5.3 三角形的中位线-【优+学案】2024-2025学年八年级上册数学课时通(鲁教版)五四学制

3三角形的中位线（答案P26) △AOE的周长等于5，则□ABCD的周长 等于 知识点三角形的中位线及三角形中位线定理 1.在△ABC中，AB=4,BC=6,AC=8,点D, E,F分别为边AB,AC,BC的中点，则△DEF 的周长为() 6.如图所示，在△ABC中，AB=18,AC=12, A.9 B.12 C.14 D.16 AD平分∠BAC,CD⊥AD,垂足为点D,M 2.如图所示，在△ABC中，D,E,F分别是BC, 为BC的中点，连接DM,求DM的长. AC,AB的中点.若AB=6,BC=8,则四边形 BDEF的周长是() A.28 B.14 C.10 D.7 3.如图所示，点A,B为定点，定直线l∥AB,P 是L上一动点，点M,N分别为PA,PB的中 点，对于下列各值： ①线段MN的长；②△PAB的周长； ③△PMN的面积；④直线MN,AB之间的距 离；⑤∠APB的大小.其中会随点P的移动而 变化的是( 固固错添辅助线而致错 7.如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD,且 AB>CD,E,F分别是AC和BD的中点. A.②③ B.②@⑤ 求证：EF=2AB-CD. C.①③④ D.④⑤ 4.数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开 的A,B两点的距离，同学们在AB外选择一 点C,测得AC,BC两边中点的距离DE为 10m(如图所示)，则A,B两点的距离 是 m. 5.如图所示，□ABCD的对角线AC,BD相交于 点O,OE∥AB交AD于点E,若OA=1, 一详级上细数学数重 113 通能力 11.如图所示，AD是△ABC的中线，E是AD的 8.如图所示，在四边形ABCD中，R,P分别是 中点，F是BE的延长线与AC的交点，求瓷 BC,CD上的点，E,F分别是AP,RP的中点， 的值. 当点P在CD上从点C向点D移动而点R不 动时，那么下列结论成立的是() A.线段EF的长逐渐增大 B.线段EF的长逐渐减小 C.线段EF的长不变 通素第》99999n D.线段EF的长与点P的位置有关 12.(1)如图①所示，BD,CE分别是△ABC的外 9.如图所示，△ABC的周长为a,以它的各边的 角平分线，过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂 中点为顶点作△A,B1C1,再以△AB,C1各边 足分别是F,G,连接G.求证：FG= 的中点为顶点作△A2B2C2,…,如此下去，则 (AB+BC+AC). △A.BC.的周长为( (2)如图②所示，若BD,CE分别是△ABC的 内角平分线，过点A作AF⊥BD,AG⊥CE, 垂足分别是F,G,连接FG.线段FG与 △ABC的三边又有怎样的数量关系？写出 你的猜想，并给予证明。 B.34 C2-aD.3- 10.“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验. 如图所示，已知三角形纸片ABC,第1次折叠 使点B落在BC边上的点B'处，折痕AD交 BC于点D:第2次折叠使点A落在点D处， 折痕MN交AB'于点P.若BC=12,则 MP+MN= B D (第1次折叠) (第2次折叠) 114 优学案课时通10.解：(1)证明：△ABC是等腰三角形， .∠ABC=∠C. EG∥BC,DE∥AC, ∴.∠AEG=∠ABC=∠C,四边形CDEG是平行 四边形， .∠DEG=∠C. .BE=BF, .∠BFE=∠BEF=∠AEG, ∴∠BFE=∠DEG, ∴.BF∥DE, 四边形BDEF为平行四边形. (2),四边形BDEF是平行四边形，BD=2, ..EF=BD=2. ,∠C=45°，∴.∠ABC=∠BFE=∠BEF 45°，∴.△BDE,△BEF均是等腰直角三角形， .BF=BE=√E. 作FM⊥DB交DB的延长线于点M,如图所示. 则△BFM是等腰直角三角形， ∴.FM=BM=1,∴.DM=3. 在Rt△DFM中，由勾股定理，得 DF=√/1+3=√/10. 3三角形的中位线 1.A2.B3.B4.205.16 6.解：如图所示，延长CD交AB于点E. 则∠ADC=∠ADE=90°.，AD平分∠BAC, ∠DAC=∠EAD.又：AD=AD, ∴.△AED≌△ACD(ASA), ∴.AC=AE,ED=DC. ..EB=AB-AE=AB-AC=18-12=6. 又：ED=DC, ∴.D为EC的中点. ,M为BC的中点， ∴.DM是△CEB的中位线. :DM=2BE=3. 7.证明：如图所示，连接CF并延长交AB于点H, ,F是BD的中点，.DF=FB.,ABCD, ∴.∠CDF=∠HBF,∠DCF=∠BHF. ,DF=FB,..△DCF≌△BHF(AAS), ..CF=FH,DC=BH. ∴点F为CH的中点 点E为AC的中点， .EF-TAH-(AB-BH)-(AB-CD). 8.C9.A10.6 11.解：如图所示，过点D作DH∥AC交BF于点H. DH∥AC, ∴.∠ADH=∠EAF,∠DHE=∠AFE. E是AD的中点， ..AE=DE. ∴.△AEF≌△DEH, ..DH=AF. ,DH∥AC,AD是△ABC的中线， ∴.DH是△BCF的中位线， C. 腮-2 D 12.解：(1)证明：如图①所示，延长AF交BC于点M, 延长AG交BC于点N.在△ABF和△MBF中， ∠AFB=∠MFB=90°， BF=BF, ∠ABF=∠MBF, .△ABF≌△MBF(ASA),.MB=AB,AF= MF.同理可得CN=AC,AG=NG,.FG是 △AMN的中位线， &FG=专MN=号(MB+BC+CN)- 号AB+BC+AC. (2)猪想：FPG=(AB+AC-BC).证明：如图② 所示，延长AG,AF,与直线BC分别相交于点M, N.,BD是∠ABC的平分线， ∴.∠ABF=∠CBF. 在△ABF与△NBF中， ∠AFB=∠NFB=90°， BF=BF, ∠ABF=∠NBF, .△ABF≌△NBF(ASA), ..NB=AB,AF=NF. 同理可得CM-AC,AG-MG, ∴FG-2MN,iMN-2FPG, ∴，BC=BN+CM-MN=AB+AC-2FG, 26 1 FG= (AB+AC-BC). BM ①D 阶段检测五(1~3) 1.B2.B3.B4.D5.D6.12cm27.218.1 9.证明：，∠CAB=90°，.∠FAD=90°. FE∥AB,F是AC边的中点，∴.E是BC边的中 点，即EC=BE,.FE是△ABC的中位线，.FE= AB,FE,AB,∴∠CFE=∠DAF=90 1 .FD=BE,.'.DF=EC. DF=EC, 在Rt△FAD和R△CFE中，AF=FC, .Rt△FAD≌Rt△CFE(HL), ∴AD=FE,AD=号AB, 10.解：：四边形ABCD是平行四边形，ABCD, .∠A十∠ADC=180°.∠A=40°， .∠ADC=140 :DF平分∠ADC,∴∠CDF=2∠ADC=70, ∴.∠AFD=∠CDF=70. :DF∥BE,∴.∠ABE=∠AFD=70° 11.证明：(1)，△ABE是等边三角形，EF⊥AB,垂足 为点F, ∠AEF-2∠AEB=∠BAC=30, ∠EFA=∠ACB=90°，AE=AB, ∴.△AEF≌△BAC(AAS), ..AC=EF. (2):△ACD是等边三角形，∴.AC=AD, ∠DAC=60°.由(1)，得AC=EF, ∴.AD=EF.∠FAD=∠BAC+∠DAC=30°+ 60°=90°，∠EFA=90°，∴.∠DAF=∠EFA, .EF∥AD. AD∥EF,AD=EF,∴.四边形ADFE是平行四 边形. 12.解：【探究】△FAE≌△CDA或△ABC≌△FAE. 现以△ABC≌△FAE为例证明如下： 证明：，∠FAB=∠EAD=90°，∴.∠EAF+ ∠DAB=180°. ,四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC, AD=BC,.∠DAB+∠CBA=180°， ∠CBA=∠EAF. ,AE=AD,∴.BC=AE. ,AB=AF,.△ABC≌△FAE(SAS). 【应用】10 4多边形的内角和与外角和 第1课时多边形的内角和 1.C2.B3.A4.1205.86.150°7.12 2 8.解：(1)依题意有3x°+3x°十4x°+2x°=360°，解得 x=30. (2)∠A=∠B=3×30°=90°，∠C=2X30°= 60°，∠D=4×30°=120°. 9.解：设五边形中各内角的度数分别为2x,3x,4x, 5x,6x.由题意可得方程 2x+3x+4x+5x+6.x=(5一2)×180° 解得x=27°. .6.x=6×27°=162°，2x=2×27°=54. 故最大内角度数为162°，最小内角度数为54° 10.D11.C12.C13.24°14.72°15.12 16.解：设这个多边形的边数为n,截去的那个内角为 x,根据题意，得(m一2)·180°=1993°+x,即(n 2)·180°=11×180°+13°+x,而等式的两边都是 180°的倍数，.x=167°，.(n-2)·180°= 1993°+167°，解得n=14,.截去的内角是167°， 这个多边形是十四边形 17.解：如图所示，连接ED. .∠DPC=∠F+∠C=∠1+∠2， ∴.∠A+∠B+∠C+∠BDF+∠AEC+ ∠F=∠A+∠B+∠BDF+∠2+∠1+∠AEC= (4-2)×180°=360°，.n·90°=360°，.n=4. 18.解：(1)，n边形的内角和是(n一2)×180°， .多边形的内角和一定是180°的整倍数. .2022÷180=11…42, .多边形的内角和不可能为2022°. (2)设小敏求的是n边形的内角和，这个外角为 x°，则0<x<180. 根据题意，得(n一2)×180=2022-x, .x=2382-180n. ,0<x<180, .0<2382-180n<180, 7 1230<n<1330 ,n为正整数， ,n=13, 小敏求的是十三边形的内角和。 第2课时多边形的外角和 1.D2.A3.D4.3605.45°6.10 7.解：设这个多边形的边数是n 据题意，得(n一2)·180°=360°×6，解得n=14, ∴.这个多边形的边数为14. 8.B9.40°10.4811.(n-2)·360 12.解：设这个多边形是n边形. 根据题意，得360"一2）·180 5 0,解得n=7, .这个多边形是七边形.