1.4 二次函数的应用 讲义 2025-2026学年浙教版初中数学九年级上册

1.4二次函数的应用 【考点1：二次函数实际问题之销售利润最值问题】 【知识梳理】 重难点： 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大（小）值。 一件利润=销售单价—单件成本 总利润=一件利润*销售量 总利润=总收入—总成本 【例题精讲】 例1.某工艺品厂生产一种汽车装饰品，每件生产成本为20元，销售价格在30元至80元之间（含30元和80元），销售过程中的管理、仓储、运输等各种费用（不含生产成本）总计50万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的函数关系如图所示． （1）当30≤x≤60时，求y与x的函数关系式； （2）求出该厂生产销售这种产品的纯利润w（万元）与销售价格x（元/个）的函数关系式； （3）销售价格应定为多少元时，获得利润最大，最大利润是多少？ 【巩固练习】 1．2025年我国多地出现雾霾天气，某企业抓住商机准备生产空气净化设备，该企业决定从以下两个投资方案中选择一个进行投资生产，方案一：生产甲产品，每件产品成本为a元（a为常数，且40＜a＜100），每件产品销售价为120元，每年最多可生产125万件；方案二：生产乙产品，每件产品成本价为80元，每件产品销售价为180元，每年可生产120万件，另外，年销售x万件乙产品时需上交0.5x2万元的特别关税，在不考虑其它因素的情况下： （1）分别写出该企业两个投资方案的年利润y1（万元）、y2（万元）与相应生产件数x（万件）（x为正整数）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围； （2）分别求出这两个投资方案的最大年利润； （3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？ 【考点2：二次函数实际问题之“框型面积”最值问题】 【知识梳理】 1、二次函数与几何的结合 （1）通常与几何图形的面积结合考察，求面积的最值问题 （2）求直线与二次函数的交点，联立方程组 （3）求直角坐标系中的多边形面积，采用分割法（把多边形分割成几个可以求的简单图形） 常用的求三角形面积公式：（1）三角形面积=底高2， （2） 【例题精讲】 例1．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标； （3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． 【巩固练习】 如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点． （1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标； （2）F（x，y）是抛物线上的动点，当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值； 【考点3：二次函数实际问题之“拱形桥、投球”问题】 【知识梳理】 （1）设变量 （2）根据题意列出函数关系式 （3）根据函数解析式求最值问题（考虑自变量的范围）。 【例题精讲】 1．在体育测试时，初三的一名高个子男生推铅球，已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分（如图），若这个男生出手处A点的坐标为（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标为B（6，5）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）该男生把铅球推出去多远？ 【巩固练习】 有一座抛物线拱型桥，在正常水位时，水面BC的宽为10米，拱桥的最高点D到水面BC的距离DO为4米，点O是BC的中点，如图，以点O为原点，直线BC为x，建立直角坐标xOy． （1）求该抛物线的表达式； （2）如果水面BC上升3米（即OA=3）至水面EF，点E在点F的左侧，求水面宽度EF的长． 【考点4：二次函数实际问题之动点最值（面积、线段、周长）问题】 【例题精讲】 例1．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线y=x2+bx+c的表达式； （2）点D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标； （3）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值． 【课堂检测】 1. 某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式为y=﹣4x+440，要获得最大利润，该商品的售价应定为（　　） A．60元 B．70元 C．80元 D．90元 2. 如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时水面宽4m．水面下降1m，水面宽度为（　　） A．2m B．2m C．m D．m 3. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从D点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x﹣k）2+h．已知球与D点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（　　） A．球不会过网 B．球会过球网但不会出界 C．球会过球网并会出界 D．无法确定 4. 某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y=﹣x2+2x+3，则下列结论：（1）柱子OA的高度为3m；（2）喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m；（4）水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4 5. 某品牌钢笔进价8元，按10元1支出售时每天能买出20支，市场调查发现如果每支每涨价1元，每天就少卖出2支，为了每天获得最大利润，其售价应定为（　　） A．11元 B．12元 C．13元 D．14元 6. 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表： t 0 1 2 3 4 5 6 7 … h 0 8 14 18 20 20 18 14 … 下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7. 如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y=﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题： （1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？ （2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ （3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 8. 随着互联网的普及，某手机厂商采用先网络预定，然后根据订单量生产手机的方式销售，2025年该厂商将推出一款新手机，根据相关统计数据预测，定价为2200元，日预订量为20000台，若定价每减少100元，则日预订量增加10000台． （1）设定价减少x元，预订量为y台，写出y与x的函数关系式； （2）若每台手机的成本是1200元，求所获的利润w（元）与x（元）的函数关系式，并说明当定价为多少时所获利润最大； （3）若手机加工成每天最多加工50000台，且每批手机会有5%的故障率，通过计算说明每天最多接受的预订量为多少？按最大量接受预订时，每台售价多少元？ 9. 如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE． ①求点P的坐标； ②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【课后巩固】 1．已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，当﹣5≤x≤0时，下列说法正确的是（　　） A．有最小值﹣5、最大值0 B．有最小值﹣3、最大值6 C．有最小值0、最大值6 D．有最小值2、最大值6 2．烟花厂为雁荡山旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h=﹣t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（　　） A．3s B．4s C．5s D．6s　 3．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（　　） A．y=﹣2x2 B．y=2x2 C．y=﹣0.5x2 D．y=0.5x2　 4．一个网球发射器向空中发射网球，网球飞行的路线呈一条抛物线，如果网球距离地面的高度h（米）关于运行时间t（秒）的函数解析式为h=﹣t2+t+1（0≤t≤20），那么网球到达最高点时距离地面的高度是（　　） A．1米 B．1.5米 C．1.6米 D．1.8米 5．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长20m，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是　　m2． 　 6．某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件．经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件，为使每天所获销售利润最大，销售单价应定为　　元． 7．如图，已知桥拱形状为抛物线，其函数关系式为y=﹣x2，当水位线在AB位置时，水面的宽度为12m，这时水面离桥拱顶部的距离是　　． 　 8．公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s（m）与时间t（s）的函数关系式为s=20t﹣5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行　　m才能停下来． 9．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． （1）该玩具销售单价定为多少元时，商场能获得12000元的销售利润？ （2）该玩具销售单价定为多少元时，商场获得的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于46元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 　 10. 小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%． （1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围． （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ （3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量） 　 11. 有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的直角坐标系中，抛物线可以用函数y=ax2+bx来表示．已知大棚在地面上的宽度OA为8米，距离O点2米处的棚高BC为米． （1）求该抛物线的函数关系式； （2）求蔬菜大棚离地面的最大高度是多少米？ （3）若借助横梁DE建一个门，要求门的高度不低于1.5米，则横梁DE的宽度最多是多少米？ 12. 为了美化生活环境，小兰的爸爸要在院墙外的一块空地上修建一个矩形花圃．如图所示，矩形花圃的一边利用长10米的院墙，另外三条边用篱笆围成，篱笆的总长为32米．设AB的长为x米，矩形花圃的面积为y平方米． （1）用含有x的代数式表示BC的长，BC=　　； （2）求y与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围； （3）当x为何值时，y有最大值？最大值为多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4二次函数的应用 【考点1：二次函数实际问题之销售利润最值问题】 重难点： 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大（小）值。 一件利润=销售单价—单件成本 总利润=一件利润*销售量 总利润=总收入—总成本 【例题精讲】 例1.某工艺品厂生产一种汽车装饰品，每件生产成本为20元，销售价格在30元至80元之间（含30元和80元），销售过程中的管理、仓储、运输等各种费用（不含生产成本）总计50万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的函数关系如图所示． （1）当30≤x≤60时，求y与x的函数关系式； （2）求出该厂生产销售这种产品的纯利润w（万元）与销售价格x（元/个）的函数关系式； （3）销售价格应定为多少元时，获得利润最大，最大利润是多少？ 【解答】解：（1）当x=60时，y==2， ∴当30≤x≤60时，图象过（60，2）和（30，5）， 设y=kx+b，则 ， 解得：， ∴y=﹣0.1x+8（30≤x≤60）； （2）根据题意，当30≤x≤60时，W=（x﹣20）y﹣50=（x﹣20）（﹣0.1x+8）﹣50=﹣0.1x2+10x﹣210， 当60＜x≤80时，W=（x﹣20）y﹣50=（x﹣20）•﹣50=﹣+70， 综上所述：W=； （3）当30≤x≤60时，W=﹣0.1x2+10x﹣210=﹣0.1（x﹣50）2+40， 当x=50时，W最大=40（万元）； 当60＜x≤80时，W=﹣+70， ∵﹣2400＜0，W随x的增大而增大， ∴当x=80时，W最大=﹣+70=40（万元）， 答：当销售价格定为50元/件或80元/件，获得利润最大，最大利润是40万元． 　 【巩固练习】　 1．2025年我国多地出现雾霾天气，某企业抓住商机准备生产空气净化设备，该企业决定从以下两个投资方案中选择一个进行投资生产，方案一：生产甲产品，每件产品成本为a元（a为常数，且40＜a＜100），每件产品销售价为120元，每年最多可生产125万件；方案二：生产乙产品，每件产品成本价为80元，每件产品销售价为180元，每年可生产120万件，另外，年销售x万件乙产品时需上交0.5x2万元的特别关税，在不考虑其它因素的情况下： （1）分别写出该企业两个投资方案的年利润y1（万元）、y2（万元）与相应生产件数x（万件）（x为正整数）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围； （2）分别求出这两个投资方案的最大年利润； （3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？ 【解答】解：（1）由题意得： y1=（120﹣a）x（1≤x≤125，x为正整数）， y2=100x﹣0.5x2（1≤x≤120，x为正整数）； （2）①∵40＜a＜100，∴120﹣a＞0， 即y1随x的增大而增大， ∴当x=125时，y1最大值=（120﹣a）×125=15000﹣125a（万元） ②y2=﹣0.5（x﹣100）2+5000， ∵a=﹣0.5＜0， ∴x=100时，y2最大值=5000（万元）； （3）∵由15000﹣125a＞5000， ∴a＜80， ∴当40＜a＜80时，选择方案一； 由15000﹣125a=5000，得a=80， ∴当a=80时，选择方案一或方案二均可； 由15000﹣125a＜5000，得a＞80， ∴当80＜a＜100时，选择方案二． 【考点2：二次函数实际问题之“框型面积”最值问题】 1、二次函数与几何的结合 （1）通常与几何图形的面积结合考察，求面积的最值问题 （2）求直线与二次函数的交点，联立方程组 （3）求直角坐标系中的多边形面积，采用分割法（把多边形分割成几个可以求的简单图形） 常用的求三角形面积公式：（1）三角形面积=底高2， （2） 【例题精讲】 例1．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标； （3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． 【解答】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c， 解得：b=﹣4，c=3， ∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3； （2）令y=0，则x2﹣4x+3=0， 解得：x=1或x=3， ∴B（3，0）， ∴BC=3， 点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1， ①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3 ∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）； ②当BP=BC时，OP=OB=3， ∴P3（0，﹣3）； ③当PB=PC时， ∵OC=OB=3 ∴此时P与O重合， ∴P4（0，0）； 综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）； （3）如图2，设A运动时间为t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t， ∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1， 即当M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1． 【巩固练习】 1．如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点． （1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标； （2）F（x，y）是抛物线上的动点，当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值； 【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y=ax2+bx+c， ，解得：， ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3． ∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点D的坐标为（1，4）． （2）①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，如图1所示． 设直线BD的解析式为y=mx+n（m≠0）， 将（3，0）、（1，4）代入y=mx+n， ，解得：， ∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6． ∵点F的坐标为（x，﹣x2+2x+3）， ∴点M的坐标为（x，﹣2x+6）， ∴FM=﹣x2+2x+3﹣（﹣2x+6）=﹣x2+4x﹣3， ∴S△BDF=FM•（yB﹣yD）=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1． ∵﹣1＜0， ∴当x=2时，S△BDF取最大值，最大值为1． 【考点3：二次函数实际问题之“拱形桥、投球”问题】 （1）设变量 （2）根据题意列出函数关系式 （3）根据函数解析式求最值问题（考虑自变量的范围）。 【例题精讲】 1．在体育测试时，初三的一名高个子男生推铅球，已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分（如图），若这个男生出手处A点的坐标为（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标为B（6，5）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）该男生把铅球推出去多远？ 【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x﹣h）2+k， 由于顶点坐标为（6，5）， ∴y=a（x﹣6）2+5． 又A（0，2）在抛物线上， ∴2=62•a+5， 解得：a=﹣． ∴二次函数的解析式为y=﹣（x﹣6）2+5， 整理得：y=﹣x2+x+2． （2）当y=0时，﹣x2+x+2=0． x=6+2，x=6﹣2（不合题意，舍去）． ∴x=6+2≈13.75（米）． 答：该同学把铅球抛出13.75米． 【巩固练习】 2．有一座抛物线拱型桥，在正常水位时，水面BC的宽为10米，拱桥的最高点D到水面BC的距离DO为4米，点O是BC的中点，如图，以点O为原点，直线BC为x，建立直角坐标xOy． （1）求该抛物线的表达式； （2）如果水面BC上升3米（即OA=3）至水面EF，点E在点F的左侧，求水面宽度EF的长． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为：y=ax2+c， 由题意可得图象经过（5，0），（0，4）， 则， 解得：a=﹣， 故抛物线解析为：y=﹣x2+4； （2）由题意可得：y=3时， 3=﹣x2+4 解得：x=±， 故EF=5， 答：水面宽度EF的长为5m． 　 【考点4：二次函数实际问题之动点最值（面积、线段、周长）问题】 【例题精讲】 例1．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线y=x2+bx+c的表达式； （2）点D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标； （3）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值． 解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入y=x2+bx+c得，解得， ∴抛物线y=x2+bx+c的表达式为y=x2﹣4x+3； （2）如图1，抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，设D（2，y），B（3，0），C（0，3）， ∴BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2， 当△BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，BC2+DC2=BD2，即18+4+（y﹣3）2=1+y2，解得y=5，此时D点坐标为（2，5）； 当△BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，BC2+DB2=DC2，即4+（y﹣3）2=1+y2+18，解得y=﹣1，此时D点坐标为（2，﹣1）； （3）易得BC的解析式为y=﹣x+3，∵直线y=x+m与直线y=x平行， ∴直线y=﹣x+3与直线y=x+m垂直，∴∠CEF=90°，∴△ECF为等腰直角三角形， 作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图2，△EPG、△PHF都为等腰直角三角形，PE=PG，PF=PH，设P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），则G（t，﹣t+3）， ∴PF=PH=t，PG=﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）=﹣t2+3t，∴PE=PG=﹣t2+t， ∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=﹣t2+3t+t=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4， 当t=2时，PE+EF的最大值为4． 【重难点突破分析】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式． 【课堂检测】 1. 某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式为y=﹣4x+440，要获得最大利润，该商品的售价应定为（　C　） A．60元 B．70元 C．80元 D．90元 2. 如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时水面宽4m．水面下降1m，水面宽度为（　A　） A．2m B．2m C．m D．m 3. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从D点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x﹣k）2+h．已知球与D点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（　C　） A．球不会过网 B．球会过球网但不会出界 C．球会过球网并会出界 D．无法确定 4. 某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y=﹣x2+2x+3，则下列结论：（1）柱子OA的高度为3m；（2）喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m；（4）水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外．其中正确的有（　D　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4 5. 某品牌钢笔进价8元，按10元1支出售时每天能买出20支，市场调查发现如果每支每涨价1元，每天就少卖出2支，为了每天获得最大利润，其售价应定为（　D　） A．11元 B．12元 C．13元 D．14元 6. 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表： t 0 1 2 3 4 5 6 7 … h 0 8 14 18 20 20 18 14 … 下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m．其中正确结论的个数是（　　B） A．1 B．2 C．3 D．4 7. 如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y=﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题： （1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？ （2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ （3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 【解答】解：（1）当y=15时， 15=﹣5x2+20x， 解得，x1=1，x2=3， 答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s； （2）当y=0时， 0═﹣5x2+20x， 解得，x3=0，x2=4， ∵4﹣0=4， ∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s； （3）y=﹣5x2+20x=﹣5（x﹣2）2+20， ∴当x=2时，y取得最大值，此时，y=20， 答：在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m． 8. 随着互联网的普及，某手机厂商采用先网络预定，然后根据订单量生产手机的方式销售，2025年该厂商将推出一款新手机，根据相关统计数据预测，定价为2200元，日预订量为20000台，若定价每减少100元，则日预订量增加10000台． （1）设定价减少x元，预订量为y台，写出y与x的函数关系式； （2）若每台手机的成本是1200元，求所获的利润w（元）与x（元）的函数关系式，并说明当定价为多少时所获利润最大； （3）若手机加工成每天最多加工50000台，且每批手机会有5%的故障率，通过计算说明每天最多接受的预订量为多少？按最大量接受预订时，每台售价多少元？ 【解答】解：（1）根据题意：y=20000+×10000=100x+20000； （2）设所获的利润w（元）， 则W=（2200﹣1200﹣x）（100x+20000） =﹣100（x﹣400）2+36000000； 所以当降价400元，即定价为2200﹣400=1800元时，所获利润最大； （2）根据题意每天最多接受50000（1﹣0.05）=47500台， 此时47500=100x+20000， 解得：x=275． 所以最大量接受预订时，每台定价2200﹣275=1925元． 31．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE． ①求点P的坐标； ②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵B（1，0）， ∴OB=1， ∵OC=2OB=2， ∴C（﹣2，0）， Rt△ABC中，tan∠ABC=2， ∴， ∴， ∴AC=6， ∴A（﹣2，6）， 把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y=﹣x2+bx+c得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣3x+4； （2）①∵A（﹣2，6），B（1，0）， 易得AB的解析式为：y=﹣2x+2， 设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2）， ∵PE=DE， ∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=（﹣2x+2）， x=1（舍）或﹣1， ∴P（﹣1，6）； ②∵M在直线PD上，且P（﹣1，6）， 设M（﹣1，y）， ∴AM2=（﹣1+2）2+（y﹣6）2=1+（y﹣6）2， BM2=（1+1）2+y2=4+y2， AB2=（1+2）2+62=45， 分三种情况： i）当∠AMB=90°时，有AM2+BM2=AB2， ∴1+（y﹣6）2+4+y2=45， 解得：y=3， ∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）； ii）当∠ABM=90°时，有AB2+BM2=AM2， ∴45+4+y2=1+（y﹣6）2， y=﹣1， ∴M（﹣1，﹣1）， iii）当∠BAM=90°时，有AM2+AB2=BM2， ∴1+（y﹣6）2+45=4+y2， y=， ∴M（﹣1，）； 综上所述，点M的坐标为：∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，）． 【课后巩固】 1．已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，当﹣5≤x≤0时，下列说法正确的是（　　） A．有最小值﹣5、最大值0 B．有最小值﹣3、最大值6 C．有最小值0、最大值6 D．有最小值2、最大值6 解：由二次函数的图象可知，∵﹣5≤x≤0， ∴当x=﹣2时函数有最大值，y最大=6； 当x=﹣5时函数值最小，y最小=﹣3．故选：B． 2．烟花厂为雁荡山旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h=﹣t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（　　） A．3s B．4s C．5s D．6s 【解答】解：∵h=﹣t2+20t+1， ∴h=﹣（t﹣4）2+41， ∴当t=4秒时，礼炮达到最高点爆炸． 故选：B． 3．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（　　） A．y=﹣2x2 B．y=2x2 C．y=﹣0.5x2 D．y=0.5x2 【解答】解：由题意可得，设抛物线解析式为：y=ax2，且抛物线过（2，﹣2）点， 故﹣2=a×22， 解得：a=﹣0.5， 故选：C． 4．一个网球发射器向空中发射网球，网球飞行的路线呈一条抛物线，如果网球距离地面的高度h（米）关于运行时间t（秒）的函数解析式为h=﹣t2+t+1（0≤t≤20），那么网球到达最高点时距离地面的高度是（　　） A．1米 B．1.5米 C．1.6米 D．1.8米 【解答】解：h=﹣t2+t+1=﹣（t2﹣16t+64﹣64）+1=﹣（t﹣8）2++1=﹣（t﹣8）2+1.8． 故选：D． 5．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长20m，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是　　m2． 【解答】解：设矩形的长为xm，则宽为m， 菜园的面积S=x•=﹣x2+15x=﹣（x﹣15）2+，（0＜x≤20） ∵当x＜15时，S随x的增大而增大， ∴当x=15时，S最大值=m2， 故答案为：． 6．某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件．经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件，为使每天所获销售利润最大，销售单价应定为　14　元． 【解答】解：设销售单价为x元，利润为w元， w=（x﹣8）[100﹣（x﹣10）×10]=﹣10x2+280x﹣1600=﹣10（x﹣14）2+360， ∴当x=14时，w取得最大值，此时w=360， 故答案为：14．　 7．如图，已知桥拱形状为抛物线，其函数关系式为y=﹣x2，当水位线在AB位置时，水面的宽度为12m，这时水面离桥拱顶部的距离是　9m　． 【解答】解：根据题意，当x=6时，原式=﹣×62=﹣9， 即水面离桥拱顶部的距离是9m， 故答案为：9m． 　 8．公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s（m）与时间t（s）的函数关系式为s=20t﹣5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行　20　m才能停下来． 【解答】解：依题意：该函数关系式化简为S=﹣5（t﹣2）2+20， 当t=2时，汽车停下来，滑行了20m． 故惯性汽车要滑行20米． 9. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． （1）该玩具销售单价定为多少元时，商场能获得12000元的销售利润？ （2）该玩具销售单价定为多少元时，商场获得的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于46元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【解答】解：（1）设该种品牌玩具的销售单价为x元 则（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]=12000﹣10x2+1300x﹣30000=12000， 解得：x1=60，x2=70， 答：玩具销售单价为60元或70元时，可获得12000元销售利润； （2）设该种品牌玩具的销售单价为x元，销售该品牌玩具获得利润为w元 则w=（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）] =﹣10x2+1300x﹣30000 =﹣10（x﹣65）2+12250 ∵a=﹣10＜0 抛物线的开口向下， ∴当x=65时 W最大值=12250（元）， 答：玩具销售单价定为65元时，商场获得的销售利润最大，最大利润是12250元； （3）根据题意得 解得：46≤x≤50 w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250 ∵a=﹣10＜0，对称轴x=65∴当46≤x≤50时，y随x增大而增大． ∴当x=50时，W最大值=10000（元）， 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为10000元． 10. 小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%． （1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围． （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ （3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量） 【解答】解：（1）由题意，得：w=（x﹣20）•y=（x﹣20）•（﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000，即w=﹣10x2+700x﹣10000（20≤x≤32） （2）对于函数w=﹣10x2+700x﹣10000的图象的对称轴是直线． 又∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下．∴当20≤x≤32时，W随着X的增大而增大， ∴当x=32时，W=2160 答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元． （3）取W=2000得，﹣10x2+700x﹣10000=2000 解这个方程得：x1=30，x2=40． ∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下． ∴当30≤x≤40时，w≥2000． ∵20≤x≤32 ∴当30≤x≤32时，w≥2000． 设每月的成本为P（元），由题意，得：P=20（﹣10x+500）=﹣200x+10000 ∵k=﹣200＜0， ∴P随x的增大而减小． ∴当x=32时，P的值最小，P最小值=3600． 答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元． 11. 有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的直角坐标系中，抛物线可以用函数y=ax2+bx来表示．已知大棚在地面上的宽度OA为8米，距离O点2米处的棚高BC为米． （1）求该抛物线的函数关系式； （2）求蔬菜大棚离地面的最大高度是多少米？ （3）若借助横梁DE建一个门，要求门的高度不低于1.5米，则横梁DE的宽度最多是多少米？ 【解答】解：（1）由题意可得，抛物线经过（2，），（8，0）， 故， 解得：， 故抛物线解析式为：y=﹣x2+x； （2）y=﹣x2+x =﹣（x﹣4）2+3， 故蔬菜大棚离地面的最大高度是3米； （3）由题意可得：当y=1.5时， 1.5=﹣x2+x， 解得：x1=4+2，x2=4﹣2， 故DE=x1﹣x2=4+2﹣（4﹣2） =4． 　 12. 为了美化生活环境，小兰的爸爸要在院墙外的一块空地上修建一个矩形花圃．如图所示，矩形花圃的一边利用长10米的院墙，另外三条边用篱笆围成，篱笆的总长为32米．设AB的长为x米，矩形花圃的面积为y平方米． （1）用含有x的代数式表示BC的长，BC=　 　； （2）求y与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围； （3）当x为何值时，y有最大值？最大值为多少？ 【解答】解：（1）由题意可得，BC=32﹣2x， 故答案为：32﹣2x； （2）由题意可得， y=x（32﹣2x）=﹣2x2+32x， ∵， ∴11≤x＜16， 即y与x的函数关系式是y=﹣2x2+32x（11≤x＜16）； （3）∵y=﹣2x2+32x=﹣2（x﹣8）2+128，11≤x＜16， ∴x=11时，y取得最大值，此时y=110， 即当x=11时，y取得最大值，最大值为110． 学科网（北京）股份有限公司 $$