1.3 第3课时因式分解方法的灵活运用-【优+学案】2024-2025学年八年级上册数学课时通(鲁教版)五四学制

3公式法 第1课时用平方差公式因式分解 1.D2.A3.B 4.(x-5y)(x+5y)5.2 6.解：(1)4a2-b2=(2a+b)(2a-b). (2)-4x2+9=(3+2x)(3-2x). (3)4n2-(m+n)2=(3n十m)(n-m). 7.2(m+3)(m-3) 8.a(x+2y)(x-2y) 9.xy(x+4y)(x-4y) 10.解：(1)原式=3(m2-25n2)=3(m+5n)(m-5n). (2)原式=4a2(a2-9b2)=4a2(a+3b)(a-3b). 11.3(m2+4)(m+2)(m-2) 12.D13.B14.C 15.7a+2b16.51600017.10 18.解：(1)原式-x2(x-2y)(x2-1)=x2(x+1)· (x-1)(x-2y). (2)原式=(x十y十之十x-y-x)(x十y十z x十y十x)=2x(2y+2x)=4x(y十x). (3)原式=[9(a+b)]-[2(a-b)]2= [9(a+b)+2(a-b)][9(a+b)-2(a-b)] (11a+7b)(7a+11b). 19.解：由图可得阴影部分的面积是πR2一4πr2 “,元R2-4πr2=π(R2-4r2)=x(R+2r)(R一2r), .当π=3，R=6.8cm,r=1.6cm时，阴影部分的 面积为3×(6.8+2×1.6)×(6.8-2×1.6)=3× 10×3.6=108(cm2). 20.证明：(2a+1)2-1=(2a+1+1)(2a+1-1)=(2a+ 2)·2a=4a(a十1).a为整数，∴.a十1也为整 数，.4a(a+1)能被4整除，∴.(2a十1)2-1能被4 整除 21.解：设两个连续的奇数分别为2n-1,2n+1. ,(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+ 1-2n+1)=8n, 任意一个“和谐数”均为8的倍数 7 :2023÷8=2528: ∴.在不超过2023的整数中，最大一个“和谐数”为 8×252=2016. ∴.在不超过2023的整数中，“和谐数”分别为8， 16,24,32,…,2016. 又8=32-12,16=52-32,24=72-52,32=92 72,…,2016=5052-5032, 8+16+24+32+…+2016=32-12+52-32+ 73-52+92-78+…+5052-5032=5052-12= 255024. 第2课时用完全平方公式因式分解 1.D2.(1)9(2)4或-4(3)y 3.C4.(2-x)25.3x-y 6解：原式-（仔-厂-言6+6-（层。-b月 (2)原式-(x2-3-1)2=(x2-402=(x+2)2(x-2)2. (3)原式=[2-3(x-y)]=(2-3x+3y). 7.D8.a(a+b)29.x(x-2) 10.解：(1)原式=a(a2-6ab十962)=a(a-3b)2. (2)原式=ab2(b2-4b+4)=ab(b-2)2 8)原式=-x++)=1-月 11.C12.C13.12 14.4红一4r16(答案不唯一)15,1 16.解：(1)原式=xy(x2-xy十y2)=xy[(x+y)2- 3xy]. :x+y=4,xy=2, ∴.原式=2×(42-3×2)=2×10=20. (2)原式=(4x十x2+4)(4x-x2-4)= -(x+2)2(x-2)2. x=2, .原式=0. 17.解：a2+b2+c2-12a-16b-20c+200=0, ∴.(a-6)2+(b-8)2+(c-10)2=0, .a-6=0,b-8=0,c-10=0, .a=6,b=8,c-10. 62+82=102, ∴a2+b2=c2, ∴△ABC是直角三角形. 18.解：(1)x2-4x-5=x8-4x+4-9=(x-2)2 32=(x-2+3)(x-2-3)=(x+1)(x-5). (2)由题意，：-2x2-8x十5=-2(x2+4x十4)十 13=-2(x+2)2+13, .当x=一2时，多项式一2x2一8x+5有最大 值13. 第3课时因式分解方法的灵活运用 1.D2.y(x-2y)(x+2y)3.-a(a-1) 4.(x-2)2 解析：x2-4(x一1)=x2-4x+4=(x一2)2. 5.解：(1)原式=x2(y2-49)=x2(y+7)(y-7). (2)原式=x(x一y)(x-2). (3)原式=x2十4x-4x-4=x2-4=(x十2)(x-2). (4)原式=a(2b+3c)2(c2-b2)=a(2b+3c)2(c+ b)(c-b). (5)原式=(a-b)2-16=(a-b+4)(a-b-4). m+myr=tm-(mn2+n]= 6.m2n2-1 1 1 (2mn+m2+m)(2mn-m-n)=-4(m+ n)2(m-n)2. 7.A8.C9.C10.D11.C 12.3(x-1)213.(x+2)2(x-2) 14.1D2(212000 、222 15.解：(1)原式=(x2-9)+3x(x-3)=(x-3)· (x+3)+3x(x-3)=(x-3)(4x+3). (2)原式=-y(9x-6xy十y2)=-y(3x-y)2. 16.解：(1)x+8x-9 =x2+8.x+16-9-16 =(x+4)2-25 =(x+4+5)(x+4-5) =(x+9)(x-1). (2)x2-4x-5 =x2-4x+4-5-4 =(x-2)3-9 =(x-2+3)(x-2-3) =(x+1)(x-5). x>5, .(x+1)(x-5)>0, ∴.x2-4x-5>0. (3),a2+b2-2a-8b+17=0, ∴.a2-2a+1+b2-86+16=0, ∴.(a-1)2+(b-4)2=0, .a-1=0,b-4=0, .a=1,b=4, .a+b=5. 17.解：(1)x2-a2+x十a=(x2-a)十(x十a)= (x+a)(x-a)+(x+a)=(x+a)(x-a+1). (2)ax+a*-2ab-bx+b*=(ax-bx)+(a*- 2ab+b2)=x(a-b)+(a-b)2=(a-b)(x+ a-b). (3)原式=(a+2a2b2+b)-(2ab3+2a3b) =(a2+b2)2-2ab(a2+b2) =(a2+b2)(a2+b2-2ab) =(a2+b2)(a-b)2. a2+b2=9,(a-b)2=1,.原式=9. 专题一因式分解的方法 1.解：(1)原式=(a2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+ c(a-b)=(a-b)(a+c). (2)原式=(m2-mm)+(5n-5m)=m(m-n) 5(m-n)=(m一5)(m-n). 2.解：(1)原式=(4x2-y2)-(2x+y)=(2x+y)· (2x-y)-(2x+y)=(2x+y)(2x-y-1). (2)原式=a2+2ab+b2-9=(a+b)2-9=(a+b+ 3)(a+b-3). 3.(2x十1)(x-2) 4.(a+1)(a-4) 5.解：(1)x2-5x-36=(x-9)(x+4). (2)x2+3x-18=(x+6)(x-3). (3)2x2-3x+1=(2x-1)(x-1). (4)6x2+5x-6=(2x+3)(3x-2). 6.解：(x2-5x)2-16 =(x2-5x)2-42 =[(x2-5x)+4][(x2-5x)-4] =(x2-5x+4)(x8-5.x-4) =(x-1)(x-4)(x2-5x-4) 7.解：(1)(x+2)(x2-2x十4) (2)64x+1=64x‘+16.x2+1-16.x2=(8x2)2+ 2·8x2·1+12-16x2=(8x2+1)2-(4x)2= (8.x2+1+4x)(8x2+1-4x). (3)△ABC是等腰三角形.理由如下： ,3a2+4b2-6a-16b+19=0, .3a2-6a+3+4b2-16b+16=0, ∴.3(a2-2a+1)+4(b2-4b+4)=0, .3(a-1)2+4(b-2)2=0, ∴.a-1=0,b-2=0, ∴.a=1,b=2 ,a,b,c是△ABC的三边长， .b-a<c<b+a; 1<c<3. 又c为整数， ∴.c=2, ,.b=c=2, ∴.△ABC是等腰三角形. 8.解：(1)原式=4x4+4x2+1-4x2=(2x2+1)2- 4x2=(2x2+2x+1)(2x2-2x+1). (2)原式-x‘+4y+4.x2y2-4x2y =(x2+2y2)2-(2xy) =(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy). 9.解：(1)C(2)(a十2) (3)设x2-6x=y, 则原式=y(y十18)+81 =y2+18y+81=(y+9)2 =(x2-6.x+9)2=(x-3). 10.解：设x2+3x=y, 则原式=(y-2)(y+4)-16=y2+2y-24=(y+ 6)(y-4)=(x2+3.x+6)(x2+3x-4)=(x 1)(x+4)(x2+3x+6). 专题二因式分解的应用 1.解：(1)0.84×12+12×0.6-0.44×12= 12×(0.84+0.6-0.44)=12×1=12. (2)50.22-49.82=(50.2+49.8)(50.2- 49.8)=40. (3) 552-452 (55+45)(55-45) 99+198+1 992+2×99×1+18 100×10100×101 (99+1)2100×10010 (4)原式 1-)1-)--)-0) 1-1+2)(1-31+号1-)： +-号)+号)…(-6)+) 10-×10-0 2.A3.2023 4.解：4a2b+4ab2-4a-4b=(4a2b+4ab2)-(4a+4b)= 4ab(a+b)-4(a+b)=4(a+b)(ab-1), 把a十b=一4，ab=2代入，得 原式=4×(-4)×(2-1)=-16. 5.C 6.解：，28-1=(224-1)(224+1)=(218-1)(212+ 1)(224+1)=(2-1)(2+1)(212+1)(24+1)=63× 65×(22+1)×(2+1),.这两个数为63和65. 3第3课时 因式分解方法的灵活运用（答案P2) 通基础 通能力· 知识点因式分解方法的灵活运用 7.下列因式分解结果正确的有() 1.多项式4m2一24m+36因式分解的结果 ①-4m3+12m2=-m2(4m-12): 为() ②.x-1=(.x2+1)(x2-1): A.4(m2-6m+9) B.4(m-6) ③x2+2.x+4=(x+2)2: C.4(m+3)2 D.4(m-3) ④(a*+b2)2-4a2b2=(a+b)2(a-b)2 2.因式分解：xy-4y3 A.1个 B.2个 3.因式分解：-a3+2a2-a= C.3个 D.4个 4.教材P4想一想变式)因式分解：x2一4(x 8.在有理数范围内把x一x因式分解，结果中因 1)= 式有() 5.选择合适的方法因式分解： A.3个 B.4个 (1)-49x2+x2y2; C.5个 D.6个 9.小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册 (2)x(x-y)-2.x(x-y); 中有这样一条信息：x一1，a一b,5,x2+1,a, x十1，分别对应下列六个字：国，爱，我，数，学 中.现将5a(x2-1)-5b(x2-1)因式分解，结果 (3)x(x+4)-4(x+1): 呈现的密码信息可能是( A.我爱学 B.爱中国 C.我爱中国 D.中国数学 10.运算能力》若a十b=3,x十y=1,则代数式 (4)ac2(2b+3c)2-ab2(3c+2b)2: a2+2ab十b2-x-y+2018的值是( A.2019 B.2020 C.2025 D.2026 (5)(a2-2ab+b2)-16. 11.三角形的三边长分别为a,b,c,且满足a b+bc2一a2c2=0,则该三角形的形状 是() A.任意等腰三角形 易焗固混淆因式分解与解方程，误去分母 B.等腰直角三角形 6.因式分解：m”n2- 4(m+n')2. C.等腰三角形或直角三角形 D.任意直角三角形 12.因式分解：3(.x2+1)-6x= 13.因式分解：(x2-8)2+8(x2-8)+16= 12 优学稀课的型 14.用简便方法计算： 通素养· (1 2222-222 2222-444+1 17.八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如 (2)4×1752-100×25= 下问题： 15.把下列各式因式分解： 将2a一3ab-4+6b因式分解。 (1)x2+3x(x-3)-9: 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下 的解决方法： 解法一：原式=(2a-3ab)-(4-6b)= a(2-3b)-2(2-3b)=(2-3b)(a-2). 解法二：原式=(2a-4)-(3ab-6b)= 2(a-2)-3b(a-2)=(a-2)(2-3b). (2)6.xy2-9.x2y-y3 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因 式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再 利用提公因式法、公式法达到因式分解的目 的，这就是因式分解的分组分解法.分组分解 法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习 中起着重要的作用.（温馨提示：因式分解一 定要分解到不能再分解为止) 【类比】(1)请用分组分解法将x2一a2十x十a 16.阅读理解)【阅读】下列是多项式x2一6x十5 因式分解 因式分解的过程：x2一6.x十5=x2-6.x+9十 【挑战】(2)请用分组分解法将a.x十a2 5-9=(x-3)2-4=(x-3十2)(.x-3 2ab-bx十b2因式分解 2)=(x-1)(x一5)，请利用上述方法解决下 【应用】(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄 列问题。 傲，我们利用它验证了勾股定理.如图所示， 【应用】(1)因式分解：x2+8.x-9. “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成 (2)若x>5,试比较x2一4.x-5与0的大小 的一个大正方形，中间是一个小正方形.若直 关系 角三角形的两条直角边长分别是a和b(a> 【灵活应用】(3)若a2+b-2a一8b+17=0, b),斜边长是3，小正方形的面积是1. 求a十b的值. 根据以上信息，先将a一2a3b十2a2b2 2ab3十b因式分解，再求值. 一八年数上册数学自数型 13》