辽宁省重点高中协作校2024-2025学年高一数学下学期期末考试模拟卷A（必修三、必修四）

绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分 辽宁省重点高中协作校2024-2025学年度下学期高一期末考试模拟卷A 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．若，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】，故选B。 2．设、是空间中的两条直线，、是空间中的两个平面，则下列说法正确的是（ ）。 A、若、，则 B、若、，则 C、若、，则 D、若、，则 【答案】B 【解析】A选项，若、，则与平行或相交，错， B选项，若、，则，对， C选项，若、，则或，错， D选项，若、，则或，错， 故选B。 3．已知，，且，则与的夹角为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】∵，，∴， 又，∴，又，∴与的夹角为，故选C。 4．已知函数（，）的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为（ ）。 A、（） B、（） C、（） D、（） 【答案】A 【解析】由图象可知，的最小正周期为，∴， ∴，∴（），∴（）， 又∵，∴（），∴， 令（），解得（）， ∴的单调递减区间为（），故选A。 5．葫芦摆件作为中国传统工艺品，深受人们喜爱，它们常被视为吉祥物，象征福禄，多子多福。如图所示的葫芦摆件从上到下可近似看作由一个圆柱与两个完整的球组成的几何体，若上、中、下三个几何体的高度之比为，且总高度为，则下面球的体积与上面球的体积之差约为（ ）。（） A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】设下面球的半径为，∵上，中，下三个几何体的高度之比为， 则上面球的半径为、圆柱的高为，由已知，∴， 故下面球的半径为、上面球的半径为， ∴下面球的体积为、上面球的体积为，又， ∴下面球的体积与上面球的体积之差约为，故选B。 6．享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下。如图所示，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（、、三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为15°，则黄鹤楼的高度约为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】由题意得、、、， ，， 在中，、、，则， 在中，， 则， 由正弦定理得， 在中，、，则、， ∴，故选C。 7．三棱锥的体积为，与都是等边三角形，、，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】取的中点，连接、，∵、， ∴，∴点就是三棱锥的外接球球心， ∵与都是等边三角形，∴设， ∵、，，、平面，∴平面， ∴、、，∴，∴是直角三角形， 又∵，∴，∴， ∴外接球的表面积为，故选C。 8．在等边中，、、分别在边、、上，且、、，则的面积的最大值为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】设（），则、、， ∵、、，∴， 在中，由正弦定理得 ， 在中，由正弦定理得 ， ∴的边长为（且）， ∵、，∴当时，的边长取得最大值为， ∴，故选B。 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）。 A、 B、是函数的图象的一个对称中心 C、函数在内单调递增 D、函数在内的值域为 【答案】BC 【解析】由题意可知， A选项，，错， B选项，令（），解得（），∴的对称中心为（）， ∴是函数的图象的一个对称中心，对， C选项，令（），解得（）， ∴的单调递增区间为（）， ∴在内单调递增，对， D选项，当时，，∴， ∴在内的值域为，错， 故选BC。 10．已知平面单位向量、满足：。设、，若与的夹角为，则的取值可以为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】AB 【解析】由得，即，又，∴， 设，则，∴， 、， 则， 设，∵，∴，则， 则，则，又∵，∴，故选AB。 11．在棱长为2的正方体中，点是对角线上的点（点与、不重合），则下列结论正确的是（ ）。 A、存在点，使得平面平面 B、存在点，使得平面 C、若的面积为，则 D、若、分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点，使得 【答案】ABD 【解析】A选项，连接、，设平面与对角线交于，∵、， ，、平面，∴平面，即平面， 又平面，∴平面平面， ∴存在点，使得平面平面，对， B选项，连接、，则，又平面，平面， ∴平面，同理由可得平面， 又，、平面，∴平面平面， 设平面与交于点，则平面，∴平面，对， C选项，连接交于点，过点作， 在正方体中，由A选项可知平面， 同理可证平面，且平面， ∴，∴为异面直线与的公垂线， ∵∽，∴，即， 此时的面积为，错， D选项，设点在平面的正投影为，在平面的正投影为， ∵平面，∴在平面内的射影为， ∵，∴， ∴在点从的中点向着点运动的过程中，点也从的中点向着点运动， ∵平面，∴，∴当为中点时，正投影也为中点， 此时在平面的正投影的面积， 因此，在点从的中点向着点运动的过程中， 的面积即从减少到趋向于，即， 同理，在点从的中点向着点运动的过程中， 点也从的中点向着点运动，的面积即从开始增加， 当与重合时，正投影与重合， 此时在平面的正投影的面积，∴， ∴在此过程中，必存在某个点使得，对， 故选ABD。 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。 12．已知、，若，则实数 。 【答案】 【解析】∵，∴，解得。 13．在中，角、、的对边分别为、、，且，若点为边的中点，且，则 。 【答案】 【解析】在中，、， 由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， ∵，∴，∴，解得。 14．图1所示几何体是一个星形正多面体，称为星形十二面体，是由对（个）平行五角星面组成的，每对平行五角星面角度关系如图2所示。一个星形十二面体有 个星芒（凸起的正五棱锥），将所有的星芒沿其底面削去后所得几何体和星形十二面体的表面积之比为 。（本小题第一个空分，第二个空分） 参考数据：。 【答案】 【解析】由图可知，每个星形十二面体有个星芒， 将每个正五棱锥沿着侧面展开与底面在同一个平面上，形成一个正五角星， 则这个正五角星的五个顶点在圆上，连接，则垂直平分， 设，正五棱锥的侧面积等于，底面积等于， 正五边形的每个内角为，则，∴， 则，∴、， 设，则，则，，则， ∴将所有的星芒沿其底面削去后所得几何体和星形十二面体的表面积之比为 。 四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分分）已知复数（），且。 （1）求复数的实部与虚部； （2）求的值； （3）若复数是关于的方程（且）的一个复数根，求的值。 【解析】（1）由题意可知，， ∴，解得，∴、， 3分 ∴，其实部为、虚部为； 6分 （2）由（1）可知，； 8分 （3）由（1）可知，是关于的方程的一个复数根， ∴，整理得， 11分 ∵，∴，解得，∴； 13分 16．（本小题满分分）已知、、，且。 （1）求实数的值； （2）求； （3）求在上的投影数量； （4）求在上的投影向量； （5）求与的夹角。 【解析】（1）由题意可知，，又，， ∴，解得； 3分 （2）由题意可知，，∴，∴； 6分 （3）由题意可知，、， 则在上的投影数量为； 9分 （4）由题意可知，、， 则在上的投影数量为； 12分 （5）由题意可知，， 又∵，∴。 15分 17．（本小题满分分）已知函数（，）的部分图象如图所示。 （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度后得到函数的图象，若对于，当 时，恒成立，求实数的取值范围。 【解析】（1）由图象可知，的周期，∴，∴， 2分 又，∴（），解得（）， 又，∴，∴， 4分 又，解得，∴； 5分 （2）由题意可知，， 6分 设， 8分 对于，当时，恒成立， 即恒成立，即恒成立， ∴在内上单调递减， 10分 令（），解得（）， ∴的单调递减区间为（）， 12分 ∵，∴，∴，令，∴的一个单调递减区间为， ∴，∴且，解得， ∴实数的取值范围为。 15分 18．（本小题满分分）如图所示，在四棱台中，底面是边长为的正方形，。 （1）证明：直线平面； （2）若，，求平面与平面所成角的余弦值。 【解析】（1）将棱台补形成棱锥，由棱台定义知平面平面， 1分 又平面平面、平面平面，∴， 2分 连接，交于点，则为中点， 3分 又∽，∴，∴为中点， 4分 ∴为的中位线，∴， 5分 又∵平面，平面，∴平面； 6分 （2）在正方形中，，又，， 、平面，∴平面，∵平面，∴， 8分 在中，，、，∴， 在中，、，∴，∴， 10分 连接，交于点，连接，交于点， 则为平面与平面的交线，设交于点， 又∽，∴，同理可知， ∴，∴平面， 13分 又平面，平面，∴、， ∴为平面与平面所成角的平面角， 14分 由得，∴， 在中，、、，∴， ∴平面与平面夹角的余弦值为。 17分 19．（本小题满分分）如图所示，在中，，、分别为边、上的一点， ，设。 （1）当时，求的长； （2）当时，求面积的取值范围。 【解析】（1）根据题意可得，由勾股定理得， 2分 则，∵，∴， 3分 ∵，∴， 4分 在中，由余弦定理得，∴， 5分 则，∴，∴，∴， 6分 ∵为的中点，∴， 在中，由余弦定理得，∴；8分 （2）由（1）可知，当时，，又当时，， 设，则当时，， 10分 在中，由正弦定理得， 11分 在中，，则， 由正弦定理得， 13分 ∴ ， 15分 ∵，∴，∴， ∴，∴， ∴面积的取值范围为。 17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分 辽宁省重点高中协作校2024-2025学年度下学期高一期末考试模拟卷A 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．若，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 2．设、是空间中的两条直线，、是空间中的两个平面，则下列说法正确的是（ ）。 A、若、，则 B、若、，则 C、若、，则 D、若、，则 3．已知，，且，则与的夹角为（ ）。 A、 B、 C、 D、 4．已知函数（，）的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为（ ）。 A、（） B、（） C、（） D、（） 5．葫芦摆件作为中国传统工艺品，深受人们喜爱，它们常被视为吉祥物，象征福禄，多子多福。如图所示的葫芦摆件从上到下可近似看作由一个圆柱与两个完整的球组成的几何体，若上、中、下三个几何体的高度之比为，且总高度为，则下面球的体积与上面球的体积之差约为（ ）。（） A、 B、 C、 D、 6．享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下。如图所示，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（、、三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为15°，则黄鹤楼的高度约为（ ）。 A、 B、 C、 D、 7．三棱锥的体积为，与都是等边三角形，、，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）。 A、 B、 C、 D、 8．在等边中，、、分别在边、、上，且、、，则的面积的最大值为（ ）。 A、 B、 C、 D、 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是 （ ）。 A、 B、是函数的图象的一个对称中心 C、函数在内单调递增 D、函数在内的值域为 10．已知平面单位向量、满足：。设、，若与的夹角为，则的取值可以为（ ）。 A、 B、 C、 D、 11．在棱长为2的正方体中，点是对角线上的点（点与、不重合），则下列结论正确的是（ ）。 A、存在点，使得平面平面 B、存在点，使得平面 C、若的面积为，则 D、若、分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点，使得 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。 12．已知、，若，则实数 。 13．在中，角、、的对边分别为、、，且，若点为边的中点，且，则 。 14．图1所示几何体是一个星形正多面体，称为星形十二面体，是由对（个）平行五角星面组成的，每对平行五角星面角度关系如图2所示。一个星形十二面体有 个星芒（凸起的正五棱锥），将所有的星芒沿其底面削去后所得几何体和星形十二面体的表面积之比为 。（本小题第一个空分，第二个空分） 参考数据：。 四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分分）已知复数（），且。 （1）求复数的实部与虚部； （2）求的值； （3）若复数是关于的方程（且）的一个复数根，求的值。 16．（本小题满分分）已知、、，且。 （1）求实数的值； （2）求； （3）求在上的投影数量； （4）求在上的投影向量； （5）求与的夹角。 17．（本小题满分分）已知函数（，）的部分图象如图所示。 （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度后得到函数的图象，若对于，当 时，恒成立，求实数的取值范围。 18．（本小题满分分）如图所示，在四棱台中，底面是边长为的正方形，。 （1）证明：直线平面； （2）若，，求平面与平面所成角的余弦值。 19．（本小题满分分）如图所示，在中，，、分别为边、上的一点，，设。 （1）当时，求的长； （2）当时，求面积的取值范围。 数学试题 第7页（共8页） 数学试题 第8页（共8页） 数学试题 第1页（共8页） 数学试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$