第09讲 成比例线段 （知识清单+4大题型+好题必刷）核心知识点与常见题型通关讲解练 【暑假预习】讲义2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

第09讲 成比例线段 （知识清单+4大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 比例的性质 题型二 比例线段 题型三 成比例线段 题型四 黄金分割 知识清单 知识点1．比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 知识点2．比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 题型练习 【题型一】比例的性质 【例1】（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）已知，则下列比例式成立的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）若，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）已知，且，则 ． 3．（24-25九年级上·广西百色·期末）根据已知条件，求下列比的结果． (1)已知，求的值； (2)已知，则的值． 【题型二】比例线段 【例2】（24-25九年级上·广东河源·期中）下列四组长度的线段中，是比例线段的是（    ） A．4，5，6，7 B．3，4，6，9 C．8，4，4，2 D．5，10，10，15 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）若一张地图的比例尺是，在地图上量得甲、乙两地的距离是，则甲、乙两地的实际距离是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）（1）已知，则代数式的值是 ； （2）已知线段，，则线段a，b的比例中项是 ． 3．（24-25九年级上·山西太原·期中）如图1，已知中，，，点在线段上，．过点作交于点． (1)求线段的长； (2)在图1的基础上连接．过点作交于点，得到图2，请直接写出线段的长． 【题型三】成比例线段 【例3】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）在下列四组线段中，成比例线段的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）已知a、b、c、d是一组成比例线段，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）已知a，b，c，d是成比例线段，若，则d的长为 ． 3．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图有3个已知边长的矩形，分别记为图甲、图乙、图丙． (1)填写两个长与宽成比例的矩形：图______和图______．（填“甲”或“乙”或“丙”） (2)改变（1）中未被选择矩形的一边长，使之与（1）中矩形的长与宽成比例，请给出一种更改方案，并说明理由． 【题型四】黄金分割 【例4】（九年级上·辽宁锦州·期中）已知线段，点C是线段的黄金分割点（），则的长为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）两千多年前，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割，即：如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．黄金分割在日常生活中广泛应用，若舞台长，主持人从舞台一侧进入，走到舞台的黄金分割点处，设，则满足的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 3．（24-25九年级上·山西长治·期末）阅读下列材料，并解决问题 自然界的设计密码 —黄金比例与叶序现象的完美体现 春黄菊的头状花序呈现出一种令人惊叹的数学规律：小花以螺旋状排列，从不同方向可以数出21条深蓝螺旋和13条浅蓝螺旋，这两个数字属于著名的斐波那契数列（1，1，2，3，5，8，13，21…）．斐波那契数列广泛存在于自然界中，其相邻两项的比值逐渐逼近黄金比例（约0.618）．这种比例是植物生长的关键优化机制，被称为叶序现象． 具体来说，植物在生长过程中以固定的黄金角逐渐生成新的小花或种子，这种角度能够最大化空间利用率，避免重叠并形成紧密且均匀的排列．通过这种机制，春黄菊的螺旋排列不仅展现了自然选择的智慧，还体现了数学的深刻美感． 问题（1）：黄金角是恰好把圆周分成的两条半径的夹角，请求出其中较小的黄金角为______（精确到）． 问题（2）：若斐波那契数列的无理数表达形式为，已知89是斐波那契数列中的某一项，请根据阅读材料内容，求出89的相邻两项． 好题必刷 一、单选题 1．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．下列各组长度的线段（单位：厘米）中能构成成比例线段的是（    ） A．1，2，3，4 B．2，5，6，8 C．3，6，7，9 D．3，9，6，18 3．若，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．非上述答案 4．AB两地的实际距离m，画在一张图上的距离cm，则图上的距离与实际距离的比是（   ） A．5：50 B．50：5 C．1：5000 D．5000：1 5．若，则下列各式中不正确的是（ ） A． B． C． D． 6．已知，则是（    ） A． B． C． D． 7．若，且，则的值是（ ） A．14 B．42 C．7 D． 8．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，E为边AB的黄金分割点（AE＞BE），AD＝AE，BC＝BE．AC，DE将四边形分为四个部分，它们的面积分别用S1，S2，S3，S4表示，则下列判断正确的是（　　） A．S1＝4S2 B．S4＝3S2 C．S1＝S3 D．S3＝S4 9．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图（1），点把线段分成两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点．如图（2），点分别是线段的黄金分割点，（），若，则的长是（　　） A． B． C． D． 10．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知线段b是线段a、c的比例中项，如果，，那么 ． 12．盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为______． 13．已知a：b：c=3：4：5，则= ． 14．已知点在线段上，，那么的比值是 ． 15．延长线段AB到点C，使BC=AB，则AC：AB= ，AB：BC= ，BC：AC= ． 16．在1：500000的宜宾市地图上，新建的快速通道估计长4.28cm，那么等快速通道造好后实际长约 千米. 17．如图，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是7cm，则蝴蝶身体的长度约为 （精确到0.1）    18．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 三、解答题 19．已知线段，，，是成比例线段，其中，，，求线段的长． 20．人体下半身（脚底到肚脐的长度）与身高的比例越接近0.618，越给人美感遗憾的是，即使是身材修长的芭蕾舞演员也达不到如此的完美某女士，身高，下半身，她应选择多高的高跟鞋看起来更美呢？（精确到） 21．已知a、b、c、d四条线段依次成比例，其中a=3cm，b=（x﹣1）cm，c=5cm，d=（x+1）cm．求x的值． 22．同学们，现在有四条线段：，请你判断一下，它们是不是比例线段，你能试着写出五组比例线段吗？ 23．（1）已知线段是线段、的比例中项，如果，，求的长度． （2）已知，求的值． 24．如图，四边形中，，与相交于点． （1）与的面积相等吗？为什么？ （2）若，求． （3）若，且，求． 25．阅读理解： 已知：a，b，c，d都是不为0的数，且，求证：． 证明：∵， ∴． ∴． 根据以上方法，解答下列问题： （1）若，求的值； （2）若，且a≠b，c≠d，证明． 26．如图1所示，点C将线段AB分成两部分，如果，那么点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线. (1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图2所示，则直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？说说你的理由； (2)请你说明：三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$第09讲 成比例线段 (知识清单+4大题型+好题必刷) 题型汇聚 题型一 比例的性质 题型二 比例线段 题型三 成比例线段 题型四 黄金分割 知识清单 知识点1.比例的性质 (1)比例的基本性质:组成比例的四个数,叫做比例的项.两端的两项叫做比例的外项,中间的两项叫做比例的内项. (2)常用的性质有: ①内项之积等于外项之积.若=,则ad=bc. ②合比性质.若=,则=. ③分比性质.若=,则=. ④合分比性质.若=,则=. ⑤等比性质.若==…=(b+d+…+n≠0),则=. 知识点2.比例线段 (1)对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等,如 ab=cd(即ad=bc),我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段. (2)判定四条线段是否成比例,只要把四条线段按大小顺序排列好,判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可,求线段之比时,要先统一线段的长度单位,最后的结果与所选取的单位无关系. 题型练习 【题型一】比例的性质 【例1】(23-24九年级上 贵州贵阳 阶段练习)已知,则下列比例式成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的基本性质,熟练掌握内项之积等于外项之积是解题的关键. 利用内项之积等于外项之积计算判断即可. 【详解】解:A、由,得到,故该项正确,符合题意; B、由,得到,故该项错误,不符合题意; C、由,得到,故该项错误,不符合题意; D、由,得到,故该项错误,不符合题意. 故选:A. 【举一反三】 1.(24-25九年级上 山西晋中 期末)若,则下列比例式成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质.根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解. 【详解】解:A、由得,,故本选项不符合题意; B、由得,,故本选项符合题意; C、由得,,故本选项不符合题意; D、由得,,故本选项不符合题意; 故选:B. 2.(24-25九年级上 广东佛山 阶段练习)已知,且,则 . 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查等比性质的应用,若,且,则,熟练掌握等比性质是解题关键. 【详解】解:设,, ∵, ∴,, ∴, 故答案为:. 3.(24-25九年级上 广西百色 期末)根据已知条件,求下列比的结果. (1)已知,求的值; (2)已知,则的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质,正确掌握相关性质内容是解题的关键. (1)根据已知可得,即可作答. (2)先设,则得,再代入,即可求解. 【详解】(1)解:∵, ∴ ∴ (2)解:依题意,设, ∴, ∵, 【题型二】比例线段 【例2】(24-25九年级上 广东河源 期中)下列四组长度的线段中,是比例线段的是( ) A.4,5,6,7 B.3,4,6,9 C.8,4,4,2 D.5,10,10,15 【答案】C 【知识点】比例线段 【分析】本题考查比例线段,掌握如果四条线段a,b,c,d满足,则四条线段a,b,c,d称为比例线段(有先后顺序,不可颠倒)是解题关键.根据比例线段的定义逐项判断即可. 【详解】解:A.,故该选项不符合题意; B.,故该选项不符合题意; C.,故该选项符合题意; D.,故该选项不符合题意. 故选C. 【举一反三】 1.(24-25九年级上 河北邢台 阶段练习)若一张地图的比例尺是,在地图上量得甲、乙两地的距离是,则甲、乙两地的实际距离是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【知识点】比例线段 【分析】本题考查了比例尺,用到的知识点是比例的性质,解题的关键是根据性质列出方程,注意单位的换算.设甲、乙两地的实际距离是,根据题意得,求出的值,再把单位换算为即可. 【详解】解:设甲、乙两地的实际距离是,根据题意得: ,解得, . 故选:D. 2.(24-25九年级上 浙江杭州 期中)(1)已知,则代数式的值是 ; (2)已知线段,,则线段a,b的比例中项是 . 【答案】 / 【知识点】分式化简求值、比例的性质、比例线段 【分析】本题考查了比例线段,理解比例中项的概念,这里注意线段不能是负数. (1)根据比例的性质即可求解; (2)根据比例中项的定义,列出比例式即可得出中项,注意线段不能为负. 【详解】解:(1)∵, ∴,设, ∴, 故答案为:; (2)∵线段,, 设:它们的比例中项是, ∴, ,(线段是正数,负值舍去). 故答案为:. 3.(24-25九年级上 山西太原 期中)如图1,已知中,,,点在线段上,.过点作交于点. (1)求线段的长; (2)在图1的基础上连接.过点作交于点,得到图2,请直接写出线段的长. 【答案】(1) (2) 【知识点】比例线段 【分析】本题考查比例线段的知识,解题的关键是比例线段的性质,进行求解,即可. (1)根据,得,求出,即可; (2)根据(1)可得的值,根据,根据,则,根据,进行解答,即可. 【详解】(1)解:∵, ∴. ∵,,, ∴, ∴. (2)由(1)得, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴. 【题型三】成比例线段 【例3】(24-25九年级上 海南省直辖县级单位 阶段练习)在下列四组线段中,成比例线段的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【知识点】成比例线段 【分析】本题主要考查比例线段,熟练掌握成比例线段的性质是解题的关键.根据比例线段的性质可直接进行排除选项即可. 【详解】解:A、,故3、4 、5 、6不是成比例线段,不符合题意; B、,故不是成比例线段,不符合题意; C、,故是成比例线段,符合题意; D、,故不是成比例线段,不符合题意. 故选:C. 【举一反三】 1.(23-24九年级上 陕西咸阳 期中)已知a、b、c、d是一组成比例线段,且,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【知识点】成比例线段 【分析】本题主要考查比例线段,根据成比例线段的性质即可得出答案. 【详解】解:∵a、b、c、d是一组成比例线段, ∴ ∵, ∴, ∴, 故选:B. 2.(24-25九年级上 甘肃张掖 期中)已知a,b,c,d是成比例线段,若,则d的长为 . 【答案】 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了成比例线段,写比例式的时候一定要注意顺序,再根据比例的基本性质进行求解. 根据a、b、c、d是成比例线段,得,再根据比例的基本性质,求出d的值即可. 【详解】解:∵a、b、c、d是成比例线段, ∴, ∵, ∴ ∴; 故答案为:. 3.(24-25九年级上 浙江温州 阶段练习)如图有3个已知边长的矩形,分别记为图甲、图乙、图丙. (1)填写两个长与宽成比例的矩形:图_和图_.(填“甲”或“乙”或“丙”) (2)改变(1)中未被选择矩形的一边长,使之与(1)中矩形的长与宽成比例,请给出一种更改方案,并说明理由. 【答案】(1)甲,丙; (2)图乙中,长减少7时,与(1)中矩形的长与宽成比例. 【知识点】成比例线段 【分析】本题主要考查了比例线段,熟练掌握比例线段的定义是解题的关键. (1)将三个图中求出长与长的比值、宽与宽的比值,比较即可得解; (2)设图乙中,长减少x时,与(1)中矩形的长与宽成比例,构造方程求解即可. 【详解】(1)解:∵图甲和图乙中,,图丙和图乙中,, ∴图甲和图乙的长与宽不成比例,图丙和图乙的长与宽不成比例, ∵图甲和图丙中,, ∴图甲和图丙的长与宽成比例, 故答案为:甲,丙; (2)解:方案:图乙中,长减少7时,与(1)中矩形的长与宽成比例.理由如下: 设图乙中,长减少x时,与(1)中矩形的长与宽成比例,则 , 解得, ∴图乙中,长减少7时,与(1)中矩形的长与宽成比例. 【题型四】黄金分割 【例4】(九年级上 辽宁锦州 期中)已知线段,点C是线段的黄金分割点(),则的长为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割的定义:线段上一点把线段分为较长线段和较短,若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项,即较长线段是整个线段的倍,则这个点叫这条线段的黄金分割点;根据较长线段是整个线段的倍直接求解即可得到答案. 【详解】解:∵线段,点C是线段的黄金分割点(), ∴, ∴, 故选:C. 【举一反三】 1.(24-25九年级上 广西南宁 阶段练习)两千多年前,古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割,即:如图,点是线段上一点,若满足,则称点是的黄金分割点.黄金分割在日常生活中广泛应用,若舞台长,主持人从舞台一侧进入,走到舞台的黄金分割点处,设,则满足的方程是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割,理解黄金分割的概念,找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键.利用黄金分割点的定义列方程即可求解. 【详解】解:由题意得:,, ∵点P是的黄金分割点, ∴,即 ∴, 故选:A. 2.(2024 山西 中考真题)黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A,B分别在习字格的边上,且,“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处,且,若,则的长为 (结果保留根号). 【答案】或 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割的定义,正方形的性质及矩形的判定与性质,熟记黄金比是解题的关键. 先证明四边形是矩形,根据黄金分割的定义可得,据此求解即可. 【详解】解:∵四边形是正方形, ∴, 又∵, ∴, ∴, ∴四边形是矩形, ∴. 又∵, ∴, 故答案为:或. 3.(24-25九年级上 山西长治 期末)阅读下列材料,并解决问题 自然界的设计密码 —黄金比例与叶序现象的完美体现 春黄菊的头状花序呈现出一种令人惊叹的数学规律:小花以螺旋状排列,从不同方向可以数出21条深蓝螺旋和13条浅蓝螺旋,这两个数字属于著名的斐波那契数列(1,1,2,3,5,8,13,21…).斐波那契数列广泛存在于自然界中,其相邻两项的比值逐渐逼近黄金比例(约0.618).这种比例是植物生长的关键优化机制,被称为叶序现象. 具体来说,植物在生长过程中以固定的黄金角逐渐生成新的小花或种子,这种角度能够最大化空间利用率,避免重叠并形成紧密且均匀的排列.通过这种机制,春黄菊的螺旋排列不仅展现了自然选择的智慧,还体现了数学的深刻美感. 问题(1):黄金角是恰好把圆周分成的两条半径的夹角,请求出其中较小的黄金角为_(精确到). 问题(2):若斐波那契数列的无理数表达形式为,已知89是斐波那契数列中的某一项,请根据阅读材料内容,求出89的相邻两项. 【答案】(1);(2)55和143 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割的应用,解决本题的关键是熟练掌握黄金分割的概念. (1)根据黄金角是恰好把圆周分成的两条半径的夹角进行计算即可; (2)设89的前面一项为,89的后面一项为,根据斐波那契数列广泛存在于自然界中,其相邻两项的比值逐渐逼近黄金比例,进行计算即可求解. 【详解】解:(1)黄金角是恰好把圆周分成的两条半径的夹角, 其中较小的黄金角为, 故答案为:; (2)设89的前面一项为,89的后面一项为, 斐波那契数列广泛存在于自然界中,其相邻两项的比值逐渐逼近黄金比例, , 89的相邻两项分别是55和143. 好题必刷 一、单选题 1.若,则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】设,可得再代入求值即可. 【详解】解: , 设, 故选: 【点睛】本题考查的是比例的基本性质,掌握设参数法解决比例问题是解题的关键. 2.下列各组长度的线段(单位:厘米)中能构成成比例线段的是( ) A.1,2,3,4 B.2,5,6,8 C.3,6,7,9 D.3,9,6,18 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段的定义,理解:“四条线段、、、中,若,则称、、、为比例线段.”是解题的关键. 【详解】解:A.,1,2,3,4不能构成成比例线段,故不符合题意; B.,2,5,6,8不能构成成比例线段,故不符合题意; C.,3,6,7,9不能构成成比例线段,故不符合题意; D.,3,9,6,18能构成成比例线段,故符合题意; 故选:D. 3.若,则的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.非上述答案 【答案】C 【分析】只利用等比性质进行计算即可. 【详解】解:∵ ∴ 故选C. 【点睛】考查等比性质的应用,若 则 4.AB两地的实际距离m,画在一张图上的距离cm,则图上的距离与实际距离的比是( ) A.5:50 B.50:5 C.1:5000 D.5000:1 【答案】C 【分析】地图上距离与实际距离的比就是在地图上的距离A′B′与实际距离250米的比值. 【详解】解:取米作为共同的长度单位,那么AB=250米,A'B'=0.05米, 所以=, 所以图上距离与实际距离的比是1:5000, 故选C. 【点睛】本题考查了比例线段——比例尺.注意求距离的比时,首先要把单位统一. 5.若,则下列各式中不正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】设代入选项计算结果,排除错误答案. 【详解】解:设 A. 正确. B. 正确. C. 正确. D.错误. 故选:D 【点睛】考查比例的基本性质,利用换元法进行约分消元求值. 6.已知,则是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由比例的性质,设,即可求出的值. 【详解】解:根据题意, 设, ∴,,, ∴; 故选:D. 【点睛】本题考查了比例的性质,解题的关键是熟练掌握比例的性质,正确求出,,. 7.若,且,则的值是( ) A.14 B.42 C.7 D. 【答案】D 【详解】设,则所以所以. 8.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠CBA=90 ,E为边AB的黄金分割点(AE>BE),AD=AE,BC=BE.AC,DE将四边形分为四个部分,它们的面积分别用S1,S2,S3,S4表示,则下列判断正确的是( ) A.S1=4S2 B.S4=3S2 C.S1=S3 D.S3=S4 【答案】C 【分析】设AB=a.求出 ADE, ABC的面积(用a表示),可得结论. 【详解】解:设AB=a. ∵E是AB的黄金分割点,AE>EB, ∴AD=AEa,BE=BC=a(1)a, ∴S ADE•(a)2a2,S ABCaaa2, ∴S ADE=S ABC, 即S1+S2=S2+S3, ∴S1=S3, 故选:C. 【点睛】本题考查黄金分割,三角形的面积等知识,解题的关键是学会利用参数解决问题. 9.“黄金分割”给人以美感,它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用.如图(1),点把线段分成两部分,如果,那么称点是线段的黄金分割点.如图(2),点分别是线段的黄金分割点,(),若,则的长是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据题中黄金分割点定义,在图(1)中令,设,,即,解得,从而,得到黄金分割比由点分别是线段的黄金分割点,可知,,,则,,,根据,代入求解即可得到,,. 【详解】解:如图(1),点把线段分成两部分,如果,那么称点是线段的黄金分割点, 令,设,则,则由,代值得,解得, , , 点分别是线段的黄金分割点, ,,, ,,, 将,代入求解即可得到,,, 故选:A. 【点睛】本题查处黄金分割点定义,涉及黄金分割比求解及利用黄金分割比求线段长,读懂题意,理解黄金分割点定义得到比例是解决问题的关键. 10.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(,称为黄金分割比例),如图,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为,头顶至脖子下端的长度为,则其身高可能是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】设某人身高为mcm,脖子下端至肚脐的长度为ncm,由腿长为105cm,可得,解得,根据得到,由此得到答案. 【详解】解:设某人身高为mcm,脖子下端至肚脐的长度为ncm,则由腿长为105cm,可得,解得. 由头顶至脖子下端的长度为26cm, 可得, 解得. 由已知可得, 解得. 综上,此人身高m满足. 所以其身高可能为175cm. 故选:B 【点睛】此题考查比例的性质,根据题意设定未知数后得到对应成比例的线段,由此解答问题是解答此题的关键. 二、填空题 11.已知线段b是线段a、c的比例中项,如果,,那么 . 【答案】6 【分析】根据比例中项的定义得到,即可得到答案. 【详解】解:∵线段b是线段a、c的比例中项,,, ∴, ∴, 故答案为:6 【点睛】此题考查了比例中项,熟练掌握比例中项的定义是解题的关键. 12.盒中有枚黑棋和枚白棋,这些棋除颜色外无其他差别.从盒中随机取出一枚棋子,如果它是黑棋的概率是,则的值为_. 【答案】 【详解】盒中有枚黑棋和枚白棋,共有个棋,从盒中随机取出一枚棋子,如果它是黑棋的概率是可得关系式,即. 13.已知a:b:c=3:4:5,则= . 【答案】 【解析】略 14.已知点在线段上,,那么的比值是 . 【答案】 【分析】根据题意作出图形,进而即可求解. 【详解】解:如图, ∵ 设则 ∴ 故答案为: 【点睛】本题考查了比例线段,数形结合是解题的关键. 15.延长线段AB到点C,使BC=AB,则AC:AB= ,AB:BC= ,BC:AC= . 【答案】 2:1, 1:1, 1:2. 【分析】根据题意,画出图形.结合图形求得AC:AB、AB:BC、AB:BC的值. 【详解】解:如图,BC=AB,∴AC:AB=2:1,AB:BC=1:1,BC:AC=1:2. 故答案为(1). 2:1, (2). 1:1, (3). 1:2. 16.在1:500000的宜宾市地图上,新建的快速通道估计长4.28cm,那么等快速通道造好后实际长约 千米. 【答案】21.4千米 【分析】设地铁造好后实际长约x厘米.根据比例尺=图上距离:实际距离,可得4.28:x=1:500000,解方程即可求出x. 【详解】设地铁造好后实际长约x厘米,则 4.28:x=1:500000, 解得x=2140000, 即x=21.4千米, 故答案为21.4. 【点睛】考查了比例线段,解题的关键是找准对应关系以及单位的换算. 17.如图,蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比,已知蝴蝶展开的双翅的长度是7cm,则蝴蝶身体的长度约为 (精确到0.1) 【答案】4.3cm 【分析】设蝴蝶身体的长度为xcm,根据黄金比为列式计算即可. 【详解】解:设蝴蝶身体的长度为xcm, 由题意得:=, 解得:x=≈4.3, 故答案为:4.3cm. 【点睛】本题考查了黄金分割的概念和性质,掌握黄金比为是解题的关键. 18.黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A,B分别在习字格的边上,且,“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处,且,若,则的长为 (结果保留根号). 【答案】或 【分析】本题考查了黄金分割的定义,正方形的性质及矩形的判定与性质,熟记黄金比是解题的关键. 先证明四边形是矩形,根据黄金分割的定义可得,据此求解即可. 【详解】解:∵四边形是正方形, ∴, 又∵, ∴, ∴, ∴四边形是矩形, ∴. 又∵, ∴, 故答案为:或. 三、解答题 19.已知线段,,,是成比例线段,其中,,,求线段的长. 【答案】 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积,则四条线段叫成比例线段.根据定义,将a,b及c的值代入即可求得d. 【详解】解:已知a,b,c,d是成比例线段, 根据比例线段的定义得:, 代入,,, 解得:. 【点睛】本题考查了比例线段的定义:若四条线段a,b,c,d有,那么就说这四条线段成比例. 20.人体下半身(脚底到肚脐的长度)与身高的比例越接近0.618,越给人美感遗憾的是,即使是身材修长的芭蕾舞演员也达不到如此的完美某女士,身高,下半身,她应选择多高的高跟鞋看起来更美呢?(精确到) 【答案】0.05. 【分析】根据黄金分割的概念,列出方程直接求解即可. 【详解】解:设她应选择高跟鞋的高度是xm,则=0.618, 解得:x≈0.05m. 经检验,x≈0.05是原方程的解, 故本题答案为:0.05. 【点睛】本题考查了比例线段和分式方程,解题关键是根据题意设未知数列出方程.注意身高不要忘记加上高跟鞋的高度. 21.已知a、b、c、d四条线段依次成比例,其中a=3cm,b=(x﹣1)cm,c=5cm,d=(x+1)cm.求x的值. 【答案】4cm 【详解】试题分析:根据比例的基本性质熟练进行比例式和等积式的互相转换.根据题意得a:b=c:d,代入数值即可求得. 解:∵a、b、c、d四条线段依次成比例, ∴a:b=c:d. ∵a=3cm,b=(x﹣1)cm,c=5cm,d=(x+1)cm, ∴3:(x﹣1)=5:(x+1), ∴x=4cm. 故x的值为4cm. 考点:比例线段. 点评:本题主要考查比例线段的定义.注意根据已知条件写比例式的时候,一定要注意顺序.然后根据比例的基本性质进行求解. 22.同学们,现在有四条线段:,请你判断一下,它们是不是比例线段,你能试着写出五组比例线段吗? 【答案】是 【分析】根据比例性质,两个内项积等于两个外项积即可求出答案. 【详解】因为560=1520,即a:c=b:d, 所以这四条线段是比例线段, a=2cm,b=4cm,c=8cm,d=16cm, a=5m,b=20m,c=40m,d=160m, a=1cm,b=2cm,c=3cm,d=6cm, a=3m,b=9m,c=12m,d=36m, a=7cm,b=8cm,c=14cm,d=16cm, 以上五组都是比例线段. 【点睛】本题考查比例的性质,能根据内项积等于外项积判断比例线段是解题关键. 23.(1)已知线段是线段、的比例中项,如果,,求的长度. (2)已知,求的值. 【答案】(1);(2). 【分析】(1)根据线段比例中项的定义即可得; (2)根据已知比例式、平方差公式、算术平方根求解即可得. 【详解】(1)由题意得:,即, 将代入得:, 解得; (2)由得:, 整理得:,即, 解得. 【点睛】本题考查了比例线段、平方差公式、算术平方根等知识点,熟练掌握比例线段的定义是解题关键. 24.如图,四边形中,,与相交于点. (1)与的面积相等吗?为什么? (2)若,求. (3)若,且,求. 【答案】(1)相等;(2);(3). 【分析】(1)根据已知得出 ABC的边BC上的高和 DBC边BC上的高相等,设此高为h,根据三角形的面积公式求出即可; (2)根据 ABC的面积和 DBC的面积相等,都减去 OBC的面积,即可得出 AOB的面积和 DOC的面积相等; (3)求出BD=3OD,根据面积公式代入求出即可. 【详解】(1) ABC与 DBC的面积相等,理由是: ∵AD∥BC, ∴ ABC的边BC上的高和 DBC边BC上的高相等,设此高为h, ∴ ABC的面积是 , DBC的面积是 , ∵BC=BC, ∴ ABC与 DBC的面积相等; (2)∵ , ∴ , ∴ , 即 ; (3)∵BO:OD=2:1, ∴BD=3OD, ∵ AOD的边OD上的高和 ABD的边BD上的高相等,设此高为a, ∵ , ∴ 【点睛】本题考查了平行线之间的距离和三角形的面积,掌握平行线间的距离相等以及三角形面积公式是解题的关键. 25.阅读理解: 已知:a,b,c,d都是不为0的数,且,求证:. 证明:∵, ∴. ∴. 根据以上方法,解答下列问题: (1)若,求的值; (2)若,且a≠b,c≠d,证明. 【答案】(1);(2)证明过程见解析 【分析】(1)根据计算即可; (2)先在等式两边同时减去1再结合计算即可; 【详解】(1)∵, ∴; (2)∵, ∴, ∴, 又∵, ∴, ∴. 【点睛】本题主要考查了比例的性质应用,准确计算是解题的关键. 26.如图1所示,点C将线段AB分成两部分,如果,那么点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为S1、S2,如果,那么称直线l为该图形的黄金分割线. (1)研究小组猜想:在 ABC中,若点D为AB边上的黄金分割点,如图2所示,则直线CD是 ABC的黄金分割线,你认为对吗?说说你的理由; (2)请你说明:三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线. 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【分析】(1)结合线段的黄金分割点的概念和三角形的面积公式进行分析计算; (2)根据三角形的中线的概念可知分成的两个三角形的面积相等,显然不符合黄金分割线的概念. 【详解】解:∵, 又∵D是AB的黄金分割点, ∴,, ∴CD是 ABC的黄金分割线; (2)不是. ∵CD是 ABC的中线, ∴AD=DB, ∴, 而, ∴, ∴中线不是黄金分割线. 【点睛】考查的是线段的黄金分割点的概念和三角形的面积公式. 1 学科网(北京)股份有限公司 $$