第1章 二次函数专题—二次函数图像与系数的关系 专项练习 2025-2026学年浙教版初中数学九年级上册

二次函数专题—二次函数图像与系数的关系 【考点1：二次函数性质】 求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：， ∴顶点是，对称轴是直线. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)， 对称轴是直线. 抛物线中记忆口诀——“顶点在左a,b同；在右a,b异号数；c的取值看y轴；口上口下a正负” . 抛物线与坐标轴的交点 （1）与轴的交点为(0, ).令 （2）与轴的交点： 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.求根公式强化记忆“=”.强调“韦达定理”（根与系数关系）+= =（上海中考已不做要求，基础好点的学员可以拓展学习） 并且二次函数的图像与轴的两个交点A,B间距离AB== 抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点抛物线与轴相交； ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； ③没有交点抛物线与轴相离. 【例题精讲】 例1．已知抛物线y=ax2+（2﹣a）x﹣2（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．给出下列结论： ①在a＞0的条件下，无论a取何值，点A是一个定点； ②在a＞0的条件下，无论a取何值，抛物线的对称轴一定位于y轴的左侧； ③y的最小值不大于﹣2； ④若AB=AC，则． 其中正确的结论有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A．a＞0 B．c＜0 C．当﹣1＜x＜3时，y＞0 D．当x≥1时，y随x的增大而增大 【考点2：二次函数系数中不等式的计算】 抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c符号的确定 a的符号由抛物线开口方向决定,当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,�抛物线开口向下;c的符号由抛物线与y轴交点的纵坐标决定.当c>0时,抛物线交y轴于正半轴;当c<0时,抛物线交y轴于负半轴;b的符号由对称轴来决定.当对称轴在y�轴左侧时,b的符号与a的符号相同;当对称轴在y轴右侧时,b的符号与a的符号相反;�简记左同右异. 【例题精讲】 1．如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C对称轴为直线x=1．直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论： ①2a+b+c＞0； ②a﹣b+c＜0； ③x（ax+b）≤a+b； ④a＜﹣1． 其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论： ①b2﹣4ac＞0； ②4a﹣2b+c＜0； ③3b+2c＜0； ④m（am+b）＜a﹣b（m≠﹣1）， 其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．设直线x=2是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＞0）的图象的对称轴（　　） A．若m＞3，则（m﹣1）a+b＞0 B．若m＞3，则（m﹣1）a+b＜0 C．若m＜3，则（m﹣1）a+b＞0 D．若m＜3，则（m﹣1）a+b＜0 【巩固练习】 1．已知函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与函数y=x﹣的图象如图所示，则下列结论：①ab＞0；②c＞﹣；③a+b+c＜﹣；④方程ax2+（b﹣1）x+c+=0有两个不相等的实数根．其中正确的有（　　） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：①2a+b=0，②当﹣1≤x≤3时，y＜0；③3a+c=0；④若（x1，y1）（x2、y2）在函数图象上，当0＜x1＜x2时，y1＜y2，其中正确的是（　　） A．①②④ B．①③ C．①②③ D．①③④ 3．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①2a+b=0；②abc＜0；③b2﹣4ac＞0；④8a+c＞0．其中正确的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【考点3：二次函数根与系数关系】 待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法 一般地,在所给的三个条件是任意三点(或任意三对x,y�的值)�可设解析式为y=ax2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解;在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设解析式为y=a(x-h)2+k;在所给条件中已知抛物线与x�轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标和对称轴,则可设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)来求解. 二次函数与一元二次方程的关系 抛物线y=ax2+bx+c当y=0时抛物线便转化为一元二次方程ax2+bx+c=0,即抛物线与x轴有两个交点时,方程ax2+bx+c=0有两个不相等实根;当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个交点,方程ax2+bx+c=0有两个相等实根;当抛物线y=ax2+bx+c与x轴无交点,�方程ax2+bx+c=0无实根. 【例题精讲】 1．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（　　） A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5 2．如图，抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标A（﹣1，3），与x轴的一个交点B（﹣4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论： ①2a﹣b=0；②abc＜0；③抛物线与x轴的另一个交点坐标是（3，0）； ④方程ax2+bx+c﹣3=0有两个相等的实数根；⑤当﹣4＜x＜﹣1时，则y2＜y1． 其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③⑤ C．①④⑤ D．②③④ 【巩固练习】 1．已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（2，4），有以下结论： ①当a＞0时，b2﹣4ac＞0；②当a＞0时，ax2+bx+c≥4；③若点（﹣2，m），（3，n）在抛物线上，则m＜n；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一根为﹣1，则另一根为5．其中正确的是（　　） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 2．将抛物线y1=x2﹣2x﹣3先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，与抛物线y2=ax2+bx+c重合，现有一直线y3=2x+3与抛物线y2=ax2+bx+c相交，当y2≤y3时，利用图象写出此时x的取值范围是（　　） A．x≤﹣1 B．x≥3 C．﹣1≤x≤3 D．x≥0 　 【课堂检测】 二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A． t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4 2.四位同学在研究函数y=x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发现当x=1时，函数有最小值；乙发现﹣1是方程x2+bx+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x=2时，y=4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（　　） A．（﹣3，﹣6） B．（﹣3，0） C．（﹣3，﹣5） D．（﹣3，﹣1） 4．已知抛物线y=（a+1）x2﹣ax﹣8过点（2，﹣2），且与x轴的一个交点的横坐标为2n，则代数式4n2﹣n+2016的值为（　　） A．2020 B．2019 C．2018 D．2017 5．二次函数y=x2﹣bx+b﹣2图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜1，2＜x2＜3，则满足条件的b的取值范围是（　　） A．b＞﹣1 B．1＜b＜2 C． D． 6. 如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是　 　　． 7. 如图，直线y1=kx+n（k≠0）与抛物线y2=ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，那么当y1＞y2时，x的取值范围是　 　． 8. 如表是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的对应关系，一元二次方程ax2+bx+c=（a≠0）的一个解x的取值范围是　 　 　． 9. 如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D． （1）求二次函数的解析式； （2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围； （3）若直线与y轴的交点为E，连结AD、AE，求△ADE的面积． 10. 抛物线y1=ax2+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P在抛物线上，过P（1，﹣3），B（4，0）两点作直线y2=kx+b． （1）求a、c的值； （2）根据图象直接写出y1＞y2时，x的取值范围； （3）在抛物线上是否存在点M，使得S△ABP=5S△ABM，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【课后巩固】 1．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①abc＞0；②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知抛物线y=ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴x=1上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①2a+b=0，②x=3是ax2+bx+3=0的一个根，③△PAB周长的最小值是+3．其中正确的是（　　） A．①②③ B．仅有①② C．仅有①③ D．仅有②③ 3．如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（　　） A． B． C．﹣2 D． 4．点A，B的坐标分别为（﹣2，3）和（1，3），抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的顶点在线段AB上运动时，形状保持不变，且与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），给出下列结论：①c＜3；②当x＜﹣3时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为﹣5；④当四边形ACDB为平行四边形时，．其中正确的是（　　） A．②④ B．②③ C．①③④ D．①②④ 5．抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 从上表可知，下列说法中，错误的是（　　） A．抛物线于x轴的一个交点坐标为（﹣2，0） B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6） C．抛物线的对称轴是直线x=0 D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的 6．已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的对称轴为直线x=1，且（x1，y1），（x2，y2）为其图象上的两点，（　） A．若x1＞x2＞1，则（y1﹣y2）+2a（x1﹣x2）＜0 B．若1＞x1＞x2，则（y1﹣y2）+2a（x1﹣x2）＜0 C．若x1＞x2＞1，则（y1﹣y2）+a（x1﹣x2）＞0 D．若1＞x1＞x2，则（y1﹣y2）+a（x1﹣x2）＞0 7．已知二次函数y=x2﹣3x+3在t≤x≤t+1时有最小值t，则t的值是（　　） A．1 B．3 C．1或 D．3或 8．已知二次函数y=x2+2x+m2+2m﹣1（m为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（　　） A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3 9．已知二次函数y=2（x﹣1）（x﹣m﹣3）（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； （2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？ 　 10．已知：关于x的函数y=kx2+k2x﹣2的图象与y轴交于点C， （1）当k=﹣2时，求图象与x轴的公共点个数； （2）若图象与x轴有一个交点为A，当△AOC是等腰三角形时，求k的值． （3）若x≥1时函数y随着x的增大而减小，求k的取值范围． 　 11．如图所示，二次函数y=﹣2x2+4x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C． （1）求m的值及点B的坐标； （2）求△ABC的面积； （3）该二次函数图象上有一点D（x，y），使S△ABD=S△ABC，请求出D点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二次函数专题—二次函数图像与系数的关系 【考点1：二次函数性质】 求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：， ∴顶点是，对称轴是直线. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)， 对称轴是直线. 抛物线中记忆口诀——“顶点在左a,b同；在右a,b异号数；c的取值看y轴；口上口下a正负” . 抛物线与坐标轴的交点 （1）与轴的交点为(0, ).令 （2）与轴的交点： 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.求根公式强化记忆“=”.强调“韦达定理”（根与系数关系）+= =（上海中考已不做要求，基础好点的学员可以拓展学习） 并且二次函数的图像与轴的两个交点A,B间距离AB== 抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点抛物线与轴相交； ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； ③没有交点抛物线与轴相离. 【例题精讲】 例1．已知抛物线y=ax2+（2﹣a）x﹣2（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．给出下列结论： ①在a＞0的条件下，无论a取何值，点A是一个定点； ②在a＞0的条件下，无论a取何值，抛物线的对称轴一定位于y轴的左侧； ③y的最小值不大于﹣2； ④若AB=AC，则． 其中正确的结论有（C　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（C　　） A．a＞0 B．c＜0 C．当﹣1＜x＜3时，y＞0 D．当x≥1时，y随x的增大而增大 【考点2：二次函数系数中不等式的计算】 抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c符号的确定 a的符号由抛物线开口方向决定,当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,�抛物线开口向下;c的符号由抛物线与y轴交点的纵坐标决定.当c>0时,抛物线交y轴于正半轴;当c<0时,抛物线交y轴于负半轴;b的符号由对称轴来决定.当对称轴在y�轴左侧时,b的符号与a的符号相同;当对称轴在y轴右侧时,b的符号与a的符号相反;�简记左同右异. 【例题精讲】 1．如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C对称轴为直线x=1．直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论： ①2a+b+c＞0； ②a﹣b+c＜0； ③x（ax+b）≤a+b； ④a＜﹣1． 其中正确的有（B　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论： ①b2﹣4ac＞0； ②4a﹣2b+c＜0； ③3b+2c＜0； ④m（am+b）＜a﹣b（m≠﹣1）， 其中正确结论的个数是（　B　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．设直线x=2是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＞0）的图象的对称轴（　D　） A．若m＞3，则（m﹣1）a+b＞0 B．若m＞3，则（m﹣1）a+b＜0 C．若m＜3，则（m﹣1）a+b＞0 D．若m＜3，则（m﹣1）a+b＜0 【巩固练习】 1．已知函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与函数y=x﹣的图象如图所示，则下列结论：①ab＞0；②c＞﹣；③a+b+c＜﹣；④方程ax2+（b﹣1）x+c+=0有两个不相等的实数根．其中正确的有（　　B） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：①2a+b=0，②当﹣1≤x≤3时，y＜0；③3a+c=0；④若（x1，y1）（x2、y2）在函数图象上，当0＜x1＜x2时，y1＜y2，其中正确的是（　　B） A．①②④ B．①③ C．①②③ D．①③④ 3．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①2a+b=0；②abc＜0；③b2﹣4ac＞0；④8a+c＞0．其中正确的有（　A　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【考点3：二次函数根与系数关系】 待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法 一般地,在所给的三个条件是任意三点(或任意三对x,y�的值)�可设解析式为y=ax2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解;在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设解析式为y=a(x-h)2+k;在所给条件中已知抛物线与x�轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标和对称轴,则可设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)来求解. 二次函数与一元二次方程的关系 抛物线y=ax2+bx+c当y=0时抛物线便转化为一元二次方程ax2+bx+c=0,即抛物线与x轴有两个交点时,方程ax2+bx+c=0有两个不相等实根;当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个交点,方程ax2+bx+c=0有两个相等实根;当抛物线y=ax2+bx+c与x轴无交点,�方程ax2+bx+c=0无实根. 【例题精讲】 1．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（ A ） A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5 2．如图，抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标A（﹣1，3），与x轴的一个交点B（﹣4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论： ①2a﹣b=0；②abc＜0；③抛物线与x轴的另一个交点坐标是（3，0）； ④方程ax2+bx+c﹣3=0有两个相等的实数根；⑤当﹣4＜x＜﹣1时，则y2＜y1． 其中正确的是（　C　） A．①②③ B．①③⑤ C．①④⑤ D．②③④ 【巩固练习】 1．已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（2，4），有以下结论： ①当a＞0时，b2﹣4ac＞0；②当a＞0时，ax2+bx+c≥4；③若点（﹣2，m），（3，n）在抛物线上，则m＜n；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一根为﹣1，则另一根为5．其中正确的是（　D　） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 2．将抛物线y1=x2﹣2x﹣3先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，与抛物线y2=ax2+bx+c重合，现有一直线y3=2x+3与抛物线y2=ax2+bx+c相交，当y2≤y3时，利用图象写出此时x的取值范围是（　　C） A．x≤﹣1 B．x≥3 C．﹣1≤x≤3 D．x≥0 　 【课堂检测】 1．二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（　D　） A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4 2.四位同学在研究函数y=x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发现当x=1时，函数有最小值；乙发现﹣1是方程x2+bx+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x=2时，y=4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（　B　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（B　　） A．（﹣3，﹣6） B．（﹣3，0） C．（﹣3，﹣5） D．（﹣3，﹣1） 4．已知抛物线y=（a+1）x2﹣ax﹣8过点（2，﹣2），且与x轴的一个交点的横坐标为2n，则代数式4n2﹣n+2016的值为（　　A） A．2020 B．2019 C．2018 D．2017 5．二次函数y=x2﹣bx+b﹣2图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜1，2＜x2＜3，则满足条件的b的取值范围是（　C　） A．b＞﹣1 B．1＜b＜2 C． D． 6. 如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是　 x＜﹣1或x＞5　　． 7. 如图，直线y1=kx+n（k≠0）与抛物线y2=ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，那么当y1＞y2时，x的取值范围是　﹣1＜x＜2 　． 8. 如表是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的对应关系，一元二次方程ax2+bx+c=（a≠0）的一个解x的取值范围是　 6.2＜x＜6.3　 　． 9. 如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D． （1）求二次函数的解析式； （2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围； （3）若直线与y轴的交点为E，连结AD、AE，求△ADE的面积． 【解答】解：（1）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c， ， 解得，a=﹣1，b=﹣2，c=3， 即二次函数的解析式是y=﹣x2﹣2x+3； （2）∵y=﹣x2﹣2x+3， ∴该函数的对称轴是直线x=﹣1， ∵点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点， ∴点D（﹣2，3）， ∴一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1； （3）∵点A（﹣3，0）、点D（﹣2，3）、点B（1，0）， 设直线DE的解析式为y=kx+m， 则，解得，， ∴直线DE的解析式为y=﹣x+1， 当x=0时，y=1， ∴点E的坐标为（0，1）， 设直线AE的解析式为y=cx+d， 则，得， ∴直线AE的解析式为y=x+1， 当x=﹣2时，y==， ∴△ADE的面积是：=4． 　 10. 抛物线y1=ax2+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P在抛物线上，过P（1，﹣3），B（4，0）两点作直线y2=kx+b． （1）求a、c的值； （2）根据图象直接写出y1＞y2时，x的取值范围； （3）在抛物线上是否存在点M，使得S△ABP=5S△ABM，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）将P（1，﹣3）、B（4，0）代入y=ax2+c得：， 解得：； （2）由图象得x＞4或x＜1； （3）在抛物线上存在点M，使得S△ABP=5S△ABM， 理由是：抛物线的解析式是y=x2﹣， 设M点的纵坐标为e， ∵P（1，﹣3）， ∴由S△ABP=5S△ABM得：×AB×|﹣3|=5×AB×|e|， 解得；|e|=， 当e=时，x2﹣=， 解得：x=±， 当e=﹣时，x2﹣=﹣， 解得：x=±， 即M点的坐标是（，）（﹣，）（，﹣）（﹣，﹣）． 【课后巩固】 1．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①abc＞0；②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b，其中正确的结论有（　C　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知抛物线y=ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴x=1上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①2a+b=0，②x=3是ax2+bx+3=0的一个根，③△PAB周长的最小值是+3．其中正确的是（A　　） A．①②③ B．仅有①② C．仅有①③ D．仅有②③ 3．如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（　B　） A． B． C．﹣2 D． 4．点A，B的坐标分别为（﹣2，3）和（1，3），抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的顶点在线段AB上运动时，形状保持不变，且与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），给出下列结论：①c＜3；②当x＜﹣3时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为﹣5；④当四边形ACDB为平行四边形时，．其中正确的是（　A　） A．②④ B．②③ C．①③④ D．①②④ 5．抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 从上表可知，下列说法中，错误的是（C　　） A．抛物线于x轴的一个交点坐标为（﹣2，0） B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6） C．抛物线的对称轴是直线x=0 D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的 6．已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的对称轴为直线x=1，且（x1，y1），（x2，y2）为其图象上的两点，（　C　） A．若x1＞x2＞1，则（y1﹣y2）+2a（x1﹣x2）＜0 B．若1＞x1＞x2，则（y1﹣y2）+2a（x1﹣x2）＜0 C．若x1＞x2＞1，则（y1﹣y2）+a（x1﹣x2）＞0 D．若1＞x1＞x2，则（y1﹣y2）+a（x1﹣x2）＞0 7．已知二次函数y=x2﹣3x+3在t≤x≤t+1时有最小值t，则t的值是（　D　） A．1 B．3 C．1或 D．3或 8．已知二次函数y=x2+2x+m2+2m﹣1（m为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（　C　） A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3 9．已知二次函数y=2（x﹣1）（x﹣m﹣3）（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； （2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？ 【解答】（1）证明：当y=0时，2（x﹣1）（x﹣m﹣3）=0， 解得：x1=1，x2=m+3． 当m+3=1，即m=﹣2时，方程有两个相等的实数根； 当m+3≠1，即m≠﹣2时，方程有两个不相等的实数根． ∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； （2）解：当x=0时，y=2（x﹣1）（x﹣m﹣3）=2m+6， ∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m+6， ∴当2m+6＞0，即m＞﹣3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方． 　 10．已知：关于x的函数y=kx2+k2x﹣2的图象与y轴交于点C， （1）当k=﹣2时，求图象与x轴的公共点个数； （2）若图象与x轴有一个交点为A，当△AOC是等腰三角形时，求k的值． （3）若x≥1时函数y随着x的增大而减小，求k的取值范围． 【解答】解 （1）方法一：当k=﹣2时，函数为y=﹣2x2+4x﹣2， ∵b2﹣4ac=42﹣4×（﹣2）×（﹣2）=0 ∴图象与x轴公共点只有一个． 方法二：当k=﹣2时，函数为y=﹣2x2+4x﹣2， 令y=0，则﹣2x2+4x﹣2=0， 解得：x1=x2=1， ∴图象与x轴公共点只有一个； （2）当△AOC是等腰三角形时， ∵∠AOC=90°，OC=2， ∴可得OA=OC=2 ∴点A的坐标为（2，0）或（﹣2，0）． 把x=2，y=0代入解析式 得2k2+4k﹣2=0， 解得 k1=﹣1+，k1=﹣1﹣， 把x=﹣2，y=0代入解析式 得﹣2k2+4k﹣2=0， 解得 k1=﹣k1=1． ∴k的值为﹣1+或﹣1﹣或1； （3）由“x≥1时函数y随着x的增大而减小”可知，抛物线开口向下， ∴k＜0，且对称轴在直线x=1的左侧， ∴﹣≤1，即≤1． 解不等式组， 解得﹣2≤k＜0． 　 11．如图所示，二次函数y=﹣2x2+4x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C． （1）求m的值及点B的坐标； （2）求△ABC的面积； （3）该二次函数图象上有一点D（x，y），使S△ABD=S△ABC，请求出D点的坐标． 【解答】解：（1）∵函数过A（3，0）， ∴﹣18+12+m=0， ∴m=6， ∴该函数解析式为：y=﹣2x2+4x+6， ∴当﹣2x2+4x+6=0时，x1=﹣1，x2=3， ∴点B的坐标为（﹣1，0）； （2）C点坐标为（0，6），； （3）∵S△ABD=S△ABC=12， ∴S△ABD==12， ∴|h|=6， ①当h=6时：﹣2x2+4x+6=6，解得：x1=0，x2=2 ∴D点坐标为（0，6）或（2，6）， ②当h=﹣6时：﹣2x2+4x+6=﹣6，解得：x1=1+，x2=1﹣ ∴D点坐标为（1+，﹣6）、（1﹣，﹣6） ∴D点坐标为（0，6）、（2，6）、（1+，﹣6）、（1﹣，﹣6）． 　 1 学科网（北京）股份有限公司 $$