专题01 直线与方程大题（举一反三专项训练）高二数学苏教版选择性必修第一册

专题01 直线与方程大题（举一反三专项训练） 【苏教版（2019）】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 直线的倾斜角与斜率问题 1．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知，，三点． (1)若过两点的直线的倾斜角为45°，求m的值． (2)三点可能共线吗？若能，求出m值． 2．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）直线过点和点． (1)若直线的斜率是，求； (2)求直线的倾斜角的最小值． 4．（24-25高二·全国·课堂例题）已知点在函数的图象上，当时，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围． 5．（24-25高二下·全国·课后作业）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，求的斜率的取值范围. 6．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 题型二 直线方程的求解 7．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知直线经过点． (1)若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程. 8．（24-25高二上·河南安阳·期中）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式. (1)斜率是，且经过点； (2)经过点，且垂直于轴； (3)过点且在两坐标轴上截距相等. 9．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知三个顶点的坐标分别为、、，求 (1)边所在直线的方程； (2)边上的中线所在直线的方程. 10．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）三角形的三个顶点是． (1)求边所在的直线方程； (2)求边上的高所在的直线方程； (3)求经过两边和中点的直线的方程． 11．（24-25高二上·吉林长春·期中）菱形的顶点的坐标分别为边所在直线在轴上的截距是14． (1)求菱形的对角线所在直线的方程； (2)求边所在直线的方程． 12．（24-25高二上·陕西延安·阶段练习）已知直线过定点． (1)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程； (2)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，若三角形的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 题型三 根据两直线平行、垂直求参数 13．（24-25高一下·内蒙古乌兰察布·期中）直线经过，，直线经过点，． (1)若，求m的值； (2)若，求m的值． 14．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知直线和， (1)若与平行，求m的值； (2)若与垂直，求m的值． 15．（2025高三·全国·专题练习）给出两条直线：，：，其中． (1)当m为何值时，与重合？ (2)设，求m； (3)设与相交，求m的取值范围； (4)求m的值，使得． 16．（24-25高二上·上海·期中）已知平面直角坐标系中，，，， (1)若直线与直线平行，求m的值； (2)若直线与直线垂直，求m的值. 17．（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习）已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 18．（24-25高二上·上海·期中）已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：. (1)若，且经过点，求实数，的值； (2)若且，求实数，的值. 题型四 直线的交点问题 19．（24-25高二上·广东韶关·阶段练习）已知直线，直线，直线与直线的交点. (1)求点的坐标； (2)过点且平行于直线的直线的一般式方程； (3)过点且垂直于直线的直线的一般式方程. 20．（24-25高二上·全国·课后作业）分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 21．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知直线和直线的交点为. (1)求点坐标； (2)求过点且与和距离相等的直线方程. 22．（24-25高二上·四川广元·期中）求经过直线的交点，且满足下列条件的直线的方程. (1)与直线平行， (2)与直线垂直. 23．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与坐标轴正半轴围成的三角形面积为2． (1)求直线的斜率； (2)已知直线，求直线与的交点坐标． 24．（24-25高二上·河北保定·期中）已知三条直线：，：，：． (1)若，且过点，求a、b的值； (2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围． 题型五 点、线间的对称问题 25．（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 26．（2025高三·全国·专题练习）已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 27．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知点 ，直线 . (1)求过点 ，且与直线 平行的直线 的方程； (2)光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，求反射光线所在直线的方程. 28．（24-25高二·全国·课后作业）已知点的坐标为，直线的方程为，求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于点的对称直线的方程． 29．（24-25高二上·四川·期中）在等腰直角三角形中，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、反射后又回到原点，光线经过的重心.（若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、、、，则有. (1)建立适当的坐标系，请求的重心的坐标； (2)求点的坐标； (3)求的周长. 30．（24-25高二上·安徽合肥·期中）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 题型六 平面上的距离及其最值问题 31．（24-25高二上·河南·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，直线：，. (1)若直线过点，求的值； (2)求点到直线距离的最大值. 32．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知点，求： (1)过点且在坐标轴上截距相等的直线的方程； (2)过点且与原点距离为2的直线的方程； (3)过点且与原点距离最大的直线的方程，并求此最大距离． 33．（24-25高二上·全国·课后作业）直线l经过两直线与的交点，且与直线平行． (1)求直线l的方程； (2)若点到直线l的距离与直线到直线l的距离相等，求实数a的值． 34．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知，，动点在直线上. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 35．（24-25高二上·浙江台州·期中）已知，． (1)若直线l过点，且点A，B到l的距离相等，求直线l的方程； (2)在y轴上存在一点P，使得的值最小，求出点P的坐标． 36．（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知直线与直线平行，点，. (1)求； (2)若点关于直线对称后的点为，求点坐标； (3)已知，分别在直线，上，且，求的最小值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 直线与方程大题（举一反三专项训练） 【苏教版（2019）】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 直线的倾斜角与斜率问题 1．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知，，三点． (1)若过两点的直线的倾斜角为45°，求m的值． (2)三点可能共线吗？若能，求出m值． 【答案】(1)1 (2)3 【解题思路】（1）利用斜率与倾斜角的关系式及斜率公式即可求解； （2）三点共线，则 ，结合斜率公式即可求解. 【解答过程】（1）过两点的直线斜率， 所以，解得. （2），， 若三点共线，则 ， 即，解得， 所以当时，三点共线. 2．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)或斜率不存在 (2) 【解题思路】（1）结合题意由斜率的定义直接求解即可； （2）由斜率与倾斜角的关系求解即可； 【解答过程】（1）如图，由题意可知 ， 要使直线l与线段有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是或斜率不存在. （2）由题意可知，l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间. 又的倾斜角是，的倾斜角是， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）直线过点和点． (1)若直线的斜率是，求； (2)求直线的倾斜角的最小值． 【答案】(1) (2)． 【解题思路】（1）根据直线斜率公式进行求解即可； （2）根据直线斜率与直线倾斜角的关系，分类讨论进行求解即可. 【解答过程】（1）由直线的斜率，可得，即． （2）当时，直线的倾斜角； 当时，直线的斜率， 当时，； 当时，， 又直线的倾斜角为，则有或， 所以直线的倾斜角的取值范围是或． 故直线的倾斜角的最小值为． 4．（24-25高二·全国·课堂例题）已知点在函数的图象上，当时，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）可看作过点与点的直线的斜率，结合图形分析求解； （2）整理得，可看作过点与点的直线斜率，结合图形分析求解. 【解答过程】（1）因为点M在函数的图象上，且，记点，． 由题意可知点在线段AB上移动．记点， 则可看作过点与点的直线的斜率， 又因为，， 由于，可知线段AB上存在点与N点连线的斜率不存在， 所以的取值范围为．    （2）因为，记点， 则可看作过点与点的直线斜率， 又因为，，所以的取值范围为．    5．（24-25高二下·全国·课后作业）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，求的斜率的取值范围. 【答案】 【解题思路】根据题意线段∥，∥，分别找出点落在线段上的临界位置，即可求解. 【解答过程】由题意知：∥，∥，设， 则线段的斜率：， 为使点落在线段上（不包括端点），所以得：当落到点，点A时为相应的两种临界位置， 当落到点时： 由题意知：点为的中点，且从点出发又回到点，所以可得：此时位于线段的中点位置， 所以得此时的斜率：； 当落到点A时： 点与点重合，如下图所示，设，可得：，且， 所以得：，，， 所以得：，解之得：， 所以此时斜率：， 综上所述：可得的斜率范围为：，即. 6．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)斜率为1，倾斜角为； (2)； (3). 【解题思路】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角； (2) 设，根据求解即可； (3) 因为表示直线的斜率,求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率即可得答案. 【解答过程】（1）解：因为直线的斜率为. 所以直线的倾斜角为； （2）解：如图，当点在第一象限时，. 设，则，解得， 故点的坐标为； （3）解：由题意得为直线的斜率. 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，. 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 题型二 直线方程的求解 7．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知直线经过点． (1)若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程. 【答案】(1)或 (2)或 【解题思路】（1）利用截距式，设直线的方程为，再根据面积和经过的得到方程组，解出即可； （2）分直线过原点和不过原点讨论即可. 【解答过程】（1）由题意可设直线的方程为， 代入有，又由题意得，则， 联立解得或， 则直线的方程为或， 即或. （2）当直线经过原点时，则，则，即； 当直线不经过原点时，设，代入，则有，解得， 即. 综上所述直线的方程为或. 8．（24-25高二上·河南安阳·期中）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式. (1)斜率是，且经过点； (2)经过点，且垂直于轴； (3)过点且在两坐标轴上截距相等. 【答案】(1) (2) (3)或 【解题思路】（1）由点斜式直接写出方程； （2）垂直于轴，则斜率不存在，由点的横坐标直接得到直线方程； （3）分类讨论截距是否存在，截距存在时设截距式，代点求直线方程；截距为0在时过原点，由两点式得到直线方程； 【解答过程】（1）由点斜式得直线方程为，即 （2） （3）当直线截距不为0时，设求直线方程为， 代入（1，3）得，所以直线方程为， 当直线截距为0，即直线过原点时，直线方程为，化为一般式为， 综上直线的方程为或. 9．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知三个顶点的坐标分别为、、，求 (1)边所在直线的方程； (2)边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）首先求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程； （2）首先求出的中点的坐标，即可求出中线的斜率，再由斜截式求出直线方程. 【解答过程】（1）因为、，所以， 所以边所在直线的方程为，即； （2）因为、，所以的中点为，不妨记， 又，所以， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. 10．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）三角形的三个顶点是． (1)求边所在的直线方程； (2)求边上的高所在的直线方程； (3)求经过两边和中点的直线的方程． 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】(1) 根据截距式即可求解； (2)根据高所在的直线方程的斜率与斜率乘积为，利用点斜式求解即可； (3)求出分别和的中点，再根据直线的两点式即可求解. 【解答过程】（1）根据题意可知， 则根据直线截距式可得，即； （2）设高所在的直线方程的斜率为，直线斜率为， 由(1)知直线斜率为，根据高所在的直线方程的斜率与斜率乘积为， 即，则可得，再由点斜式可得， 即； （3）设和中点分别为， 则由， 所以 则根据两点式可得直线方程为， 即. 11．（24-25高二上·吉林长春·期中）菱形的顶点的坐标分别为边所在直线在轴上的截距是14． (1)求菱形的对角线所在直线的方程； (2)求边所在直线的方程． 【答案】(1)； (2)边所在直线的方程为；边所在直线的方程为. 【解题思路】（1）根据菱形，求出，利用点斜式求出直线方程； （2）根据菱形的性质可知 ，利用点斜式求出直线方程. 【解答过程】（1）线段的中点为， 由菱形的几何性质可知，且为的中点，则， 所以对角线所在直线的方程为，即. （2）由菱形的性质可知 ，则， 所以边所在直线的方程为，即； 边所在直线的方程为，即. 12．（24-25高二上·陕西延安·阶段练习）已知直线过定点． (1)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程； (2)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，若三角形的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 【答案】(1)或 (2)的最小值为，直线的方程为. 【解题思路】（1）将直线整理后解方程组可得，分情况讨论截距是否为零可得直线的方程； （2）分别解得两点坐标求得面积的表达式，利用基本不等式即可得的最小值以及此时直线的方程． 【解答过程】（1）将整理可得， 令，可得， 即可得定点， 若在两坐标轴上截距都为零，可得直线的方程为； 若在两坐标轴上截距不为零且相等， 设直线的截距式方程为，代入点即可得，解得； 此时直线的方程为； 综上可知直线的方程为或； （2）易知，且，可得； 所以三角形的面积为； 当且仅当，即时，等号成立， 此时的最小值为，此时直线的方程为. 题型三 根据两直线平行、垂直求参数 13．（24-25高一下·内蒙古乌兰察布·期中）直线经过，，直线经过点，． (1)若，求m的值； (2)若，求m的值． 【答案】(1)或 (2)或 【解题思路】（1）易得直线的斜率存在，则根据，可得两直线斜率相等，再结合斜率公式即可得解； （2）分直线的斜率等于零和直线的斜率存在且不为0，两种情况讨论，再结合斜率公式即可得解. 【解答过程】（1）由题知直线的斜率存在且， 若，则直线的斜率也存在，由， 得，解得或， 经检验，当或时，； （2）若，当时， 此时，斜率存在，不符合题意； 当时，直线的斜率存在且不为0， 则直线的斜率也存在，且， 即， 解得或， 所以当或时，． 14．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知直线和， (1)若与平行，求m的值； (2)若与垂直，求m的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意利用两条直线平行的性质，求出m的值； （2）由题意利用两条直线垂直的性质，求出m的值． 【解答过程】（1）若与平行，则，解得：或， 当时，直线和，与平行； 当时，直线和，与重合. 综上：. （2）当时，即时，与垂直， 即时，与垂直. 15．（2025高三·全国·专题练习）给出两条直线：，：，其中． (1)当m为何值时，与重合？ (2)设，求m； (3)设与相交，求m的取值范围； (4)求m的值，使得． 【答案】(1)； (2) (3)且 (4) 【解题思路】直线，的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）与重合； （2）与平行； （3）与相交； （4）与垂直. 【解答过程】（1）由，解得，所以当时，与重合. （2）由，解得，所以时，与平行. （3）当，即且时，与相交. （4）当时，即时，与相垂直. 16．（24-25高二上·上海·期中）已知平面直角坐标系中，，，， (1)若直线与直线平行，求m的值； (2)若直线与直线垂直，求m的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据可求出结果； （2）根据可求出结果. 【解答过程】（1）因为直线AC与直线BD平行，所以， 所以，经检验两直线不重合， 所以 （2）因为直线AC与直线BC垂直，两直线斜率均存在， 所以， 所以. 17．（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习）已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）利用直线平行的判定列方程求参数值，需要验证所得参数是否符合要求. （2）利用直线垂直的判定列方程求参数值即可. 【解答过程】（1）由，则，即， 所以或， 当，，，两线重合，不合题意； 当，，，符合题意； 综上，. （2）由，则，即， 所以，即或. 18．（24-25高二上·上海·期中）已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：. (1)若，且经过点，求实数，的值； (2)若且，求实数，的值. 【答案】(1)或； (2) 【解题思路】（1）由直线垂直的特征及直线过的点可得关于、的方程组，即可得解； （2）由直线平行和垂直满足的系数关系，列方程即可求解，． 【解答过程】（1）因为，，且，所以， 又直线过点， 所以， 所以， 所以， 所以或； （2）若且，则或， 解得，或， 由于不能同时为，故这组解舍去， 故. 题型四 直线的交点问题 19．（24-25高二上·广东韶关·阶段练习）已知直线，直线，直线与直线的交点. (1)求点的坐标； (2)过点且平行于直线的直线的一般式方程； (3)过点且垂直于直线的直线的一般式方程. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）联立直线方程得到方程组，解得即可； （2）设所求直线方程为，代入点的坐标，求出的值即可； （3）设所求直线方程为，代入点的坐标，求出的值即可； 【解答过程】（1）由，解得， 即直线与直线的交点； （2）设所求直线方程为，则，解得， 所以过点且平行于直线的直线的一般式方程为； （3）设所求直线方程为，则，解得， 所以过点且垂直于直线的直线的一般式方程. 20．（24-25高二上·全国·课后作业）分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)不相交，重合 (3)不相交， 【解题思路】（1）解方程组得到两直线的交点坐标； （2）通过方程组的解判断两直线的位置关系； （3）通过方程组的解判断两直线的位置关系. 【解答过程】（1）解方程组，得 因此直线和相交，交点坐标为． （2）方程组有无数个解，这表明直线和重合． （3）方程组无解，这表明直线和没有公共点，故． 21．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知直线和直线的交点为. (1)求点坐标； (2)求过点且与和距离相等的直线方程. 【答案】(1)； (2)或. 【解题思路】（1）解方程组求出点的坐标. （2）根据给定条件，可得所求方程的直线过线段的中点或平行于直线，再分情况求出直线方程. 【解答过程】（1）由，解得， 所以点的坐标为. （2）令过点且与和距离相等的直线为， 由到直线的距离相等，得经过线段的中点或， 当经过线段的中点时，线段的中点为， 又经过点，则直线的方程为； 当时，而直线的斜率， 则直线的方程为，即， 所以所求直线的方程为或. 22．（24-25高二上·四川广元·期中）求经过直线的交点，且满足下列条件的直线的方程. (1)与直线平行， (2)与直线垂直. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）联立直线方程后可求，利用平行直线系可求直线方程； （2）利用垂直直线系可求直线方程. 【解答过程】（1）由可得，故， 设所求直线为，代入可得， 故与已知直线平行的直线方程为. （2）设所求直线为，代入可得， 故与已知直线垂直的直线方程为. 23．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与坐标轴正半轴围成的三角形面积为2． (1)求直线的斜率； (2)已知直线，求直线与的交点坐标． 【答案】(1)． (2) 【解题思路】（1）易知直线斜率为负即可得，得出与坐标轴交点坐标解得，可得结果； （2）由（1）得，联立两直线方程即可解得交点坐标. 【解答过程】（1）易知直线斜率为负，可得，令，可得， 令0，可得， 所以，解得， 所以直线的斜率为． （2）由（1）得， 联立，解得， 所以直线与的交点坐标为. 24．（24-25高二上·河北保定·期中）已知三条直线：，：，：． (1)若，且过点，求a、b的值； (2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）根据垂直满足的关系，结合直线经过的点，即可联立方程求解. （2）根据任意两条直线平行不可构成三角形，以及三条直线交于一点不能构成三角形，结合两直线平行满足的系数关系，以及两直线的交点坐标，即可求解. 【解答过程】（1）因为：，：，且，所以， 又直线过点，所以，所以， 即，即，解得或 所以或； （2）因为，则：，：， ①当时，由得， 此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ②当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ③当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ④当，，交于一点时，，则由,解得 所以与的交点，将M代入到方程得，解得； 综上所述：时，，，三条直线能围成三角形时a的取值范围为． 题型五 点、线间的对称问题 25．（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）设出原点关于直线的对称点的坐标，利用的中点在直线上，以及直线与直线垂直列方程组，即可求解； （2）求出直线与直线的交点坐标，在直线上取一点，由（1）知关于直线的对称点为，利用直线方程的两点式求解即可； （3）在直线上任取两点，分别求出这两点关于点的对称点，再利用直线方程的两点式求解即可. 【解答过程】（1）设原点关于直线的对称点为， 则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得，即， 所以原点关于的对称点坐标为； （2）联立，解得，则点在所求直线上， 在直线上任取一点， 由（1）得关于的对称点坐标为， 所以点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于的对称直线方程为； （3）在直线上取两点，， 则，关于点的对称点分别为，. 因为点，在所求直线上， 所以由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于点的对称直线方程为. 26．（2025高三·全国·专题练习）已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 【答案】(1). (2). (3) 【解题思路】（1）根据中点和斜率列方程组来求得对称点的坐标. （2）在直线上取一点，并求其关于直线的对称点，然后结合直线与直线的交点来求得对称直线的方程. （3）利用相关点代入法来求得对称直线的方程. 【解答过程】（1）设，由已知条件得，解得所以. （2）在直线m上取一点，则关于直线l的对称点M'必在直线m'上.设对称点， 则解得故. 设直线m与直线l的交点为N，则由解得即. 又因为m'经过点，所以由两点式得直线m'的方程为. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以，即. 27．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知点 ，直线 . (1)求过点 ，且与直线 平行的直线 的方程； (2)光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，求反射光线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据平行设出直线方程，再根据点在线上求参即可； （2）设点关于直线的对称点为，再根据斜率及中点在直线上求出，最后应用两点式写出直线方程. 【解答过程】（1）因为直线与直线平行，直线的方程为， 故可设直线的方程为， 因为点在直线上， 所以， 所以， 所以直线的方程为 （2）设点关于直线的对称点为． 由题意得， 解得，所以点的坐标为， 所以反射光线所在直线斜率为， 直线方程为． 28．（24-25高二·全国·课后作业）已知点的坐标为，直线的方程为，求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于点的对称直线的方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据点关于线对称列式求解即可； （2）根据相关点法分析运算即可. 【解答过程】（1）设，由题意可得，解得， 所以点的坐标为. （2）在直线上任取一点，设关于点的对称点为， 则，解得， 由于在直线上，则，即， 故直线关于点的对称直线的方程为. 29．（24-25高二上·四川·期中）在等腰直角三角形中，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、反射后又回到原点，光线经过的重心.（若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、、、，则有. (1)建立适当的坐标系，请求的重心的坐标； (2)求点的坐标； (3)求的周长. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）以为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，写出三个顶点的坐标，即可求出该三角形重心的坐标； （2）设，求出点直线、的对称点、的坐标，根据、、、共线且光线经过的重心，结合斜率公式可得出关于的等式，结合求出的值，即可得出点的坐标； （3）由对称性可知，，可得出的周长为，结合两点间的距离公式求解即可. 【解答过程】（1）在等腰直角三角形中，，则， 以为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、， 故的重心的坐标为，即； （2）设，关于直线、的对称点分别设为、，则， 设，直线的方程为， 则，解得，即， 由光的反射原理可知、、、共线，且光线经过的重心， 故，解得或（舍去），故. （3）由（2）可得、，由题意可知，， 故的周长. 30．（24-25高二上·安徽合肥·期中）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据点关于直线对称可得对称点，即可根据两点距离公式求解， （2）根据两直线的方程可得交点，即可根据中点坐标可得，进而根据两点坐标求解直线方程. 【解答过程】（1）由题意可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 此时“将军饮马”走过的总路程为．    （2）由（1）知,故直线方程为， 故直线的方程是， 联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为， 边的中点，则，即， ∴直线斜率， ∴直线的方程为，整理得． ∴△中边中线所在的直线方程为． 题型六 平面上的距离及其最值问题 31．（24-25高二上·河南·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，直线：，. (1)若直线过点，求的值； (2)求点到直线距离的最大值. 【答案】(1) (2)5 【解题思路】（1）将点的坐标代入直线方程待定即可； （2）求出直线所过定点，结合图形可知当时点到直线距离取最大值，最大值为. 【解答过程】（1）将点的坐标代入直线的方程得， ， 整理得， 解得. （2）直线的方程可化为， 联立解得 故直线恒过点， 如图可知，当时点到直线距离的取最大值，最大值为， ， 故点到直线距离的最大值为5.    32．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知点，求： (1)过点且在坐标轴上截距相等的直线的方程； (2)过点且与原点距离为2的直线的方程； (3)过点且与原点距离最大的直线的方程，并求此最大距离． 【答案】(1)或 (2)或 (3)直线：，最大距离为 【解题思路】（1）分直线过截距为0和截距不为0两种情况讨论即可； （2）分直线斜率存在和不存在两种情况，结合点到直线的距离公式即可求； （3）由题可知过点且与原点距离最大的直线与垂直，由此求出，进而得到直线的方程及最大距离. 【解答过程】（1）①若直线的截距为0时，设直线方程为， 因为过点，所以， 所以，故直线的方程为． ②若直线的截距不为0时，设直线的方程为， 因为过点，所以， 解得， 故直线的方程为． 综上，可得直线的方程为或． （2）①若直线的斜率不存在， 由于过点，则其方程为， 原点到直线的距离为2，满足题意； ②若直线的斜率存在，设为， 则直线的方程为，即． 由已知，得，解得． 此时的方程为． 综上，可得直线的方程为或． （3）记原点为，过点且与原点距离最大的直线是过点且与垂直的直线， 设直线、直线的斜率分别为，． 由题意知， 由，得，即． 由直线方程的点斜式得，即． 即直线：是过点P且与原点距离最大的直线，且最大距离为． 33．（24-25高二上·全国·课后作业）直线l经过两直线与的交点，且与直线平行． (1)求直线l的方程； (2)若点到直线l的距离与直线到直线l的距离相等，求实数a的值． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）联立方程组求得两直线的交点坐标，由直线的斜率求得直线l的斜率，然后代入直线的点斜式方程得答案； （2）直接由点到直线的距离公式及平行直线之间的距离公式列方程求解即可． 【解答过程】（1）联立，解得， 即两直线交点坐标为(1，6). 因为直线的斜率为， 所以直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即. （2）由题意得， 整理得，解得或. 34．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知，，动点在直线上. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）由题先得出、在直线的同侧并作图，求出关于直线的对称点为，数形结合即可得最小值情况从而可计算得解. （2）由题意设点，代入结合一元二次函数性质即可得的最小值. 【解答过程】（1）由题，则、在直线的同侧，如图，    设关于直线的对称点为， 则且，解得，即， 由图可知当三点共线时最小， 所以的最小值为. （2）由题可设， 则 ， 所以当时，取得最小值为. 35．（24-25高二上·浙江台州·期中）已知，． (1)若直线l过点，且点A，B到l的距离相等，求直线l的方程； (2)在y轴上存在一点P，使得的值最小，求出点P的坐标． 【答案】(1)和 (2) 【解题思路】（1）易知当直线l过线段AB中点时，l的方程为；当直线l与线段AB平行时，利用直线的点斜式方程计算即可求解； （2）易知点关于y轴对称的点为，当且仅当，P，B三点共线时，利用直线的两点式方程求出直线的方程，即可求解. 【解答过程】（1）当直线l过线段AB中点时，则线段AB的中点C的坐标为， ∵直线l过点，且点A，B到l的距离相等， ∴直线l的方程为， 当直线l与线段AB平行时，则， 得直线l的方程为：，即， ∴综上所知：所求的直线l的方程为和； （2）点关于y轴对称的点为，则， 当且仅当，P，B三点共线时，的最小值为5. 由两点式可知，直线的方程为， 化简，得，当时，， 所以点P的坐标为. 36．（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知直线与直线平行，点，. (1)求； (2)若点关于直线对称后的点为，求点坐标； (3)已知，分别在直线，上，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据直线平行可得方程，解方程即可得解. （2）根据对称可知直线与垂直，中点在上，列出方程，接方程组即可； （3）根据对称可知，再作平行四边形，结合平行四边形性质可转化为求的最小值，即可得解. 【解答过程】（1）由直线与直线平行， 则， 解得或， 当时，直线，，两直线平行； 当时，直线，，两直线重合，不成立； 综上所述； （2）由（1）得，其斜率， 设点，则，中点为， 则，解得， 即； （3） 由（2）得点关于直线的对称点为，则， 又，分别在直线，上，且， 则，且， 则， 以，为平行四边形邻边作平行四边形， 则，且， 此时， 所以， 所以当点，，三点共线时， 取得最小值为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$