精品解析：云南省昭通市第一中学教研联盟2023-2024学年高一下学期7月期末质量检测数学试题（A卷）

昭通一中教研联盟2023～2024学年下学期高一年级 期末质量检测数学（A卷） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 2. 已知，则（ ） A. B. C. 5 D. 3. 现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测；②在某校800名学生中，型､型､B型和型血的学生依次有人.为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（ ） A. ①②都采用简单随机抽样 B. ①②都采用分层随机抽样 C. ①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样 D. ①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样 4. 设，是两个平面，，，是三条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 5. 函数的所有零点之和为（ ） A. 8 B. 7 C. 5 D. 4 6. 如图，为平行四边形对角线上一点，交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体，下半部分圆柱的高为2.5米；上半部分圆锥的母线长为米，轴截面（过圆锥轴的截面）是面积为平方米的等腰钝角三角形，则建造该毡帐（不含底面）需要毛毡（ ）平方米． A. B. C. D. 8. 在中，有，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 如果，那么的最小值是 D. 如果，，，那么的最大值为1 10. 下列函数是奇函数的有（ ） A. B. C. D. 11. 在正方体中，，点满足，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 当平面时，不可能垂直 B. 若与平面所成角为，则点的轨迹长度为 C. 当时，的最小值为 D. 当时，经过点的正方体截面面积的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 从某中学抽取12名同学，他们的数学成绩如下：87，85，92，90，83，92，87，98，96，84，99，78（单位：分），则这12名同学数学成绩的第75百分位数为________． 13. 如图，为了测量某建筑物的高度OP，测量小组选取与该建筑物底部在同一水平面内的两个测量基点与.现测得米，20米，在测量基点测得建筑物顶点的仰角为，则该建筑物的高度OP为____________米. 14. 如图，在正四棱台中，.若该四棱台的体积为，则该四棱台的高为__________；外接球的表面积为__________. 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的值； （2）从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，并求函数在上的最大值和最小值. 条件①：函数是奇函数； 条件②：将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 16. 为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中． （1）求直方图中，的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）； （2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由； 17. 某校为举办活动设计了方案.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 200人 400人 300人 100人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立. （1）分别估计该校男生支持方案的概率、该校女生支持方案的概率； （2）从该校男生中随机抽取2人，女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案的概率； 18. 已知函数． （1）若为偶函数； ①求实数的值； ②若函数在区间上的最小值为，求实数的值； （2）若为奇函数，不等式在上有解，求实数的取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面，M是QD的中点． （1）求证：平面； （2）求侧面QBC与底面所成二面角的余弦值； （3）在棱QC上是否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昭通一中教研联盟2023～2024学年下学期高一年级 期末质量检测数学（A卷） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，将集合化简，然后根据交集的运算及子集概念即可得到结果. 【详解】因为集合，且， 则，所以其子集为共4个. 故选：B 2. 已知，则（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用复数的四则运算，求得，结合共轭复数的定义及运算，即可求解． 【详解】解：由复数，所以． 故选：C． 3. 现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测；②在某校800名学生中，型､型､B型和型血的学生依次有人.为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（ ） A. ①②都采用简单随机抽样 B. ①②都采用分层随机抽样 C. ①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样 D. ①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样 【答案】C 【解析】 【分析】由简单随机抽样、分层随机抽样的概念即可判断. 【详解】由题意对于①，40台刚出厂的大型挖掘机被抽取的可能性一样，故为简单随机抽样， 对于②，为了研究血型与色弱的关系，说明某校800名学生被抽取的可能性要按照血型比例分层抽取，故为分层随机抽样. 故选：C. 4. 设，是两个平面，，，是三条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若，，，则相交或平行，所以A错误； 对于B中，若，，由线面平行的性质可得，所以 B正确； 对于C中，若，，，当两两相交时，两两相交，所以C错误； 对于D中，若，，则或，所以D错误. 故选：B. 5. 函数的所有零点之和为（ ） A. 8 B. 7 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数的零点即可. 【详解】当时，，解得；当时，，解得， 所以函数的零点和为7. 故选：B 6. 如图，为平行四边形对角线上一点，交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，得，再根据向量的加减法则用把表示出来，从而可求出，进而可求出. 【详解】因为为平行四边形对角线上一点，交于点， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 故选：C 7. 毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体，下半部分圆柱的高为2.5米；上半部分圆锥的母线长为米，轴截面（过圆锥轴的截面）是面积为平方米的等腰钝角三角形，则建造该毡帐（不含底面）需要毛毡（ ）平方米． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用圆锥的结构特征求出圆锥的高和底面半径，由此求出上半部分圆锥和下半部分圆柱的侧面积，进而计算可得答案. 【详解】根据题意，如图所示为该组合体上半部分为圆锥， 由于其母线长为米，轴截面是面积为平方米的等腰钝角三角形， 设其高为，底面半径为， 则有，解可得， 则上半部分圆锥的侧面积 下半部分圆柱的侧面积 则该组合体的表面积(不含底面) . 故选：A 8. 在中，有，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理和数量积定义化简得出三角形三边，，的关系，利用基本不等式求出的最小值，显然为锐角，要使取最大值，则取最小值，从而得出的最大值，即可求出的最大值． 【详解】因为， 所以， 又，， 所以 又，，， 所以， 即， ， 当且仅当即时取等号， 显然为锐角，要使取最大值，则取最小值，此时， 所以，即的最大值是． 故选：D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 如果，那么的最小值是 D. 如果，，，那么的最大值为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断AB，根据基本不等式求最值，判断CD. 【详解】A.根据不等式的性质可知，若，，则，故A正确； B.若，则，，则，故B正确； C.，则，当时，等号成立，所以的最大值是，故C错误； D.若，，，即， 则，即， 所以时，最大值为1，故D正确. 故选:ABD 10. 下列函数是奇函数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义和判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数定义域为， 可得，所以函数为奇函数，符合题意； 对于B中，由函数定义域为，且， 所以函数是偶函数，不符合题意； 对于C中，由函数定义域为， 且，所以为奇函数，符合题意； 对于D中，由函数，可得，不是奇函数，不符合题意. 故选：AC. 11. 在正方体中，，点满足，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 当平面时，不可能垂直 B. 若与平面所成角为，则点的轨迹长度为 C. 当时，的最小值为 D. 当时，经过点的正方体截面面积的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，作出如图空间直角坐标系，由向量法结合向量垂直判断即可； 对B，由几何关系得出与平面所成线面角，可得，则点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆； 对C，将平面与平面沿展成平面图形，线段即为的最小值，利用余弦定理即可求 对D，由得点P在上，利用几何关系可得的面积最值在端点及中点位置； 【详解】对A，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 所以，， 则，，设平面的一个法向量为， 所以，令，则，即平面的一个法向量为， 若平面，则，即， 由，则，即P为中点时，有平面，且，A错误； 对B，因为平面，连接，则即为与平面所成角， 若与平面所成角为，则，所以， 即点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，B正确； 对C，如图，将平面与平面沿展成平面图形， 线段即为的最小值，利用余弦定理可知，所以，故C正确； 对D，因为，所以点P一定在上，又因为当或1时，的面积取最大值，此时对应截面面积为， 设的中点为H，由图形的变化得，当点P在DH和运动时，所得截面对称相同， 于是当时，的面积取最小值，此时对应截面面积为， 所以截面面积的取值范围为，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛： （1）容易建系的几何体一般可通过建系快速解决长度、角度等问题. 本题A中，通过线面平行得线与该面的法向量垂直，即可得参数间的关系，即可进一步讨论线线垂直的问题； （2）B中轨迹问题，关键结合正方体的线面垂直性质得出线面角，即可得出所求轨迹为圆弧； （3）C中求不同表面线段和问题，一般展开成平面讨论. （4）D中截面问题，关键结合正方体的对称性，转化为三角形面积的和，再进一步转换成讨论高的范围问题； 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 从某中学抽取12名同学，他们的数学成绩如下：87，85，92，90，83，92，87，98，96，84，99，78（单位：分），则这12名同学数学成绩的第75百分位数为________． 【答案】94 【解析】 【分析】由百分位数的定义即可得解. 【详解】将这组数据从小到大排列为78，83，84，85，87，87，90，92，92，96，98，99， 又，所以第75百分位数为． 故答案为：94. 13. 如图，为了测量某建筑物的高度OP，测量小组选取与该建筑物底部在同一水平面内的两个测量基点与.现测得米，20米，在测量基点测得建筑物顶点的仰角为，则该建筑物的高度OP为____________米. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理得，进一步结合锐角三角函数即可得解. 【详解】在中，由余弦定理可得， 则OA米. 在中，米. 故答案为：. 14. 如图，在正四棱台中，.若该四棱台的体积为，则该四棱台的高为__________；外接球的表面积为__________. 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】如图，连接交于点，连接交于点，连接，过作于点，可得底面，然后由正四棱台的体积列方程可求出，连接，可判断四棱台外接球的球心在的延长线上，设，由可求出，从而可求出外接球的半径，进而可求出球的表面积. 【详解】如图，连接交于点，连接交于点，连接， 则∥底面平面， 所以. 过作于点，则∥ 所以底面， 所以该正四棱台的体积，解得， 连接，因为， 所以四棱台外接球的球心在的延长线上，设， 则， ， 由，得，解得， 故，即外接球的半径， 所以外接球表面积为. 故答案为：，. 【点睛】关键点点睛：此题考查棱台的体积，考查正四棱台的外接球问题，解题的关键是根据题意找出外接球的球心，从而可求出外接球的半径，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题. 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的值； （2）从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，并求函数在上的最大值和最小值. 条件①：函数是奇函数； 条件②：将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）2 （2）最大值为1，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，即可得的值； （2）若选条件①：根据题意结合三角函数的奇偶性可得，以为整体，结合正弦函数有界性分析求解；若选条件②：根据题意结合图象变换可得，以为整体，结合正弦函数有界性分析求解；若选条件③：根据题意代入，结合正弦函数值的符号分析判断. 【小问1详解】 设的最小正周期为， 由题意可得：，即， 且，所以. 【小问2详解】 由（1）可知：， 若选条件①：函数是奇函数， 且，则， 可得，解得，则， 又因为，则， 可知：当，即时，取到最小值； 当，即时，取到最大值； 若选条件②：将函数的图象向右平移个单位长度后， 得到， 且，则， 可得，解得，则， 又因为，则， 可知：当，即时，取到最小值； 当，即时，取到最大值； 若选条件③：因为，即， 且，则， 可知，即，不合题意，舍去. 16. 为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中． （1）求直方图中，的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）； （2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由； 【答案】（1），，4.07 （2）35.2（万），理由如下： 由频率分布直方图可得， 月均用水量不超过2吨的频率为：， 则月均用水量不低于2吨的频率为：， 所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为：（万）． 【解析】 【分析】（1）由频率和为1，以及，求，并且代入平均数公式，即可求解； （2）首先由频率分布直方图求得月均用水量不超过2吨的频率，再根据频率估计该市月均用水量不超过2吨的人数. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得 ， 又，则，， 该市居民用水的平均数估计为： ． 【小问2详解】 略 17. 某校为举办活动设计了方案.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 200人 400人 300人 100人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立. （1）分别估计该校男生支持方案的概率、该校女生支持方案的概率； （2）从该校男生中随机抽取2人，女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案的概率； 【答案】（1）男生支持方案的概率为，女生支持方案的概率为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据表中的数据，结合古典概型计算即可得答案； （2）分①仅有两个男生支持方案；②仅有一个男生支持方案，一个女生支持方案，两种情况，进而根据独立事件的概率求解即可. 【小问1详解】 解：由题知，该校男生有600人，支持方案的有200人； 女生有400人，支持方案的有300人. 所以，该校男生支持方案的概率为， 该校女生支持方案的概率为； 【小问2详解】 解：3人中恰有2人支持方案分两种情况， ①仅有两个男生支持方案；②仅有一个男生支持方案，一个女生支持方案. 由（1）知，男生支持的概率为，女生支持方案的概率为， 所以3人中恰有2人支持方案的概率为：. 18. 已知函数． （1）若为偶函数； ①求实数的值； ②若函数在区间上的最小值为，求实数的值； （2）若为奇函数，不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1）①；②； （2）． 【解析】 【分析】（1）①利用偶函数的定义求出；②利用单调性定义确定函数在上的单调性，换元，利用二次函数最值问题求出. （2）由奇函数求出，再等价变形不等式并分离参数，换元，结合单调性求出最小值即可. 【小问1详解】 ①函数的定义域为，由为偶函数，得， 则，整理得，即， 而不恒为0，所以. ②由①得，令，， ，由，得，， 因此，即，函数在上单调递增， 当时，，令，， 由函数在区间上的最小值为－11， 得函数在上的最小值为－11， ①当时，在上单调递增，，解得，不满足题意； ②当时，，则， 所以． 【小问2详解】 由为奇函数，得，则，此时， 而，即函数是奇函数， 不等式 ，函数在上递增， 则在上递增，当时，， 不等式，由不等式在上有解， 得不等式在上有解，由（1）知在上单调递增， 当时，，， 函数在上单调递增，当时，，则， 所以实数的取值范围是. 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面，M是QD的中点． （1）求证：平面； （2）求侧面QBC与底面所成二面角的余弦值； （3）在棱QC上是否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由． 【答案】（1） 因为侧面QAD是正三角形，M是QD的中点， 所以， 因为，面面，面面，面， 所以面， 又面，所以， 又平面， 所以平面； （2） （3） 当面时，平面平面，证明如下： 如图，连接交于点，连接， 因为底面是正方形，所以， 由（2）得面， 因为面，所以， 因为面时，，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 因为，所以， 因为，所以， 所以在棱QC上是否存在点N，当时，平面平面AMC. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得面，再根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）取的中点，的中点，连接，证明平面，从而可得即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角，进而可得答案； （3）连接交于点，连接，易得，当面，证明此时平面平面，再根据相似比即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，的中点，连接， 则且，， 故， 因为面面，面面，面， 所以面， 因为面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 则即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角， 设，则，故， 所以， 即侧面QBC与底面所成二面角的余弦值为； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法： （1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有： ①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质； （2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $