2.4 二次函数应用(1)（最大面积）课时练习 2024-2025学年 北师大版九年级下册数学

2.4二次函数应用(1)（最大面积）课时练习 一.选择题： 1.现有一块长、宽的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为 的小正方形，做成一个底面积为 的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 2.如图1，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形阴影部分片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应分别为（ ） A.x=10，y=14 B. x=14，y=10,C. x=12，y=15， D. x=15，y=12. ( 图 1 ) ( 图 4 ) ( 图 3 ) ( 图 2 ) 3.某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，并在如图所示位置留2m宽的门．已知计划中的建筑材料可建围墙(不包括门)的总长度为50m．设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是（ ） A． B． C． D． 4.设抛物线y=ax2+bx+c(ab≠0)的顶点为M,与y轴交于N点，连接直线MN，直线MN与坐标轴所围三角形的面积记为S.下面哪个选项的抛物线满足S=1 ( ) A．y=-3(x-1)2+1 B．y=2(x-0.5)(x+1.5) C．y=x2-x+1 D．y=(a2+1)x2-4x+2(a为任意常数) 二.填空题： 5.如图3所示，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P是线段BC上一点（P不与B重合），M是DB上一点，且BP=DM，当BP=____时,△MBP的面积最大. 6.如图4，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，则重叠部分面积y（厘米2）与时间t（秒）之间的函数关系式为______________ 7.飞机着陆后滑行的距离y(m)关于滑行时间t(s)的函数关系式是y＝60t－t2，在飞机着陆滑行中,最后2s滑行的距离是____m 三.解答题： 8.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90，AC=4cm，BC=3cm，点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t(s)(0<t<4)． （1）当t为何值时，PQ⊥AC? （2）设△APQ的面积为S，求S与t的函数关系式,并求出当t为何值时,S取得最大值？S的最大值是多少？ 四.提高题： 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(m,0)两点，与y轴交于点C(0,3)，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接BC.（1）求这个抛物线的解析式 （2）设P为抛物线上的一点，且在直线BC的下方，连接PB,PC，当△PBC的面积最大时，线段AB在x轴上左右移动得到线段A′B′，求PA′+A′B′+B′D的最小值． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4二次函数应用(1)（最大面积）课时练习 一.选择题： 1.现有一块长、宽的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为 的小正方形，做成一个底面积为 的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（C） A. B. C. D. 2.如图1，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形阴影部分片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应分别为（D） A.x=10，y=14 B. x=14，y=10,C. x=12，y=15， D. x=15，y=12. ( 图 3 ) ( 图 1 ) ( 图 4 ) ( 图 2 ) 3.某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，并在如图所示位置留2m宽的门．已知计划中的建筑材料可建围墙(不包括门)的总长度为50m．设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是（ D ） A． B． C． D． 4.设抛物线y=ax2+bx+c(ab≠0)的顶点为M,与y轴交于N点，连接直线MN，直线MN与坐标轴所围三角形的面积记为S.下面哪个选项的抛物线满足S=1 ( D ) A．y=-3(x-1)2+1 B．y=2(x-0.5)(x+1.5) C．y=x2-x+1 D．y=(a2+1)x2-4x+2(a为任意常数) 二.填空题： 5.如图3所示，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P是线段BC上一点（P不与B重合），M是DB上一点，且BP=DM，当BP=5时,△MBP的面积最大. 6.如图4，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，则重叠部分面积y（厘米2）与时间t（秒）之间的函数关系式为y=（20-2t）2 7.飞机着陆后滑行的距离y(m)关于滑行时间t(s)的函数关系式是y＝60t－t2，在飞机着陆滑行中,最后2s滑行的距离是6m 三.解答题： 8.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90，AC=4cm，BC=3cm，点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t(s)(0<t<4)． （1）当t为何值时，PQ⊥AC? （2）设△APQ的面积为S，求S与t的函数关系式,并求出当t为何值时,S取得最大值？S的最大值是多少？ 解（1）∵PQ⊥AC，∴∠AQP＝∠C＝90°，∴PQ∥BC，∴， 在Rt△ACB中，AB＝5∴，解得t＝，∴t为时，PQ⊥AC． （2） 如图，作PH⊥AC于H．∵PH∥BC，∴，∴， ∴PH＝（5−t），∴S＝•AQ•PH＝×t×（5−t）＝−（t−）2＋， ∵−＜0，∴t＝，S有最大值，最大值为． 四.提高题：如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(m,0)两点，与y轴交于点C(0,3)，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接BC.（1）求这个抛物线的解析式 （2）设P为抛物线上的一点，且在直线BC的下方，连接PB,PC，当△PBC的面积最大时，线段AB在x轴上左右移动得到线段A′B′，求PA′+A′B′+B′D的最小值． 解：（1）把A(1,0),C(0,3)代入y=x2+bx+c中得: ，解得这个抛物线的解析式为：y=x2-4x+3 （2）把B(m,0)代入y=x2-4x+3，得：m1=1,m2=3点B的坐标为(3,0) 设直线BC的解析式为y=kx+b直线BC的解析式为：y=-x+3 设点P的坐标为：P(n,n2-4n+3)过点P作PQ⊥AB交BC于点Q 则点Q的坐标为：Q(n,-n+3)∴PQ=-n2+3n∴S△PBC=S△PQC+S△PQB=-1.5(n-1.5)2+3.375 又∵0<n<3∴当n=1.5时，△PBC的面积最大,此时点P的坐标为：P(1.5,-0.75) 如图，过点P作PP′//x轴，且使PP′=AB，∴P′(3.5,-0.75)连接P′D交x轴于点B′过点P作PA′//P′B′交x轴于点A′∴四边形PP′B′A′是平行四边形，此时PA′+A′B′+B′D的值最小 令y=3，得x=0或x=4，∴D（4,3）∵P′(3.5,-0.75)，D(4,3），∴P′D= 又∵PA′+B′D=P′D，A′B′=PP′=AB=2,PA′+A′B′+B′D最小值为：2+ . www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$