3.3 垂径定理 导学案 2024-2025学年 北师大版九年级下册数学

3.3垂径定理 导学案 【学习目标】理解垂径定理及其推论,能运用垂径定理及其推论计算和证明实际问题. 【学习重难点】垂径定理及其推论的应用． 【导学过程】 一.知识回顾 1.圆是_______图形,任意一条______________直线都是对称轴. 2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量_____，那么它们所对应的其余各组量都_______． 二.探究新知 探究（一）按下面的步骤做一做： 1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合． 2．得到一条折痕CD． 3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足． 在上述的操作过程中，如图1，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？图1 垂径定理：垂直于弦的是直径平分弦且平分弦所对的（两条）弧. 几何语言：∵∴ 即：一条直线如果满足：①经过圆心O且与圆交于C、D两点；②CD⊥AB于M； 那么可以推出：③_____；④_______；⑤_______. 证明：连接OA,OB,则OA__OB.∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM__BM.∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合, AC和BC重合,AD和BD重合.∴AC__BC，AD__BD. 练习1.辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？O C D B A 注意： 定理中的两个条件缺一不可——①直径（半径），②垂直于弦． （__） （__） ） （__） 图2 探究（二）垂径定理逆定理（推论）的探索 如图2，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条直径CD平分AB，交AB于点M. （1）图2是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由. 条件：①CD是直径；②AM=BM（AB非直径），结论：③______；④______；⑤______. 推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的(两条)弧． 让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理. 练习2.辨析，已知直径AB平分弦CD，AB⊥CD成立吗？若不成立，请举反例. 答：________________. 三.典例与练习 例1.如图3，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是所在圆的圆心)，其中CD＝600m，E为的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90m．求这段弯路的半径．图3 练习3.如图4，已知在⊙O中，弦AB的长8cm，圆心O到AB的距离为3cm，图4 ⊙O的半径=_____ 例2.如图5，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交 AD于点F，且CF⊥AD. (1)求证：点E是OB的中点； (2)若AB＝8，求CD的长．图5 图6 练习4.如图6，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L 通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为 （a，0），（0，2），（0，﹣3），其中a＜0，则a的值为_____. 四.课堂小结 1．利用圆的____性研究了____定理及其____定理. 2．解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件. 3.过圆内一定点作圆的最长的弦与最短的弦，构造图形运用勾股定理. 五.分层过关 1.下列说法中错误的是（ ） A．经过两点有且只有一条直线 B．平分弦的直径垂直于这条弦 C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．过直线上的一点有且只有一条直线垂直于 2.如图7，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（ ）⌒ A．CM=DM B．AC=AD C．AD=2BD D．∠BCD=∠BDC⌒ 3.如图8，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（ ） A． B． C． D． 4.如图9，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP:AP=1:5，则 CD的长是（ ）A． B． C． D．图10 图7 图8 图9 5.如图10，有一圆形拱门，其拱高AB为1m，跨度CD为4m，则这个拱门的半径OC是____m. 6.如图11，已知AB交⊙O于C、D，且AC=BD，请问AO与BO是否相等？请说明理由？ 图11 7.如图12，已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D. （1）求证：AC=BD； （2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6,求AC的长。 图12 思考题：8.如图13，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足H在半径OB上，AH=5， CD=4，点E在弧AD上，射线AE与CD的延长线交于点F． （1）⊙O的半径r=______； （2）如果AE=6，求EF的长．图13 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3垂径定理 导学案 【学习目标】理解垂径定理及其推论,能运用垂径定理及其推论计算和证明实际问题. 【学习重难点】垂径定理及其推论的应用． 【导学过程】 一.知识回顾 1.圆是轴对称图形,任意一条经过圆心的直线都是对称轴. 2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 二.探究新知 探究（一）按下面的步骤做一做： 1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合． 2．得到一条折痕CD． 3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足． 在上述的操作过程中，如图1，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？图1 垂径定理：垂直于弦的是直径平分弦且平分弦所对的（两条）弧. 几何语言：∵∴ 即：一条直线如果满足：①经过圆心O且与圆交于C、D两点；②CD⊥AB于M； 那么可以推出：③AM=BM；④AC=BC；⑤AD=BD. 证明：连接OA,OB,则OA=OB.∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合, AC和BC重合,AD和BD重合.∴AC=BC，AD=BD. 练习1.辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？O C D B A 注意： 定理中的两个条件缺一不可——①直径（半径），②垂直于弦． （×） （√） ） （×） 图2 探究（二）垂径定理逆定理（推论）的探索 如图2，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条直径CD平分AB，交AB于点M. （1）图2是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由. 条件：①CD是直径；②AM=BM（AB非直径），结论：③CD⊥AB；④AC=BC；⑤AD=BD. 推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的(两条)弧．O D B A C 让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理. 练习2.辨析，已知直径AB平分弦CD，AB⊥CD成立吗？若不成立，请举反例. 答：不成立.反例如图. 三.典例与练习 例1.如图3，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是所在圆的圆心)，其中CD＝600 m，E为的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90m．求这段弯路的半径．图3 解：连接OC，设弯路的半径为Rm，则OF＝(R－90)m，∵OE⊥CD， ∴CF＝CD＝×600＝300(m)．在Rt△OCF中，根据勾股定理，得OC2＝CF2＋OF2， 即R2＝3002＋(R－90)2.解这个方程，得R＝545.∴这段弯路的半径为545m. 练习3.如图4，已知在⊙O中，弦AB的长8cm，圆心O到AB的距离为3cm，图4 ⊙O的半径=5cm. 例2.如图5，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交 AD于点F，且CF⊥AD. (1)求证：点E是OB的中点；图5 (2)若AB＝8，求CD的长． 解：(1)证明：连接AC，如图，∵直径AB垂直于弦CD于点E，∴＝， ∴AC＝AD.∵过圆心O的直线CF⊥AD，∴AF＝DF，即CF是AD的垂直平分线， ∴AC＝CD，∴AC＝AD＝CD，即△ACD是等边三角形，∴∠FCD＝30°. 在Rt△COE中，OE＝OC，∴OE＝OB，∴点E为OB的中点； （2）在Rt△OCE中，AB＝8，∴OC＝OB＝AB＝4.图6 又∵BE＝OE，∴OE＝2，∴CE＝＝2，∴CD＝2CE＝4. 练习4.如图6，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L 通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为 （a，0），（0，2），（0，﹣3），其中a＜0，则a的值为-4. 四.课堂小结 1．利用圆的对称性研究了垂径定理及其逆定理. 2．解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件. 3.过圆内一定点作圆的最长的弦与最短的弦，构造图形运用勾股定理. 五.分层过关 1.下列说法中错误的是（B） A．经过两点有且只有一条直线 B．平分弦的直径垂直于这条弦 C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．过直线上的一点有且只有一条直线垂直于 2.如图7，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（C） A．CM=DM B．AC=弧AD C．AD=2BD D．∠BCD=∠BDC⌒ ⌒ 3.如图8，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（A） A． B． C． D． 4.如图9，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP:AP=1:5，则 CD的长是（D）A． B． C． D．图10 图7 图8 图9 5.如图10，有一圆形拱门，其拱高AB为1m，跨度CD为4m，则这个拱门的半径OC是2.5m. 6.如图11，已知AB交⊙O于C、D，且AC=BD，请问AO与BO是否相等？请说明理由？ 解：AO=BO，作OE⊥DC于E，则∠OEA=∠OEB=90°∴CE=DE ∵AC=BD∴CE+AC=DE+BD，即AE=BEE 又∵OE=OE∴△OAE≌△OBE∴OA=OB 图11 7.如图12，已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D. （1）求证：AC=BD； （2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6,求AC的长。 （1）证明：作OE⊥AB，则AE=BE，CE=DE，故BE﹣DE=AE﹣CE；即AC=BD； （2）解：连接OC，OA， ∵OE⊥AB且OE⊥CD，∴OE=6，CE=DE， ∴DE=CE==， AE==8，∴AC=AE﹣CE=8﹣．图12 思考题：8.如图13，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足H在半径OB上，AH=5， CD=4，点E在弧AD上，射线AE与CD的延长线交于点F．G （1）⊙O的半径r=4.5； （2）如果AE=6，求EF的长． 解：（2）过O作OG⊥AE于G，∴AG=AE=×6=3， ∵∠A=∠A，∠AGO=∠AHF，∴△AGO∽△AHF，∴，图13 ∴，∴AF=，∴EF=AF﹣AE=﹣6=． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$