第06讲 幂指对函数（复习讲义）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第06讲 幂指对函数 目录 01 考情解码・命题预警 1 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 幂函数 3 知识点2 指数函数 3 知识点3 对数函数 4 题型破译 5 题型1 幂函数的图象、定义域、值域、解析式 5 题型2 幂函数的单调性 6 题型3 幂函数的奇偶性 7 题型4 指数函数的图象、定义域、值域、解析式 7 题型5 指数函数的单调性与最值 9 题型6 对数的运算与换底公式 10 题型7 对数函数的图象、定义域、值域 10 题型8 对数函数的单调性与值域 11 题型9 反函数 13 04真题溯源·考向感知 13 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）对数函数的定义域 （2）指数函数的单调性解不等式 单选题 填空题 解答题 第14题由指数函数的单调性解不等式 春季高考第1题对数函数的定义域 / 考情分析： 本节内容是上海高考卷的常考考内容，考查形式选择、填空题；考查难度基础。 复习目标： 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 3.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象. 4.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 5.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 6.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点. 7.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． 知识点1 幂函数 1.幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2.常见的五种幂函数的图象 3.幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数． 自主检测若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式为f（x）＝　　． 知识点2 指数函数 1.指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)． 2.指数函数及其性质 (1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 自主检测若指数函数y＝（m﹣3）x在R上是严格减函数，则实数m的取值范围是 　 　． 知识点3 对数函数 1．对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作 lg N.以e为底的对数叫做自然对数，记作 ln N. 2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)． (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM (n∈R)． (3)对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)． 3．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 增函数 减函数 4.反函数：指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 自主检测若，则lg98＝　　 ．（结果用a，b的代数式表示） 题型1 幂函数的图象、定义域、值域、解析式 例1-1如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（    ） A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是奇数，且 例1-2函数的定义域为 . 例1-3（24-25高三上·上海·期中）已知函数的表达式为，则函数的值域为 . 例1-4（24-25高三上·上海浦东新·期中）若点在幂函数的图象上，则该幂函数的表达式为 . 【变式训练1-1】已知函数的大致图像如图所示，则 ． 【变式训练1-2】已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【变式训练1-3】（24-25高三上·上海·阶段练习）设，若幂函数的定义域与值域相同，则的所有可能取值组成的集合为 ． 【变式训练1-4】若函数的定义域为，且，则实数的值为 【变式训练1-5】（2025·上海徐汇·二模）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 【变式训练1-6】若幂函数的图象过点，则 ． 题型2 幂函数的单调性 例2-1（24-25高三下·上海·阶段练习）幂函数在上是严格增函数，且经过，则a的值可能是（    ） A． B． C． D． 例2-2（2025·上海嘉定·二模）已知实数a，b满足，则下列不等式中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 例2-3已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是 ． 【变式训练2-1】已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】“”是“幂函数在区间上是严格增函数”的 条件． 【变式训练2-3】（2025·上海金山·三模）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成． (1)已知，求的取值范围； (2)若方程存在实数解，求的取值范围． 题型3 幂函数的奇偶性 例3-1已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数a的取值个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例3-2已知，若幂函数为奇函数，且在上严格单调递减，则 . 例3-3已知集合，任取，则幂函数为偶函数的概率为 .（结果用数值表示） 【变式训练3-1】设，若幂函数定义域为R，且其图像关于y轴成轴对称，则m的值可以为（    ） A．1 B．4 C．7 D．10 【变式训练3-2】设)，则“函数的图象经过点（-1，-1）”是“函数为奇函数”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练3-3】（24-25高三上·上海·期中）幂函数在定义域上是非奇非偶函数，则实数a的取值范围是 . 【变式训练3-4】已知集合，，任取，则为偶函数的概率为 . 题型4 指数函数的图象、定义域、值域、解析式 例4-1函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（　　） A． B． C． D． 例4-3已知常数且，假设无论为何值，函数的图像恒经过一个定点，则这个点的坐标为 ． 例4-4（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知， 函数 若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 例4-5（24-25高三下·上海·阶段练习）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”，已知函数在上为“局部奇函数”，则实数的最小值为 . 【变式训练4-1】已知函数，则其图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是 . 【变式训练4-3】（24-25高三上·上海嘉定·期中）函数的值域为 . 【变式训练4-4】设为常数，若，则函数的图象必定不经过第 象限 【变式训练4-5】若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【变式训练4-6】已知，若关于的方程有两解，则的取值范围是 【变式训练4-7】（24-25高三上·上海·期中）已知常数，函数经过一个定点，则该定点坐标为 . 【变式训练4-8】（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知函数. (1)若时，求函数的值域； (2)若函数的最小值是1，求实数的值. 题型5 指数函数的单调性与最值 例5-1函数的严格增区间是 . 例5-2函数的最小值为 . 例5-3（24-25高三上·上海·开学考试）已知若函数是定义在上的严格增函数，则实数的取值范围是 . 例5-4（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知函数的表达式为，则不等式的解集为 ． 例5-5）已知函数与函数的图象交于点M、N、P，此三点中最远的两点间距离为，则实数 . 【变式训练5-1】已知，则不等式的解集为 . 【变式训练5-2】（24-25高三上·江苏·开学考试）设函数，则使得成立的的解集是 ． 【变式训练5-3】（24-25高三下·上海宝山·阶段练习）设函数 ，则满足的的取值范围是 . 【变式训练5-4】（24-25高三上·上海·期中）设，若实数，满足，且函数的图像可以无限接近直线但又永远不相交，则不等式的解集为 ． 题型6 对数的运算与换底公式 例6-1（24-25高三上·上海·阶段练习）设实数，若，则 . 例6-2（24-25高三上·上海·阶段练习）若，，试用a，b表示 . 【变式训练6-1】（24-25高三下·上海静安·期中）已知，则 ．（请用含的代数式表达） 【变式训练6-2】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数，则 ． 【变式训练6-3】（24-25高三上·上海·阶段练习）若，，则 （用，表示）． 【变式训练6-4】十八世纪，瑞士数学家欧拉指出：指数源于对数，并发现了对数与指数的关系，即当，时，．已知，．则＝ ． 【变式训练6-5】已知正实数满足，，则 . 题型7 对数函数的图象、定义域、值域 例7-1函数的定义域是 ． 例7-2函数的值域为 例7-3（24-25高三上·上海·开学考试）函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为 例7-4（24-25高三上·上海·期中）已知函数的值域是，则实数的取值范围是 . 例7-5设且，若在平面直角坐标系xOy中，函数与的图像于直线l对称，则l与这两个函数图像的公共点的坐标为 ． 例7-6若函数，则图象上关于原点对称的点共 对 【变式训练7-1】已知函数恒过定点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练7-2】（2025·上海·三模）函数的定义域为 . 【变式训练7-3】函数的最小值为 . 【变式训练7-4】设且，则函数的图像恒过的定点坐标为 ． 【变式训练7-5】已知，若函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 【变式训练7-6】已知，设，则函数的值域为 ． 【变式训练7-7】已知函数，，若有且仅有一个正整数，使得不等式成立，则实数a的取值范围是 . 【变式训练7-8】已知函数的定义域为A，值域为B． (1)当时，求集合A； (2)当时，求集合B． 题型8 对数函数的单调性与值域 例8-1（24-25高三上·上海·阶段练习）若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 例8-2用函数的观点：不等式的解集为 . 例8-3（24-25高三上·上海·期中）已知函数 在区间上的最大值为 . 例8-4设常数且，若函数在区间上的最大值为1，最小值为0，则实数 . 例8-5（24-25高三上·上海·期中）已知函数，其中常数. (1)若，求不等式的解集； (2)若，试比较与的大小. 【变式训练8-1】已知为实数，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【变式训练8-2】由函数的观点，不等式的解集是 . 【变式训练8-3】若函数 在区间上严格递增，则实数取值范围是 【变式训练8-4】（24-25高三下·上海·阶段练习）设（且，）．若对任意，均成立，则当时，的取值范围为 ． 【变式训练8-5】（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知集合，，则中有 个元素. 【变式训练8-6】（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)当时，解不等式； (2)若函数的最大值是，求的值. 【变式训练8-7】（24-25高三下·上海浦东新·阶段练习）已知． (1)若函数的图象过点，求不等式的解集； (2)存在使得成等差数列，求a的取值范围. 题型9 反函数 例9-1函数的图像与函数的图像关于直线对称，则的值为 . 例9-2已知函数． (1)若，当时，求的取值范围； (2)若定义在上奇函数满足，且当时，，求在上的反函数． 【变式训练9-1】已知，函数的反函数为，且，则 ． 【变式训练9-2】设常数，若函数的反函数的图象经过点，则 ． 【变式训练9-3】设定义域为的函数、都有反函数，且函数和图像关于直线对称，若，则 一．选择题 1. （2025•上海高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 2．（2021•上海高考真题）下列函数中，在定义域内存在反函数的是　　 A． B． C． D． 二．填空题 3．（2024•上海高考真题）的定义域 　　． 4．（2022•上海高考真题）设函数的反函数为，则　　． 5．（2021•上海高考真题）已知，则（1）　　． 6．（2020•上海高考真题）已知函数，是的反函数，则　 　． 7．（2020•上海高考真题）已知，其反函数为，若有实数根，则的取值范围为　 　． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 幂指对函数 目录 01 考情解码・命题预警 1 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 幂函数 3 知识点2 指数函数 3 知识点3 对数函数 4 题型破译 5 题型1 幂函数的图象、定义域、值域、解析式 5 题型2 幂函数的单调性 9 题型3 幂函数的奇偶性 12 题型4 指数函数的图象、定义域、值域、解析式 15 题型5 指数函数的单调性与最值 21 题型6 对数的运算与换底公式 25 题型7 对数函数的图象、定义域、值域 28 题型8 对数函数的单调性与值域 35 题型9 反函数 41 04真题溯源·考向感知 43 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）对数函数的定义域 （2）指数函数的单调性解不等式 单选题 填空题 解答题 第14题由指数函数的单调性解不等式 春季高考第1题对数函数的定义域 / 考情分析： 本节内容是上海高考卷的常考考内容，考查形式选择、填空题；考查难度基础。 复习目标： 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 3.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象. 4.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 5.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 6.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点. 7.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． 知识点1 幂函数 1.幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2.常见的五种幂函数的图象 3.幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数． 自主检测若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式为f（x）＝　　． 【分析】设此幂函数的表达式为f（x）＝xα，从而可得，求解即可． 【解答】解：设此幂函数的表达式为f（x）＝xα， 依题意可得，，即，解得α＝4， 所以此幂函数的表达式为f（x）＝x4． 故答案为：x4． 【点评】本题主要考查幂函数的定义，属于基础题． 知识点2 指数函数 1.指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)． 2.指数函数及其性质 (1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 自主检测若指数函数y＝（m﹣3）x在R上是严格减函数，则实数m的取值范围是 　 　． 【分析】根据指数函数的单调性，利用底数m﹣3满足的条件求解． 【解答】解：因为指数函数y＝（m﹣3）x在R上是严格减函数， 所以0＜m﹣3＜1，解得3＜m＜4． 所以实数m的取值范围是（3，4）． 故答案为：（3，4）． 【点评】本题考查了指数函数的单调性问题，是基础题． 知识点3 对数函数 1．对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作 lg N.以e为底的对数叫做自然对数，记作 ln N. 2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)． (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM (n∈R)． (3)对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)． 3．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 增函数 减函数 4.反函数：指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 自主检测若，则lg98＝　　 ．（结果用a，b的代数式表示） 【分析】由已知结合对数的运算性质即可求解． 【解答】解：若， 则lg7＝﹣b， 则lg98＝lg2+2lg7＝a﹣2b． 故答案为：a﹣2b． 【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题． 题型1 幂函数的图象、定义域、值域、解析式 例1-1如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（    ） A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是奇数，且 【答案】B 【知识点】幂函数图象的判断及应用 【分析】由幂函数性质及时两图象的位置关系可知；由图象可知为偶函数，进而确定的特征. 【详解】由幂函数性质可知：与恒过点，即在第一象限的交点为， 当时，，则； 又图象关于轴对称，为偶函数，， 又互质，为偶数，为奇数. 故选：B. 例1-2函数的定义域为 . 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、求与幂函数有关的复合函数定义域 【分析】定义域即使得式子有意义，列出不等式即可. 【详解】由，使得式子有意义，则，则定义域为. 故答案为： 例1-3（24-25高三上·上海·期中）已知函数的表达式为，则函数的值域为 . 【答案】 【知识点】求幂函数的值域、分段函数的值域或最值、求对数函数在区间上的值域 【分析】根据幂函数和对数函数的单调性即可得到函数值域. 【详解】当，，此时单调递增，则， 当，，此时单调递增，则， 综上，函数的值域为. 故答案为：. 例1-4（24-25高三上·上海浦东新·期中）若点在幂函数的图象上，则该幂函数的表达式为 . 【答案】 【知识点】求幂函数的解析式 【分析】将的坐标代入幂函数的解析式易得结果. 【详解】将代入，得，解得. 所以该幂函数的表达式为. 故答案为：. 【变式训练1-1】已知函数的大致图像如图所示，则 ． 【答案】 【知识点】幂函数图象的判断及应用 【分析】根据图像的对称性，可得到函数的奇偶性；再由图像与坐标轴的关系，即可判断的取值. 【详解】因为图像关于轴对称，所以函数是偶函数； 又因为图像与坐标轴无交点，所以指数为负数.综上所述，. 故答案为：. 【变式训练1-2】已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据幂函数值域求参数或范围、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】判断单调递增，讨论或，根据分段函数的值域可得且，解不等式即可求解. 【详解】由函数单调递增， ①当时，若，有， 而，此时函数的值域不是； ②当时，若，有，而， 若函数的值域为，必有，可得． 则实数的取值范围为． 故答案为： 【变式训练1-3】（24-25高三上·上海·阶段练习）设，若幂函数的定义域与值域相同，则的所有可能取值组成的集合为 ． 【答案】 【知识点】求幂函数的值域、求幂函数的定义域 【分析】根据幂函数的性质一一验证即可. 【详解】当时,,其定义域和值域均为,符合题意, 当时,,其定义域为,值域为,不符合题意, 当时,,其定义域和值域均为,符合题意, 当时,,其定义域和值域均为R,符合题意, 当时,,其定义域为R,值域为,不符合题意, 当时,,其定义域和值域均为R,符合题意, 综上当幂函数的值域与定义域相同时,则a的所有可能取值组成的集合为. 故答案为:. 【变式训练1-4】若函数的定义域为，且，则实数的值为 【答案】1 【知识点】由奇偶性求参数、求幂函数的定义域 【分析】利用函数的定义域求出的取值集合，再利用偶函数的特性求解即得. 【详解】由函数的定义域为，得，解得， 而，则，由，得函数为偶函数，因此， 所以实数的值为1. 故答案为：1 【变式训练1-5】（2025·上海徐汇·二模）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 【答案】 【知识点】求幂函数的值域、求幂函数的解析式 【分析】根据幂函数定义代入点可得，即可得函数值域. 【详解】设幂函数， 代入点可得，即， 可得， 因为，可得，所以该幂函数的值域是. 故答案为：. 【变式训练1-6】若幂函数的图象过点，则 ． 【答案】 【知识点】求幂函数的解析式、求幂函数的值 【分析】首先求幂函数的解析式，再求函数值. 【详解】由题意可知，，即，得， 所以，. 故答案为： 题型2 幂函数的单调性 例2-1（24-25高三下·上海·阶段练习）幂函数在上是严格增函数，且经过，则a的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断一般幂函数的单调性、求幂函数的解析式 【分析】根据幂函数的单调性可排除A；根据幂函数过点，可排除B和 D. 【详解】因为幂函数在上是严格增函数，所以，故A错误. 对于B，若，则，当时，，不经过，故B错误. 对于C ，若，则，当时，，经过，故C正确. 对于D，若，则，定义域为，不符合题意，故D错误. 故答案为：C. 例2-2（2025·上海嘉定·二模）已知实数a，b满足，则下列不等式中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小、由基本不等式比较大小 【分析】根据幂函数的单调性、特殊值、基本不等式、指数函数的单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，幂函数在上单调递增， 由于，所以，A选项不等式恒成立. B选项，当时，，但，B选项不等式不恒成立. C选项，，根据基本不等式可知，B选项不等式恒成立. D选项，指数函数在上单调递增， 由于，所以，D选项不等式恒成立. 故选：B 例2-3已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由幂函数的单调性解不等式、求幂函数的解析式 【分析】由指数运算可得出的值，可得出函数的解析式，分析函数的单调性，由可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，且，则，则， 因为函数为上的增函数，由可得，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式训练2-1】已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式的性质，幂函数的单调性以及通过找特值的方法，分别判断每个选项的正误即可. 【详解】当，故A错误； 当，故B错误； 构造函数为增函数，故得到，故C正确； 当，故D错误; 故选：C 【变式训练2-2】“”是“幂函数在区间上是严格增函数”的 条件． 【答案】充要 【知识点】必要条件的判定及性质、充分条件的判定及性质、由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的定义和性质可列出不等式组，求解即可判断. 【详解】幂函数在区间上是严格增函数 ，解得 “”是“幂函数在区间上是严格增函数”的充要条件. 故答案为：充要. 【变式训练2-3】（2025·上海金山·三模）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成． (1)已知，求的取值范围； (2)若方程存在实数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由幂函数的单调性解不等式 【分析】（1）将点的坐标分别代入函数、的解析式，求出、的值，可得出函数的解析式，然后利用函数的定义域、单调性结合可得出关于的不等式组，由此可求得实数的取值范围； （2）分析可知的取值范围即为函数的值域，可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由题意可得，解得，故. 因为函数在上严格减， 由可得，解得， 因此，实数的取值范围是. （2）因为方程存在实数解，即方程存在实数解， 则的取值范围即为函数的值域， 由题图可知，函数的值域为，故函数的值域为， 所以，即，解得或， 因此，实数的取值范围是. 题型3 幂函数的奇偶性 例3-1已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数a的取值个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断五种常见幂函数的奇偶性、判断一般幂函数的单调性 【分析】时，不满足单调性，或时，不满足奇偶性，当或时，满足要求，得到答案. 【详解】当时，在上单调递减，不合要求， 当时，，故为偶函数，不合要求， 当时，的定义域为，不是奇函数，不合要求， 当时，，为奇函数， 且在上单调递增，满足要求， 当时，，故为奇函数， 且在上单调递增，满足要求. 故选：B 例3-2已知，若幂函数为奇函数，且在上严格单调递减，则 . 【答案】或 【知识点】判断五种常见幂函数的奇偶性、幂函数的奇偶性的应用、判断一般幂函数的单调性 【分析】由题意，结合幂函数的性质即可求解. 【详解】由幂函数的性质知，，在第一象限内，当时，函数单调递减，当为奇数时，函数为奇函数， 所以当或时，幂函数在上单调递减，且为奇函数. 故答案为：或 例3-3已知集合，任取，则幂函数为偶函数的概率为 .（结果用数值表示） 【答案】 【知识点】幂函数的奇偶性的应用、计算古典概型问题的概率 【分析】根据幂函数的定义与性质，结合古典概型即可得出答案. 【详解】解：因为幂函数为偶函数，， 所以，共3种取法，又集合中有9个元素， 所以幂函数为偶函数的概率为. 故答案为： 【变式训练3-1】设，若幂函数定义域为R，且其图像关于y轴成轴对称，则m的值可以为（    ） A．1 B．4 C．7 D．10 【答案】C 【知识点】幂函数的奇偶性的应用、求幂函数的定义域 【分析】 根据幂函数的定义域和幂函数的奇偶性可以确定m的值. 【详解】 解：由题意知， 因为其图像关于y轴成轴对称，则. 故选：C． 【变式训练3-2】设)，则“函数的图象经过点（-1，-1）”是“函数为奇函数”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】必要条件的判定及性质、充分条件的判定及性质、幂函数的奇偶性的应用、求幂函数的解析式 【分析】由图象过点解得a的值的集合，再由奇函数解得a的值的集合，由两个集合相等确定充要条件关系. 【详解】∵的图象经过点，， ∴ 又∵ ∴ ∵为奇函数， ∴ ∴ “的图象经过点”是“为奇函数”的充要条件. 故选：C. 【变式训练3-3】（24-25高三上·上海·期中）幂函数在定义域上是非奇非偶函数，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】判断五种常见幂函数的奇偶性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】利用给定的幂函数性质，结合函数奇偶性定义求出的范围. 【详解】当时，，则，且，函数是奇函数，不符合题意； 当且时，关于数0不对称，此时幂函数是非奇非偶函数， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 【变式训练3-4】已知集合，，任取，则为偶函数的概率为 . 【答案】/ 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、判断五种常见幂函数的奇偶性、计算古典概型问题的概率、交集的概念及运算 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，根据交集的定义求出，再根据幂函数的性质得到符合题意的，最后由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】由，解得， 所以， 又，所以， 又且为偶函数，所以共种取法，又集合中有个元素， 所以幂函数为偶函数的概率. 故答案为： 题型4 指数函数的图象、定义域、值域、解析式 例4-1函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据指数型函数图象判断参数的范围 【分析】根据函数的单调性和与轴的交点结合指数函数的性质可求解. 【详解】若，为增函数， 且，与图象不符， 若，为减函数， 且，与图象相符，所以， 当时，， 结合图象可知，此时，所，则，所以， 故选:C. 例4-2函数的定义域是 . 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、求指数（型)函数的定义域 【分析】根据定义域求法解决即可. 【详解】由题知，，解得， 所以函数的定义域是， 故答案为： 例4-3已知常数且，假设无论为何值，函数的图像恒经过一个定点，则这个点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据指数函数恒过定点求解即可． 【详解】因为当时，即时，， 所以函数的图像恒经过定点， 故答案为：． 例4-4（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知， 函数 若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 【答案】 【知识点】求指数型复合函数的值域、分段函数的值域或最值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】就分段函数的每一段判断其单调性，求出值域，根据题意得到关于的不等式，解之即得. 【详解】当时，因，为减函数，故； 当时，因，为减函数，故. 依题意，该函数存在最小值，需使，解得. 故实数的取值范围是. 故答案为：. 例4-5（24-25高三下·上海·阶段练习）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”，已知函数在上为“局部奇函数”，则实数的最小值为 . 【答案】 【知识点】函数新定义、基本不等式求和的最小值、求指数型复合函数的值域 【分析】由“局部奇函数”的定义可知，存在，使得，结合基本不等式可求出实数的最小值. 【详解】函数的定义域为， 由题意可知，存在，使得，即， 可得，所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，实数的最小值为. 故答案为：. 【变式训练4-1】已知函数，则其图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状 【分析】通过求函数的定义域及函数值的范围，利用排除法可求解. 【详解】因为，所以，所以函数的定义域为，所以选项A和D不符合题意，，当时，，所以，即，所以C不符合题意， 利用排除法，选项B符合题意. 故选：B 【变式训练4-2】若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【知识点】根据函数是指数函数求参数、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、由指数函数的单调性解不等式 【分析】根据指数函数的性质以及单调性，即可得到关于的不等式，求解不等式即可得到结果. 【详解】由已知可得，且. 又时，， 即 ， 所以有，即， 解得或. 故答案为：或. 【变式训练4-3】（24-25高三上·上海嘉定·期中）函数的值域为 . 【答案】 【知识点】求二次函数的值域或最值、求指数函数在区间内的值域、分段函数的值域或最值 【分析】根据函数的解析式求得函数的值域. 【详解】当时，， 当时，， 所以函数的值域为. 故答案为： 【变式训练4-4】设为常数，若，则函数的图象必定不经过第 象限 【答案】二 【知识点】函数图象的变换、指数函数图像应用 【分析】由指数函数的性质与图象的平移可得. 【详解】已知, 则指数函数单调递增，过定点，且， 函数的图象是由函数函数向下平移个单位， 作出函数的图象，可知图象必定不经过第二象限. 故答案为：二. 【变式训练4-5】若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域） 【分析】由指数函数性质求解 【详解】令，由题意得的值域为， 又的值域为，所以解得 所以的取值范围为． 故答案为： 【变式训练4-6】已知，若关于的方程有两解，则的取值范围是 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、指数函数图像应用 【分析】将问题转化为与的图象有两个交点，再利用数形结合即可得解. 【详解】由，可得， 所以方程有两个解等价于函数与的图象有两个交点， 因为的图象可由保留轴上方的图象，再把轴下方的图象翻折到轴上方得到， 所以作出函数与的图象，如图，    由图可知，要使函数与的图象有两个公共点， 必须满足，即，则实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式训练4-7】（24-25高三上·上海·期中）已知常数，函数经过一个定点，则该定点坐标为 . 【答案】 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】对函数解析式变形，得到，令，解题即可. 【详解】对函数解析式变形，得到， 令，解.代入解析式，得到，经过一个定点. 故答案为： . 【变式训练4-8】（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知函数. (1)若时，求函数的值域； (2)若函数的最小值是1，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求二次函数的值域或最值、求指数函数在区间内的值域、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）化简（），再利用换元法得（），从而代入求函数的值域； （2）（），讨论以确定函数的最小值及最小值点，从而求. 【详解】（1）（）， 设，得（）. 当时，（）. 所以，. 所以，， 故函数的值域为. （2）由（1）（）， ①当时，， 令，得，不符合舍去； ②当时，， 令，得，或，不符合舍去； ③当时，， 令，得，不符合舍去. 综上所述，实数的值为. 题型5 指数函数的单调性与最值 例5-1函数的严格增区间是 . 【答案】 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、判断指数函数的单调性、判断二次函数的单调性和求解单调区间 【分析】由指数函数、二次函数单调性结合复合函数单调性单调性即可求解. 【详解】因为关于单调递减，若函数关于单调递增， 则由复合函数单调性可知只需单调递减即可， 而的单调递减区间为， 所以函数的严格增区间是. 故答案为：. 例5-2函数的最小值为 . 【答案】12 【知识点】求已知指数型函数的最值、判断指数型复合函数的单调性 【分析】根据函数的定义域，讨论的不同取值，去绝对值，再根据函数的单调性求函数的最小值. 【详解】函数的定义域需满足，即，即定义域为， 当时，， 函数在区间单调递减，当时，， 当时，， 函数在区间单调递减，当时，， 综上可知，函数的最小值为. 故答案为： 例5-3（24-25高三上·上海·开学考试）已知若函数是定义在上的严格增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由指数（型）的单调性求参数、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据分段函数的单调性，结合指数函数及一次函数性质列不等式求范围. 【详解】由题设，. 故答案为： 例5-4（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知函数的表达式为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、解分段函数不等式 【分析】根据题意分和两种情况，结合指数函数单调性解不等式即可. 【详解】因为， 若，则，即，解得； 若，则，解得； 综上所述：不等式的解集为. 故答案为：. 例5-5）已知函数与函数的图象交于点M、N、P，此三点中最远的两点间距离为，则实数 . 【答案】 【知识点】由函数对称性求函数值或参数、指数函数y=2x和y=(1/2)x的图像和性质 【分析】根据题意可得两函数均是以点为对称中心的函数，结合对称中心的性质建立等式即可求解. 【详解】不妨记，， 函数，与是奇函数且关于坐标原点对称， 所以两个函数均是以点为对称中心的函数， 所以三个交点其中一个必是点，另外两个点关于点对称， 不妨记，设， 所以，即，解得或，. 故答案为：. 【点睛】求出函数对称中心，利用函数对称中心的性质是求解本题的关键. 【变式训练5-1】已知，则不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】公式法解绝对值不等式、根据函数的单调性解不等式、判断指数型复合函数的单调性 【分析】利用函数的单调性脱去法则，再解不等式即得. 【详解】函数都是R上的增函数，则函数是R上的增函数， 不等式，则，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【变式训练5-2】（24-25高三上·江苏·开学考试）设函数，则使得成立的的解集是 ． 【答案】 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、判断指数型复合函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】判断函数的性质，再利用性质求解不等式. 【详解】函数的定义域为R，，则为奇函数， 又函数分别为R上的增函数和减函数，于是是R上的增函数， 不等式化为， 即，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 【变式训练5-3】（24-25高三下·上海宝山·阶段练习）设函数 ，则满足的的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式、解分段函数不等式、判断指数函数的单调性 【分析】根据分段函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增，函数为常函数， 所以分段函数在单调递增，在不具有单调性， 且，即当时，， 因为，所以，解得， 所以满足的的取值范围是. 故答案为： 【变式训练5-4】（24-25高三上·上海·期中）设，若实数，满足，且函数的图像可以无限接近直线但又永远不相交，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【知识点】指数函数图像应用、由指数函数的单调性解不等式 【分析】利用函数的图象特点，再结合的图象无限趋近于1，可得，的值，则不等式可解． 【详解】解：因为趋近时，趋近于0， 所以趋近时，趋近于，所以，所以， 所以，所以不等式可化为， 又因为是减函数，所以，解得或. 故答案为：或． 题型6 对数的运算与换底公式 例6-1（24-25高三上·上海·阶段练习）设实数，若，则 . 【答案】 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】先根据对数的运算法则，将进行变形，再结合已知条件来求解. 【详解】根据对数运算法则，对于，所以. 已知，将其代入中，可得. 故答案为：14. 例6-2（24-25高三上·上海·阶段练习）若，，试用a，b表示 . 【答案】 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】根据题意，由对数的运算代入计算化简，即可得到结果. 【详解】， 因为，所以，所以. 故答案为：. 【变式训练6-1】（24-25高三下·上海静安·期中）已知，则 ．（请用含的代数式表达） 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】根据换底公式及对数的运算性质可得结果. 【详解】由题意得，. 故答案为：. 【变式训练6-2】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数，则 ． 【答案】 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、对数的运算 【分析】利用分段函数，代值求解即可. 【详解】因为，所以． 故答案为：. 【变式训练6-3】（24-25高三上·上海·阶段练习）若，，则 （用，表示）． 【答案】 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】利用对数的运算性质用表示即可. 【详解】由题设，， 所以，， 所以，，而， 所以. 故答案为： 【变式训练6-4】十八世纪，瑞士数学家欧拉指出：指数源于对数，并发现了对数与指数的关系，即当，时，．已知，．则＝ ． 【答案】2 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】利用指数与对数的关系、对数的运算性质、换底公式运算即可得解. 【详解】解：由题意，，时，， ∴，， ∴ . 故答案为：2. 【变式训练6-5】已知正实数满足，，则 . 【答案】/ 【知识点】指数幂的化简、求值、运用换底公式化简计算 【分析】令，则由可得，从而可求出的值，再结合求出，即可得解. 【详解】令，则， 由，得， 所以，解得或， 所以或， 所以或， 当时，则， 由，得，所以， 由，又，解得， 所以； 当时，由，得，所以， 由，又，解得， 所以， 综上所述，. 故答案为：. 题型7 对数函数的图象、定义域、值域 例7-1函数的定义域是 ． 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【分析】由对数函数的定义可得，解不等式即可得出答案. 【详解】函数的定义域是， 所以，解得：或. 所以函数的定义域为：. 故答案为：. 例7-2函数的值域为 【答案】 【知识点】求对数函数在区间上的值域 【分析】利用对数函数的单调性易得函数的值域. 【详解】因为在上单调递增，故在上也单调递增，所以，即，故的值域为. 故答案为: . 例7-3（24-25高三上·上海·开学考试）函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为 【答案】 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】令，计算即可求解. 【详解】由题意知，令，得， 将代入解析式中，得， 则函数的图象恒定点，即. 故答案为： 例7-4（24-25高三上·上海·期中）已知函数的值域是，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围 【分析】对符合函数进行拆分，由外函数值域得出内函数值域，再通过讨论参数，列出不等式求得参数范围. 【详解】令，则，要使得的值域为，则函数的值域满足， 当时，即函数开口向上，且最小值小于等于0， ∴，∴， 当时，满足题意， 综上所述：. 故答案为： 例7-5设且，若在平面直角坐标系xOy中，函数与的图像于直线l对称，则l与这两个函数图像的公共点的坐标为 ． 【答案】/ 【知识点】对数函数图象的应用 【分析】根据两函数的图象关于直线l对称，再结合底数互为倒数的两个对数函数的图象关于轴对称，可求得，从而可得出答案. 【详解】， 因为函数与的底数互为倒数， 而底数互为倒数的两个对数函数的图象关于轴对称， 函数与的图像于直线l对称， 所以函数与的图像于轴对称， 即直线l为轴， 所以，所以， 则两个函数分别为，， 令，得，解得，此时， 所以l与这两个函数图像的公共点的坐标为. 例7-6若函数，则图象上关于原点对称的点共 对 【答案】 【知识点】分段函数的性质及应用、对数函数图象的应用、正弦函数图象的应用 【分析】由题意可知观察的图象与关于原点对称的函数的图象交点个数即可，由此作出相应函数图象，数形结合，可得答案. 【详解】由题意图象上关于原点O对称的点的个数， 只需观察的图象与关于原点对称的函数的图象交点个数即可， 作出函数和的图象如图：    由上图可知：两个图象交点个数为4个， 即函数，则图象上关于原点对称的点共4对. 故答案为：4． 【变式训练7-1】已知函数恒过定点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】令，即可求解恒过定点，进而求解. 【详解】令，解得，此时， 所以恒过定点，则， 所以. 故选：C 【变式训练7-2】（2025·上海·三模）函数的定义域为 . 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【分析】根据对数真数大于零以及二次根式有意义的条件列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则，解得， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 【变式训练7-3】函数的最小值为 . 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的值域、求对数函数的最值 【分析】根据对数的运算性质将函数化简为，再结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为 ， 当，即时，取到最小值，且. 故答案为： 【变式训练7-4】设且，则函数的图像恒过的定点坐标为 ． 【答案】 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】令，求得恒成立，进而得到函数恒过定点，得到答案. 【详解】令，可得恒成立， 所以函数的图象恒过定点. 故答案为：. 【变式训练7-5】已知，若函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围、利用导数研究能成立问题、根据二次函数的最值或值域求参数、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解即可. 【详解】由对数函数的定义和单调性可知，且当时，， 当时因为一元二次函数的对称轴为， 所以当时，， 若函数的值域为，则解得； 当时，， 若函数的值域为，则， 令，所以， 令，表示对称轴为，开口向下的抛物线， 因为，，所以存在使得， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又因为，，所以由解得， 综上， 故答案为： 【变式训练7-6】已知，设，则函数的值域为 ． 【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、与二次函数相关的复合函数问题、求对数型复合函数的值域 【分析】确定函数的定义域，化简可得的表达式，换元令，可得，结合二次函数的性质即得答案. 【详解】由题意得，则，即的定义域为， 故， 令，则， 函数在上单调递增，故， 故函数的值域为， 故答案为： 【变式训练7-7】已知函数，，若有且仅有一个正整数，使得不等式成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】对数函数图象的应用、幂函数图象的判断及应用、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】根据函数解析式，分情况作图，利用图象可得的取值，建立不等式，可得答案. 【详解】函数，， 当时，可得作图如下： 由题意，若，则，化简可得，解得， 当时，，，此时不符合题意， 当时，令，， 令，且函数图象的对称轴为直线， 由，则或，所以函数在上单调递减， 可得，则，在上单调递减， ，则在上恒成立，所以此时不符合题意； 当时，可作图如下： 显然不存在符合题意的. 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 【变式训练7-8】已知函数的定义域为A，值域为B． (1)当时，求集合A； (2)当时，求集合B． 【答案】(1) (2) 【知识点】求对数型复合函数的定义域、求对数型复合函数的值域 【分析】（1）根据对数定义需满足真数大于0恒成立，求出对应的定义域； （2）先求出定义域，再应用对勾函数性质求出取值范围，最后求出值域即可. 【详解】（1）当时，所以， 若则不等式无解，所以， 即，即，解得或， 所以； （2）当时，所以， 若则不等式无解，所以， 即，解得此时不等式恒成立，所以定义域， 又当时恒成立（当且仅当时等号成立）， 所以， 所以，所以 题型8 对数函数的单调性与值域 例8-1（24-25高三上·上海·阶段练习）若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数型复合函数的单调性、由对数（型）的单调性求参数 【分析】根据对数型复合函数的单调性可知在上单调递增且大于恒成立，即可得到，解得即可. 【详解】因为在定义域上单调递减， 要使函数在上是严格减函数， 则在上单调递增且大于恒成立， 所以，解得， 即实数的取值范围. 故选：B 例8-2用函数的观点：不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】对数函数单调性的应用、由指数函数的单调性解不等式 【分析】由不等式可得，令函数再根据函数单调性即可求解 【详解】由不等式可得， 令函数，定义域为， 由于，均为定义域内的增函数， 所以在定义域内单调递增，且， 对应不等式即为，解之得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 例8-3（24-25高三上·上海·期中）已知函数 在区间上的最大值为 . 【答案】0 【知识点】研究对数函数的单调性、求对数函数的最值 【分析】根据对数函数的单调性直接求解即可． 【详解】因为在区间上单调递减， 所以当时，函数 在区间上的最大值. 故答案为：0. 例8-4设常数且，若函数在区间上的最大值为1，最小值为0，则实数 . 【答案】2 【知识点】对数的运算、对数型复合函数的单调性、求对数函数的最值、根据对数函数的最值求参数或范围 【分析】通过对与分别判断函数的单调性，求出函数的最大值与最小值，进而求解. 【详解】当时，函数在区间上单调递增， 所以，解得 当时，函数在区间上单调递减， 所以，无解 故答案为：2 例8-5（24-25高三上·上海·期中）已知函数，其中常数. (1)若，求不等式的解集； (2)若，试比较与的大小. 【答案】(1)； (2) 【知识点】对数的运算、作差法比较代数式的大小、由对数函数的单调性解不等式、比较对数式的大小 【分析】（1）利用对数函数的性质及对数运算计算即可； （2）分类讨论a的范围，结合对数函数的单调性及作差法比较大小即可. 【详解】（1）时，，易知， 所以， 则不等式等价于， 即，解之得或， 结合定义域知不等式解集为； （2）易知当时，， 若，则，所以， 则，即； 若，则， 所以， 则，即； 综上所述：. 【变式训练8-1】已知为实数，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、比较指数幂的大小、对数函数单调性的应用 【分析】利用充分条件与必要条件的定义结合指对数函数的单调性即可求解. 【详解】充分性：由题知，﹐由，可得，可以取负实数，不满足对数函数的定义域，因此不能推出，故不充分； 必要性：时，可以得出，进而，故必要； 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B. 【变式训练8-2】由函数的观点，不等式的解集是 . 【答案】 【知识点】判断指数函数的单调性、研究对数函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】由不等式可得，构建函数，利用函数单调性解不等式. 【详解】由不等式，可得， 令，可知的定义域为， 因为在定义域上单调递增， 可知在定义域上单调递增，且， 对于不等式即为，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 【变式训练8-3】若函数 在区间上严格递增，则实数取值范围是 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由对数（型）的单调性求参数 【分析】由复合函数的单调性，函数在区间上严格递减，在区间上恒成立，即在区间上恒成立，求出在区间上的范围结合可得答案. 【详解】令，则， 函数在区间上严格递增， 由函数在区间上严格递减， 则在区间上严格递减，且， 则由在区间上恒成立，得在区间上恒成立， 因为时，，所以. 且由，得， 则实数取值范围是. 故答案为：. 【变式训练8-4】（24-25高三下·上海·阶段练习）设（且，）．若对任意，均成立，则当时，的取值范围为 ． 【答案】； 【知识点】由对数函数的单调性解不等式 【分析】利用恒等式可求出参数，，再利用对数运算性质进行求解对数不等式即可. 【详解】由均成立，可得恒成立， 即， 则，因为，所以，解得， 所以， 由，则， 故答案为： 【变式训练8-5】（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知集合，，则中有 个元素. 【答案】2 【知识点】对数型复合函数的单调性、圆的对称性的应用、根据交集结果求集合元素个数、奇偶函数对称性的应用 【分析】结合偶函数和圆的图象性质即可得到结果. 【详解】由且知，为偶函数， 故函数图象关于y轴对称， 当时，作出与圆的图象，如图， 由图象知，当时，有一个交点， 再由偶函数图象的对称性可知，当时，也有一个交点． 综上，图象与圆有两个交点， 所以中的元素个数为2个． 故答案为：. 【变式训练8-6】（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)当时，解不等式； (2)若函数的最大值是，求的值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】判断指数函数的单调性、对数型复合函数的单调性、根据对数函数的最值求参数或范围、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据复合型对数函数的单调性解不等式求解集； （2）令，问题化为在上最大值为，利用二次函数性质研究最值并列方程求参数. 【详解】（1）由题意，则，可得，即； （2）令，而在定义域内单调性递增， 所以，最大值是，则只需，令， 所以在上最大值为， 根据二次函数性质有，则函数的图象开口向下，对称轴为， 所以，则， 整理得，可得或（舍）. 【变式训练8-7】（24-25高三下·上海浦东新·阶段练习）已知． (1)若函数的图象过点，求不等式的解集； (2)存在使得成等差数列，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】对数型函数图象过定点问题、等差中项的应用、由对数函数的单调性解不等式、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）求出底数，再根据对数函数的单调性可求不等式的解； （2）存在使得成等差数列等价于在上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求a的取值范围． 【详解】（1）由过，可得，则，解得（负值舍去）， 因为在上单调递增，， 则，解得，故所求解集为． （2）因为成等差数列，所以， 即有解，化简可得， 则，且， 故在上有解， 令，则 所以，又因为，所以． 题型9 反函数 例9-1函数的图像与函数的图像关于直线对称，则的值为 . 【答案】/1+e 【知识点】反函数的性质应用 【分析】根据反函数性质求解. 【详解】在中，令得， 由反函数的性质知. 故答案为：. 例9-2已知函数． (1)若，当时，求的取值范围； (2)若定义在上奇函数满足，且当时，，求在上的反函数． 【答案】(1) (2) 【知识点】函数奇偶性的应用、由对数函数的单调性解不等式、求反函数 【分析】(1)根据对数函数的单调性解对数不等式； (2)根据奇函数的定义结合反函数的求解方法求解. 【详解】（1）原不等式可化为， 所以，且，且， 得． 所以的取值范围是. （2）因为是奇函数，所以，得， 当时，， ， 此时，，． 当时，，， ， 此时，，，．． 所以． 【变式训练9-1】已知，函数的反函数为，且，则 ． 【答案】 【知识点】反函数的性质应用、求函数值 【分析】由条件可得，然后求出的值，然后可得答案. 【详解】因为，所以，所以，所以， 所以． 故答案为： 【变式训练9-2】设常数，若函数的反函数的图象经过点，则 ． 【答案】2 【知识点】反函数的性质应用 【分析】根据原函数和反函数图象关于直线对称求解. 【详解】由题意得的图象过， 所以，解得． 故答案为:2. 【变式训练9-3】设定义域为的函数、都有反函数，且函数和图像关于直线对称，若，则 【答案】 【知识点】反函数的性质应用 【分析】根据函数和图像关于直线对称列式，求得的值. 【详解】依题意，令，由于函数和图像关于直线对称， 故，的反函数是，而，故，解得，即 故答案为: 一．选择题 1. （2025•上海高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 【答案】D 【分析】利用指数函数的性质分类讨论与1的关系即可判定选项. 【详解】∵，∴， 当时，定义域上严格单调递减， 此时若，则一定有成立，故D正确，C错误； 当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误. 故选：D 2．（2021•上海高考真题）下列函数中，在定义域内存在反函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据反函数的定义以及映射的定义即可判断选项是否正确． 【解答】解：选项：因为函数是二次函数，属于二对一的映射， 根据函数的定义可得函数不存在反函数，错误， 选项：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射， 根据函数的定义可得函数不存在反函数，错误， 选项：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，正确， 选项：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，错误， 故选：． 【点评】本题考查了反函数的定义以及映射的定义，考查了学生对函数以及映射概念的理解，属于基础题． 二．填空题 3．（2024•上海高考真题）的定义域 　　． 【分析】结合对数函数真数的性质，即可求解． 【解答】解：的定义域为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查对数函数定义域的求解，属于基础题． 4．（2022•上海高考真题）设函数的反函数为，则　　． 【分析】直接利用反函数的定义求出函数的关系式，进一步求出函数的值． 【解答】解：函数的反函数为， 整理得； 所以． 故答案为：3． 【点评】本题考查的知识要点：反函数的定义和性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 5．（2021•上海高考真题）已知，则（1）　　． 【分析】利用反函数的定义，得到，求解的值即可． 【解答】解：因为， 令，即，解得， 故（1）． 故答案为：． 【点评】本题考查了反函数定义的理解和应用，解题的关键是掌握原函数的定义域即为反函数的值域，考查了运算能力，属于基础题． 6．（2020•上海高考真题）已知函数，是的反函数，则　 　． 【分析】由已知求解，然后把与互换即可求得原函数的反函数． 【解答】解：由，得， 把与互换，可得的反函数为． 故答案为：． 【点评】本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域是原函数的值域，是基础题． 7．（2020•上海高考真题）已知，其反函数为，若有实数根，则的取值范围为　 　． 【分析】因为与互为反函数若与有实数根与有交点方程，有根．进而得出答案． 【解答】解：因为与互为反函数， 若与有实数根， 则与有交点， 所以， 即， 故答案为：，． 【点评】本题主要考查函数的性质，函数与方程的关系，属于中档题． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$