22.2.4 一元二次方程根的判别式-【通城学典】2024年八年级数学暑期升级训练（华东师大版）

78 22.2.4 一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式:一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a ),当b2- 4ac>0时,方程 ;当b2-4ac=0时,方程 ;当b2-4ac<0 时,方程 .因此b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式,常用符号“Δ”来表示,用 它可以直接判断一元二次方程根的情况. 典例1 下列一元二次方程中,没有实数根的是 ( ) A. x2+x-2=0 B. x2-2x=0 C. x2+x+5=0 D. x2-2x+1=0 点拨:直接计算Δ=b2-4ac,当Δ<0时,方程 没有实数根. 解答: 解有所悟:根据一元二次方程根的情况与判别式Δ 的关系:(1) Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根; (2) Δ=0⇔方程有两个相等的实数根;(3) Δ<0⇔ 方程没有实数根判断即可. 典例2 已知关于x 的一元二次方程(m+ 1)x2-3x+2=0(m 为常数). (1) 如果方程有两个不相等的实数根,求m 的 取值范围; (2) 如果方程有两个相等的实数根,求m 的值; (3) 如果方程没有实数根,求m 的取值范围. 点拨:由关于x 的方程(m+1)x2-3x+2=0 (m 为常数)是一元二次方程,可得二次项系数 m+1≠0.(1) 运用b2-4ac>0建立不等式; (2) 运用b2-4ac=0建立等式;(3) 运用b2- 4ac<0建立不等式. 解答: 解有所悟:运用根的判别式b2-4ac判断一元二次 方程ax2+bx+c=0根的情况时,需注意二次项系 数a≠0,容易忽略此条件而出错. 答案讲解 典例3 已知关于x 的一元二次方程 x2+(2m+1)x+m-2=0. (1) 求证:无论m 取何值,此方程总有 两个不相等的实数根; (2) 当该方程根的判别式的值最小时,写出m 的值,并求出此时方程的解. 点拨:(1) 根据根的判别式,得出Δ=(2m+ 1)2-4×1×(m-2)=4m2+9>0,据此可得答 案;(2) 当m=0时,根的判别式的值最小,将 m=0代入方程,解之可得答案. 解答: 解有所悟:证明一元二次方程有(或无)实数根,先将 一元二次方程根的判别式进行配方,变成含完全平 方式的式子,再根据完全平方式的非负性进行判断. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)八年级 79 [基础过关] 1. 已知关于x 的方程x2+mx+1=0根的判 别式的值为12,则m 的值是 ( ) A. ±3 B. 3 C. 4 D. ±4 2. (北京中考)若关于x 的一元二次方程x2+ x+m=0有两个相等的实数根,则实数m 的值为 ( ) A. -4 B. -14 C. 1 4 D. 4 3. (淮安中考)若关于x 的一元二次方程x2- 2x-k=0没有实数根,则k的值可以是 ( ) A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 4. (河南中考)一元二次方程x2+x-1=0的 根的情况是 ( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. 请填写一个常数,使得关于x 的方程x2- 3x+ =0有两个不相等的实数根. 6. 关于x的一元二次方程(k-1)x2-2x+1= 0有两个不相等的实数根,则k的取值范围 是 . 7. 已知关于x 的一元二次方程x2-(m+ 2)x+m+1=0. (1) 求证:不论m 取任何实数,该方程总有 两个实数根; (2) 若该方程有一个根小于0,求m 的取值 范围. [综合提升] 答案讲解 8. (巴中中考)对于实数a、b定义新运 算:a※b=ab2-b.若关于x 的方 程1※x=k 有两个不相等的实数 根,则k的取值范围是 ( ) A. k>-14 B. k<-14 C. k>-14 且k≠0 D. k≥-14 且k≠0 9. 已知关于x 的一元二次方程(a+c)x2+ 2bx+(a-c)=0有两个相等的实数根,其 中a、b、c 分 别 为△ABC 三 边 的 长,则 △ABC 是 三角形. 答案讲解 10. 已知▱ABCD 的两边AB、AD 的 长