精品解析：山西省运城市稷山县2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

稷山县2024-2025学年度第二学期期中八年级教学质量监测 数学试题 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共3页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试题上无效． 4．考试结束后，务必将答题卡交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点M在的平分线上，点M到的距离为20，点N是上的任意一点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，下列四个不等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 把不等式组的解表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 将点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，∠BAD＝15°，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转了( ) A. 75° B. 45° C. 60° D. 15° 8. 用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，第一步应先假设：在一个三角形中（ ） A. 至多有一个内角大于或等于60° B. 至多有一个内角大于60° C. 每一个内角小于或等于60° D. 每一个内角大于60° 9. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 两直线平行，同旁内角互补． B. 五边形是多边形 C. 如果，，则． D. 两个全等三角形的面积相等 10. 商店为了对某种商品促销，将定价为3元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打8折，用27元钱最多可以购买该商品(　　) A. 8件 B. 9件 C. 10件 D. 11件 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，在一张长方形纸条上任意画一条截线AB，将纸条沿截线AB折叠，所得到△ABC的形状一定是_________三角形． 12. 如图，，O是AB上一点，直线与所夹的，要使，直线绕点O按逆时针方向至少旋转______°． 13. 如图，一次函数y＝ax+b的图象经过A（0，1）和B（2，0）两点，则关于x的不等式ax+b＜1的解集是_____． 14. 如图是某车站地下通道入口的设计示意图，其中是运送行人和物品的电动扶梯，点D在的延长线上，，，，，，．地下通道入口的最大高度______． 15. 已知：如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F，若AB＝8，AC＝4，则AE＝_____________． 三、解答题（本题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解不等式（组） （1）解不等式：； （2）解不等式组：，并将其解集表示在数轴上． 17. 如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为E．已知，求的长． 18. 已知：如图，在中，，在中，，，． （1）求证：； （2）若点D在边上，证明； （3）在（2）的条件下，若与交于点F，直接写出图中所有的等腰三角形． 19. 如图，在△ABC中，∠B=70°，∠BAC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，当点B的对应点D恰好落在AC边上时，∠CAE的度数为___________. 20. 如图，在平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，B的坐标为，点C在y轴的正半轴上，，将向右平移得到． （1）若直线经过点C，求平移的距离； （2）继续向右平移，当点A平移到了原点O，画出此时平移后的，连接，，直接写出和平行且相等的线段． 21. 市园林处为了对一段公路进行绿化，计划购买A、B两种风景树共1000棵，A、B两种树的相关信息如下表： 项目品种 单价（元/棵） 成活率 A 80 B 100 若购买A种树x棵，购A，B两种树所需的总费用为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若购A，B两种树的总费用不超过90000元，则购买A种树不少于多少棵？ （3）若希望这批树的成活率不低于，且使购树的总费用最低，应选购A，B两种树各多少棵？此时最低费用为多少元？ 22. 综合与实践 如图，在边长为的正方形中（即，），连接，，，将三角形沿直线折叠，得到，延长交于点M． （1）连接，线段可以看做线段沿着的方向平移______后得到； （2）连接，猜想是否为直角三角形，并加以说明； （3）直接写出与的数量关系． 23. 如图，点是内的点，，，，将绕点 按逆时针方向旋转 得到，连接． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求的度数； （3）设，则当为多少度时，为等腰三角形（直接写结果）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 稷山县2024-2025学年度第二学期期中八年级教学质量监测 数学试题 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共3页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试题上无效． 4．考试结束后，务必将答题卡交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A、不是中心对称图形； B、不是中心对称图形； C、不是中心对称图形； D、是中心对称图形． 2. 已知点M在的平分线上，点M到的距离为20，点N是上的任意一点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质；垂线段最短. 根据角平分线的性质，点M到和的距离相等，均为20，结合垂线段最短，可知点N在上时，的最小值为20，从而得出的取值范围。 【详解】解：∵点M在的平分线上，点M到的距离为20， ∴点M到的距离为20， ∵点N是上的任意一点， ∴， 故选：B. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照解不等式步骤：移项，合并同类项，系数化为1求解． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查解不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键． 4. 已知，下列四个不等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质．根据不等式的基本性质，逐一分析各选项的正误． 【详解】解：选项A：两边同乘，不等式方向应改变，正确形式为，故A错误； 选项B：由，两边加5得，但无法确定与的大小（如，时，，，不成立），故B错误； 选项C：两边减6，不等式方向不变，应为，故C错误； 选项D：两边同乘，再同加3得，故D正确； 故选：D． 5. 把不等式组的解表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出一元一次不等式组的解，然后在数轴上表示出来，即可． 【详解】∵， ∴， ∴不等式组的解为；-1＜x≤1， 在数轴上表示如下： ． 故选B． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组以及在数轴上表示解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤，学会在数轴上表示不等式组的解，是解题的关键． 6. 将点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的平移．根据点的平移规律，向右平移时横坐标增加，向下平移时纵坐标减少．将点向右平移2个单位，横坐标变为；向下平移3个单位，纵坐标变为，得到新坐标即可． 【详解】解：将点向右平移2个单位，横坐标变为；向下平移3个单位，纵坐标变为， 即新坐标， 故选：C． 7. 如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，∠BAD＝15°，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转了( ) A. 75° B. 45° C. 60° D. 15° 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意寻找旋转后的重合点，根据重合点来找到旋转角. 【详解】根据题意△ABC是等边三角形 可得B点旋转后的点为C 旋转角为 故选C. 【点睛】本题主要考查旋转角的计算，关键在于根据重合点来确定旋转角. 8. 用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，第一步应先假设：在一个三角形中（ ） A. 至多有一个内角大于或等于60° B. 至多有一个内角大于60° C. 每一个内角小于或等于60° D. 每一个内角大于60° 【答案】D 【解析】 【分析】根据反证法的证明方法，先假设命题的结论不成立，即假设在一个三角形中，每个内角都大于60°． 【详解】解：用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°， 可以假设在一个三角形中，每个内角都大于60°． 故选：D． 【点睛】本题考查了反证法：反证法的一般步骤是：先假设命题的结论不成立；再从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；最后由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 9. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 两直线平行，同旁内角互补． B. 五边形是多边形 C. 如果，，则． D. 两个全等三角形的面积相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题的相关概念、平行线的性质、多边形的概念、有理数的运算、全等三角形的判定定理，正确写出各选项的逆命题是解题关键． 先写各选项的逆命题，再根据平行线的性质、多边形的概念、有理数的运算、全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、逆命题：同旁内角互补，两直线平行． 由平行线的判定可知，逆命题正确，是真命题； B、逆命题：多边形是五边形． 多边形不一定是五边形，逆命题错误，则是假命题； C、逆命题：如果，则，． 逆命题错误，则是假命题； D、逆命题：面积相等的两个三角形是全等三角形． 由三角形全等的判定定理可知，逆命题错误，是假命题； 故选：A． 10. 商店为了对某种商品促销，将定价为3元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打8折，用27元钱最多可以购买该商品(　　) A. 8件 B. 9件 C. 10件 D. 11件 【答案】C 【解析】 【分析】设可以购买x件该商品，根据优惠政策结合总价不超过27元钱，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其内最大正整数即可得出结论． 【详解】设可以购买x件该商品，根据题意得： 3×5+3×0.8（x﹣5）≤27 解得：x≤10． 故用27元钱最多可以购买该商品10件． 故选C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，在一张长方形纸条上任意画一条截线AB，将纸条沿截线AB折叠，所得到△ABC的形状一定是_________三角形． 【答案】等腰 【解析】 【详解】∵所给图形是长方形， ∴∠1=∠2， ∵∠2=∠ABC， ∴∠1=∠ABC， ∴AC=BC， 即△ABC为等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和翻折变换（折叠问题），熟练掌握知识点是解题的关键． 12. 如图，，O是AB上一点，直线与所夹的，要使，直线绕点O按逆时针方向至少旋转______°． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质和角度的计算．根据平行线的性质求出再根据角度的计算即可得到答案． 【详解】解：如图，， ∵， ∵ 即直线绕点O按逆时针方向至少旋转， 故答案为：． 13. 如图，一次函数y＝ax+b的图象经过A（0，1）和B（2，0）两点，则关于x的不等式ax+b＜1的解集是_____． 【答案】x＞0 【解析】 【分析】观察函数图象，写出在y轴右侧的自变量的取值范围即可． 【详解】当x＞0时，ax+b＜1， 即不等式ax+b＜1的解集为x＞0． 故答案为x＞0 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 14. 如图是某车站地下通道入口的设计示意图，其中是运送行人和物品的电动扶梯，点D在的延长线上，，，，，，．地下通道入口的最大高度______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形锐角互余． 先在中，由角直角三角形的性质得到，，再在中，求出，运用角直角三角形的性质求出，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 已知：如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F，若AB＝8，AC＝4，则AE＝_____________． 【答案】6． 【解析】 【详解】试题分析：连接PB、PC，点P在BC的垂直平分线上，平分 在和中， 考点：1、线段垂直平分线的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、角平分线的性质． 三、解答题（本题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解不等式（组） （1）解不等式：； （2）解不等式组：，并将其解集表示在数轴上． 【答案】（1） （2）， 数轴表示如下： 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组和解一元一次不等式，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）不等式去分母，去括号，然后移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，最后在数轴上表示出来即可． 【小问1详解】 解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； 【小问2详解】 解： 解不等式①得， 解不等式②得， 所以，原不等式组的解集是， 17. 如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为E．已知，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，由角平分线的性质得到，求出，则可证明是等腰直角三角形，得到，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵是的角平分线，，． ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在等腰直角三角形中，． ∴． 18. 已知：如图，在中，，在中，，，． （1）求证：； （2）若点D在边上，证明； （3）在（2）的条件下，若与交于点F，直接写出图中所有的等腰三角形． 【答案】（1） 证明：，，， ， ； （2） 证明：， ， ， ， ， ； （3），， 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，平行线判定定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据题意证明，即可证明； （2）利用全等三角形性质和等腰三角形性质推出，再结合平行线判定定理求解即可； （3）根据全等三角形性质，以及等腰三角形判定分析求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， 为等腰三角形； ， ， ， ， ， ， ，为等腰三角形； 综上所述，，，为等腰三角形． 19. 如图，在△ABC中，∠B=70°，∠BAC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，当点B的对应点D恰好落在AC边上时，∠CAE的度数为___________. 【答案】50° 【解析】 【分析】由旋转可得∠CDE=∠B=70°，∠CED=∠BAC=30°，CA=CE，则∠CAE=∠CEA，再由三角形的外角性质可得∠CDE=∠CAE+∠AED可求出∠CAE的度数． 【详解】∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC ∴∠CDE=∠B=70°，∠CED=∠BAC=30°，CA=CE， ∴∠CAE=∠CEA， 则∠AED=∠CEA-30° 又∵∠CDE=∠CAE+∠AED 即∠CAE+∠CAE-30°=70° 解得∠CAE=50° 故答案为：50°． 【点睛】本题考查三角形中的角度计算，解题的关键是利用旋转的性质得到旋转后的角度，并利用三角形的外角性质建立等量关系． 20. 如图，在平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，B的坐标为，点C在y轴的正半轴上，，将向右平移得到． （1）若直线经过点C，求平移的距离； （2）继续向右平移，当点A平移到了原点O，画出此时平移后的，连接，，直接写出和平行且相等的线段． 【答案】（1） （2） 如图所示， ， 【解析】 【分析】本题考查平移作图，勾股定理，一次函数图象和性质，掌握平移的性质是解题的关键． （1）先求出直线的解析式，再根据平移求出直线的解析式，进而求出直线与x轴的交点坐标，即可求解； （2）根据平移的性质即可求解． 【小问1详解】 解：过点B作，垂足为M， ∵，，， ∴，，，， ∵， ∴， 当直线经过点C，∵， ∴， ∴， 设， 把，代入，得， 解得， ∴， ∵平移， ∴设， 把代入得：， ∴， 令，解得， ∴点， ∴， ∴平移的距离为的长． 【小问2详解】 解：和平行且相等的线段为，． 21. 市园林处为了对一段公路进行绿化，计划购买A、B两种风景树共1000棵，A、B两种树的相关信息如下表： 项目品种 单价（元/棵） 成活率 A 80 B 100 若购买A种树x棵，购A，B两种树所需的总费用为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若购A，B两种树的总费用不超过90000元，则购买A种树不少于多少棵？ （3）若希望这批树的成活率不低于，且使购树的总费用最低，应选购A，B两种树各多少棵？此时最低费用为多少元？ 【答案】（1） （2）A种树不少于500棵 （3）购买A种树500棵，B种树500棵时，总费用最低元 【解析】 【分析】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题．注意根据自变量的取值范围来判断所要求的解． （1）根据购树的总费用买种树的费用买种树的费用，化简后便可得出与的函数关系式； （2）根据（1）得到的关系式，然后将所求的条件代入其中，然后判断出购买种树的数量； （3）先用种树的成活的数量种树的成活的数量树的总量平均成活率来判断出的取值，然后根据函数的性质判断出最佳的方案． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：由已知得， ∴， ∴， ∴当购买A种树不少于500棵时，总费用不超过90000元． 【小问3详解】 解：根据题意得， 解得， ∵中，， ∴y随x的增大而减小， ∴当购买A种树500棵，B种树500棵时，总费用最低， y最低（元）． 22. 综合与实践 如图，在边长为的正方形中（即，），连接，，，将三角形沿直线折叠，得到，延长交于点M． （1）连接，线段可以看做线段沿着的方向平移______后得到； （2）连接，猜想是否为直角三角形，并加以说明； （3）直接写出与的数量关系． 【答案】（1）4 （2） 是，证明： ∵，， ∴， 由折叠可知，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）证明四边形是矩形，根据平移的定义即可得到答案； （2）由折叠可知，证明，则，即可得到，得到结论； （3）设，则，，，在中，，列方程并解得，则，得到，即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴线段可以看做线段沿着的方向平移后得到； 故答案为；4 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，则，， 由折叠可知，， ∴ 在中，， ∴， 解得， 即， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了正方形的折叠问题、全等三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，熟练掌握折叠的性质和全等三角形的判定和性质是关键． 23. 如图，点是内的点，，，，将绕点 按逆时针方向旋转 得到，连接． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求的度数； （3）设，则当为多少度时，为等腰三角形（直接写结果）． 【答案】（1） 是等腰直角三角形. 理由：由旋转的性质，得，， ∴是等腰直角三角形； （2）； （3）当为或120°或时，为等腰三角形． 【解析】 【分析】（）根据旋转的性质即可判断求解； （）由可得，进而得，最后根据四边形的内角和即可求解； （）根据角的和差关系可得，，再分，和三种情况解答即可求解； 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由旋转的性质，得， ∴， 又∵ 四边形的内角和为，， ； 【小问3详解】 解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， 由（）知 ①若，则 ， 解得； ②若，则1 ， 解得； ③若，则 ， 解得； 综上，当为或或时，为等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $