1.2～1.3 二次函数图像与性质 学案 2025-2026学年浙教版初中数学九年级上册

1.2-1.3二次函数图像与性质 【考点1：二次函数的函数】 1、给定一般式,先配方化为顶点式 对称轴。 2、给定顶点式则对称轴为直线。 3、给定交点式，是二次函数图象与轴的交点坐标， 则对称轴为直线。 注：关于对称轴对称的两点函数值相等。 【例题精讲】 例1．如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（　D　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．对于函数y=5x2，下列结论正确的是（　C　） A．y随x的增大而增大 B．图象开口向下 C．图象关于y轴对称 D．无论x取何值，y的值总是正的 2．关于二次函数y=﹣（x+1）2+2的图象，下列判断正确的是（D　　） A．图象开口向上 B．图象的对称轴是直线x=1 C．图象有最低点 D．图象的顶点坐标为（﹣1，2） 【考点2：二次函数的函数的图象和性质】 1、的图象和性质 （1）开口方向及大小： >0,开口向上；<0,开口向下。 的绝对值越大，开口越小；的绝对值越小，开口越大。 （2）对称轴：直线，当时，对称轴为y轴。 （3）顶点坐标：。顶点为对称轴与二次函数图象的交点。 （4）增减性： >0，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小； <0，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大。 【例题精讲】 例1．当函数y=（x﹣1）2﹣2的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是（B　　） A．x＞0 B．x＜1 C．x＞1 D．x为任意实数 例2．已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣1（a≠0），下列四个结论：①当a＞0时，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；②函数图象的对称轴是x=﹣1；③当a=1时，图象经过点（﹣1，2）；④当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点，其中正确的共有（　C　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【巩固练习】 1．对于抛物线y=﹣（x+2）2+3，下列结论中正确结论的个数为（A　　） ①抛物线的开口向下； ②对称轴是直线x=﹣2； ③图象不经过第一象限； ④当x＞2时，y随x的增大而减小． A．4 B．3 C．2 D．1 2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（　C　） A．函数有最小值 B．c＜0 C．当﹣1＜x＜2时，y＞0 D．当x＜时，y随x的增大而减小 【考点3：二次函数的函数的最值及交点坐标】 >0，当时，y有最小值，； <0，当时，y有最大值，； 无论是最大值还是最小值，都是在对称轴上取得，都为顶点的纵坐标。 抛物线与坐标轴的交点 ①与轴的交点，令，化为一元二次方程， 当时，抛物线与轴有两个交点， 当时，抛物线与轴有一个交点，交点坐标为 当时，抛物线与轴没有交点。 补充知识：恒为正的条件为， 恒为负的条件为 ②与轴的交点，令，则，那么抛物线与轴的交点坐标。 【例题精讲】 例1．已知关于x的二次函数y=x2﹣2x﹣2，当a≤x≤a+2时，函数有最大值1，则a的值为（　A　） A．﹣1或1 B．1或﹣3 C．﹣1或3 D．3或﹣3 例2．已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（　B　） A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6 例3．已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（　A　） A．有最大值 2，有最小值﹣2.5 B．有最大值 2，有最小值 1.5 C．有最大值 1.5，有最小值﹣2.5 D．有最大值 2，无最小值 【巩固练习】 1．下列关于函数y=x2﹣4x+6的四个命题：①当x=0时，y有最小值6；②若n为实数，且n＞1，则x=2+n时的函数值大于x=n时的函数值；③若n＞2，且n是整数，当n≤x≤n+1时，y的函数值有（2n﹣2）个；④若函数图象过点（a，y0），（b，y0+1），则a＜b，其中真命题的序号是（C　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【考点4：二次函数的平移】 一般做图像的平移时，使用顶点式，左加右减，上加下减 向左平移个单位则， 向右平移个单位则； 向上平移个单位则， 向下平移个单位则。 【例题精讲】 例1．将抛物线y=x2﹣2x+1向下平移2个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式是（C　　） A．y=x2﹣2x﹣1 B．y=x2+2x﹣1 C．y=x2﹣2 D．y=x2+2 例2．一般地，在平面直角坐标系xOy中，若将一个函数的自变量x替换为x﹣h就得到一个新函数，当h＞0（h＜0）时，只要将原来函数的图象向右（左）平移|h|个单位即得到新函数的图象．如：将抛物线y=x2向右平移2个单位即得到抛物线y=（x﹣2）2，则函数的大致图象是（D　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知抛物线c：y=x2+2x﹣3，将抛物线c平移得到抛物线c′，如果两条抛物线，关于直线x=1对称，那么下列说法正确的是（　　B） A．将抛物线c沿x轴向右平移个单位得到抛物线c′ B．将抛物线c沿x轴向右平移4个单位得到抛物线c′ C．将抛物线c沿x轴向右平移个单位得到抛物线c′ D．将抛物线c沿x轴向右平移6个单位得到抛物线c′ 【课堂检测】 1．对于二次函数y=2（x+1）（x﹣3），下列说法正确的是（D　　） A．图象开口向下 B．图象的对称轴是直线x=﹣1 C．x＞1时，y随x的增大而减小 D．x＜1时，y随x的增大而减小 2．二次函数y=x2+bx+c的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则此拋物线的对称轴是直线（　A　） A．x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D．x=3 3．如果二次函数y=ax2+bx+c的图象全部在x轴的下方，那么下列判断中正确的是（　D　） A．a＜0，b＜0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，c＞0 D．a＜0，c＜0 4．抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）过A（4，4），B（2，m）两点，点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1，则实数m的取值范围是（　B　） A．m≤2或m≥3 B．m≤3或m≥4 C．2＜m＜3 D．3＜m＜4 5．为了得到函数y=3x2的图象，可以将函数y=﹣3x2﹣6x﹣1的图象（　A　） A．先关于x轴对称，再向右平移1个单位，最后向上平移2个单位 B．先关于x轴对称，再向右平移1个单位，最后向下平移2个单位 C．先关于y轴对称，再向右平移1个单位，最后向上平移2个单位 D．先关于y轴对称，再向右平移1个单位，最后向下平移2个单位 6．二次函数y=x2+bx+1的图象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位后对应的函数表达式为y=x2+c，则（　C　） A．b=4，c=﹣2 B．b=﹣4，c=0 C．b=4，c=﹣4 D．b=﹣4，c=﹣4 7．二次函数y=﹣x2﹣2x+c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值﹣5，则c的值是（　D　） A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．3 8．已知关于x的二次函数y=3x2﹣6ax+4a2+2a+2，其中a为实数，当﹣2≤x≤1时，y的最小值为4，满足条件的a的值为（　B　） A．﹣﹣1或﹣1 B．﹣或﹣1 C．﹣1或﹣ D．或﹣1 9．已知关于x的二次函数y=x2+（1﹣a）x+1，当x的取值范围是1≤x≤3时，函数值y在x=1时取得最大值，则实数a的取值范围是　 a≥5　． 10．如果抛物线y=（a+1）x2﹣4有最高点，那么a的取值范围是a＜﹣1　 　． 11．已知二次函数y=x2+2bx+c （1）若b=c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由； （2）若b=c﹣2，y在﹣2≤x≤2上的最小值是﹣3，求b的值． 【分析】（1）令y=1，判断所得方程的判别式大于0即可求解； （2）求得函数的对称轴是x=﹣b，然后分成﹣b≤﹣2，﹣2＜﹣b＜2和﹣b≥2三种情况进行讨论，然后根据最小值是﹣3，即可解方程求解． 【解答】解：（1）由y=1得 x2+2bx+c=1， ∴x2+2bx+c﹣1=0 ∵△=4b2﹣4b+4=（2b﹣1）2+3＞0， 则存在两个实数，使得相应的y=1； （2）由b=c﹣2，则抛物线可化为y=x2+2bx+b+2，其对称轴为x=﹣b， ①当x=﹣b≤﹣2时，则有抛物线在x=﹣2时取最小值为﹣3，此时 ﹣3=（﹣2）2+2×（﹣2）b+b+2，解得b=3； ②当x=﹣b≥2时，则有抛物线在x=2时取最小值为﹣3，此时 ﹣3=22+2×2b+b+2，解得b=﹣，不合题意，舍去， ③当﹣2＜﹣b＜2时，则=﹣3，化简得：b2﹣b﹣5=0，解得：b1=（不合题意，舍去），b2=． 综上：b=3或． 【点评】本题考查了二次函数的性质以及函数的最值，注意讨论对称轴的位置是本题的关键． 　 12．已知抛物线y=x2﹣4x+a﹣2的最小值为0，求a的值． 【分析】利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答． 【解答】解：y=x2﹣4x+a﹣2 =x2﹣4x+4﹣4+a﹣2 =（x﹣2）2+a﹣6， 由题意得，a﹣6=0， 解得，a=6． 【点评】本题考查的是二次函数的最值问题，掌握二次根式的性质是解题的关键． 　 13．已知：抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）． （1）求此抛物线的表达式； （2）如果此抛物线沿y轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离． 【分析】（1）把点B（﹣1，0）和点C（2，3）坐标代入抛物线解析式，再解方程组即可； （2）设沿y轴平移m个单位，则得出抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3+m，再把点（﹣2，1）代入即可得出答案． 【解答】解：（1）由题可得 解得 所以此抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3； （2）设沿y轴平移m个单位， 则此抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3+m 由题意可知 1=﹣4﹣4+3+m 解得m=6＞0， 所以抛物线向上平移了6个单位长度． 【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，掌握用待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键． 　 14．已知抛物线y=mx2+n向下平移2个单位后得到的函数图象是y=3x2﹣1，求m、n的值． 【分析】根据平移不换不改变图形的形状求出m的值，再根据向下平移纵坐标减列方程求出n的值． 【解答】解：∵抛物线y=mx2+n向下平移2个单位后得到的函数图象是y=3x2﹣1， ∴m=3，n﹣2=﹣1， 解得m=3，n=1． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 　 15．把抛物线y=x2+bx+c向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到抛物线y=x2，求b，c的值． 【分析】把抛物线y=x2按照“左加右减，上加下减”的规律，向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得抛物线y=x2+bx+c则可． 【解答】解：y=x2向右平移4个单位，再向下平移2个单位得y=（x﹣4）2﹣2=x2﹣8x+14． 所以b=﹣8，c=14． 【点评】此题考查了二次函数的平移，利用变化规律：左加右减，上加下减得出是解题关键． 【课后巩固】 1． 坐标平面上，若移动二次函数y=2(x175)(x176)6的图形，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1单位，则移动方式可为下列哪一种？（D） A. 向上移动3单位 B.向下移动3单位 C.向上平移6单位 D. 向下移动6单位 。 2．定义[]为函数的特征数, 下面给出特征数为 [2m，1 – m , –1– m] 的函数的一些结论： ① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(，)； ② 当m > 0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于； ③ 当m < 0时，函数在x >时，y随x的增大而减小； ④ 当m 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有(B) A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④ 3．已知二次函数的图象如图所示,记,则与的大小关系为 ( C ) A. B. C. D.、大小关系不能确定 4．如图，点A，B的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为(D) y x O A．－3 　 B．1 C．5 D．8 5． 已知抛物线的开口向下,顶点坐标为（2，－3） ,那么该抛物线有（ B ） A. 最小值 －3 B. 最大值－3 C. 最小值2 D. 最大值2 6．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点的个数是（ B ） A．3 B．2 C．1 D．0 7．下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（　C　） O y x 1 1 A． O y x 1 1 C． O y x 1 1 D． O y x 1 1 B． 8． 如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC， 设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　C） (第10题) A B C D A． B． C． D． 9. 已知抛物线经过点A(4,0)。设点C（1，-3），请在抛物线的对称轴上确定一点D,使得的值最大，则D点的坐标为＿﹝2,-6﹞＿＿＿＿。 10. 如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是 －1＜x＜3 . 11. 1）将抛物线y1＝2x2向右平移2个单位，得到抛物线y2的图象，则y2= （1）2(x－2)2 或 ； （2）如图，P是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行于y轴，分别与直线y＝x、抛物线y2交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t＝ 3、1、、 ． P y x · 12. 若二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的一个解，另一个解 -1 ； y (第15题图) O x 1 3 13. 函数y=（m+2）是关于x的二次函数，求： （1）满足条件的m值； （2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y随x的增大而增大？ （3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x的增大而减小． 【分析】（1）根据二次函数的定义得到m+2≠0且m2+m﹣4=2，然后解两个不等式即可得到满足条件的m的值为2或﹣3； （2）根据二次函数的性质得当m+2＞0时，抛物线有最低点，所以m=2，则y=4x2，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标和增减性； （3）根据二次函数的性质得到当m=﹣3时，抛物线开口向下，函数有最大值，则y=﹣x2，然后根据二次函数的性质确定最大值和增减性． 【解答】解：（1）根据题意得m+2≠0且m2+m﹣4=2， 解得m1=2，m2=﹣3， 所以满足条件的m值为2或﹣3； （2）当m+2＞0时，抛物线有最低点， 所以m=2， 抛物线解析式为y=4x2， 所以抛物线的最低点为（0，0），当x≥0时，y随x的增大而增大； （3）当m=﹣3时，抛物线开口向下，函数有最大值； 抛物线解析式为y=﹣x2， 所以二次函数的最大值是0，这时，当x≥0时，y随x的增大而减小． 【点评】本题考查了二次函数的最值：先把二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）配成顶点式为y=a（x+）2+，当a＞0，y最小值=；当a＜0，y最，大值=．也考查了二次函数的定义以及二次函数的性质． 　 14. 已知关于x的函数y=kx2+（2k﹣1）x﹣2（k为常数）． （1）试说明：不论k取什么值，此函数图象一定经过（﹣2，0）； （2）在x＞0时，若要使y随x的增大而减小，求k的取值范围； （3）试问该函数是否存在最小值﹣3？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将x=﹣2代入计算，函数值为0即可． （2）分两种情形讨论：①若k=0，此函数为一次函数y=﹣x﹣2，②若k≠0，根据二次函数的性质即可解决问题． （3）分两种情形讨论：①若k=0，不存在，②k≠O，列出方程即可解决． 【解答】解：（1）将x=﹣2代入，得y=k（﹣2）2+（2k﹣1）•（﹣2）﹣2=0， 故不论k取何值，此函数图象一定经过点（﹣2，0）． （2）①若k=0，此函数为一次函数y=﹣x﹣2，当x＞0时，y随x的增大而减小， ∴k=0符合题意． ②若k≠0，此函数为二次函数，而图象一定经过（﹣2，0）、（0，﹣2） ∴要使当x＞0时，y随x的增大而减小，开口向下，须满足k＜0即可． 综上，k的取值范围是k≤0． （3）若k=0，此函数为一次函数y=﹣x﹣2， ∵x的取值为全体实数， ∴y无最小值， 若k≠0，此函数为二次函数，若存在最小值为﹣3， 则=﹣3，且k＞0， 解得：k= 符合题意， ∴当k=时，函数存在最小值﹣3． 【点评】本题考查二次函数的最值问题、一次函数的有关知识，解题的关键是学会分类讨论，注意解题的严谨性，属于中考常考题型． 　 15. 已知函数y=（m+2）x2+kx+n． （1）若此函数为一次函数； ①m，k，n的取值范围； ②当﹣2≤x≤1时，0≤y≤3，求此函数关系式； ③当﹣2≤x≤3时，求此函数的最大值和最小值（用含k，n的代数式表示）； （2）若m=﹣1，n=2，当﹣2≤x≤2时，此函数有最小值﹣4，求实数k的值． 【分析】（1）①根据二次项系数为0，一次项系数不为0，常数项为任意实数解答即可； ②根据k＞0，k＜0时x、y的对应关系确定直线经过的点的坐标，求出解析式； ③根据一次函数的性质即增减性解答即可； （2）把m=﹣1，n=2代入关系式，得到二次函数解析式，确定对称轴，顶点坐标，分情况讨论求出k的值． 【解答】解：（1）①m=﹣2，k≠0，n为任意实数； ②当k＞0时，直线经过（﹣2，0）（1，3），函数关系式为：y=x+2 当k＜0时，直线经过（﹣2，3）（1，0），函数关系式为：y=﹣x+1 ③当k＞0时，x=﹣2，y有最小值为﹣2k+n x=3时，y有最大值为3k+n 当k＜0时，x=﹣2，y有最大值为﹣2k+n x=3时，y有最小值为3k+n （2）若m=﹣1，n=2时，二次函数为y=x2+kx+2 对称轴为x=﹣， 当﹣≤﹣2，即k≥4时，把x=﹣2，y=﹣4代入关系式得：k=5 当﹣2＜﹣＜2，即﹣4＜k＜4时，把x=﹣，y=﹣4代入关系式得：k=±2（不合题意） 当﹣≥2，即k≤﹣4时，把x=2，y=﹣4代入关系式得：k=﹣5． 所以实数k的值为±5． 【点评】本题考查了一次函数的概念、一次函数的性质、一次函数最值的应用以及二次函数的性质，综合性较强，需要学生灵活运用性质，把握一次函数的增减性和二次函数的增减性，解答题目． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2-1.3二次函数图像与性质 【考点1：二次函数的函数解析式】 【知识梳理】 1、给定一般式,先配方化为顶点式 对称轴。 2、给定顶点式则对称轴为直线。 3、给定交点式，是二次函数图象与轴的交点坐标， 则对称轴为直线。 注：关于对称轴对称的两点函数值相等。 【例题精讲】 例1．如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．对于函数y=5x2，下列结论正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．图象开口向下 C．图象关于y轴对称 D．无论x取何值，y的值总是正的 2．关于二次函数y=﹣（x+1）2+2的图象，下列判断正确的是（　　） A．图象开口向上 B．图象的对称轴是直线x=1 C．图象有最低点 D．图象的顶点坐标为（﹣1，2） 【考点2：二次函数的函数的图象和性质】 【知识梳理】 1、的图象和性质 （1）开口方向及大小： >0,开口向上；<0,开口向下。 的绝对值越大，开口越小；的绝对值越小，开口越大。 （2）对称轴：直线，当时，对称轴为y轴。 （3）顶点坐标：。顶点为对称轴与二次函数图象的交点。 （4）增减性： >0，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小； <0，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大。 【例题精讲】 例1．当函数y=（x﹣1）2﹣2的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是（　　） A．x＞0 B．x＜1 C．x＞1 D．x为任意实数 例2．已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣1（a≠0），下列四个结论：①当a＞0时，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；②函数图象的对称轴是x=﹣1；③当a=1时，图象经过点（﹣1，2）；④当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点，其中正确的共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【巩固练习】 1．对于抛物线y=﹣（x+2）2+3，下列结论中正确结论的个数为（　　） ①抛物线的开口向下； ②对称轴是直线x=﹣2； ③图象不经过第一象限； ④当x＞2时，y随x的增大而减小． A．4 B．3 C．2 D．1 2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（　　） A．函数有最小值 B．c＜0 C．当﹣1＜x＜2时，y＞0 D．当x＜时，y随x的增大而减小 【考点3：二次函数的函数的最值及交点坐标】 【知识梳理】 >0，当时，y有最小值，； <0，当时，y有最大值，； 无论是最大值还是最小值，都是在对称轴上取得，都为顶点的纵坐标。 抛物线与坐标轴的交点 ①与轴的交点，令，化为一元二次方程， 当时，抛物线与轴有两个交点 当时，抛物线与轴有一个交点，交点坐标为 当时，抛物线与轴没有交点。 补充知识：恒为正的条件为， 恒为负的条件为 ②与轴的交点，令，则，那么抛物线与轴的交点坐标。 【例题精讲】 例1．已知关于x的二次函数y=x2﹣2x﹣2，当a≤x≤a+2时，函数有最大值1，则a的值为（ 　 　） A．﹣1或1 B．1或﹣3 C．﹣1或3 D．3或﹣3 例2．已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（　　） A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6 例3．已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最大值 2，有最小值﹣2.5 B．有最大值 2，有最小值 1.5 C．有最大值 1.5，有最小值﹣2.5 D．有最大值 2，无最小值 【巩固练习】 1．下列关于函数y=x2﹣4x+6的四个命题：①当x=0时，y有最小值6；②若n为实数，且n＞1，则x=2+n时的函数值大于x=n时的函数值；③若n＞2，且n是整数，当n≤x≤n+1时，y的函数值有（2n﹣2）个；④若函数图象过点（a，y0），（b，y0+1），则a＜b，其中真命题的序号是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【考点4：二次函数的平移】 【知识梳理】 一般做图像的平移时，使用顶点式，左加右减，上加下减 向左平移个单位则， 向右平移个单位则； 向上平移个单位则， 向下平移个单位则。 【例题精讲】 例1．将抛物线y=x2﹣2x+1向下平移2个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式是（　　） A．y=x2﹣2x﹣1 B．y=x2+2x﹣1 C．y=x2﹣2 D．y=x2+2 例2．一般地，在平面直角坐标系xOy中，若将一个函数的自变量x替换为x﹣h就得到一个新函数，当h＞0（h＜0）时，只要将原来函数的图象向右（左）平移|h|个单位即得到新函数的图象．如：将抛物线y=x2向右平移2个单位即得到抛物线y=（x﹣2）2，则函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知抛物线c：y=x2+2x﹣3，将抛物线c平移得到抛物线c′，如果两条抛物线，关于直线x=1对称，那么下列说法正确的是（　　） A．将抛物线c沿x轴向右平移个单位得到抛物线c′ B．将抛物线c沿x轴向右平移4个单位得到抛物线c′ C．将抛物线c沿x轴向右平移个单位得到抛物线c′ D．将抛物线c沿x轴向右平移6个单位得到抛物线c′ 【课堂检测】　 1．对于二次函数y=2（x+1）（x﹣3），下列说法正确的是（　　） A．图象开口向下 B．图象的对称轴是直线x=﹣1 C．x＞1时，y随x的增大而减小 D．x＜1时，y随x的增大而减小 2．二次函数y=x2+bx+c的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则此拋物线的对称轴是直线（ 　） A．x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D．x=3 3．如果二次函数y=ax2+bx+c的图象全部在x轴的下方，那么下列判断中正确的是（　　） A．a＜0，b＜0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，c＞0 D．a＜0，c＜0 4．抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）过A（4，4），B（2，m）两点，点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1，则实数m的取值范围是（　　） A．m≤2或m≥3 B．m≤3或m≥4 C．2＜m＜3 D．3＜m＜4 5．为了得到函数y=3x2的图象，可以将函数y=﹣3x2﹣6x﹣1的图象（　　） A．先关于x轴对称，再向右平移1个单位，最后向上平移2个单位 B．先关于x轴对称，再向右平移1个单位，最后向下平移2个单位 C．先关于y轴对称，再向右平移1个单位，最后向上平移2个单位 D．先关于y轴对称，再向右平移1个单位，最后向下平移2个单位 6．二次函数y=x2+bx+1的图象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位后对应的函数表达式为y=x2+c，则（　　） A．b=4，c=﹣2 B．b=﹣4，c=0 C．b=4，c=﹣4 D．b=﹣4，c=﹣4 7．二次函数y=﹣x2﹣2x+c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值﹣5，则c的值是（　　） A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．3 8．已知关于x的二次函数y=3x2﹣6ax+4a2+2a+2，其中a为实数，当﹣2≤x≤1时，y的最小值为4，满足条件的a的值为（　　） A．﹣﹣1或﹣1 B．﹣或﹣1 C．﹣1或﹣ D．或﹣1 9．已知关于x的二次函数y=x2+（1﹣a）x+1，当x的取值范围是1≤x≤3时，函数值y在x=1时取得最大值，则实数a的取值范围是　 　． 10．如果抛物线y=（a+1）x2﹣4有最高点，那么a的取值范围是　 　． 11．已知二次函数y=x2+2bx+c （1）若b=c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由； （2）若b=c﹣2，y在﹣2≤x≤2上的最小值是﹣3，求b的值． 12．已知抛物线y=x2﹣4x+a﹣2的最小值为0，求a的值． 13．已知：抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）． （1）求此抛物线的表达式； （2）如果此抛物线沿y轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离． 14．已知抛物线y=mx2+n向下平移2个单位后得到的函数图象是y=3x2﹣1，求m、n的值． 15．把抛物线y=x2+bx+c向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到抛物线y=x2，求b，c的值． 【课后巩固】 1． 坐标平面上，若移动二次函数y=2(x175)(x176)6的图形，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1单位，则移动方式可为下列哪一种？（ ） A. 向上移动3单位 B. 向下移动3单位 C. 向上平移6单位 D. 向下移动6单位 。 2．定义[]为函数的特征数, 下面给出特征数为 [2m，1 – m , –1– m] 的函数的一些结论： ① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(，)； ② 当m > 0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于； ③ 当m < 0时，函数在x >时，y随x的增大而减小； ④ 当m 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有( ) A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④ 3．已知二次函数的图象如图所示,记,则与的大小关系为 ( ) A. B. C. D.、大小关系不能确定 4．如图，点A，B的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为( ) y x O A．－3 　 B．1 C．5 D．8 5． 已知抛物线的开口向下,顶点坐标为（2，－3） ,那么该抛物线有（ ） A. 最小值 －3 B. 最大值－3 C. 最小值2 D. 最大值2 6．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 7．下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（　　） O y x 1 1 A． O y x 1 1 C． O y x 1 1 D． O y x 1 1 B． 8． 如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC， 设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　） A B C D A． B． C． D． 9. 已知抛物线经过点A(4,0)。设点C（1，-3），请在抛物线的对称轴上确定一点D,使得的值最大，则D点的坐标为＿＿＿＿＿。 10. 如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是 . 11. 1）将抛物线y1＝2x2向右平移2个单位，得到抛物线y2的图象，则y2= ； （2）如图，P是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行于y轴，分别与直线y＝x、抛物线y2交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t＝ ． P y x · 12. 若二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的一个解，另一个解 ； y O x 1 3 13. 函数y=（m+2）是关于x的二次函数，求： （1）满足条件的m值； （2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y随x的增大而增大？ （3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x的增大而减小． 14. ．已知关于x的函数y=kx2+（2k﹣1）x﹣2（k为常数）． （1）试说明：不论k取什么值，此函数图象一定经过（﹣2，0）； （2）在x＞0时，若要使y随x的增大而减小，求k的取值范围； （3）试问该函数是否存在最小值﹣3？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由． 15. 函数y=（m+2）x2+kx+n． （1）若此函数为一次函数； ①m，k，n的取值范围； ②当﹣2≤x≤1时，0≤y≤3，求此函数关系式； ③当﹣2≤x≤3时，求此函数的最大值和最小值（用含k，n的代数式表示）； （2）若m=﹣1，n=2，当﹣2≤x≤2时，此函数有最小值﹣4，求实数k的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$