第21章 一元二次方程（单元测试）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版2024）

第21章 一元二次方程（单元测试） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．关于的方程：是一元二次方程，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 3．某超市一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（    ） A． B． C． D． 4．下列关于x的方程中一定有实数解的是（   ） A． B． C． D． 5．用配方法解方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 6．解方程时，如果设，那么原方程可化为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．一元二次方程的一次项系数是 ． 8．一块长方形绿地的面积为1200平方米，并且长比宽多10米，如果设长为米，根据题意可列出方程 ． 9．方程的解为 ． 10．关于x的方程有实数根，那么k的取值范围是 ． 11．某旅游景点6月份共接待游客64万人次，暑期放假学生旅游人数猛增，且每月的增长率相同，8月份共接待游客81万人次，如果每月的增长率都为x，则这个增长率为 ． 12．在实数范围内分解因式： ． 13．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 14．换元法是把方程中某些量看作一个整体，再整体代入方程的一种方法．用换元法解方程时，若设，则原方程变形后可以表示为关于的一元二次方程的一般式是 ． 15．关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 16．如果三角形的两条边长分别是4和7，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是 ． 17．已知关于的一元二次方程，设方程两个实数根分别为，且满足， ． 18．定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是 ． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．解方程：． 21．已知关于的方程． (1)若方程有实根，试求的取值范围； (2)若方程有两个实根分别为、，且满足，试求的值． 22．已知：关于x的方程． (1)求证：无论k取何值，方程总有实数根； (2)若等腰的一边长，另两边长为b，c,恰好是这个方程的两个根，求的周长． 23．“中秋季”是我国传统节日，某商店销售“美心”和“杏花楼”两个品牌的月饼，每盒“美心”月饼的售价是100元，每盒“杏花楼”月饼的售价是80元．8月份，两个品牌的月饼一共销售180盒，且总销售额为16400元， (1)8月份卖出“美心”月饼多少盒？ (2)9月份，月饼大量上市，受此影响，“美心”月饼售价降低了，销售量在8月份销售量的基础上增加了，“杏花楼”月饼的售价降低了，销售量在8月份销售量的基础上增加了，结果9月份总销售额比8月份总销售额增加了6800元，那么9月份“美心”月饼的售价为_____（用含的代数式表示），9月份“杏花楼”月饼的销售量为_____（用含的代数式表示），直接写出的值是_____ 24．同学们开展的综合实践活动中取得了系列丰硕的成果，需要推广宣传．原计划使用一块正方形场地布展，后经过研究，发现长与宽之比为的长方形场地展览效果更好，因此需要把长增加6米，宽增加2米（如图1）． (1)直接写出长方形区域的宽是_______m，长是_______m． (2)现计划将长方形区域按图2的方式进行划分，展示四各小组的项目成果，在各展区之间留宽度相等的过道．如果各展区的总面积为，求过道的宽度． 25．学校购买一批奖品．已知种奖品的单价比种奖品单价便宜9元，用128元购买种奖品的数量和用272元购买种奖品的数量总共是32个． (1)求、两种奖品的单价各是多少元？ (2)该校计划购买、两种奖品共80个，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出最低购买费用． 26.若一元二次方程有两个实数根为、，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系．利用该结论，不解方程便可以求二次方程的两根之和与积，例如的两个根分别为、．则，． (1)小聪同学喜爱思考，他发现利用根与系数的关系不仅可以求解两根之和与两根之积，还可求解方程两根的倒数和．不解方程，请求一元二次方程的两个根的倒数和． (2)小明同学酷爱数学，他进一步研究根与系数的关系，发现了一种解一元二次方程的新方法．例如方程，、、，，． 设，，则，即，解得，所以原方程的解为、．请利用小明的方法解方程． (3)小睿同学善于发现，他对三次方程的根与系数关系作了探究，将该方程两边同时除以可得．若该方程的三个根分别为、、，则，将其展开后为，于是、、．若三次方程的三个根分别为、、，且．请先说明、再直接（不必书写过程）写一个三次方程且使得该三次方程的三个根分别为、、． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 一元二次方程（单元测试） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，根据定义对每个方程进行分析，然后作出准确的判断．根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，运用定义对每个方程作出判断． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； B、是一元二次方程，故符合题意； C、含有分式，不是一元二次方程，故不符合题意； D、当时，不是一元二次方程，故不符合题意． 故选：B． 2．关于的方程：是一元二次方程，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程的二次项的系数不能为，所以关于的方程：是一元二次方程，则一定有，解不等式求出的取值范围． 【详解】解：关于的方程：是一元二次方程， ， 解得：． 故选：D． 3．某超市一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设平均每月增长率为x，则二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元，由第一季度的营业额共1000万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设平均每月增长率为x，则二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元， 根据题意得：． 故选：D． 4．下列关于x的方程中一定有实数解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程（a，b，c为常数，且）的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式进行计算即可求解． 【详解】解：A、，即， ∵ ∴方程没有实数根，故该选项不符合题意；     B、， ∵ ∴方程没有实数根，故该选项不符合题意；     C、， ∵， ∴方程没有实数根，故该选项不符合题意；     D.、， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，故该选项符合题意． 故选：D． 5．用配方法解方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程是解题的关键. 先把常数项移到等号右边，等号两边同时加上一次项系数一半的平方，最后配方即可. 【详解】解：， ， ， ， 故选：C. 6．解方程时，如果设，那么原方程可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题主要考查了换元法解分式方程．先将原方程根据完全平方公式变形，然后用换元即可解答． 【详解】解：， ∴， 设，则， 整理得：． 故选：C． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．一元二次方程的一次项系数是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程一般形式的一次项系数的概念进行解答即可． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故答案为： 8．一块长方形绿地的面积为1200平方米，并且长比宽多10米，如果设长为米，根据题意可列出方程 ． 【答案】 【分析】本题考查列一元二次方程，设长为米，则宽为米，根据面积等于长乘宽列方程即可． 【详解】解：如果设长为米，则宽为米， 由此可得， 故答案为：． 9．方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了直接开平方法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键．利用直接开平方法计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即，． 故答案为：，． 10．关于x的方程有实数根，那么k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据，说明一元二次方程有实数根，据此列式代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解： 整理得， ∵关于x的方程有实数根 ∴ 解得 故答案为：． 11．某旅游景点6月份共接待游客64万人次，暑期放假学生旅游人数猛增，且每月的增长率相同，8月份共接待游客81万人次，如果每月的增长率都为x，则这个增长率为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，根据等量关系直接列方程求解即可． 【详解】解：设每月的增长率都为x， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：这个增长率为． 故答案为：． 12．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，解一元二次方程，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．先令，求出，然后写出结果即可． 【详解】解：令， 解得：， ∴在实数范围内分解因式：． 故答案为：． 13．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，二次根式的意义，理解和掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 利用一元二次方程的定义、二次根式的意义以及根的判别式的意义得到，，且，然后求出不等式的公共部分即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且． 故答案为：且． 14．换元法是把方程中某些量看作一个整体，再整体代入方程的一种方法．用换元法解方程时，若设，则原方程变形后可以表示为关于的一元二次方程的一般式是 ． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】此题考查了换元法解方程．根据题意将直接换元即可得到答案． 【详解】解：设，则， 则可将原方程变形为， 化为一般形式为． 故答案为：． 15．关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的解、解一元二次方程．首先根据一元二次方程的定义可知，根据一元二次方程有一个根为，可得关于的一元二次方程，用十字相乘法分解因式解方程可得：或(舍去)，把不符合要求的解舍去即可． 【详解】解：是一元二次方程， ， 解得：， 一元二次方程有一个根为， ， ， 分解因式得：， 或， 解得：或(舍去)， 故答案为： ． 16．如果三角形的两条边长分别是4和7，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是 ． 【答案】15 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程及三角形三边关系，解题的关键是正确解一元二次方程． 因式分解法解一元二次方程，结合三角形三边关系及周长求解即可得到答案． 【详解】解：因式分解得，， 解得：， ， ∴3，4，7不能构成三角形， ∴三角形三边为4，4，7， ∴周长为：， 故答案为：15． 17．已知关于的一元二次方程，设方程两个实数根分别为，且满足， ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则+． 由题意得所以，代入得到，换元解方程即可． 【详解】解：因为是关于x的一元二次方程的两个实数根， 所以． 又因为， 所以， 解得， 经检验，两根都是原方程的解，且满足， 所以k的值为或． 故答案为：或． 18．定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3) (4)， 【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得，，； （2）解：， ， ， ， 解得，，； （3）解：， ， ， 解得，； （4）解：， ， ， ， ∴， 解得，，． 【点睛】本题考查了直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法解一元二次方程．熟练掌握直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法解一元二次方程是解题的关键． 20．解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查的知识点是分式方程的解法，解题的关键是熟练的掌握分式方程的解法.根据分式方程的解法步骤即可得到答案. 【详解】解： 去分母的得： 去括号并合并同类项得： 解得： 经检验，当时，， 当时， ∴方程的解为： 21．已知关于的方程． (1)若方程有实根，试求的取值范围； (2)若方程有两个实根分别为、，且满足，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值． 【详解】（1）解：关于的方程， ， 解得：； （2）方程有两个实根分别为、， ，， ， ， ， ， ， ， 或， 或， 时，方程有实根， ． 22．已知：关于x的方程． (1)求证：无论k取何值，方程总有实数根； (2)若等腰的一边长，另两边长为b，c,恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，三角形的三边关系，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当时；当或时，分别求出的值，进而得到另两边边长，再根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】（1）证明：， ，即， 无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：当时，，则， 方程化为，解得， 的周长； 当或时， 把代入方程得，解得， 方程化为，解得，， 不符合三角形三边的关系，此情况舍去， 的周长为5． 23．“中秋季”是我国传统节日，某商店销售“美心”和“杏花楼”两个品牌的月饼，每盒“美心”月饼的售价是100元，每盒“杏花楼”月饼的售价是80元．8月份，两个品牌的月饼一共销售180盒，且总销售额为16400元， (1)8月份卖出“美心”月饼多少盒？ (2)9月份，月饼大量上市，受此影响，“美心”月饼售价降低了，销售量在8月份销售量的基础上增加了，“杏花楼”月饼的售价降低了，销售量在8月份销售量的基础上增加了，结果9月份总销售额比8月份总销售额增加了6800元，那么9月份“美心”月饼的售价为_____（用含的代数式表示），9月份“杏花楼”月饼的销售量为_____（用含的代数式表示），直接写出的值是_____ 【答案】(1)8月份卖出“美心”月饼盒 (2)，， 【分析】本题考查一元一次方程的运用，代数式表示，以及一元二次方程的运用，解题的关键在于根据题意找准等量关系． （1）设8月份卖出“美心”月饼盒，则8月份卖出“杏花楼”月饼盒，根据“总销售额为16400元，”建立方程求解，即可解题； （2）根据题意列出代数式即可得到9月份“美心”月饼的售价与9月份“杏花楼”月饼的销售量，再根据“9月份总销售额比8月份总销售额增加了6800元，”建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：设8月份卖出“美心”月饼盒， 则8月份卖出“杏花楼”月饼盒， 根据题意可知：， 整理得， 解得， 答：8月份卖出“美心”月饼盒． （2）解：根据题意可知，9月份“美心”月饼的售价为， 9月份“美心”月饼的销售量为， 9月份“杏花楼”月饼的售价为， 9月份“杏花楼”月饼的销售量为， ， 整理得， 解得，， ， ． 故答案为：，，． 24．同学们开展的综合实践活动中取得了系列丰硕的成果，需要推广宣传．原计划使用一块正方形场地布展，后经过研究，发现长与宽之比为的长方形场地展览效果更好，因此需要把长增加6米，宽增加2米（如图1）． (1)直接写出长方形区域的宽是_______m，长是_______m． (2)现计划将长方形区域按图2的方式进行划分，展示四各小组的项目成果，在各展区之间留宽度相等的过道．如果各展区的总面积为，求过道的宽度． 【答案】(1)8， (2)过道的宽度为 2 米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）设正方形的边长为米，则，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）设过道的宽度为米，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：设正方形的边长为米，则， ∵长与宽之比为， ∴， 解得，， ∴，， 故答案为：8，． （2）解：设过道的宽度为米， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴过道的宽度为2米． 25．学校购买一批奖品．已知种奖品的单价比种奖品单价便宜9元，用128元购买种奖品的数量和用272元购买种奖品的数量总共是32个． (1)求、两种奖品的单价各是多少元？ (2)该校计划购买、两种奖品共80个，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出最低购买费用． 【答案】(1)奖品的单价8元，则奖品的单价是17元 (2)购买奖品80个，购买奖品20个，费用最小，最小费用为820元． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题、解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键： （1）设奖品的单价x元，则奖品的单价是元，根据“用128元购买种奖品的数量和用272元购买种奖品的数量总共是32个”列方程求解即可； （2）设购买奖品a个，则购买奖品个，根据“种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍”列不等式求出a的取值范围，设总费用为w元，则可求出，然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设奖品的单价x元，则奖品的单价是元， 根据题意，得， 去分母，并化简得， 解得，， 经检验，，都是原方程的解，但不符合实际意义， ∴，， 答：奖品的单价8元，则奖品的单价是17元； （2）解：设购买奖品a个，则购买奖品个， ∵种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍， ∴， 解得， 设总费用为w元， 根据题意，得， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，w有最小值，最小值为，此时， 即购买奖品80个，购买奖品20个，费用最小，最小费用为820元． 26.若一元二次方程有两个实数根为、，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系．利用该结论，不解方程便可以求二次方程的两根之和与积，例如的两个根分别为、．则，． (1)小聪同学喜爱思考，他发现利用根与系数的关系不仅可以求解两根之和与两根之积，还可求解方程两根的倒数和．不解方程，请求一元二次方程的两个根的倒数和． (2)小明同学酷爱数学，他进一步研究根与系数的关系，发现了一种解一元二次方程的新方法．例如方程，、、，，． 设，，则，即，解得，所以原方程的解为、．请利用小明的方法解方程． (3)小睿同学善于发现，他对三次方程的根与系数关系作了探究，将该方程两边同时除以可得．若该方程的三个根分别为、、，则，将其展开后为，于是、、．若三次方程的三个根分别为、、，且．请先说明、再直接（不必书写过程）写一个三次方程且使得该三次方程的三个根分别为、、． 【答案】(1) (2)、 (3)，详见解析 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系的综合应用等知识点， （1）把两根倒数和通分后代入计算即可； （2）仿照小明同学的求解即可； （3）由根与系数的关系，可得，，，代入即可证出，可设新方程为，由题意和根与系数的关系化简即可得出m，n，p的值，进而即可得解； 熟练掌握其性质并灵活运用是解决此题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）， 、、， ，． 设，， ∴，即， 解得， ∴原方程的解为、； （3）∵三次方程的三个根分别为、、，且， ∴由根与系数的关系，可得，，， ∴， 由题意得，可设新方程为， ∵新的三次方程，其三个根分别为、、， 又∵， ∴新的三次方程，其三个根分别可化为、、， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴新方程为． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$