与性质，平行线分线段成比例，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式等知识．熟练掌握全等三角形的性质，正方形的判定与性质，平行线分线段成比例，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式是解题的关键． 题型五 由平行截线求相关线段的长或比值 6．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据题意得到，即，求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 题型六 黄金分割 7．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）美是一种感觉，当人体下半身长与身高比值越接近0.618时，越给人一种美感，如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.6，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】成比例线段、黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割以及比例方程的知识点，解题的关键是根据黄金分割的比例关系列出方程． 先根据已知条件求出该女士下半身的长度，再设出高跟鞋高度，根据穿上高跟鞋后下半身长与身高的比值为0.618列出方程求解． 【详解】该女士下半身长， 设她应穿的高跟鞋的高度是，穿上高跟鞋后，下半身长变为，身高变为， 因为穿上高跟鞋后下半身长与身高的比值要接近0.618，所以可列方程：， 解得：， 故答案选：D． 题型七 相似多边形的性质 8．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，，，，，则边的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质，由，则，然后把，，代入即可求解，掌握相似多边形对应边的比相等列出比例式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 题型八 利用两角对应相等判定相似 9．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，点P在边上，过P画直线截使截得的三角形与相似，这样的直线最多可画（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【知识点】利用两角对应相等判定相似、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了垂线的性质，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 过点作于点，作于点，作交于点，利用相似三角形的判定可得，，，于是可得答案． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点，作交于点， ， 又，，， ，，， 过P画直线截使截得的三角形与相似，这样的直线最多可画条， 故选：． 题型九 利用三边对应成比例判定相似 10． 如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用两角对应相等判定相似、利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理：有两角对应相等的两个三角形相似；有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可． 【详解】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意， B、，，，两三角形有两边对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意， C、有两边对应边成比例但是夹角不相等，故两三角形不相似，符合题意， D、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意， 故选：C． 题型十 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 11．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，反比例函数的图象经过斜边的中点P，与交于点Q，连接，点A的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定． （1）先由点A的坐标为，根据中点的性质得出点P的坐标，根据反比例函数的性质得出k值，即可得反比例函数的表达式； （2）先根据题意得出Q的坐标，再得各线段长，进而得，再由即可证． 【详解】（1）解：点A的坐标为，P是的中点， ， 反比例函数经过点， ， 反比例函数的表达式为； （2）证明：当时，， 解得：， ， ∵， ，，， ，， ， 又， ． 题型十一 相似三角形的判定综合 12．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，，，，则图中相似三角形有（   ） A．5对 B．6对 C．对 D．对 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键； 根据相似三角形的判定定理分析即可求解； 【详解】解：图中有个三角形，分别是：、、、和； ∵，，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴； ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； 综上所述：， 即：，，，， ，，，，，，故图中相似三角形有对； 故选：C． 13．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，在的正方形方格中，的顶点都在边长为的小正方形的顶点上 (1)_____； (2)在网格纸中作一个与相似的； (3)只使用直尺，在线段上找一个点，使（保留作图痕迹） 【答案】(1)135 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、根据正方形的性质求角度、相似三角形的判定综合、无刻度直尺作图 【分析】（1）根据正方形的性质即可得解； （2）取格点，连接即可； （3）取格点、，连接交于点即可． 【详解】（1）解：如图，由题意得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求， 理由如下： ∵，，，，， ∴， ∴； （3）解：如图，点即为所求， 理由如下：由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理，正方形的性质，无刻度直尺作图，熟练掌握相似三角形的判定及性质，勾股定理，正方形的性质，无刻度直尺作图是解题的关键． 题型十二 选择或补充条件使两个三角形相似 14．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）如图，点D在的边上，添加下列条件后不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查相似三角形的判定，由是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得选项A，选项B的条件都能判定与相似；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得选项D的条件都能判定与相似，即可解答． 【详解】解：∵是公共角， ∴当或时，（有两角对应相等的三角形相似），故添加选项A，选项B的条件都能判定与相似； 当时，不是夹角，故不能判定与相似，符合题意； 当时，，则（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故选项D的条件都能判定与相似． 故选：C． 15．（22-23九年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，要使和相似，已具备条件 ，还需补充的条件是 ，或 ，或 ．    【答案】 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】根据三角形判定定理：两角对应相等两三角形相似、两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．已知一个角相等，只要满足另外任何一个角对应相等或者所夹角的两边对应成比例即可． 【详解】解：由图示可知， 要使和相似 根据三角形相似的判定定理， 需要补充条件是，或，． 故答案为：；；；． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定，定理为：①两角对应相等两三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；③三边对应成比例，两个三角形相似． 题型十三 利用相似三角形的性质求解 16．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，，为上一点，且，在上取一点，若以、、为顶点的三角形与相似，则的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 【答案】C 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质．本题应分两种情况进行讨论，①；②；可根据各相似三角形得出比例关系式求出的长即可． 【详解】解：当时，如图1， ， ，，， ， ， ； 当时，如图2， ， ，，， ， ． 综上，的长为3或． 故选：C． 17．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，是直角三角形斜边上的中线，交的延长线于点E． (1)证明： (2)若，求 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、利用相似三角形的性质求解、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，直角三角形性质； （1）先证明，再证明进而证明相似即可； （2）由相似得出，进而求出，设，则，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：∵是斜边中线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）∵， ∴  ， ∵  ， ∴， ∴， 设，则，   由勾股定理  ， ∴， ∴． 题型十四 证明三角形的对应线段成比例 18．（安徽合肥·二模）如图，在矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH上一点，且∠BGC=90°，延长BG交CD于点E，延长CG交AD于点F，当CD=4，DE=1时，则DF的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【知识点】证明三角形的对应线段成比例、相似三角形的判定综合、矩形性质理解 【分析】延长AD，BE相交于点M，可得△DFG∽△HCG，△DMG∽△HBG，根据相似三角形的性质可得DF=DM，由△MDE∽△CDF可得，进而得出，再根据比例的性质解答即可． 【详解】解：如图，延长AD，BE相交于点M， ∵DF∥CH， ∴△DFG∽△HCG， ∴ ， ∵DM∥BH， ∴△DMG∽△HBG， ∴ ， ∵CH=BH， ∴DF=DM， 又∵矩形 △MDE∽△CDF， ∴ ∴ ∴   ∴DF＝． 故选：A． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线并熟练掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 题型十五 利用相似求坐标 19．（九年级上·安徽安庆·期末）在直角坐标系中，已知点A（-2，0），B（0，4），C（0，3），过点C作直线交x轴于点D，使得以D，O，C为顶点的三角形与△AOB相似，点D的坐标为 ． 【答案】（-，0），（，0），（-6，0），（6，0）． 【知识点】利用相似求坐标 【分析】过C点作AB的平行线，交x轴于D1点，由平行得相似可知D1点符合题意，根据对称得D2点；改变相似三角形的对应关系得D3利用对称得D4，都满足题意． 【详解】解：过C点作AB的平行线，交x轴于D1点， 则△D1OC∽△AOB，， 即，解得OD1=， ∴D1（-，0），根据对称得D2（，0）； 由△COD3∽△AOB，得D3（-6，0），根据对称得D4（6，0）． 故答案为：（-，0），（，0），（-6，0），（6，0）． 【点睛】本题考查了利用相似比求线段的长，根据线段长确定点的坐标的方法． 题型十六 在网格中画与已知三角形相似的三角形 20．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点A，B，C都在格点（网格线的交点）上． (1)将向左平移6个单位长度，得到，画出． (2)画出与相似的，使它与的相似比为． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析 【知识点】平移(作图)、在网格中画与已知三角形相似的三角形 【分析】此题主要考查了平移变换以及相似变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用相似图形的性质，将各边扩大2倍，进而得出答案． 【详解】（1）解：如图：即为所求； ； （2）解：如图：即为所求． 题型十七 相似三角形——动点问题 21．（九年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从A、同时出发，那么经几秒后，点、、构成的三角形与相似    【答案】经过或后，与相似． 【知识点】相似三角形——动点问题 【分析】分两种情况讨论，可得或，求得t的值． 【详解】解：①设经过后，， 根据已知条件，可得，， ∵， ∴， ∴， 解得； ②设经过后，， ∵， ∴， ∴， 解得． 故经过或后，与相似． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，利用分类思想解决问题是本题的关键. 22．（22-23九年级上·安徽·期末）在矩形中，，，点从点出发，沿折线以每秒1个单位的速度运动，过点作，交于点，交于点，设点的运动时间为． (1)如图1，当点在上时，若，求四边形的面积． (2)如图2，当点在上，且时，求点到的距离． 【答案】(1)32 (2) 【知识点】相似三角形——动点问题、利用矩形的性质证明 【分析】（1）设点P在上运动了x秒，则，由可得，利用相似比，求出为关于x的代数式，再根据面积，求出x的值，求出PB，最后根据矩形面积公式求解即可； （2）过点B作于点N，过点P作于点M，根据等面积求出，再证明，利用相似比即可求解． 【详解】（1）设点P在边上运动了x秒，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得或 （不合题意舍去负值）， ； ， ∴四边形的面积为； （2）四边形是矩形，， ∵点P在上， ，且， ， ， ， 过点B作于点N，过点P作于点M， ， ， ， ， ， ， ； ∴点P到的距离为 ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质等相关知识，注意结合图形分析已知条件与问题之间的位置关系，把条件与问题的联系作为主要的思考方向． 题型十八 相似三角形的判定与性质综合 23．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，E是平行四边形的边延长线上一点，连接，交于点F，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，利用高相等的两个三角形面积之比等于底之比是解题的关键． 首先由，得，再根据相似三角形的性质，可得，，可得，据此即可求解． 【详解】解：是的边延长线上一点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：B． 24．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，中，点D在边上，满足，若，求的长． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，先证明，再证明，据此根据相似三角形的性质建立比例式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 题型十九 相似三角形的综合问题 25．（九年级上·安徽合肥·期末）如图，正方形ABCD中，点F在边AB上，且AF：FB＝1：2，AC与DF交于点N． （1）当AB＝4时，AN＝ ． （2）S△ANF：S四边形CNFB＝ ．（S表示面积） 【答案】 1∶11 【知识点】相似三角形的综合问题 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可． （2）设△ANF的面积为m，由AF∥CD，推出，△AFN∽△CDN，推出△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，推出△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，由此即可得S四边形CNFB=11m，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，AB=CD ∴， ∵AF：FB＝1：2， ∴AF：AB＝AF：CD＝1：3， ∴， ∴， ∵ACAB， ∴， ∴ANAB； ∵AB=4 ∴AN= 故答案为； （2）设△ANF的面积为m， ∵AF∥CD， ∴，△AFN∽△CDN， ∴△AFN和△CDN高的比= ∴△AFN和△ADN高的比= ∴△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m， ∴△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m， ∴S△ANF：S四边形CNFB＝1：11， 【点睛】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数解决问题． 26．（九年级上·安徽安庆·期中）如图在锐角中，，高，两动点、分别在、上滑动（不包含端点），且，以为边长向下作正方形，设，正方形与公共部分的面积为． （1）如图（1），当正方形的边恰好落在边上时，求的值． （2）如图（2），当落外部时，求出与的函数关系式（写出的取值范围）并求出为何值时最大，最大是多少？    【答案】（1）当时正方形的边恰好落在边上；（2），当时，最大 【知识点】相似三角形的综合问题、利用相似三角形的性质求解、图形问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）因为正方形的位置在变化，但是△AMN∽△ABC没有改变，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，得出等量关系，代入解析式即可． （2）用含x的式子表示矩形MEFN边长，从而求出面积的表达式． 【详解】解：（1）设与相交于点， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 当时正方形的边恰好落在边上； （2）设、分别与相交于点、， 设，则， 由∴，即， 解得，， ∵矩形的面积， ∴ ∴当时，最大. 【点睛】本题结合相似三角形的性质及矩形面积计算方法，考查二次函数的综合应用，解题时，要始终抓住相似三角形对应边上高的比等于相似比，表示相关边的长度． 题型二十 重心的有关性质 27．（2024·安徽芜湖·一模）如图所示，中，，，，，为中点，若点为直线下方一点，在异侧，且与相似，则下列结论： ①若，与相交于，则点必为的重心； ②若，则的最大值为； ③若，，则的长为； ④若，则当时，取得最大值． 其中正确的为(　　) A．①④ B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、重心的有关性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】①依题意得为等腰直角三角形，则为等腰直角三角形，分三种情况讨论：当时，由得为边上的中线，故得为的重心；当时，连接交于，证四边形为平行四边形，则边上的中线，故得点为的重心；当时，连接交于，连接，此时不是边上的中线，故得点不是的重心，据此可对结论①进行判断；②依题意得当，且时，为最大，过点作交延长线于，先四边形为矩形，则，，再由与相似得，进而可求出的长，由此可对结论②进行判断；③先由，，，得，，，过点作交的延长线于，过点作于，过点作于，先求出，，证为的中位线得，，再分别求出，，，再证四边形为矩形，得，，，然后由勾股定理求出即可对结论③进行判断；④先求出，再由得，则，由此可得当时，取得最大值，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①，， 为等腰直角三角形， ，， 与相似， 有以下三种情况讨论如下： 当时，如图所示： ， 点，，在同一条直线上， 与相似， 为等腰直角三角形， ， 即为的边上的中线， 又点为的中点， 为的边上的中点， 与的交点为的重心； 当时，连接交于，如图所示： 与相似， 为等腰直角三角形， ， 又， ， 四边形为平行四边形， ， 即为的边上的中线， 又点为的中点， 为的边上的中点， 与的交点为的重心； 当时，连接交于，连接，如图所示： 此时点不是的中点， 不是的边上的中线， 与的交点不是的重心， 故结论①不正确； ②，，， ， ， 由勾股定理得：， 与相似， 当，且时，为最大，如图所示， 过点作交延长线于， ，，， 四边形为矩形， ，， 与相似， ：：， 即， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 故结论②正确； ③，，， ，，， 过点作交的延长线于，过点作于， 过点作于，如图所示： 在中，，，则， ，， 点为的中点，， 为的中位线， ，， 在中，，， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ，，， 四边形为矩形， ，， ， ， 故结论③不正确； ④在中，，， 由勾股定理得：， ，如图所示： ：：， ， ， ， 当时，取最大值， 即当时，取最大值． 故结论④正确； 综上所述：正确的结论是②④． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的重心，勾股定理，二次函数的最值问题；熟练掌握相似三角形的性质，直角三角形的性质，理解三角形的重心，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 题型二十一 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 28．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，由若干个小正方形组成的网格中，已知格点线段和格点（格点为网格线的交点）． (1)以点为位似中心，在点O同侧画出线段的位似线段，使线段与线段的位似比为； (2)以点，为顶点画一个格点平行四边形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【知识点】利用平行四边形的性质求解、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】本题主要考查了作图-位似变换，平行四边形的判定等知识点，熟练掌握画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形是解决此题的关键． (1)利用位似变换的性质，分别作出，的对应点，即可； (2)根据平行四边形的判定作出图形即可(答案不唯一）． 【详解】（1）如图，线段即为所求； （2）如图，四边形即为所求（答案不唯一）． 题型二十二 求两个位似图形的相似比 29．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是9，则四边形面积是（    ） A．25 B．20 C．9 D．4 【答案】A 【知识点】求两个位似图形的相似比、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了位似变换，正确得出面积比是解决此题的关键．先由求出，再利用位似图形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 以点为位似中心，作四边形的位似图形，， ， 四边形的面积是9， 四边形的面积是25， 故选：A． 30．（23-24九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知O是坐标原点，点A，B的坐标分别为，． (1)在y轴的左侧以O为位似中心将放大为原来的2倍得到，请在网格中画出； (2)在（1）的条件下，与的周长比为________，面积比为________． 【答案】(1)见解析 (2)； 【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比、在坐标系中画位似图形 【分析】本题主要考查了作位似图形，位似图形的性质，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质． （1）根据位似图象的特征进行作图即可； （2）根据位似图形的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：作出点的对应点，点B的对应点，顺次连接，则为所求作的三角形． （2）解：∵放大为原来的2倍得到， ∴， ∴， ． 故答案为：；． 题型二十三 位似图形相关概念辨析 31．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，的顶点，，均在格点上，为平面直角坐标系的原点，点在轴上．以为位似中心，将放大，使得放大后的与的相似比为，要求所画与在原点两侧． (1)画的图形； (2)分别写出点、的坐标； (3)在中的任意一点坐标为，经过位似变换后对应点的坐标为______． 【答案】(1)图见解析 (2)， (3) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、位似图形相关概念辨析、求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】（1）根据位似的性质作图即可； （2）由所得图形及网格即可直接得出答案； （3）根据位似变换的性质及已知条件，即可得出经过位似变换后对应点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求作： （2）解：由图可知： 点、的坐标分别为： ，； （3）解：，且放大后的与的相似比为， 根据位似变换的性质及已知条件可得，经过位似变换后对应点的坐标为： ， 即：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了在坐标系中画位似图形，写出直角坐标系中点的坐标，位似变换的性质，求位似图形的对应坐标等知识点，熟练掌握位似变换的性质及位似图形的性质是解题的关键． 题型二十四 位似图形的识别 32．（九年级上·安徽·期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述不正确的是(  ) A．△AMO与△ABC位似 B．△AMN与△BCD位似 C．△ANO与△ACD位似 D．△AMN与△ABD位似 【答案】B 【知识点】位似图形的识别 【分析】根据位似图形的定义进行判断. 【详解】A. △AMO与△ABC是以A点为位似中心的位似图形，故A正确； B. △AMN与△BCD对应线段不平行，不是位似图形，故B错误； C. △ANO与△ACD是以A点为位似中心的位似图形，故C正确； D. △AMN与△ABD是以A点为位似中心的位似图形，故D正确； 故选B. 【点睛】本题考查位似三角形， 两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边互相平行或位于同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，熟记定义是解题的关键. 题型二十五 求位似图形的对应坐标 33．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，已知和是位似图形，点O是位似中心，．若点C的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，先确定为位似比为2，然后把点的横纵坐标都除以即可． 【详解】解：∵和是位似图形，点O是位似中心，， ∴位似比为2， ∵点C的坐标为， ∴点A的坐标为． 故选：D． 34．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)以坐标原点O为位似中心，位似比为，将作位似变换，得到，请在图中画出． (2)设是内的任意一点，写出其经过上述变换后得到的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)或 【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】此题主要考查了位似变换，解题的关键是正确得出对应点位置． （1）直接利用位似比得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所作， （2）解：是内的任意一点，以坐标原点O为位似中心，位似比为，将作位似变换得到或． 题型二十六 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 35．（九年级·安徽合肥·阶段练习）如图，已知反比例函数y1＝，y2＝在第一象限的图象，过y2上任意一点P作x轴的垂线交y1于点A，交x轴于点B，过点P作y轴的垂线交y1于点C，y轴于点D，连接AC，BD，则＝ ． 【答案】 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、反比例函数与几何综合 【分析】设点P的坐标，根据两个解析式表示出点C，A，B，D的坐标，并证明，，根据相似图形的面积比等于相似比的平方，得到的比值． 【详解】解：设 ∵过y2上任意一点P作x轴的垂线交y1于点A，交x轴于点B，过点P作y轴的垂线交y1于点C，y轴于点D， ∴C的纵坐标为，A的横坐标为 将C，A坐标代入中得， ∴ 则， ∵ ∴ ∴ 故填：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，熟知几何条件与函数条件的转化是解题的关键． 36．（九年级上·安徽亳州·期末）如图，在带有网格的平面直角坐标系中，网格边长为一个单位长度，给出了三角形ABC． （1）作出关于x轴对称的； （2）以坐标原点为位似中心在图中的网格中作出的位似图形，使与的位似比为1：2； （3）若的面积为3.5平方单位，求出的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）14平方单位． 【知识点】在坐标系中画位似图形、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、画轴对称图形 【分析】（1）根据轴对称性质即可画出△ABC关于x轴对称的； （2）根据位似图形的性质即可画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为1：2;（3）利用相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：（1）如图，，即为所求作； （2）如图，，即为所求作； （3）∵与的位似比为1：2， ∴∽，， ∴， ∵的面积为3.5平方单位，即的面积为3.5平方单位， ∴的面积为：2=4×3.5=14平方单位． 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，位似变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 题型二十七 在坐标系中画位似图形 37．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的； (2)在所给的网格中画出以点O为位似中心的位似图形．，与的位似比为，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，点的坐标是 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、位似变换，熟练掌握轴对称的性质与位似变换的性质是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据位似变换的性质作图即可，再写出点的坐标． 【详解】（1）解：如图：即为所求； （2）解：如图：即为所求，点的坐标是． ． 题型二十八 在坐标系中画位似中心 38．（九年级上·安徽六安·阶段练习）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画出位似中心点O； (2)直接写出与的位似比； (3)以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，并直接写出各顶点的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)，，． 【知识点】在坐标系中画位似中心、求位似图形的对应坐标、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】（1）连接并延长，连接并延长，两条延长线交于点O，即为所求； （2）结合网格特征，得，即，即可得出与的位似比为； （3）依题意，先建立平面直角坐标系，再读取各顶点的坐标，即可作答． 此题考查了作图-位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 【详解】（1）解：图中点为所求； （2）解：由（1）得， 即， ∵与是以点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴． ∴与的位似比等于； （3）解：为所求； 则，，． 题型二十九 相似三角形实际应用 39．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一点）发出的光线照射来面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为，桌面距地面，若灯泡距地面，则地面上的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意构造相似三角形，然后利用相似三角形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，则有，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴阴影部分的半径是， 所以地面上阴影部分的面积为：， 故选：． 40．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”它的意思是：如图，尺，尺，问井深是多少？请解答上述问题． 【答案】尺 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．设井深是尺，则尺，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：设井深是尺， ∵尺， ∴尺， 由题意可知，， ∴， ∴， ∵尺，尺， ∴， 解得， 答：井深是尺. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$