2.1 有理数-2025-2026学年上学期北师大版2024七年级上册数学典型例题系列专题讲义

2025-2026七年级数学上册典型例题系列「2026版」 第二章 2.1有理数 第一篇 专题精析 专题名称 有理数 专题内容 有理数的性质和应用，绝对值的性质和应用 讲解建议 根据题型和知识点进行归纳总结 考点题型 二十一个题型 重难点 动点问题，绝对值的几何应用 第二篇 典型例题目录 题型一：有理数的定义 2 题型二：0的意义 5 题型三：有理数的分类 8 题型四：带非字的有理数 14 题型五：数轴的三要素及其画法 19 题型六：用数轴上的点表示有理数 21 【重难点】数轴上的数分类讨论问题 24 题型七：利用数轴比较有理数的大小 26 题型八：数轴上两点之间的距离 30 【重难点1】数轴上两点间被墨水污染 34 【重难点2】数轴上两点之间距离分类讨论问题 35 【重难点3】数轴上两点间距离最值问题 41 【重难点4】数轴上两点间距离圆的距离问题 42 题型九：根据点在数轴的位置判断式子的正负 44 题型十：数轴上点的平移（动点问题） 46 【重难点1】数轴上简单平移规律问题 46 【重难点2】数轴上一个动点问题 47 【重难点3】数轴上两个动点朝同一个方向平移问题 49 【重难点4】数轴上两个动点相对运动 51 【重难点5】数轴上三个动点运动距离定值问题 52 【重难点6】数轴上动点问题新定义问题 60 题型十一：数轴上找原点 66 题型十二：数轴上整点覆盖问题 66 题型十三：数轴上的规律探究 68 题型十四：相反数的定义 71 题型十五：化简多重符号 73 题型十三：相反数的应用 78 题型十四：绝对值的几何意义 80 题型十五：求一个数的绝对值 90 题型十六：带有字母的绝对值化简问题 93 题型十七：绝对值非负性 102 题型十八：绝对值方程 105 题型十九：绝对值的其他应用 107 题型二十：有理数大小比较 109 题型二十一：有理数大小比较的实际应用 116 第三篇 典型例题汇总 题型一：有理数的定义 【例题1-1】．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④0是最小的整数．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】有理数的分类、有理数的定义 【分析】本题考查的是有理数的分类与定义，据有理数定义及其分类解答即可． 【详解】解：①可以写成分数形式的数称为有理数，故①正确； ②有理数不是正数就是负数或，故②不正确； ③非负数就是正数和0，故③正确； ④没有最小的整数，故④不正确． 正确的有①③； 故选：C． 【例题1-2】．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）下列数，，，，，中，有理数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】有理数的定义 【分析】本题考查了有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解题的关键．根据有理数的定义，整数和分数统称为有理数，求解即可． 【详解】解：在，，，，，中， 有理数有：，，，，，共个； 故选：B． 【例题1-3】．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）下列说法：①既是负数、分数，也是有理数；②正整数和负整数统称为整数；③0是非正数；④既是负数，也是整数，但不是有理数；⑤自然数是整数，其中正确的个数有几个（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正负数的定义、有理数的定义 【分析】本题考查了有理数的概念、正负数的意义，根据有理数的概念，正负数的意义逐项分析即可得出答案，熟练掌握相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：：①既是负数、分数，也是有理数，原说法正确； ②正整数、零和负整数统称为整数，原说法错误； ③0是非正数，原说法正确； ④既是负数，也是整数，也是有理数，原说法错误； ⑤自然数是整数，原说法正确； 综上所述，正确的有①③⑤，共个， 故选：B． 【例题1-4】．（22-23七年级下·广西玉林·期中）在，，，（是圆周率）．，，中，负有理数共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】有理数的定义 【分析】根据有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，无理数就是无限不循环小数，判断出有理数后再进行正负的判断即可． 【详解】解：是正有理数，是负有理数，是负有理数，是无理数，是正有理数，是负有理数，是正有理数，综上所述负有理数有个， 故选：． 【点睛】本题主要考查有理数和正负数的定义，掌握实数的分类，无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，是解答本题的关键． 【例题1-5】．（24-25七年级上·广东河源·期中）在，，中，有理数是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数的定义 【分析】本题考查了有理数“整数和分数统称为有理数”，熟记有理数的定义是解题关键．根据有理数的定义求解即可得． 【详解】解：和都是无限不循环小数，不是有理数， 不是有理数， 是分数，是有理数， 故答案为：． 【例题1-6】．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列说法中，其中错误的有 个 ①0是最小的整数； ②有理数不是正数就是负数； ③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数； ④非负数就是正数； ⑤不仅是有理数，而且是分数； ⑥带“”号的数一定是负数； ⑦无限小数不都是有理数； ⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数． 【答案】①②③④⑤⑥ 【难度】0.65 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查了正负数的定义以及有理数的分类，熟练掌握相关概念和有理数分类解题关键．正数比0大，0比负数大；有理数的分类有两种，第一种是整数和分数，第二种是正有理数，0，负有理数．根据正负数的定义以及有理数的分类进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：负整数小于0，故0不是最小的整数，说法①错误； 有理数包括正数、负数和0，故说法②错误； 正整数、负整数、正分数、负分数和0统称为有理数，故说法③错误； 非负数就是0和正数，故说法④错误； 不是有理数，故说法⑤错误； 如不是负数，带“”号的数不一定是负数，说法⑥错误； 无限小数包括无限不循环小数，无限不循环小数不是有理数，故说法⑦正确； 正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，说法⑧正确． 综上所述，错误的有①②③④⑤⑥． 故答案为：①②③④⑤⑥． 题型二：0的意义 【例题2-1】．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）0既不是 ，也不是 ． 【答案】 正数 负数 【难度】0.94 【知识点】0的意义 【分析】本题主要考查了0的意义，0既不是正数，也不是负数，据此可得答案． 【详解】解；0既不是正数，也不是负数， 故答案为：正数，负数． 【例题2-2】．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（   ） A．既是正数，也是负数 B．表示没有 C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】0的意义 【分析】本题考查了的意义，根据的意义逐一排除即可，正确理解的意义是解题的关键． 【详解】解：、既不是正数，也不是负数，原选项说法错误，不符合题意； 、可以表示没有，也可以表示其他，原选项说法错误，不符合题意； 、既不是正数，也不是负数，原选项说法正确，符合题意； 、比负数大，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 【例题2-3】（24-25七年级上·河南驻马店·期中）下列说法正确的是（    ） A．是负分数 B．是负数，但不是整数 C．0是正数 D．是分数但不是正数 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】0的意义、有理数的分类 【分析】本题主要考查了正负数的定义，分式的定义，0的意义，大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数，0既不是正数，也不是负数，据此结合分数的定义可得答案． 【详解】解：A、是负分数，原说法正确，故此选项符合题意； B、是负数，也是整数，原说法错误，故此选项不符合题意； C、0不是正数，原说法错误，故此选项不符合题意； D、是分数，也是正数，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 【例题2-4】．（22-23七年级上·河南南阳·期中）下列语句中正确的有(   )个． ①不带“”号的数都是正数；②如果是正数，那么一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】正负数的定义、0的意义、有理数的分类 【分析】本题主要考查正数与负数的意义，根据正数与负数的性质及的意义可求解． 【详解】解：①0不带“”号但不是正数，故原说法错误； ②如果是正数，那么一定是负数，故正确； ③0既不是正数，也不是负数的数，故原说法错误； ④表示温度为℃，故原说法错误． 故正确的有1个． 故选：A． 【例题2-5】．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．一个数前面加上“”号，这个数就是负数 B．表示没有温度 C．若是正数，则不一定是负数 D．0既不是正数也不是负数 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】正负数的定义、0的意义 【分析】本题主要考查了0的意义，正负数的定义，在非正数面前加上“”号，那么这个数非负数，据此可判断A；表示有温度，据此可判断B；在正数面前加上“”号，那么这个数就是负数，据此可判断C；0既不是正数也不是负数，据此可判断D． 【详解】解：A、一个数前面加上“”号，这个数不一定是负数，例如前面加上“”号仍然为，原说法错误，不符合题意； B、表示有温度，原说法错误，不符合题意； C、若是正数，则一定是负数，原说法错误，不符合题意； D、0既不是正数也不是负数，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【例题2-6】（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）下列有关0的说法中，不正确的是（   ） A．0是整数 B．0既不是正数，也不是负数 C．0乘任何有理数仍得0 D．0除以任何有理数仍得0 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】0的意义、有理数的分类 【分析】本题考查了0的归类及性质．根据0在有理数中的归类性质，逐项做出判断即可． 【详解】A、0是整数，∴A正确； B、0既不是正数，也不是负数，∴B正确； C、0乘任何有理数仍得0，∴C正确； D、0除以0，没有意义，∴D不正确． 故选：D． 【例题2-7】．（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）下面关于0的结论错误的是（   ） A．0是有理数 B．0的绝对值是它本身 C．0的倒数是0 D．0的相反数是它本身 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】0的意义 【分析】本题考查了0的意义．熟练掌握0的意义是解题的关键． 根据0的意义对各选项判断作答即可． 【详解】解：由题意知，0是有理数，A正确，故不符合要求； 0的绝对值是它本身，B正确，故不符合要求； 0没有倒数，C错误，故符合要求； 0的相反数是它本身，D正确，故不符合要求； 故选：C． 【例题2-8】．（2024七年级上·全国·专题练习）下列关于零的说法中，正确的个数是（　　） ①零是正数；②零是负数；③零既不是正数，也不是负数；④零仅表示没有． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】0的意义 【分析】本题考查了0的意义，难度不大． 根据0既不是正数也不是负数，0的特殊含义，得出结果． 【详解】解：∵0既不是正数也不是负数， 故①②错误，③正确， 在自然数中，0的意义是表示没有，在有理数中，0的意义表示正数与负数的分界，在进行运算时，0还有表示占位的意义等，故④错误； 所以正确的有③，共1个， 故选：A． 题型三：有理数的分类 【例题3-1】．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列各数中：，，0，，，，，（每相邻两个2之间0的个数逐次加1），其中正有理数有 个． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的定义和分类，熟练掌握有理数的定义是解题的关键； 有理数是整数（正整数、、负整数）和分数的统称，正有理数是大于的有理数，据此解答即可． 【详解】解：：是正分数，属于正有理数； ：是负整数，小于，不是正有理数； ：既不是正数也不是负数，不是正有理数； ：是负数，不是正有理数； ，是正整数，属于正有理数； ：是无限不循环小数，不是正有理数； ：是有限小数，可化为分数，且大于，属于正有理数； （每相邻两个之间的个数逐次加）：是无限不循环小数，不是正有理数； 综上，正有理数有，和，共3个． 故答案为：3． 【例题3-2】．（2024七年级上·全国·专题练习）在…（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则 ． 【答案】0 【难度】0.65 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，注意不要漏写或写错．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据实数的分类：实数是有理数和无理数的统称，整数包括正整数、0和负整数，有理数是正有理数、0和负有理数的统称，即可得出答案． 【详解】解：在（每两个1之间的个数逐次增加中， 正数有（每两个1之间的0个数逐次增加，有5个，则； 非负整数有0，21，有2个，则； 正分数有，有3个，则； 则． 故答案为：0． 【例题3-3】．（2024七年级上·全国·专题练习）把下列各数填在相应的集合中： ，，，，，，，，，，，，，． 正整数集：{    …}； 正数集：{    …}； 负分数集：{    …}； 负数集：{    …}； 非负整数集：{    …}； 分数集：{    …}． 【答案】，，；，，，，，；，，，，；，，，，，，；，，，； ，，，，，，， 【难度】0.65 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】本题主要考查了有理数的分类，掌握正整数、正数，负分数、负数、非负整数、和分数的定义与特点是解题的关键． 直接利用有理数的相关概念分析得出答案，特别注意整数和正数的区别，注意是整数，但不是正数． 【详解】解：正整数集：{，，}； 正数集：{，，，，，}； 负分数集：{，，，，}； 负数集：{，，，，，，}； 非负整数集：{，，，}； 分数集：{，，，，，，，} 故答案为：，，；，，，，，；，，，，；，，，，，，；，，，； ，，，，，，， 【例题3-4】．（24-25七年级上·云南·期中）把下列各数分别填在它所在的集合里： ，，，，，，，，，． (1)正有理数集合{　　　　…}； (2)负有理数集合{　　　　…}； (3)分数集合{　　　　…}； (4)非负整数集合{　　　　…}． 【答案】(1)，，，； (2)，，，； (3)，，； (4)，，，． 【难度】0.65 【知识点】有理数的分类 【分析】 本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解答本题的关键． 直接利用正有理数的定义分析得出答案； 直接利用负有理数的定义分析得出答案； 直接利用非分数的定义分析得出答案；  直接利用非负整数的定义分析得出答案． 【详解】（1） 解：正有理数集合{，，，，}；   故答案为：，，，； （2） 解：负有理数集合{，，，，}；   故答案为：，，，； （3） 解：分数集合{，，，}；   故答案为：，，； （4）解：非负整数集合：{，，，，}； 故答案为：，，，． 【例题3-5】．（24-25七年级上·山西晋城·阶段练习）将下列各数填入适当的括号内： 5，，，，π，，，，0， 正整数集： 负分数集： 整数集： 正有理数集： 负有理数集： 自然数集： 有理数集： 【答案】{5}；{，}；{5，，，0}；{5，，，}；{，，，}；{5，0}；{5，，，，，，，0，} 【难度】0.65 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】此题主要考查有理数的分类，解题的关键是熟知有理数的分类方法．按照有理数的分类即可求解． 【详解】解：正整数集：{5}； 负分数集：{，}； 整数集：{5，，，0}； 正有理数集：{5，，，}； 负有理数集：{，，，}； 自然数集：{5，0}； 有理数集：{5，，，，，，，0，}； 故答案为：{5}；{，}；{5，，，0}；{5，，，}；{，，，}；{5，0}；{5，，，，，，，0，}． 【例题3-6】．（24-25七年级上·贵州毕节·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号里： ，，，，，，（每两个之间增加一个）， （1）正有理数集合：{                    }； （2）整数集合：{                        }； （3）分数集合：{                        }； （4）负数集合：{                        }． 【答案】（），，， ；（），，；（），，， ；（），，（每两个之间增加一个） 【难度】0.65 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查了正有理数、整数、分数、负数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉正有理数、整数、分数、负数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【详解】解：（）正有理数集合：{，，， ，}； （）整数集合：{，，，}； （）分数集合：{，，， ，}； （）负数集合：{，，（每两个之间增加一个），}； 故答案为：（），，， ；（），，；（），，， ；（），，（每两个之间增加一个）． 【例题3-7】（24-25七年级上·福建漳州·期中）把下列各数填写在相应的集合中． ，7， ，，，，，0 ， (1)整数集合：； (2)分数集合：； (3)正数集合：； (4)非负数集合：． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【难度】0.65 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，正确把握相关定义是解题关键． （1）根据整数的定义即可得出答案； （2）根据分数的定义即可得出答案； （3）根据正数的定义即可得出答案； （4）根据非负数的定义即可得出答案； 【详解】（1）解：整数集合：， 故答案为：； （2）解：分数集合：， 故答案为：； （3）解：正数集合：， 故答案为：； （4）解：非负数集合：， 故答案为：． 【例题3-8】．（2024七年级上·全国·专题练习）[教材习题变式] 把下列各数填入表示它所在的数集的大括号里：，，，，，，，，，，． 正数集合：{ }； 负数集合：{ }； 非负整数集合：{ }； 正分数集合：{ }； 有理数集合：{ }． 【答案】，，，，，，；，，；，，；，，，；，，，，，，，，， 【难度】0.65 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，根据正数、负数、非负整数、正分数、有理数的定义解答即可求解，掌握有理数的定义是解题的关键． 【详解】解：正数集合：{，，，，，，，}； 负数集合：{，，，}； 非负整数集合：{，，，}； 正分数集合：{，，，，}； 有理数集合：{，，，，，，，，，，}； 故答案为：，，，，，，；，，；，，；，，，；，，，，，，，，，． 题型四：带非字的有理数 【例题4-1】（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列说法中：（1）一个整数不是正数就是负数；（2）最小的整数是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包括正有理数、零和负有理数；（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、负数统称为有理数；（9）非负有理数是指正有理数和0．正确的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】有理数的分类、有理数的定义、带“非”字的有理数 【分析】根据有理数的概念和有理数的分类，正、负数依次进行判断即可． 【详解】解：整数分为正整数，0和负整数， ∴一个整数不是正数就是负数错误， 故（1）不符合题意； 没有最小的整数， 故（2）不符合题意； 负数中没有最大的数， 故（3）符合题意； 自然数包括0， ∴自然数一定是正整数错误， 故（4）不符合题意； 有理数包括正有理数，零和负有理数， 故（5）符合题意， 整数包括正整数，0和负整数， 故（6）不符合题意； 零食整数但不是正数， 故（7）符合题意； 整数和分数统称为有理数， 故（8）不符合题意； 非负有理数是指正有理数和0， 故（9）符合题意， 综上所述，正确的有（3）（5）（7）（9），共4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的概念和分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 【例题4-2】．（23-24七年级上·四川眉山·期中）有下列说法，正确的个数是（   ）个 ①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数 ；③若是正数，则是负数； ④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数、0的意义 【分析】本题考查了整数“整数包括正整数、0和负整数”、有理数的分类“有理数可分为正有理数、0和负有理数”、正数与负数，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据整数、有理数的分类、正数与负数逐个判断即可得． 【详解】解：①0不是最小的整数，如负整数，则原说法错误； ②有理数0既不是正数也不是负数，则原说法错误； ③若是正数，则是负数，则原说法正确； ④自然数0不是正数，则原说法错误； ⑤整数0既不是正整数也不是负整数，则原说法错误； ⑥非负数就是指不是负数，即正数和0，则原说法错误； 综上，正确的个数是1个, 故选：B． 【例题4-3】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法：是非负整数；非正数包括和负数；非负数就是正整数和；正整数、正分数和都属于非负有理数．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】带“非”字的有理数 【分析】本题考查了非负整数、非正数、非负数以及非负有理数的概念，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据非负整数、非正数、非负数以及非负有理数的概念逐个判断即可解答． 【详解】解：是负整数，错误； 非正数包括和负数，正确； 非负数就是正数和，错误； 正整数、正分数和都属于非负有理数，正确； 其中正确的个数是个， 故选：C． 【例题4-4】．（23-24七年级上·全国·单元测试）把下列各数分别填入相应的集合：，，，，，，，，． 自然数集{ ……}； 正有理数集{ ……}； 负有理数集{ ……}； 非负数集{ ……}； 整数集{ ……}； 分数集{ ……}． 【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】有理数的定义、有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】根据有理数的分类：整数和分数统称为有理数；有理数分为：正有理数、零、负有理数，把对应的数填入空中即可． 【详解】解：自然数集{、、……}， 正有理数集{、、、……}， 负有理数集{、、、、……}， 非负数集{、、、、、……}， 整数集{、、、、……}， 分数集{、、、、……}． 【点睛】本题主要考查了有理数的分类，正确理解相关知识点是解题关键． 【例题4-5】．（24-25七年级上·山西阳泉·阶段练习）把下列各数填在相应的括号里 ，，，，，，，，， 整数集合：{                      } 有理数集合：{                    } 非负数集合：{                    } 非负整数集合：{                  } 【答案】，，；，，，，，，，，；，，，，，，；，， 【难度】0.65 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】本题考查有理数的分类，根据整数，分数，非负数以及非负整数的定义进行分类即可．解题的关键是掌握：整数与分数统称为有理数；整数包括正整数、零、负整数；非负数包括正数和零；非负整数包括正整数和零． 【详解】解：整数集合：{，，        } 有理数集合：{，，，，，，，，} 非负数集合：{，，，，，，} 非负整数集合：{，，       }． 故答案为：，，；，，，，，，，，；，，，，，，；，，． 【例题4-6】．（24-25七年级上·湖南郴州·阶段练习）把下列各数序号填在相应的大括号里． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧ 正整数： ____________…； 非正数：____________…； 负分数：____________…； 【答案】， ；，，，，；，． 【难度】0.65 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】本题考查了有理数的分类，根据正整数，非正数，负分数的定义求解即可，掌握有理数的分类是解题的关键． 【详解】解：正整数：， ； 非正数：，，，，； 负分数：，； 故答案为：， ；，，，，；，． 【例题4-7】（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）把下列各数填在相应集合中：，0，，，，，． 分数集合：{______}；非负数集合：{______} 【答案】，． 【难度】0.65 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】本题考查了分数、非负数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉分数、非负数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【详解】解：根据有理数的分类及定义有： 分数集合：， 非负数集合：， 故答案为：，． 题型五：数轴的三要素及其画法 【例题5-1】（24-25七年级上·全国·期末）下列各图中，数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题主要考查数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素，原点，单位长度，正方向即可得到答案． 【详解】 解：是一条射线，不是数轴，故选项A不符合题意； 单位长度不一致，不是数轴，故选项B不符合题意； 没有正方向且位置错误，不是数轴，故选项C不符合题意； 是数轴，故选项D符合题意； 故选D． 【例题5-2】．（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列所画数轴完全正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题主要考查了数轴，分析各选项图形是否是直线、是否有方向、单位长度是否统一，即可解答题目． 【详解】解：A．没有规定正方向，故此选项错误，不符合题意； B．没有原点，故此选项错误，不符合题意； C．规定了原点、单位长度、正方向，故此选项正确，符合题意； D．各单位长度之间的距离不统一，故此选项错误，不符合题意； 故选：C． 【例题5-3】（24-25七年级上·福建莆田·期中）以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题考查了数轴的三要素，根据数轴的“三要素”，原点，正方向，单位长度逐一判断即可，正确理解数轴的“三要素”是解题的关键． 【详解】解：、正方向反了，不符合题意； 、单位长度不统一，不符合题意； 、没有正方向，不符合题意； 、满足数轴的“三要素”，原点，正方向，单位长度，符合题意； 故选：． 【例题5-4】（2024七年级上·全国·专题练习）以下数轴画法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题考查数轴，了解数轴三要素是关键.根据数轴三要素：原点，正方向，单位长度，逐一排除即可． 【详解】A.没有方向，数轴画法不正确，故该选项不符合题意； B.单位长度不相等，数轴画法不正确，故该选项不符合题意； C.数轴画法正确，故该选项符合题意； D.没有原点，数轴画法不正确，故该选项不符合题意． 故选：C 【例题5-5】（24-25七年级上·云南文山·阶段练习）下列图形中是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题考查数轴的定义，掌握数轴的定义是解题的关键； 根据数轴的三要素是原点，单位长度，正方向，分析哪个图形含有这三要素，就是数轴； 【详解】解：A、没有方向，故错误； B、没有原点，故错误； C、单位长度不一样长，故错误； D、符合所有条件，是数轴，故正确； 故选：D 【例题5-6】（24-25七年级上·福建龙岩·期中）下列图形是四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题主要考查了数轴的画法， 由数轴的定义可知，数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，由此可解． 【详解】解：A，正方向标注反了，数轴不正确； B，三个负数位置反了，数轴不正确； C，没有标注正方向，数轴不正确； D，数轴正确，符合题意； 故选：D． 题型六：用数轴上的点表示有理数 【例题6-1】．（2025·河南商丘·二模）数轴上，在原点的左侧，且距原点3个单位长度的点表示的数是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴上的点和数之间的对应关系．数轴上原点左边的数为负数，原点右边的数为正数；到原点的距离表示这个数的绝对值． 【详解】解：在数轴上，离原点3个单位长度的点表示的数是，在原点左侧的为负数，所以是； 故选：A． 【例题6-2】．（2025·山西晋中·三模）若将下面的四个有理数表示在数轴上，则位于最左边的是（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查用数轴比较有理数的大小，根据用数轴上的点表示有理数，左边的点表示的数小于右边的点表示的数，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴位于最左边的是． 故选：B． 【例题6-3】．（2025·河南安阳·三模）若，则有理数在数轴上对应的点的位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，根据可知在和之间，且离比较近． 【详解】解：， 在和之间，且离比较近， 有理数在数轴上对应的点的位置应是A选项中的位置． 故选：A． 【例题6-4】．（2025·山西朔州·三模）如图，数轴上点表示的数是0，点表示的数可能是下列四个数中的（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】根据点B到原点的距离大于1到原点的距离，且为负数，比较解答即可. 本题考查了有理数的分类，有理数的大小比较，熟练掌握大小比较的原则是解题的关键. 【详解】解：根据题意，得点B到原点的距离大于1到原点的距离，且为负数， 故该数可能是. 故选：A. 【例题6-5】．（2025·河北唐山·二模）如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和0，则数轴上x的值最有可能是（   ） A．1.8 B．2 C．2.3 D．5.5 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴，根据数轴上x的值在刻度尺的5和6之间，得出数轴上x的值的取值范围，即可求解． 【详解】解：数轴上x的值在刻度尺的5和6之间， 由题意可得，数轴上x的值的取值范围是， ∵，，， 故数轴上x的值最有可能是2.3． 故选：C． 【例题6-6】．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上，刻度尺上的“0”和“2”分别对应数轴上的和0，则数轴上x的值最有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，掌握数形结合思想成为解题的关键． 根据数轴上x的值在刻度尺的和之间，得出数轴上x的值的取值范围即可求解． 【详解】解∶由图可知：刻度尺上在数轴上表示一个单位长度， ∵数轴上x的值在刻度尺的和之间， ∴数轴上x的值的取值范围是，即， ∴仅有D选项符合题意． 故选：D． 【例题6-7】．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，，，，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2024将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，正方形滚动一周的长度为4，从到2024共滚动2026个单位长度，由，即可作出判断． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴正方形的周长为4， ∴正方形滚动一周的长度为4， ∵正方形的起点在处， ∴， ∵， ∴数轴上的数2020将与正方形上的点C重合， 故选：C． 【重难点】数轴上的数分类讨论问题 【例题6-8】．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）A，B，C是数轴上的三个点，点A表示数3，且点A、B的距离为4，C为线段的中点，点C在数轴上表示的数是 ， 【答案】1或5 【难度】0.65 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴，利用数轴知识解答． 【详解】解：∵点A表示数3，且点A、B的距离为4， ∴， ∴点B表示数为7或， ∵C为线段 的中点 ∴ ， ， ∴点C在数轴上表示的数是1或5． 故答案为：1或5． 【例题6-9】．（24-25七年级上·广东广州·期中）若点在数轴上对应，点与点的距离为，则点在数轴上对应的有理数为 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查数轴上两点间距离，熟练掌握数轴上两点间距离计算方法是解题的关键； 根据点在点的左边时和点在点的右边时，分情况讨论即可求解； 【详解】解：点在数轴上对应，点与点的距离为， 当点在点的左边时，点在数轴上对应的点为， 当点在点的右边时，点在数轴上对应的点为． 故答案为：或 【例题6-10】．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）在数轴上与原点相距个单位的点表示的数为 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上表示数，数轴上两点间的距离，根据题意即可得出答案，掌握相关知识解题的关键． 【详解】解：在数轴上与原点相距个单位的点表示的数为或， 故答案为：或． 题型七：利用数轴比较有理数的大小 【例题7-1】（24-25七年级上·山西晋中·期中）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题主要考查了有理数与数轴、有理数的四则运算法则等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据数轴上点的位置可得，，再根据有理数四则运算法则逐项判断即可． 【详解】解：由题意得，， A.∴，即此选项不符合题意； B.，即此选项不符合题意； C.，即此选项不符合题意； D.，即此选项符合题意． 故选∶D． 【例题7-2】（24-25七年级上·广东广州·期中）已知有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题主要考查了数轴，利用数轴比大小，利用数形结合的数学思想解答是解题的关键． 观察数轴可得，，，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：，， ，， ， 故选：A． 【例题7-3】．（2025·陕西宝鸡·一模）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则b ．（填“”“”或“”） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，比较有理数的大小， 先观察数轴可知，且，即可得出答案． 【详解】解：观察数轴可知，且， ∴． 故答案为：． 【例题7-4】．（24-25七年级上·山东德州·期末）如图．数轴上点表示的数是．点表示的数是． (1)在图中所示的数轴上标出原点，记为点， (2)在图中所示的数轴上表示下列各数，再把它们按照从大到小的顺序排列，并用“”连接． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析， 【难度】0.65 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数、数轴的三要素及其画法 【分析】本题考查有理数大小比较，数轴， （1）根据点表示的数是．点表示的数是判断原点的位置即可； （2）根据数轴上数的特点把各数表示在数轴上，并根据数轴上右边的数总比左边的数大得出比较结果； 熟练掌握数轴的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：原点位置如图， ； （2）把各数表示在数轴上，如下： ∴． 【例题7-5】．（24-25七年级上·山西运城·期中）把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上标出下列各数，并用“”将下列各数连接起来． ，，0， 【答案】见详解； 【难度】0.65 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数、数轴的三要素及其画法 【分析】本题主要考查画数轴，用数轴上的数表示有理数，根据数轴比较有理数的大小，先把数轴补充完整，把有理数表示在数轴上，再利用数轴表示出有理数的大小即可． 【详解】解：数轴上表示各数如下： 根据数轴可知：． 【例题7-6】（24-25七年级上·吉林松原·阶段练习）请把下面不完整的数轴补充完整，并将，，，在数轴上表示出来，并用“”连接起来． 【答案】见详解， 【难度】0.65 【知识点】数轴的三要素及其画法、用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题主要考查了数轴、用数轴上点表示有理数、利用数轴比较有理数大小等知识，熟练掌握数轴的三要素并将各数表示在数轴上是解题关键．首先根据数轴的三要素补画数轴，再将各数表示在数轴上，然后比较大小即可． 【详解】解：补画数轴，并将，，，在数轴上表示出来，如下图所示， 将各数用“”连接起来为． 【例题7-7】．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图的数轴上，每小格的宽度相等． (1)填空：数轴上点A表示的数是______，点表示的数是______． (2)点表示的数是，点表示的数是，请在数轴上分别画出点和点的位置． 【答案】(1) (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴的三要素及其画法 【分析】本题主要考查了数轴上的数、比较有理数的大小等知识点，理解两个整数之间的单位长度是解题的关键． （1）根据数轴直接解答即可； （2）根据单位长度，在数轴上表示点和点=即可； 【详解】（1）解：由数轴可得：点A表示的数是，点B表示的数是， 故答案为：，； （2）解：如图：点和点即为所求． 【例题7-8】．（24-25七年级上·吉林长春·期末）先把下列各数在数轴上表示出来，再用“”把它们连接起来． ． 【答案】数轴见解析， 【难度】0.65 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了数轴和有理数的大小比较，掌握以上知识点是解答本题的关键． 先在数轴上表示出来，再按数轴上表示的数，左边的数总比右边的数小比较即可． 【详解】解：，如图所示： ． 【例题7-9】．（24-25七年级上·云南昆明·期末）画出数轴，在数轴上表示下面个原数，并将这个数用“”号连接． ，，，． 【答案】各数在数轴上表示见解析， 【难度】0.65 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题主要考查了有理数大小比较的方法，解题的关键是掌握在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征； 首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“”号连接起来即可． 【详解】解：，， 各数在数轴上表示为： ，； 【例题7-10】．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，数轴的单位长度为1，点B表示的数是3． (1)点A表示的数是______； (2)在数轴上表示出下列各数：，2，，并将这些数及点A，B表示的数用“”号连接起来． 【答案】(1) (2)见解析； 【难度】0.65 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数，根据数轴比较有理数的大小，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点． （1）根据数轴上表示的数，及其两点间距离公式进行求解即可； （2）根据数轴上点特点把各数表示在数轴上，并用“”连接即可． 【详解】（1）解：∵数轴的单位长度为1，点B表示的数是3， ∴点A表示的数； （2）解：把各数表示在数轴上，如图所示： ， 用“”连接为：． 题型八：数轴上两点之间的距离 【例题8-1】．（2025·湖北襄阳·一模）一只蚂蚁从数轴上一点A出发向右爬了3个单位长度到了原点，则点A所表示的数是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】此题考查了对数轴的认识，根据题意知，点A位于原点左侧3个单位的位置，据此可得答案． 【详解】解：根据题意知，点A位于原点左侧3个单位的位置， 则点A所表示的数是， 故选：B． 【例题8-2】．（2025·辽宁本溪·一模）如图，点和点在数轴上，分别位于原点两侧，且，当点表示的数是2025时，点表示的数是（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查的是数轴．根据，求出，继而可以求出点表示的数． 【详解】解：∵，点表示的数是2025， ∴， ∵点在O点左侧， ∴点表示的数为：， 故选：D． 【例题8-3】．（24-25九年级下·四川广安·期中）如图，数轴上点表示的数是，则点表示的数是（    ） A．2025 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查的是数轴，解题的关键是根据题中提取的数量关系来求解．根据，求出，继而可以求出点A表示的数． 【详解】解：∵，点B表示的数是， ∴， ∵点A在O点右侧， ∴点A表示的数为：， 故选:A． 【例题8-4】．（24-25七年级上·广西柳州·期中）如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示2和4的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为（   ）    A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查数轴的概念，关键是掌握数轴的三要素．由数轴的概念即可求解． 【详解】解：∵和刻度分别与数轴上表示和的两点对齐， ∴数轴的单位长度是， ∴原点对应的刻度， ∴数轴上与刻度线对齐的点表示的数是， 故选：A． 【例题8-5】．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴表示数，数轴上两点的距离，分两种情况或，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点表示的数是， ∴到点距离4个单位的点表示的数是：或， ∴到点距离4个单位的点表示的数是或， 故选：B． 【例题8-6】．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）已知数轴上的点表示的数为，点是数轴上的点，原点为，且，若点是的中点，那么点表示的数是（    ） A．2或 B．2或4 C．或3 D．1或3 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴上的点所表示的数，熟练掌握到数轴上一点距离相等的点有两个，然后分类讨论是解题的关键．根据数轴上两点间的距离右边的数左边的数，先得出点表示的数为或6，再根据是的中点，即可得出点表示的数． 【详解】解：原点为，且， 点表示的数为或6， 点表示的数为， 当点表示的数为时，， 点是的中点， ， 点表示的数为， 当点表示的数为6时，同理可得点表示的数为2， 综上，点表示的数是2或， 故选：A． 【例题8-7】．（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，已知数轴上点表示的数是2024，且，则点表示的数是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用数轴表示有理数，先求出，进而得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵数轴上点表示的数是2024， ∴， ∵， ∴， ∵点在原点左侧， ∴点表示的数是， 故答案为：． 【例题8-8】．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）根据小明和小慧的对话，小慧家的位置唯一确定吗？请利用数轴（以学校为原点）求出小慧家位置所表示的数． 【答案】不是唯一确定，小慧家在数轴上表示的数可以是，，，． 【难度】0.65 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了用数轴表示数，两点间的距离等知识点，根据两人的对话分类讨论即可得解，熟练掌握用数轴表示数，两点间的距离公式并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：不是唯一确定．理由如下：    情形①当小明家在学校西5千米（即在数轴原点的左侧）时， 小明家表示的数为， 若小慧家在小明家的西2千米，则其表示的数是， 若小慧家在小明家的东2千米，则其表示的数是， 情形②当小明家在学校东5千米（即在数轴原点的右侧）时， 小明家表示的数为，   若小慧家在小明家的西2千米，则其表示的数是， 若小慧家在小明家的东2千米，则其表示的数是， 综上所述，小慧家在数轴上表示的数可以是，，，． 【重难点1】数轴上两点间被墨水污染 【例题8-9】．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在数轴上点表示的数是3，点被墨水遮住了，已知，则点表示的数为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要查了数轴上两点间的距离．根据数轴上两点间的距离解答即可． 【详解】解：根据题意得：点表示的数是3，， ∴点B表示的数是， 故答案为： 【例题8-10】．（24-25七年级上·河南南阳·期中）小宇不小心将墨水滴在了数轴上，使部分数轴被墨迹遮盖，则被遮盖的部分中表示整数的点有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】数轴上整点覆盖问题、用数轴上的点表示有理数 【分析】此题考查了用数轴上的点表示有理数．写出被遮盖的部分中整数即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，被遮盖的部分中整数有，共5个，即被遮盖的部分中表示整数的点有5个， 故选：C 【重难点2】数轴上两点之间距离分类讨论问题 【例题8-11】．（24-25七年级上·河北邢台·期中）如图，数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等，已知点A表示的数是，点H表示的数是2． (1)表示原点的是点____________，点E表示的有理数是____________； (2)已知B，C两点间的距离为m，B，D两点间的距离为n．计算B，C，D三点对应的数的和，直接写出的值； (3)已知数轴上有两点M，N，满足点M到点F距离为3，点N到点F的距离为6，则点M，N之间的距离为多少？ 【答案】(1) (2) (3)点M，N之间的距离为3或9 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查数轴上点所表示的数以及两点间距离的计算，解题的关键是根据已知点确定数轴上的单位长度，进而确定各点表示的数，再依据距离公式求解． （1）先确定数轴上的单位长度，从而找出原点及点表示的数． （2）确定B，C，D三点表示的数，计算三点对应数的和并求出的值． （3）确定点M，N可能表示的数，分情况计算两点间的距离． 【详解】（1）已知点A表示的数是，点H表示的数是到H的距离为， 因为A到H之间有7个间隔，所以每个间隔的距离为． 从点向左数1个间隔到点，所以表示原点的是点． 点E在点A右侧3个间隔处，那么点E表示的数为， 故答案为：； （2）解：点在点右侧1个间隔处，所以点表示的数是， 点在点右侧2个间隔处，点表示的数是， 点D在点A右侧3个间隔处，点D表示的数是， 所以， ； （3）解：由题意可知F：， 因为点M到点F距离为3，所以点M表示的数是1或 因为点N到点F的距离为6，所以点N表示的数是或4． ；； ；； 综上，点M，N之间的距离为3或9． 【例题8-12】．（23-24七年级上·山西运城·期中）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事非．”可见数形结合对于数学学习是多么重要，数学课上老师让同学们将数轴对折探究其中的数学问题．    (1)如图①，勤学小组的同学将数轴对折，使表示2的点与表示的点重合． ①对折后表示5的点与表示________的点重合； ②对折后表示的点与表示________的点重合．（用含的代数式表示） (2)如图②，善思小组的同学将数轴对折，使表示3的点与表示的点重合． ①对折后表示7的点与表示________的点重合； ②对折后数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点与点之间的距离为8，则点表示的数为________，点表示的数为________． (3)如图③，智慧小组的同学将数轴对折，使表示的点与表示的点重合，经对折后数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点和点之间的距离为10，则点表示的数为________，点表示的数为________．（用含的代数式表示） 【答案】(1)①，② (2)①；②；5 (3)； 【难度】0.4 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴、数轴上两点之间的距离、一元一次方程， （1）①先求出对折点所表示的数，再根据数轴的定义即可得； ②根据对折点，利用数轴的定义即可得； （2）①先求出对折点所表示的数，再根据数轴的定义建立方程，解方程即可得； ②根据对折点，利用数轴的定义即可求得两点表示的数； （3）利用表示出对折点，再根据点和点之间的距离为10，利用数轴的定义即可表示出，利用方程思想，熟练掌握数轴上两个的点的中点为两点表示的数相加除以2是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得对折点为， ①对折后与表示5的点重合的点表示的数为； ②对折后与表示的点重合的点表示的数位， 故答案为：①，②； （2）解：由题意得对折点为， ①对折后与表示7的点重合的点表示的数为； ②点与点之间的距离为8， 点与点到对折点的距离为， 点在点的左侧， 点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：①；②；5； （3）解：使表示的点与表示的点重合， 对折点为， 数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点和点之间的距离为10， 点与点到对折点的距离为， 点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：；． 【例题8-13】．（24-25七年级上·广东广州·期中）若点在数轴上对应，点与点的距离为，则点在数轴上对应的有理数为 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查数轴上两点间距离，熟练掌握数轴上两点间距离计算方法是解题的关键； 根据点在点的左边时和点在点的右边时，分情况讨论即可求解； 【详解】解：点在数轴上对应，点与点的距离为， 当点在点的左边时，点在数轴上对应的点为， 当点在点的右边时，点在数轴上对应的点为． 故答案为：或 【例题8-14】（24-25七年级上·重庆·期末）如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是，8．若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒，当点Q遇到点P时，两点都立即以原来的速度向相反的方向运动，当点P到达点A时，两点同时停止运动．当 秒时，． 【答案】3或5 【难度】0.65 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上的动点．熟练掌握数轴上点表示的数，两点间的距离，是解题的关键． 相遇前点P表示的数，点Q表示的数，，，根据，解得；相遇后，点P表示的数，点Q表示的数t，，，得． 【详解】解：∵A，B两点表示的数分别是，8， ∴点P表示的数为：，点Q表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得； 相遇时间是， 相遇点表示的数为：， 相遇后，点P表示的数为：，点Q表示的数为， ∴，， ∴， 解得． ∴或． 故答案为：3或5． 【例题8-15】．（24-25七年级上·西藏林芝·期中）数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则点，之间的距离为 ，点，之间的距离为 ． 【答案】 2 6 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离的计算方法的知识，掌握以上知识是解题的关键． 本题可以采用两种方法：第一种方法在数轴上直接表示出、和的数，然后即可求出两点之间的距离；第二种方法就是直接用较大的数减去较小的数，在数轴上越靠右的数越大，然后即可求解． 【详解】解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴根据较大的数减去较小的数得： ， ∴点，之间的距离为； ∵点表示的数为，点表示的数为， ∴根据较大的数减去较小的数得： ， ∴点，之间的距离为； 故答案为：2；6． 【例题8-16】．（24-25七年级上·全国·期末）在数学超市课上，李老师出了这样一道题：点是数轴上一点，一只蚂蚁从点出发爬了个单位长度到了表示的数的点，则点所表示的数是 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴的动点问题，准确计算是解题的关键． 根据题意，分两种情况讨论即可求解； 【详解】解：从数轴上点出发向左爬了个单位长度到了表示的数的点，则点表示的数是； 从数轴上点出发向右爬了个单位长度到了表示的数的点，则点表示的数是； 综上所述，点所表示的数是或； 故答案为：或 【例题8-17】．（2024七年级上·全国·专题练习）[教材练习2变式]已知点A在数轴上表示的数是，则距离A点个单位长度的点所表示的数是 ． 【答案】或/或0 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查数轴的点，解决此类题目的关键是要分类讨论，不要遗漏； 根据题意，画出数轴，观察符合条件的点有几个，即可求解； 【详解】解：画出数轴，标注原点和表示的点，如图所示； 观察数轴上的点距离A点个单位长度，应该在的左右各有一个， 左边的是，右边的是； 故答案为：或． 【例题8-18】．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，数轴上标出的所有点中，相邻任意两点间的距离都相等，已知点A表示，点G表示8． (1)表示原点的是点______，点C表示的数是______； (2)数轴上有两点M，N，点M到点E的距离为4，点N到点E的距离是3，求点M，N之间的距离． 【答案】(1)E， (2)1或7 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数，数轴上的两点之间的距离，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）先求出相邻任意两点间的距离为，再结合数轴即可得解 （2）分两种情况：当、在点的同侧时，当、在点的异侧时，分别画出图形，利用数轴上两点间的距离公式计算即可得解． 【详解】（1）解：，故相邻任意两点间的距离为， ∴表示原点的数为，点表示的数为； （2）解：如图：当、在点的同侧时， 或； 如图，当、在点的异侧时， 或； 综上所述，点M，N之间的距离为1或7． 【重难点3】数轴上两点间距离最值问题 【例题8-19】．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）在数轴上，把原点记作O，表示数2的点记作A，对于数轴上任意一点P（不与点O，A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点M，N，，则线段最长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了坐标轴上两点间的距离，根据新定义推出，点表示的数是，分当点在点右侧和左侧，两种情况分别求出点点表示的数为或，直接代值计算，再比较即可． 【详解】解：因为，， 所以， 所以， 又因为点A表示的数是2，点O表示的数是0， 所以点是的中点， 所以点表示的数是， 如图，当点在点右侧时， 则，即， 所以，则， 所以点表示的数是， 所以； 如图，当点在点左侧时， 则，即， 所以，则， 所以点表示的数是， 所以； 因为， 所以最长为； 故选：C． 【重难点4】数轴上两点间距离圆的距离问题 【例题8-20】．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，周长为4个单位长度的圆上4等分点为，，，，点落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数轴上的规律探究、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查图形类规律探索，数轴上两点间的距离，理解题意，找出规律是解题关键．根据数轴上负方向上从2的位置开始的整数每四个数为一个循环，依次对应，，，，解答即可． 【详解】解：根据题意可得：数轴上负方向上从2的位置开始的整数每四个数为一个循环，依次对应，，，． ∵表示的点与表示2的点的距离为， 又∵， ∴圆上落在数轴上的点是P． 故选C． 【例题8-21】．（24-25七年级上·广西柳州·期中）如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为，点A落在1的位置．如果将圆在数轴上沿负方向连续滚动，那么落在数轴上的点是点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上的规律探究 【分析】本题考查数轴上的规律探究，找出圆运动的周期与数轴上的数字的对应关系是解答此题的关键．圆的周长为6个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以6，看余数是几，再确定和谁重合即可解答． 【详解】解：由图可知，旋转1周，点B对应的数是0，点C对应的数是，点D对应的数是，点E对应的数是，点F对应的点为，点A对应的点为，继续旋转，点B对应的点为，点C对应的点为，……． ∵ 又∵， ∴数轴上表示的点与圆周上点D重合． 故选C． 题型九：根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例题9-1】（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，有理数，，，在数轴上的对应点分别是，，，．若，互为相反数，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、相反数的定义 【分析】本题考查了数轴，相反数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由数轴和已知条件得出，，，的正负和它们的绝对值的大小，从而求得、、、的值的正负，从而进行判断． 【详解】解：由数轴可得，， 、互为相反数， ，且， ，，， ，，，， 故选：B． 【例题9-2】．（2024七年级上·全国·专题练习）有理数a，b，c在数轴上的对应点如图． (1)在横线上填上“”或“”：a_____0，b_____0，c_____0，_____； (2)在数轴上标出表示，，的点； (3)用“”将a，，b，，c，，0连接起来． 【答案】(1)，，， (2)见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、相反数的定义 【分析】本题考查实数与数轴，理解绝对值和相反数的概念，掌握数轴上的点左边的总比右边的小是解题关键． （1）观察数轴，结合点在数轴上所在的位置进行分析判断； （2）根据相反数的概念在数轴上表示各点； （3）利用数轴上的点左边的总比右边的小进行比较解答． 【详解】（1）解：（1）由题意：，，，， 故答案为：，，，； （2）解：如图： （3）解：由数轴可得：． 【例题9-3】．（24-25七年级上·四川自贡·期中）已知数在数轴上对应的点如图所示： (1) ， ．（填“”、“”或“”） (2)在数轴上标出的相反数的对应点的位置． (3)若与相隔个单位长度，求的值． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)． 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、根据点在数轴的位置判断式子的正负、相反数的定义 【分析】本题考查了在数轴上表示数，数轴上两点间的距离，相反数的定义等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据数轴在原点的左侧，在原点的右侧即可得出答案； （2）根据相反数的定义得到为正数，为负数，然后在数轴表示出来即可； （3）由与相隔个单位长度，得到与的对应点距离原点个单位长度，又因为为负数，得到． 【详解】（1）解：由数轴可知，在原点的左侧，在原点的右侧， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵为负数，则其相反数为正数，在数轴上位于原点右侧， 为正数，则其相反数为负数，在数轴上位于原点左侧， 如图： （3）解：∵与相隔个单位长度， ∴与的对应点距离原点个单位长度， 又∵为负数， ∴． 题型十：数轴上点的平移（动点问题） 【重难点1】数轴上简单平移规律问题 【例题10-1】．（24-25七年级上·四川泸州·期中）在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，我们称点是点的“相关点”，已知数轴上的相关点为，点的相关点为，点的相关点为，这样依次得到点、、、，…，．若点在数轴表示的数是，则点在数轴上表示的数是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】数轴上的规律探究、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数的规律探索，计算出、、、，，这六个点表示的数，找到规律是，2，依次循环，由此即可求解． 【详解】解：点在数轴表示的数是，则点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是2，点在数轴表示的数是，……，由此得：三个数，2，依次循环； 而，则点在数轴上表示的数是2； 故答案为：2． 【例题10-2】．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）等边在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为0和，若绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1；则翻转2018次后，点B所对应的数是（    ） A．2017 B．2016 C．2015 D．2014 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用数轴上的点表示有理数、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查了数轴的知识，解决本题的关键是根据图形翻折次数找出规律，利用规律解决问题． 作出草图，观察发现，每3次翻转为一个循环组依次循环，用2018除以3余2，可得翻转2018次后点B在数轴上，由此求得点B所对应的数即可． 【详解】如图，每3次翻转为一个循环组依次循环， ∵， ∴翻转2018次后点B在数轴上， ∴点B对应的数是． 故选：A． 【重难点2】数轴上一个动点问题 【例题10-3】（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： (1)若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数______对应的点重合； (2)若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为_______，点对应的数为_______； (3)在（2）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒．动点从点向右出发，为何值时，、点之间的距离为15个单位长度； 【答案】(1)3 (2)，4.5 (3)为2时，、两点之间的距离为15个单位长度 【难度】0.4 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上的动点问题以及数轴上两点之间的距离． （1）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （2）根据对称点连线被对称中心平分，先找到对称中心，再根据两点之间的距离求解； （3）根据题意，，点对应的数为，用代数式表示，列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得对称中心是原点，则数对应的点与数3对应的点重合； 故答案为：3； （2）解：∵折叠后数2对应的点与数对应的点重合， ∴对称中心是数对应的点， ∵数轴上、两点之间的距离为11（点在点的右侧）， ∴点到对称中心的距离为，且点在的左边，点到对称中心的距离为，且点在的右边， ∴点对应的数为，点对应的数为， 故答案为：，4.5； （3）解：根据题意，， 点对应的数为， ， 解得：， 答：为2时，、两点之间的距离为15个单位长度． 【例题10-4】．（23-24七年级上·吉林长春·期中）如图，数轴上点Q表示的数为，线段AB的端点A与表示数2的点重合，端点B与表示数4的点重合．点P从点Q出发，沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度．同时，线段以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点A与点P相遇时，线段立即折返，沿数轴向右运动，速度不变，设运动时间为t秒．    (1)线段的长为______． (2)当点P运动t秒时，则点P表示的数为______（用含t的式子表示）． (3)当点P与点A相遇时t的值为______；当点P与点B相遇时，t的值为______． (4)当点P到点A的距离等于点P到点B的距离的2倍时，t的值为______． 【答案】(1) (2) (3)2；3 (4)或 【难度】0.4 【知识点】列代数式、动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】（1）用点表示的数减去点表示的数即可； （2）用加上点向右运动的距离即可； （3）根据相遇时两个点所表示的数相等，列式计算即可； （4）当点P在点B的两侧时，分类讨论，分别计算即可． 【详解】（1）解：如图，    有图可得：， 故答案为：； （2）因为点P从点Q出发，沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度， 所以点P表示的数为， 故答案为：； （3）①因为线段以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动， 所以点表示的数为， 由（2）可知：点P表示的数为， 当点P与点A相遇时，， 解得，； 故答案为：2； ②因为当点P与点A相遇时，，即点表示的数为0， 当点P与点B相遇时，线段从原点折返，此时点B表示的数为：， 因为点P表示的数为， 故当点P与点B相遇时，，解得，， 故答案为：3； （4）线段从原点折返，此时点A表示的数为：，此时点B表示的数为：，    ①如图，当点P在点B的左侧时，，即， ， 解得，；    ②如图，当点P在点B的右侧时，， ， 解得，； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了数轴上点的变化以及两点之间的距离，准确的用整式表示出数轴上的点是解题的关键． 【重难点3】数轴上两个动点朝同一个方向平移问题 【例题10-5】（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 【答案】(1)6 (2)2 (3)6或10或22 【难度】0.85 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； （3）分三种情况，点在还没达到原点，点Q到点A的距离为4；到达原点后返回未经过点A，与点A的距离为，返回经过点A后，与点A的距离为，再计算时间，即可得到点运动的路程，即可解答． 【详解】（1）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为6； （2）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当时，点运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为2； （3）解：当点到点A的距离为4时， 分两种情况讨论： ①点向左运动还没达到原点时， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∵， ∴ 运动时间为（秒）， ∴； ∴； ②点向右运动时且还没经过点时， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴； ③点向右运动时且经过点后， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴； 综上，点P到点Q的距离为6或10或22． 【重难点4】数轴上两个动点相对运动 【例题10-6】．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，点、在数轴上表示的数分别是，1，点在点的右侧，且、两点间的距离为4． (1)点表示的数为______； (2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动的时间为t秒． ①当为何值时，、两点相遇？ ②当点表示的数为2时，求、两点间的距离． 【答案】(1)5 (2)①；② 【难度】0.65 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题，熟练掌握以上知识点，正确表示出点、表示的数是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求得点表示的数； （2）①根据数轴上两点之间的距离公式用表示出点、分别为、，当、相遇时，有，解之即可；②先求得，然后求得点，再算得的距离即可． 【详解】（1）解：点表示的数为1，点在点的右侧，且、两点间的距离为4， 点表示的数为， 故答案为：5． （2）解：①点表示的数为，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动， 点表示的数为， 点表示的数为1，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动， 点表示的数为， 点、在数轴上表示的数分别是，1， 当、相遇时，有， 解得， 故当时，、两点相遇； ②由①可知，当点表示的数为2时，即， 解得， 此时点表示的数为， 点表示的数为5， 点、两点间的距离， 故当点表示的数为2时，点、两点间的距离为． 【重难点5】数轴上三个动点运动距离定值问题 【例题10-7】．（24-25七年级上·河北保定·期中）在数轴上点A在原点的左侧，点C在原点的右侧，点A距离原点2个单位长度，点C距离原点7个单位长度，点B表示的数是最小的正整数， (1)点A、B、C表示的数分别是：________，________，________； (2)点A与点B之间的距离为________，点A与点C之间的距离为________，点B与点C之间的距离为________； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，t秒钟过后，用含t的代数式分别表示点A与点B之间的距离，点A与点C之间的距离以及点B与点C之间的距离； (4)在（3）的条件下，若点B与点C之间的距离用BC表示，点A与点B之间的距离用AB表示，则的值是否随着时间t的变化而改变？若改变，请说明理由：若不变，请求其值． 【答案】(1)-2，1，7； (2)3，9，6； (3)点A与点B之间的距离为3t+3，点A与点C之间的距离为5t+9，点B与点C之间的距离为2t+6； (4)不变，12． 【难度】0.65 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查数轴、列代数式，掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键． （1）根据题意，直接写出点A、B、C表示的数即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （3）用含t的代数式写出点A、B、C表示的数，再分别表示出这三个点两两之间的距离即可； （4）将和分别代入并化简，根据其结果是否含有t即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，得点A、B、C表示的数分别是：，1，7． 故答案为：，1，7． （2）解：点A与点B之间的距离为，点A与点C之间的距离为，点B与点C之间的距离为． 故答案为：3，9，6． （3）解：t秒钟后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴t秒后，点A与B之间的距离为，点A与C之间的距离为，点B与C之间的距离为． （4）解：∵， ∴， ∴的值不随着时间t的变化而改变，其值为12． 【例题10-8】．（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）已知，数轴上点A在原点左边，到原点的距离为8个单位长度，点B在原点的右边，从点A走到点B，要经过32个单位长度． (1)求A，B两点所对应的数； (2)若点C也是数轴上的点，点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍，求点C对应的数； (3)已知，点M从点A向右出发，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B向右出发，速度为每秒2个单位长度，设线段的中点为P，线段的值是否变化？若不变，请求其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)点A表示的数为，点B表示的数为24 (2)点C表示的数为或6 (3)不变， 【难度】0.65 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查数轴的应用及一元一次方程的应用． （1）直接根据有理数与数轴上各点的对应关系求出A，B表示的数即可； （2）设点C表示的数为c，再根据点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍列出关于c的方程，求出c的值即可； （3）设运动时间为t秒，则，再根据点P是的中点用t表示出的长，再求出的值即可． 【详解】（1）由题意知，点A表示的数为， 设B为b， 则： 解得： ∴点B表示的数为24； （2）设点C表示的数为x， 依题意，得 ， 解得或， 即点C表示的数为或6； （3）设运动时间为t秒，则，， ∵线段的中点为P ∴ 即， 即， 所以的值不变，． 【例题10-9】．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 （2）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______． 在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【答案】（）；（）当时，的中点所对应的数为； （）；当时，存在定值，为． 【难度】0.4 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值的几何意义 【分析】（）先由非负数的性质求出，进而可得的中点所对应的数； （）求出点表示的数为，点表示的数为，然后根据的中点所对应的数为，得即可； （）依题意可得出对应的数； 由（）可知：点所表示的数为，点表示的数为，再求出点所表示的数为，点所表示的数为，进而求出，，从而得，然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案； 此题主要考查了数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：（）， ∴，， ∴，， ∴点对应的数为，点对应的数为 ∴的中点所对应的数为， 故答案为：； （）由题意可得，点表示的数为，点表示的数为， ∴， 解得， 当时，的中点所对应的数为； （）根据题意：五等分点公式点对应的数为， 故答案为：； 由题意，得点表示的数为，点所表示的数为， ∴，， ∴， ∴当时，，不是定值； 当时，，是定值； 当时，，不是定值， ∴当时，存在定值，为． 【例题10-10】．（23-24七年级上·广东湛江·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，已知是，数是最大的负整数，是单项式的次数． (1)_____，_______． (2)点，，开始在数轴上运动，若点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为． ①_____，________．（用含的代数式表示） ②探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． ③若点，，与三点同时开始在数轴上运动，点从原点出发以每秒4个单位长度的速度向左运动，请含的式子表示． 【答案】(1)，3 (2)①；；②不变，16；③或． 【难度】0.4 【知识点】数轴上两点之间的距离、整式加减中的无关型问题、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】（1）根据最大的负整数是，单项式的次数是3，得到，得到，3即可． （2）①根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为，根据公式计算解答即可． ②根据题意，得，，代入，化简计算说明即可． ③根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点从原点出发以每秒4个单位长度的速度向左运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，点M运动路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，点M起始数为0，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为，点M表示的数是，分点M在点A的左侧和右侧两种情形解答即可． 本题考查了最大的负整数，单项式的次数，数轴上运动路程，两点间的距离，分类思想，代数式的无关问题，熟练掌握运动路程与表示数的关系，两点间的距离公式是解题的关键． 【详解】（1）根据最大的负整数是，单项式的次数是3， 得，， 故答案为：，3． （2）①根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， 故答案为：；． ②根据题意，得，， ∴． 故的值不变，这个常数是16． ③根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点从原点出发以每秒4个单位长度的速度向左运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，点M运动路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，点M起始数为0，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为，点M表示的数是，分点M在点A的左侧和右侧两种情形解答即可． 当在的右侧时，根据题意，得，， ∴． 当在的左侧时，根据题意，得，， ∴． 【例题10-11】（23-24七年级上·江苏连云港·期中）如图，在数轴上A点表示数，B点表示数6． (1)A、B两点之间的距离等于 ； (2)若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，请在数轴上找一点C，使，则C点表示的数是 ； (3)若在原点O的左边2个单位处放一挡板，一小球P从点A处以4个单位/秒的速度向右运动；同时另一小球Q从点B处以2个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）两球分别以原来的速度向相反的方向运动，设运动时间为秒，已知在小球Q开始运动的前两秒、和触碰到挡板返回至点B的过程中，对应的的值是定值，请分别求出相应定值． 【答案】(1)16 (2) (3)16；32 【难度】0.4 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、两点间的距离、整式加减的计算等知识点，熟练掌握两点间距离的计算是解答本题的关键． （1）根据数轴上两点间距离的公式即可求解； （2）设C点表示的数为x，则利用列方程解答即可； （3）在小球Q开始运动的前两秒、和触碰到挡板返回至点B的过程中，分别求出和的值，再代入，即可求出相应的定值． 【详解】（1）解：A、B两点之间的距离等于， 故答案为：16； （2）设C点表示的数为x， 则， 解得， 即C点表示的数为， 故答案为：； （3）解：①当小球Q开始运动的前两秒中，，， 所以， 故， 所以，当小球Q开始运动的前两秒中，的定值是16； ②当小球Q触碰到挡板返回至点B的过程中， ， 所以， 而， 所以， 故 ， 所以,当小球Q触碰到挡板返回至点B的过程中，的定值是32． 综上，当小球Q开始运动的前两秒中，的定值是16；当小球Q触碰到挡板返回至点B的过程中，的定值是32． 【例题10-12】．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，4． 点A到点C的距离可以用表示，且． (1)应用： ， ； (2)拓展：若点A沿数轴向右以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒时点A表示的数是 ，此时， （用含t的式子表示）； (3)探究：若点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和8个单位长度的速度向左运动，则的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求出的值． 【答案】(1)6；10 (2)；或； (3)当时的值随着时间t的变化而改变；当时，的值不随着时间t的变化而改变，． 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】此题考查数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离， （1）根据数轴上两点之间的距离公式直接计算即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式直接计算即可； （3）根据两点之间的距离公式分别求出，，即可判断． 【详解】（1）解：，， 故答案为：6；10； （2）解：t秒时点A表示的数是， 此时或， 故答案为：；或； （3）解：t秒时点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是， 当点A与点B重合时，，解得， 当时，，， ∴，此时的值随着时间t的变化而改变； 当时，，， ∴，此时的值不随着时间t的变化而改变， 综上，当时的值随着时间t的变化而改变；当时，的值不随着时间t的变化而改变，． 【重难点6】数轴上动点问题新定义问题 【例题10-13】．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离倍，我们就称点是【，】的美好点．若规定、两点之间的距离为，即当时，我们称点是【，】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为． (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是；写出【，】美好点所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【答案】(1)；或 (2)，，，，， 【难度】0.4 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据美好点的定义，结合图，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况，须区分各种情况分别确定点的位置，进而可确定的值． 【详解】（1）解：根据美好点的定义，，，，只有点G符合条件， 故答案是：． 结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件．点的左侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 故答案为：或； （2）解：根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况， 第一情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图， 当时，则， 因此秒； 第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2， 当时，则， 因此秒； 第三种情况，为【N，M】的美好点，点在左侧，如图3， 当时，则， 因此秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图4， 当时，则，点对应的数为， 因此秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图5， 当时，则，点对应的数为， 因此秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点在，左侧，如图， 当时，则， 因此秒； 第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧， 当时，则， 因此秒， 第八种情况，N为【M，P】的美好点，点在右侧， 当时，则， 因此秒， 综上所述，的值为：，，，，，． 【例题10-14】．（23-24七年级上·北京延庆·期末）对于数轴上三个不同的点A，B，C，给出如下定义：在线段中，若其中有两条线段相等，则称A，B，C三点是“均衡点”． (1)点A表示的数是，点B表示的数是1，点C表示的数是3， ①A，B，C三点______（填“是”或“不是”）“均衡点”； ②点M表示的数是m，且B，C，M三点是“均衡点”，则________； (2)点D表示的数是x，点E表示的数是n，线段（a为正整数），线段，若D，E，F三点是“均衡点”，且关于x的一元一次方程的解为整数，求n的最小值． 【答案】(1)①不是；② (2) 【难度】0.4 【知识点】用数轴上的点表示有理数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查解一元一次方程，数轴上两点之间距离关系． （1）根据题意分别表示出，即可得到本题答案； （2）根据题意针对三点的位置分情况讨论，列关于的一元一次方程并解出即可得到本题答案； （3）根据题意针对三点分情况讨论，可分为6种情况，再分别列出方程正确解答后比较的数值，即可得到本题答案． 【详解】（1）①解：∵点A表示的数是，点B表示的数是1，点C表示的数是3， ∴， ∵， ∴A，B，C三点不是“均衡点”； ②解：∵点M表示的数是m，且B，C，M三点是“均衡点”， 又∵点B表示的数是1，点C表示的数是3， ∴分情况讨论： ①当点顺次时， ， 即：，，解得：， ②当点顺次时， ，， 即：，，解得：， ③当点顺次时， ，， 即：，，解得：， 综上所述：的值为5或2或； （2）解：∵D，E，F三点是“均衡点”， ∴分情况讨论： ①当点顺次时，即时， ∵线段（a为正整数），线段， ∴， ∵关于x的一元一次方程的解为整数， ∴， ∵a为正整数，∴或， ∴当时，符合题意， ∵点E表示的数是n，点D表示的数是x， ∴，即， 当时，符合题意， ∴，即， ②当点顺次时，即时， ∵线段（a为正整数），线段， ∴，即， ∵关于x的一元一次方程的解为整数， ∴， ∵a为正整数，∴或或， ∴当时，符合题意， ∵点E表示的数是n，点D表示的数是x， ∴，即， 当时，符合题意，此时， 当时，符合题意，此时， ③当点顺次时，即时， ∵线段（a为正整数），线段， ∴， ∵关于x的一元一次方程的解为整数， ∴， ∵a为正整数， ∴当时，符合题意， ∵点E表示的数是n，点D表示的数是x， ∴，即， ④当点顺次时，即时， ∵线段（a为正整数），线段， ∴， ∵关于x的一元一次方程的解为整数， ∴， ∵a为正整数， ∴当时，符合题意， ∵点E表示的数是n，点D表示的数是x， ∴，即， ∴当时，符合题意，此时， 当时，符合题意，此时， ⑤当点顺次时，即时， ∵线段（a为正整数），线段， ∴， ∵关于x的一元一次方程的解为整数， ∴， ∵a为正整数， ∴当时，符合题意， ∵点E表示的数是n，点D表示的数是x， ∴，即， 当时，符合题意，此时， ⑥当点顺次时，即时， ∵线段（a为正整数），线段， ∴， ∵关于x的一元一次方程的解为整数， ∴， ∵a为正整数， ∴当时，符合题意， ∵点E表示的数是n，点D表示的数是x， ∴，即， 当时，符合题意，此时， 综上所述：n的最小值为． 题型十一：数轴上找原点 【例题11-1】．（24-25七年级上·山东聊城·期中）如图，如果有理数的绝对值是的绝对值的3倍，那么点中 可能是数轴的原点． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上找原点 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，根据题意可得原点一定在数a和数b之间，则可得到，据此建立关于b的方程，解方程求出b，进而求出a，再结合数轴即可得到答案． 【详解】解：∵有理数的绝对值是的绝对值的3倍，且两个数之间的距离为， ∴当原点在数a左侧或者原点在数b右侧时都不符合题意， ∴原点一定在数a和数b之间， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴a表示的数为，b表示的数为1， ∴只有C可能是数轴的原点， 故答案为：C． 【例题11-2】．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是 ； (2)把这些数用数轴上的点表示出来：．请将这些数按从小到大的顺序排列（用“”连接）． 【答案】(1)见解析；4 (2)数轴见解析； 【难度】0.85 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、求一个数的绝对值、数轴上找原点 【分析】（1）利用点A向右平移3个单位确定数轴原点，再确定点B表示的数即可； （2）数轴上标上数字，先化简，，，然后在数轴上描出表示各数的点，标上原数，根据数轴的性质用“”号把这些数按从小到大连接起来即可． 【详解】（1）解：点A表示的数是，点A向右移动3个单位为数轴原点O， ∴点B在原点右边4个单位位置，表示4， （2）解：，，， 在数轴上表示各数， ∴． 【点睛】本题主要考查了数轴上表示数，利用数轴比较大小，掌握点的平移，数轴上表示数，利用数轴比较大小是解题关键． 【例题11-3】．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是______． (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为______． 【答案】(1)见解析；4 (2)2或6 【难度】0.85 【知识点】数轴上找原点、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查数轴，用数轴表示有理数，数轴上两点间距离： （1）根据点A表示的数及每个刻度为1个单位长度可确定原点，根据点B与原点的位置可得点B所表示的数； （2）分点C在点B的左侧与右侧两种情况，分别计算即可． 【详解】（1）解：原点在点A的右侧距离点3个单位长度，如图： 点B在原点的右侧距离原点4个单位，因此点B所表示的数为4， 故答案为：4； （2）解：①当点C在点B的左侧时，， ②当点C在点B的右侧时，， 点C表示的数为2或6． 故答案为：2或6． 题型十二：数轴上整点覆盖问题 【例题12-1】．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）若在单位长度的数轴上随意画出一条长的线段，则线段盖住的整数点至少有(    ) A．9个 B．10个 C．100个 D．101个 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上整点覆盖问题 【分析】分类讨论：线段的两端点是整数点，线段的两端点不是整数点，根据线段的长度，可得答案． 【详解】解：当线段的两端点是整数点时，一条长的线段，则被线段盖住的整数有个， 当线段的两端点不是整数点时，一条长的线段，则被线段盖住的整数有个， 线段盖住的整数点至少有个 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，熟练掌握数轴的定义是解题的关键． 【例题12-2】．（21-22七年级上·湖北武汉·阶段练习）若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上整点覆盖问题 【分析】分线段的端点在整点上和不在整点上两种情况讨论，据此得出规律即可解答本题． 【详解】解：依题意得：①当线段的端点在整点上时，覆盖11个数； ②当线段的端点不在整点，即在两个整点之间时覆盖10个数． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分类讨论思想和数形结合思想的应用，取一个较小的整数，然后画出图形得出规律是解决此题的关键． 【例题12-3】．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有 个． 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】数轴上整点覆盖问题、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴的特点，理解并掌握数轴上点与数的一一对应关系是解题的关键． 根据数轴的特点，数形结合分析即可求解． 【详解】解：根据数轴的特点，墨迹盖住的整数有，，共2个， 故答案为：2 ． 题型十三：数轴上的规律探究 【例题13-1】．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】数轴上的规律探究 【分析】本题考查了数轴，以及图形类规律探究，根据题意找出规律进行求解是解决本题的关键． 根据题意可得，翻转后数轴上点1，3，5，7，9，11的对应的点分别是A，B，C，D，E，F，根据规律进行判定即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得，翻转后数轴上点1对应的是A， 数轴上点3对应的是B， 数轴上点5对应的是C， 数轴上点7对应的是D， 数轴上点9对应的是E， 数轴上点11对应的是F， …… 则， 所以连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是E． 故选：C． 【例题13-2】．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，等边三角形的边在数轴上，现将等边三角形沿着数轴向右翻滚（无滑动），第1次翻滚后点到点位置．若点表示的数为，等边三角形的边长为2，则翻滚2024次后点在数轴上对应的数为（    ） A．2024 B．4047 C．4049 D．6071 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】数轴上的规律探究 【分析】本题考查了数轴上动点的规律探究，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键． 由图可知，每3次翻转为一个循环，每次循环点表示的数增大6，2024除以3余数为2，根据余数可知点A在数轴上，然后进行计算即可得解． 【详解】解：由题意可得， 每3次翻转为一个循环组依次循环， ， ∴翻转次后点A在数轴上， ∴点A对应的数是． 故选C． 【例题13-3】．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的所对应的点将与圆周上字母（   ）所对应的点重合． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】数轴上的规律探究 【分析】本题考查了数轴上的规律探索； 根据圆的滚动可得四个字母一循环，被整除后余3，从点与数字0对应开始计算，然后即可求解； 【详解】解：圆的周长为4个单位长度， 个数字为一个循环， ∵点与数字0对应，， 对应的字母是． 故选：A． 【例题13-4】．（24-25七年级上·浙江金华·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2024对应的点是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】数轴上的规律探究 【分析】本题考查了数轴，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组是解题的关键．由图可知正方形边长为1，当正方形在转动一周的过程中，点落在，点落在，点落在0，点落在1，可知其四次一循环，由此可确定出2024所对应的点． 【详解】解：当正方形在转动一周的过程中，点落在，点落在，点落在0，点落在1， 每4次翻转为一个循环组， ， 与2024对应的点是点． 故选：B． 【例题13-5】．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2024次后，数轴上数2025所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】数轴上的规律探究、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了数字变化规律，有理数与数轴等知识点，由正方形旋转一周后，A、B、C、D分别对应的点为1、2、3、4，可知四次一循环，由此可以确定所对应的点，发现各个顶点在翻转过程中所对应的数字的规律是解此题的关键． 【详解】当正方形在转动第一周过程中，即正方形连续翻转了4次， 第一次翻转A对应1， 第二次翻转B对应2， 第三次翻转C对应3， 第四次翻转D对应4， …， ∴四次一个循环， ∵， ∴2025所对应的点是A， 故答案为：A． 题型十四：相反数的定义 【例题14-1】．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（    ） A．符号不同的两个有理数互为相反数 B．任何有理数都小于或等于它的绝对值 C．任何有理数都大于或等于它的相反数 D．如果一个数的相反数等于它的绝对值，那么这个数一定是负数 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】绝对值的几何意义、相反数的定义 【分析】本题考查了有理数、相反数以及绝对值，熟练掌握相关定义是解题的关键； 根据相反数，绝对值的意义，逐一判断即可解答； 【详解】解：A、只有符号不同的两个数互为相反数，故该选项不符合题意； B、任何有理数都小于或等于它的绝对值，故该选项符合题意； C、任何正有理数都大于或等于它的相反数，故该选项不符合题意； D、如果一个数的相反数等于它的绝对值，那么这个数一定是负数或，故该选项不符合题意； 故选：B 【例题14-2】．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）下列说法：①若、互为相反数，则；②若，则、互为相反数；③若、互为相反数，则；④若，则、互为相反数．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的相关知识，熟知“分母为零时，分数无意义”是解题的关键．根据相反数的定义对各结论逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：①若、互为相反数，则，正确； ②若，则、互为相反数，正确； ③若、互为相反数，则，当时，该结论不成立，故③错误； ④若，则，故、互为相反数，正确． 综上所述，正确的结论有3个． 故选：C． 【例题14-3】．（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键； 根据相反数的定义，的相反数是，即可求解． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：D 【例题14-4】．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）请你利用所学知识判断，下列叙述错误的是（   ） A．正负数是表示在生活中互为相反的方向上数量发生改变需要产生的计数方式； B．表示正负数时前面的符号代表方向，是人为规定的，后面的数字代表数量； C．0没有相反数； D．互为相反数的量在不同的情况下，可以互换表示． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】相反数的定义、正负数的实际应用 【分析】本题考查了有理数，正数和负数以及相反数，掌握相关定义是解答本题的关键．分别根据正数和负数的意义以及相反数的定义判断即可． 【详解】解：A．正负数是表示在生活中互为相反的方向上数量发生改变需要产生的计数方式，说法正确，故本选项不符合题意； B．表示正负数时前面的符号代表方向，是人为规定的，后面的数字代表数量，说法正确，故本选项不符合题意； C．0的相反数是0，原说法错误，故本选项符合题意； D．互为相反数的量在不同的情况下，可以互换表示，说法正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 题型十五：化简多重符号 【例题15-1】．（24-25七年级上·山东聊城·期末）下列各对数中，相等的一对是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】化简多重符号 【分析】本题主要考查有理数的化简，熟练掌握相反数和绝对值是解题的关键．根据相反数和绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D符合题意； 故选D． 【例题15-2】．（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）给出下列各数：，，，，．其中负数有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】化简多重符号、正负数的定义 【分析】本题考查化简多重符号，将各数化简后，根据负数：“小于0的数”，进行判断即可．掌握化简多重符号，正负数的意义，是解题的关键． 【详解】解：，，，，， 则共有3个负数，即，，． 故选：C． 【例题15-3】．（23-24七年级上·新疆喀什·期中）的相反数的倒数是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】化简多重符号、倒数、相反数的定义 【分析】本题考查了化简多重符号、相反数、倒数，先求出，再根据相反数和倒数的定义计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴的相反数为， ∴的相反数的倒数是， 故选：A． 【例题15-4】．（15-16七年级上·广东韶关·期中）下列化简，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】化简多重符号 【分析】本题考查了相反数，掌握一个数的前面加上负号就是这个数的相反数成为解题的关键． 根据相反数的定义逐层去括号，然后判断即可解答． 【详解】解；A、，故A选项正确，符合题意； B、，故B选项错误，不符合题意； C、，故C选项错误，不符合题意； D、，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 【例题15-5】．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）化简： ， ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】化简多重符号 【分析】本题考查相反数的性质，熟练掌握相反数的性质是解题的关键；根据一个数前面的正号可以省略不写，一个负数的相反数为正数即可求解． 【详解】解：，； 故答案为：； 【例题15-6】．（22-23七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）的值是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】化简多重符号 【分析】本题主要考查化简多重符号，根据多重符号的计算顺序去括号即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【例题15-7】．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习） ， 【答案】 2 【难度】0.65 【知识点】化简多重符号 【分析】根据多重符号化简，即可解答； 【详解】；；． 故答案为：；；2． 【例题15-8】（23-24七年级上·北京·期末）把下列各数表示在数轴上，然后把这些数按从大到小的顺序用“>”连接起来． 0，，，，，． 【答案】，数轴见解析 【难度】0.65 【知识点】化简多重符号、利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数 【分析】此题综合考查了数轴上的有理数，利用数轴比较有理数的大小，化简多重符号，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点，首先把这几个数在数轴上表示出来，再根据数轴上的数右边的数总是大于左边的数，即可从大到小的顺序用“”号连接起来． 【详解】解：，，， 数轴，如图所示： 根据数轴的特点把这些数按从大到小的顺序用“>”连接起来为： ． 【例题15-9】．（23-24七年级上·全国·课堂例题）化简下列各数： ① ； ② ； ③ ； ④ ． 【答案】①8；②；③；④3.8 【难度】0.65 【知识点】化简多重符号 【分析】利用化简多重符号的方法即可求解． 【详解】解：①； ②； ③； ④． 【点睛】本题考查了相反数的意义，熟练掌握化简多重符号的方法是解题的关键． 【例题15-10】（22-23七年级·江苏·假期作业）化简下列各数中的符号． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)1 (6) 【难度】0.65 【知识点】化简多重符号 【分析】（1）根据相反数的意义即可解答； （2）根据相反数的意义即可解答； （3）根据相反数的意义即可解答； （4）根据负数前面的“+”号可以省略即可解答； （5）根据相反数的意义即可解答； （6）根据相反数的意义即可解答． 【详解】（1）解：表示的相反数，而的相反数是，所以 ． （2）解：表示的相反数，即， 所以． （3）解：表示的相反数，而的相反数是，所以． （4）解：负数前面的“+”号可以省略，则． （5）解：先看中括号内表示1的相反数，即，因此而表示的相反数，即1，所以． （6）解：表示的相反数，即a．所以． 【点睛】本题主要考查了相反数的意义，掌握相反数表示相反意义的量是解答本题的关键． 题型十六：相反数的应用 【例题16-1】（23-24七年级上·四川成都·期末）若a，b互为相反数，的倒数是，则b的值为 ． 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】倒数、相反数的应用 【分析】本题考查了相反数，倒数，根据互为相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的积为1，列式计算即可． 【详解】∵a，b互为相反数，的倒数是， ∴，， ∴， ∴， 解得， 故答案为：5． 【例题16-2】．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）若、互为相反数，、互为倒数，则的值是 ． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、相反数的应用、倒数 【分析】本题主要考查了代数式求值，根据只有符号不同的两个数是相反数得到，根据乘积为1的两个数互为倒数得到，据此利用整体代入法计算求解即可． 【详解】解：∵a，b互为相反数，x，y互为倒数， ∴， ∴， 故答案为：． 【例题16-3】．（23-24七年级上·天津河北·期末）如果互为相反数，互为倒数，那么 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】多个有理数的乘法运算、相反数的应用、有理数四则混合运算、倒数 【分析】本题考查了相反数，倒数，有理数乘法混合运算，根据题意，，计算即可，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由题可得：  ， 故答案为：． 【例题16-4】（23-24七年级上·湖南邵阳·期中）已知、互为相反数且，，互为倒数，的绝对值是最小的正整数，求 的值 ． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、倒数、相反数的应用 【分析】本题考查代数式求值，依据相反数、倒数的定义可得到，然后再求m的值，最后代入求解即可． 【详解】∵、互为相反数且，，互为倒数，的绝对值是最小的正整数， ∴， ∴原式． 故答案为：1． 【例题16-5】．（23-24七年级上·广东珠海·期中）对于一个数，我们用表示小于的最大整数，例如；如果和互为相反数，那么式子的最大值为 ． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】相反数的应用 【分析】利用题中的新定义可得：对于任意数a，，由此进行求解即可． 【详解】解：设， ∵和互为相反数， ∴； ∵对于任意数a，， 即， ∴， 即， ∴； 即的最大值为2； 故答案为：2． 【点睛】本题考查了新定义，相反数，掌握新定义，得出是关键． 【例题16-6】．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）若a和b互为相反数，a在b的右边，且表示数a的点到表示数b的点的距离为10，则 ， . 【答案】 5 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、相反数的应用 【分析】根据相反数的概念和数轴上两点之间的距离，即可解答． 【详解】解：a和b互为相反数， 在原点的两侧，且到原点的距离相等为， a在b的右边， ， 故答案为：5；． 【点睛】本题考查了相反数的概念和数轴上两点之间的距离，知道互为相反数的两个数距离原点的距离相等是解题的关键． 【例题16-7】．（23-24七年级上·湖北十堰·阶段练习）和互为相反数，那么 ． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】相反数的应用 【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 题型十七：绝对值的几何意义 【例题17-1】．（2024七年级上·全国·专题练习）若，且，则 ；若，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】绝对值的几何意义、求一个数的绝对值、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键； 根据绝对值的意义进行化简计算即可求解； 【详解】解：， 或， ， ； ， ， ； 故答案为：； 【例题17-2】（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）下列说法：①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④有理数绝对值越大，离原点越远．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质进行判断即可，掌握绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：①正数和负数的绝对值一定比0大，0的绝对值等于0，故①不符合题意； ②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等，说法正确，故②符合题意； ③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数不一定相等，也可能互为相反数，故③不符合题意； ④有理数绝对值越大，离原点越远，说法正确，故④符合题意； 综上，符合题意的有②④，共个， 故选：A． 【例题17-3】（24-25六年级下·江西鹰潭·阶段练习）直线上有，，，四个点，其中（   ）最接近0． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查了绝对值的应用，掌握绝对值越小的数越接近0成为解题的关键． 先求出各数的绝对值，然后确定绝对值最小的数即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴最接近0． 故选D． 【例题17-4】（24-25七年级上·福建厦门·期末）数m，n在数轴上如图示，则下列最可能表示数的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】绝对值的几何意义、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题主要考查数轴上点表示的数，绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键；先根据数轴，且，即可得出答案． 【详解】解：观察数轴可知，，且， ∴， ∴可能表示数的点是C． 故选∶C． 【例题17-5】．（24-25七年级上·福建泉州·期末）有理数、、、在数轴上的位置如图所示，若，则、、、四个数中，绝对值最大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用数轴上的点表示有理数、相反数的应用、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了相反数和绝对值．由得到与互为相反数，从而利用相反数的定义得出原点位置，进而结合绝对值的性质得出答案． 【详解】解：， 与互为相反数， 原点在，中间位置， 距离原点最远， 、、、三个数中绝对值最大的数是． 故选：D 【例题17-6】．（24-25七年级上·河北保定·期末）若，则m的值为（   ） A．或 B． C．2或 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义成为解题的关键． 根据绝对值的意义即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即m的值为或． 故选A． 【例题17-7】．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数、有理数的加减和乘除运算、绝对值的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识．首先结合数轴确定，的取值范围，然后根据有理数的乘法运算法则、除法运算法则、加法运算法则和绝对值的性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B正确，不符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D错误，不符合题意． 故选：B． 【例题17-8】．（24-25七年级上·河南南阳·期中）已知a，b是有理数，若a在数轴上的对应点的位置如图所示，且，下列结论不正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】绝对值的几何意义、根据点在数轴的位置判断式子的正负、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题主要考查数轴以及绝对值，熟练掌握数轴是解题的关键．根据题意得到在数轴的位置判断即可． 【详解】解： a在数轴上的对应点的位置如图所示，且， 故在数轴上的对应点的位置如图所示， ， ，选项A正确，不符合题意； ，选项B错误，符合题意； ，选项C正确，不符合题意； ，选项D正确，不符合题意；    故选B． 【例题17-9】．（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】绝对值的几何意义、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴，绝对值，解题关键是判断出之间距离小于3，然后根据绝对值的性质即可求解． 【详解】解：， 之间距离小于3， ， 原点可以是N或P． 当原点在 M 时，，当原点在R时，，此时都不符合题意， 故原点只能是N或P． 故选：C． 【例题17-10】．（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）点、、在数轴上的位置如图所示． (1)点B表示的数是______，点C表示的数是______； (2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点与表示数______的点重合； (3)有理数、在数轴上对应点之间的距离可表示为，如5与2在数轴上所对应的点之间的距离为． ①求的最小值； ②若、两点之间的距离为2024（点在点的左侧），将数轴折叠，使得1对应的点与对应的点重合，此时、两点也重合，求、两点分别表示的数； 【答案】(1)，6 (2)9 (3)①3，①所以点M表示的数为，点N表示的数为1011 【难度】0.65 【知识点】有理数的加减混合运算、绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查数轴，绝对值，关键是理解数轴上两点距离公式的几何意义． （1）由数轴上点的位置即可得到答案； （2）由题意知数轴在2对应的点处折叠，得到点A与数9表示的点重合； （3）①当x对应的点在3和6对应的点之间，的值最小； ②由题意知数轴在对应的点处折叠，即可得到M和N表示的数． 【详解】（1）解∶点表示的数是，点表示的数是6， 故答案为∶； （2）解∶折叠数轴，使数轴上的点和点重合，则数轴在2对应的点处折叠，因此点与数9表示的点重合， 故答案为∶9； （3）解∶①当的值最小值时，对应的点在3和6对应的点之间， 当时，的值最小， 此时， 因此的最小值是3； ②对应的点与对应的点重合， 数轴在对应的点处折叠， 两点之间的距离为2024， 与对应的点的距离是1012， 表示的数是表示的数是． 【例题17-11】（24-25七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）如图，四个相邻的整数对应数轴上的点，数对应数轴上的点，则的最小值为 ． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值的几何意义以及数轴的应用，解题的关键是理解表示数轴上点到点A，B，C，D的距离之和，并通过分析点的位置来求最小值． 根据绝对值的几何意义，将原式转化为点到四个点的距离之和，然后通过分析点在数轴上不同位置时距离之和的大小，找出最小值的情况． 【详解】由绝对值的几何意义可知，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离． 所以表示点到A，B，C，D四个点的距离之和． 因为a，b，c，d是四个相邻的整数，当点在线段上（包括端点B，C）时，距离之和最小． 不妨设（为整数)，当在与之间时， 所以的最小值为4． 故答案为：4． 【例题17-12】．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合． (1)【问题情境】如图，探究数轴上任意两点之间与两点的对应数的关系： ①点和点之间的距离为______，②点到点的距离为______； ③点和点之间的距离为______，④点到点的距离为______； (2)【发现新知】如果数轴上点对应的数是，点对应的数是，那么点和点之间的距离可表示为______．（用含，的式子表示） (3)【综合运用】①数轴上表示和的两点，之间的距离是10，求的值． ②式子的最小值是______． 【答案】(1)①4  ②2  ③3  ④4； (2)； (3)①或；②式子的最小值是8． 【难度】0.65 【知识点】绝对值的几何意义、动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了列代数式、数轴，两点间距离，解决本题的关键是绝对值的意义的运用． （1）观察数轴运用有理数减法即可求解； （2）根据（1）中所观察规律即可得结论； （3）①根据（2）中得到的结论列出等式，求解即可； ②分，，，，五种情况讨论，可得答案． 【详解】（1）解：观察数轴，可得 ①点D与点A的距离为， 故答案为：4； ②点D与点G的距离为； 故答案为：2； ③点C与点A的距离为， 故答案为：3； ④点C与点F的距离为； 故答案为：4； （2）解：如果点P对应的数是a，点Q对应的数是b，那么点P与点Q之间的距离可表示为． 故答案为：； （3）解：①根据（2），得：， ， 即或， 解得：或． ②分五种情况： 当时，， 此时，当时，最小值是12； 当时，， 此时，当时，最小值是8； 当时，； 当时，， 此时，当时，最小值是8； 当时，， 此时，当时，最小值是12； 综上，当式子取最小值时，相应的x的取值范围是， 即 =8， ∴最小值是8． 故答案为：8． 【例题17-13】．（2024七年级上·全国·专题练习）【阅读材料】数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如：表示与的差的绝对值，实际上也可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似的，表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．一般地，，两点在数轴上表示有理数，，那么，两点之间的距离表示为． 【解决问题】如图，已知数轴上两点，表示的数分别为，，数轴上另一个点表示的数为，试探索： （1）点，之间的距离______；折叠数轴，使得点与点重合，则表示的点与表示______的点重合； （2）若，则______； 【联系拓广】 （3）若点在，两点之间，则______；若，则点表示的数为______；由此可得：点到，两点的距离之和最小时，若点表示的数为整数，则这样的点有______个． 【答案】（1），；（2）或；（3）；或； 【难度】0.65 【知识点】绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】此题考查了数轴上两点间的距离，关键是能分情况讨论，利用数轴列出算式或一元一次方程． （1）由两点间距离的定义可得，设表示的点与表示的点重合，且点到点和表示的点与点的距离相等，即可求得答案； （2）由，得到和两数在数轴上所对应的两点之间的距离为，即可得到答案； （3）根据点的位置化简绝对值求解即可求得及，分点在线段上和点位于点右侧两种情况列方程求解点的位置即可． 【详解】解：（1）由题意，得，点，之间的距离． 设表示的点与表示的点重合， 因为数轴上两点，表示的数分别为，， 所以，即点到点的距离和表示的点到点的距离相等， 所以或， 因为表示的点在点的左边， 所以点在点的右边， 即不合题意，舍去，所以， 即表示的点与表示的点重合． （2）因为， 所以和两数在数轴上所对应的两点之间的距离为， 所以或， 故答案为或． （3）因为点在，两点之间， 所以， 所以． 因为， 所以点到点和点的距离之和等于． 因为，两点表示的数分别为，， 所以， 当点在点左侧时，如答图①， 则， 所以， 所以，此时点表示的数为， 当点在点右侧时，如答图②， 则， 所以， 所以，此时点表示的数为． 综上，点表示的数为或． 当在，两点之间时，点到，两点的距离之和最小，为， 因为表示的数为整数， 所以表示的数有，，，，，，，，，，共个． 故答案为；或；． 题型十八：求一个数的绝对值 【例题18-1】（2025·海南·一模）如图，数轴上点A所表示的数的绝对值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求一个数的绝对值、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的定义是解题的关键．先根据数轴确定点A所表示的数，再求绝对值即可． 【详解】解：由数轴可知，点A所表示的数是， 的绝对值是1 数轴上点A所表示的数的绝对值是1, 故选：C． 【例题18-2】．（2025·广东东莞·二模）的绝对值等于（） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解答本题的关键． 根据绝对值的定义解答即可． 【详解】解：的绝对值等于， 故选：D． 【例题18-3】．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在数轴上有A、B两点，点A在原点左侧，点B在原点右侧，点A对应整数a，点B对应整数b，若，当a取最大值时，b值是（   ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、求一个数的绝对值 【分析】本题考查绝对值，数轴，掌握数轴表示数的方法以及绝对值的定义是正确解答的关键． 根据数轴表示数的方法以及点A、点B所表示的数进行计算即可． 【详解】解：由于点A在原点左侧，点A对应整数a，a的最大值是， 又点B在原点右侧，点B对应整数b，而， ， 故选：B． 【例题18-4】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（　　） A．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 B．有理数a的倒数是 C．一个数的绝对值一定大于或等于这个数 D．一个数的相反数一定小于或等于这个数 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求一个数的绝对值、绝对值的几何意义、相反数的定义 【分析】本题考查倒数，相反数，绝对值，根据倒数，相反数，绝对值的定义逐项判断即可,熟练掌握相关定义是解题的关键． 【详解】解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，则A不符合题意； 当时，没有倒数，则B不符合题意； 一个数的绝对值一定大于或等于这个数，则C符合题意； 的相反数是2，而，则D不符合题意； 故选：C． 【例题18-5】（24-25七年级上·北京顺义·期末）下列各数是负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正负数的定义、化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】此题考查负数的定义，化简多重符号，化简绝对值，正确理解负数的定义是解题的关键 【详解】解：A.，是正数，不符合题意； B.是负数，符合题意； C.是正数，不符合题意； D.是正数，不符合题意； 故选：B 【例题18-6】（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求一个数的绝对值、相反数的定义 【分析】本题考查了绝对值的意义，相反数的定义，由绝对值的意义可得，再根据相反数的定义即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的相反数是， 故选：． 【例题18-7】（2024七年级上·全国·专题练习）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，解题的关键是熟练掌握绝对值的定义． 根据绝对值的定义进行判断即可． 【详解】解：的绝对值是， 故选：B． 题型十九：带有字母的绝对值化简问题 【例题19-1】．（2024七年级上·全国·专题练习）若，且，则 ；若，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、求一个数的绝对值、绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键； 根据绝对值的意义进行化简计算即可求解； 【详解】解：， 或， ， ； ， ， ； 故答案为：； 【例题19-2】．（24-25七年级上·重庆·期中）我们知道，数轴上两个点，它们表示的数分别是，那么两点之间的距离为．如与的距离可表示为，与的距离可表示为． （）的最小值为 ； （）的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】（）由得式子表示到的距离与到的距离之和，可知当在和之间时，距离之和最小，利用两点间距离公式计算即可求解； （）由得式子表示到的距离的倍与到、的距离之和，可知 当在的位置时，距离之和可以取最小值，据此即可求解； 本题考查了数轴上两点间距离，运用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴式子表示到的距离与到的距离之和， 可知当在和之间时，距离之和最小，最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：； （）∵， ∴式子表示到的距离的倍与到、的距离之和， 如图， 可知 当在的位置时，距离之和可以取最小值，最小值为， 即的最小值为， 故答案为：． 【例题19-3】．（24-25七年级上·四川成都·期中）下列说法正确的序号是 ． ①已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为1或； ②四个数w、x、y、z满足，则最小的数是w，最大的数是z； ③适合的整数x的值有7个 ④如果定义，当，，时，的值为． 【答案】②③④ 【难度】0.4 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查绝对值的意义、等式的性质等知识点，理解绝对值的意义成为解题的关键． 根据绝对值的意义以及题中条件逐个分析判断即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴a、b、c两个为正一个为负， 当a、b、c两个为正一个为负时，不防设， ∴； 综上，则的值为，即①错误； ②∵， ∴都加2023得：，即， ∴最小的数是w，最大的数是z，即②正确； ③适合的整数x，为范围内的整数，即，共7个，即③正确； ④当时， ∴a、b异号， 又∵，     ∴负数的绝对值大于正数得绝对值， 又∵， ∴， ∴， 根据， ∴，故④正确． 故答案为：②③④． 【例题19-4】．（24-25七年级上·重庆长寿·期中）当x满足条件 时，取得最大值，最大值为 ； 当x满足条件 时，取得最小值，最小值为 ． 【答案】 / 【难度】0.4 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，掌握是数轴上表示的点与表示的点之间的距离是解题关键．根据绝对值的几何意义，利用分类思想，分情况讨论即可． 【详解】解：当时， ，则时，有最大值； 当时， 为定值； 当时， 为定值； 故当时，有最大值，且最大值为2； 当时， ，则时，有最小值； 当时， ； 当时， ； 故当时，取有最小值，且最小值为； 故答案为：，；，． 【例题19-5】．（24-25七年级上·广东湛江·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 【答案】(1)，或； (2)，； (3)； (4)； (5)． 【难度】0.4 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值．解决本题的关键在于根据数轴上点的位置去掉绝对值符号，解题过程中要注意分类讨论． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求出表示和两点之间的距离；根据数轴上两点之间的距离公式列出关于的方程，解方程求出； （2）首先根据绝对值的性质分别求出、的值，再根据数轴上两点之间的距离公式分情况求出点、点之间的距离，通过比较找出最大距离和最小距离； （3）根据数轴上两点之间的距离，可知当时，，找到之间的所有整数并求和即可； （4）分情况求出的取值范围，根据取值范围确定的最小值； （5）由（4）可知，当时，有最小值，根据规律去掉绝对值符号求合即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是； 表示数和的两点之间的距离是， ， 整理得：， 解得：或； 故答案为：；或； （2）解：， ， 解得：或， ， ， 解得：或， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 、两点间的最大距离是，最小距离是； （3）解：如下图所示， ， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示到点和的距离之和等于的点， 从数轴上可知，表示数的点在数轴上表示数和之间， 这些点表示的数有、、、、、、、， 这些点表示的数的和是， 故答案为：； （4）解：当时， ， ， ， ； 当时， ， 当时， ， ， ， ， 距离和的最小值是：； （5）解：由可知当时，有最小值， ， 故答案为：． 【例题19-6】（24-25七年级上·福建南平·期中）【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）点，表示的数分别为，2，则_______； （2）若，则_________； 【应用】 （3）如图，数轴上表示数的点，问是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． （4）由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由． 【答案】（1）9；（2）1或；（3）有，5；（4）有，最小值为7， 【难度】0.4 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴、有理数、绝对值，熟练掌握绝对值几何意义是关键． （1）根据绝对值几何意义计算即可； （2）根据绝对值几何意义计算即可； （3）根据的几何意义解答即可； （4）利用绝对值几何意义，分析出当时有最小值解答即可． 【详解】解：（1）点，表示的数分别为，2，则， 故答案为：9； （2）数轴上与表示的点相距3个单位的点表示的数为1或， 若，则或， 故答案为：1或； （3）有最小值，理由如下： 表示数轴上有理数所对的点到和2所对的两点距离之和， 当时，有最小值， 此时最小值为； （4）有最小值，理由如下： 若表示一个有理数，则有最小值，表示到，和1距离的和， 若想和的值最小，则当表示时，到三点的距离和最小， 当时，的最小值为7． 【例题19-7】．（24-25七年级上·江西抚州·期末）我们知道，是指数轴上表示数的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点分别对应数，那么两点间的距离为． (1)如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，则_____，_____，_____； (2)若，则_____； (3)已知三个数在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【难度】0.4 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、绝对值的几何意义、根据点在数轴的位置判断式子的正负、数轴上两点之间的距离 【分析】（）根据数轴解答即可求解； （）由可得式子表示数对应的点到对应的点与到对应点的距离之和，根据可得数不可能在与之间，再分在左侧和在右侧两种情况解答即可求解； （）由数轴可得，，进而得到，，，，再根据绝对值的性质化简合并即可； 本题考查了绝对值的意义，数轴上两点间距离，有理数与数轴，理解绝对值的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴可得，，，， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵， ∴式子表示数对应的点到对应的点与到对应点的距离之和， ∵， ∴数不可能在与之间， 当在左侧时，则， 解得； 当在右侧时，则， 解得； ∴或， 故答案为：或； （3）解：由数轴可得，，， ∴，，，， ∴原式 ． 题型二十：绝对值非负性 【例题20-1】．（24-25六年级上·上海·阶段练习）若，则a的值是（   ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查绝对值性质．根据题意分三种情况，当时，当时，当时，结合绝对值性质讨论求解，即可解题． 【详解】解：当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 所以当，则a的值是任意一个非正数； 故选：C． 【例题20-2】（2024七年级上·全国·专题练习）若，则 ； ． 【答案】 3 2 【难度】0.65 【知识点】绝对值非负性 【分析】根据有理数的非负性解答即可． 本题考查了有理数的非负性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故答案为：3，2． 【例题20-3】（2024七年级上·浙江·专题练习）式子的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查了非负数的性质—绝对值，根据非负数的性质即可求出的最小值，从而求出式子的最小值，求的最小值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的最小值是， ∴的最小值为， 故答案为：． 【例题20-4】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）式子的最大值是（   ） A．5 B．7 C．3 D．0 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题关键．根据绝对值的非负性可得，从而可得，据此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴式子的最大值是5， 故选：A． 【例题20-5】（24-25七年级上·云南曲靖·阶段练习）若与互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值非负性、相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的非负性，代数式求值，根据与互为相反数可得，进而得，，求出的值再代入代数式计算即可求解，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 【例题20-6】．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，则的相反数的绝对值为 ． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】绝对值非负性、绝对值的几何意义、相反数的定义 【分析】本题考查了利用绝对值的非负性求参数，代数式求值．首先根据绝对值的非负性，列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算，再根据相反数和绝对值的定义即可求得． 【详解】解：，，， ，， 解得：，， 则， 的相反数为， 的相反数为． 则的相反数的绝对值为． 故答案为3． 【例题20-7】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是 （填序号）． 【答案】② 【难度】0.65 【知识点】绝对值非负性、带有字母的绝对值化简问题 【分析】此题主要考查了有理数的运算，非负数的性质和绝对值的意义，理解绝对值的意义，非负数的性质，熟练掌握有理数的运算是解决问题的关键． 根据为有理数得，由此可对该结论进行判断； 根据非负数的性质得，，则，由此可对该结论进行判断； 根据得，当时，，当时，没有意义，由此可对该结论进行判断； 根据得：（Ⅰ）当、、中有两正一负时，不妨假设、为正，为负，则，(Ⅱ)当、、都是负数时，则，由此可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵为有理数， ∴， 故结论①不正确； ②∵，，， ∴，， ∴， 故结论②正确； ③∵， ∴， ∴当时，，当时，没有意义， 故结论③不正确； ④∵， ∴有以下两种情况， （Ⅰ）当、、中有两正一负时，不妨假设、为正，为负， ∴，，， ∴； (Ⅱ)当、、都是负数时，则，，， ∴， 故结论④不正确； 故答案为：②； 题型二十一：绝对值方程 【例题21-1】．（2024·重庆开州·模拟预测）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果，如依次输入1，2，则输出的结果是．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算． 下列说法： ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2； ②若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是5； ③若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数a，2，b，全部输入完毕后显示的最后结果为k．若k的最大值为，则k的最小值为． 其中正确的个数有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】绝对值方程、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值，绝对值方程．理解题意并分情况求解是解题的关键． 依次输入1，2，3，4，运算结果依次为，，，即最后输出的结果是2，可判断①的正误；将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，当第一和第二次输入为2或3，第三次输入为6时，全部输入完毕后显示的结果最大，最大值为，可判断②的正误；令为最大的正整数，当时，k的最大值为，可求满足要求的解，此时k的最小值为；当时，k的最大值为，可求满足要求的解为，此时k的最小值为；综上所述，k的最小值为，进而可判断③的正误． 【详解】解：依次输入1，2，3，4，运算结果依次为，，，∴最后输出的结果是2，①正确，故符合要求； 将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，当第一和第二次输入为2或3，第三次输入为6时，全部输入完毕后显示的结果最大，最大值为，②正确，故符合要求； 令为最大的正整数，当时，k的最大值为， 解得，或（舍去）， 此时k的最小值为； 当时，k的最大值为， 解得，或（舍去）， 此时k的最小值为； 综上所述，k的最小值为， ∴③正确，故符合要求； 故选：D． 题型二十二：绝对值的其他应用 【例题22-1】．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果，如依次输入1，2，则输出的结果是．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是（   ）； A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】此题考查绝对值有关的问题，解题的关键是要有试验观察和分情况讨论的能力． 依据题干给出的定义分情况列式计算即可； 【详解】解：根据题意，依次输入2，3，6， 则； 依次输入2，6，3， 则； 依次输入3，2，6， 则； 依次输入3，6，2， 则； 依次输入6，3，2， 则； 依次输入6，2，3， 则； 综上，全部输入完毕后显示的结果的最大值是5． 故选：C． 【例题22-2】．（24-25七年级上·全国·期末）阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为． 理解：（1）数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ； （3）当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有 种调配方案，使调动的车辆数最少． 【答案】 5 / 4 5 【难度】0.65 【知识点】绝对值的其他应用、绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的意义和性质是解题的关键． 理解：（1）根据两点之间的距离即可求解； （2）根据两点之间的距离即可求解； （3）由可得代数式表示到和的距离之和，据此即可求解； 应用：根据题意画出图形，再根据图形即可求解； 【详解】解：理解：（1）由题意得，数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）∵， ∴代数式表示到和的距离之和，当在和之间，即时，和最小，最小值为， 故答案为：，； 应用：根据题意，画图如下，共有种调配方案： 故答案为：． 题型二十三：有理数大小比较 【例题23-1】．（24-25七年级上·福建莆田·期末）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了两个负数的大小比较方法，利用绝对值概念根据两个负数绝对值大的数反而小比较两个负数的大小关系，解题的关键是正确理解两个负数相比较，绝对值大的数反而小． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【例题23-2】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）比较大小： ． 【答案】＜ 【难度】0.65 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，熟知负数比较大小的法则是解答此题的关键． 根据负数比较大小的法则（两个负数比大小，绝对值大的反而小）进行比较． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：＜． 【例题23-3】．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）用“>”“<”或“=”填空： ① 0.2 ② ③ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数大小比较、求一个数的绝对值、化简多重符号 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较． ①根据正数大于负数判断即可． ②根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小比较即可． ③先化简多重符号，再把分数化成小数比较即可． 【详解】解：①， 故答案为：； ②， ，， 则， 故答案为：； ③，， ∴， 故答案为：． 【例题23-4】．（2025·山东·模拟预测）有理数2，，0，，中最小的是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题主要考查有理数大小比较，熟练掌握有理数大小比较是解题的关键．根据有理数负数正数进行判断即可． 【详解】解：， 故选A． 【例题23-5】（2025·河南新乡·一模）下列各数中，比大的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值的意义，根据有理数的大小比较方法即可得出答案，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：，，，， ∵， ∴， ∴比大的数是， 故选：D． 【例题23-6】（24-25七年级上·江苏南通·期末）A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的右侧），若点A，B分别对应的有理数为a，b．且，则a，b，，中最大的数是（    ） A．a B． C．b D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】有理数大小比较、绝对值的几何意义、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，利用数轴比较大小，熟练掌握数轴上的点的表示方法是解题的关键． 首先 确定点A在原点右侧，点B在原点左侧， 从而得到，又根据 ，得到， 即，即可得出最大的数． 【详解】A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的右侧）， ∴点A在原点左侧，点B在原点右侧， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ∵，所以， ∴； 故选：B． 【例题23-7】．（24-25七年级上·辽宁营口·阶段练习）下列各组数中，比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较，利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．找出结论即可． 【详解】解：A、 ∵, ∴，故选项A错误，不符合题意； B、，，故选项B错误，不符合题意； C、，故选项C错误，不符合题意； D、 ∵, ∴，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【例题23-8】．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）（1）画出数轴并把下列各数在数轴上表示出来 （2）把以上各数用“”连接起来． 【答案】（1）见详解（2）见详解 【难度】0.65 【知识点】求一个数的绝对值、化简多重符号、利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴、有理数的大小比较，熟练掌握数轴的性质是解题的关键． （1）先化简各数，然后根据正负数的定义在数轴上表示出来即可； （2）根据数轴上左边的数总比右边的数小即可得出结果． 【详解】解：（1），， 如下图所示： （2） 【例题23-9】．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）把下列各数分别填入相应的横线上： ，0，，，，，， 正有理数：______． 非负整数：______． 分数：______． 并用数轴上的点表示以上非正整数，用“”把这些非正整数连接起来． 【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】求一个数的绝对值、利用数轴比较有理数的大小、有理数的分类 【分析】本题考查了数轴、相反数、绝对值、有理数大小比较，根据正有理数、非负整数的概念求解可得，将数轴上的点表示以上非正整数，结合数轴即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：，，，， 正有理数：，，； 非负整数：0，； 分数：，，； 用数轴上的点表示以上非正整数如图所示： ， 由数轴可得：． 【例题23-10】．（24-25七年级上·福建莆田·期中）（1）画出数轴，并在数轴上表示下列各数：，0，，． （2）按从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来： 【答案】（1）见解析；（2） 【难度】0.65 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴的画法和性质是解题关键． （1）根据利用数轴上的点表示有理数的方法即可得； （2）根据数轴上左边的点表示的数总比右边的点表示的数要小即可得． 【详解】解：（1）， 如图： （2）按从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来：． 【例题23-11】（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）在数轴上标出以下各数，并把它们用“”连接起来：，，，． 【答案】见解析， 【难度】0.65 【知识点】求一个数的绝对值、化简多重符号、利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴和有理数的大小比较，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．先把各数在数轴上表示出来，再根据在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大比较即可． 【详解】解：，， 如图所示： 并把它们用“”连接起来：． 【例题23-12】（24-25七年级上·吉林·期中）如图，数轴上的点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是 ； (2)在数轴上有一点，它与点的距离为个单位长度，那么点表示的数是 ； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大连接起来． 【答案】(1)原点位置见解析，点所表示的数是 (2)或 (3)数轴表示见解析， 【难度】0.65 【知识点】求一个数的绝对值、数轴上两点之间的距离、利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数 【分析】（）根据点坐标可找到原点，进而可得点所表示的数； （）根据两点间距离公式即可求解； （）先化简有理数，再把有理数在数轴上表示出来，最后根据数轴比较出各数的大小即可； 本题考查了有理数与数轴，两点间距离，根据点坐标可找到原点位置是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，点为原点，点所表示的数是， 故答案为：； （2）解：点表示的数为或， 故答案为：或； （3）解：，， 各数在数轴上表示如下： 由数轴可得，． 【例题23-13】（2025·陕西西安·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】有理数大小比较 【分析】此题考查了比较有理数的大小，把原式变形后比较即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即， 故选：C． 【例题23-14】．（2024七年级上·全国·专题练习）比较有理数的大小： ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较．首先求出这两个负数的绝对值：、，再分别求出这两个绝对值的倒数，比较这两个数的绝对值的倒数可得，所以可得，再根据两个负数绝对值大的反而小可得结果． 【详解】解：，， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 题型二十四：有理数大小比较的实际应用 【例题24-1】．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图表示某天我国城市的最低气温，这些城市中气温最高是（   ） A．武汉 B．广州 C．北京 D．哈尔滨 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查有理数比较大小的实际应用，比较4个数的大小关系，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴气温最高是广州， 故选B． 【例题24-2】．（2025·浙江杭州·二模）世界上陆地海拔最低的四个地方主要分布在极端干旱或地质活动频繁的洼地、湖泊及盆地中，以下是具体信息： 地区 阿萨勒湖 艾丁湖 盖塔拉洼地 死海 最低海拔（m） 其中海拔最低的是（    ） A．阿萨勒湖 B．艾丁湖 C．盖塔拉洼地 D．死海 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查了有理数的大小的比较． 直接比较各个数据大小即可． 【详解】解：∵， ∴ 其中海拔最低的是死海， 故答案为∶D． 【例题24-3】（2025·浙江丽水·二模）下表记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（    ） 北京 上海 天津 重庆 A．北京 B．上海 C．天津 D．重庆 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】有理数大小比较的实际应用、求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了有理数比较大小的实际应用．根据正数大于，大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小比较出四个城市气温的大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴四个城市中北京的气温最低， 故选：A． 【例题24-4】．（2025·江苏苏州·二模）以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（   ） 北京 太原 郑州 苏州 0℃ 3℃ 4℃ A．北京 B．苏州 C．太原 D．郑州 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查了有理数大小比较的应用，掌握有理数大小比较法则是解题关键． 根据，即可得到答案． 【详解】解：， 四个城市中某天中午12时气温最低的城市是太原， 故选：C． 【例题24-5】（2025·河南南阳·二模）下列选项记录了我省四个城市某年一月份的平均气温，其中平均气温最低的是（　　） A．郑州 B．周口 C．南阳 D．开封 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，理解并掌握有理数比较大小的方法是解题关键．正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小．比较出四个城市气温的大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴平均气温最低的是南阳． 故选：C． 【例题24-6】（2025·河北邯郸·二模）为了解某种盒装茶叶的质量（单位：）情况，质检员抽样监测了其中4盒茶叶．其中超标的记为正数，不足的记为负数．检验结果分别是，，，，其中最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】正负数的实际应用、有理数大小比较的实际应用、求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数比较大小的实际应用，求出所有检验结果的绝对值，绝对值最小的就是最接近标准质量的，据此求解即可． 【详解】解：，， ∴最接近标准质量的是． 故选：C． 【例题24-7】（2025·辽宁沈阳·二模）东北四城市年月份平均气温如下表所示，其中气温最低的城市是（    ） 城市 沈阳 大连 哈尔滨 长春 月份平均气温 A．沈阳 B．大连 C．哈尔滨 D．长春 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】有理数大小比较的实际应用、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据两个负数，绝对值大的反而小即可判断求解，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴气温最低的城市是长春， 故选：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026七年级数学上册典型例题系列「2026版」 第二章 2.1 有理数 第一篇 专题精析 专题名称 有理数 专题内容 有理数的性质和应用，绝对值的性质和应用 讲解建议 根据题型和知识点进行归纳总结 考点题型 二十四个题型 重难点 动点问题，绝对值的几何应用 第二篇 典型例题目录 题型一：有理数的定义 2 题型二：0的意义 5 题型三：有理数的分类 8 题型四：带非字的有理数 14 题型五：数轴的三要素及其画法 19 题型六：用数轴上的点表示有理数 21 【重难点】数轴上的数分类讨论问题 24 题型七：利用数轴比较有理数的大小 26 题型八：数轴上两点之间的距离 30 【重难点1】数轴上两点间被墨水污染 34 【重难点2】数轴上两点之间距离分类讨论问题 35 【重难点3】数轴上两点间距离最值问题 41 【重难点4】数轴上两点间距离圆的距离问题 42 题型九：根据点在数轴的位置判断式子的正负 44 题型十：数轴上点的平移（动点问题） 46 【重难点1】数轴上简单平移规律问题 46 【重难点2】数轴上一个动点问题 47 【重难点3】数轴上两个动点朝同一个方向平移问题 49 【重难点4】数轴上两个动点相对运动 51 【重难点5】数轴上三个动点运动距离定值问题 52 【重难点6】数轴上动点问题新定义问题 60 题型十一：数轴上找原点 66 题型十二：数轴上整点覆盖问题 66 题型十三：数轴上的规律探究 68 题型十四：相反数的定义 71 题型十五：化简多重符号 73 题型十三：相反数的应用 78 题型十四：绝对值的几何意义 80 题型十五：求一个数的绝对值 90 题型十六：带有字母的绝对值化简问题 93 题型十七：绝对值非负性 102 题型十八：绝对值方程 105 题型十九：绝对值的其他应用 107 题型二十：有理数大小比较 109 题型二十一：有理数大小比较的实际应用 116 第三篇 典型例题汇总 题型一：有理数的定义 【例题1-1】．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④0是最小的整数．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例题1-2】．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）下列数，，，，，中，有理数的个数是（   ） A． B． C． D． 【例题1-3】．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）下列说法：①既是负数、分数，也是有理数；②正整数和负整数统称为整数；③0是非正数；④既是负数，也是整数，但不是有理数；⑤自然数是整数，其中正确的个数有几个（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【例题1-4】．（22-23七年级下·广西玉林·期中）在，，，（是圆周率）．，，中，负有理数共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例题1-5】．（24-25七年级上·广东河源·期中）在，，中，有理数是 ． 【例题1-6】．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列说法中，其中错误的有 个 ①0是最小的整数； ②有理数不是正数就是负数； ③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数； ④非负数就是正数； ⑤不仅是有理数，而且是分数； ⑥带“”号的数一定是负数； ⑦无限小数不都是有理数； ⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数． 题型二：0的意义 【例题2-1】．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）0既不是 ，也不是 ． 【例题2-2】．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（   ） A．既是正数，也是负数 B．表示没有 C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小 【例题2-3】（24-25七年级上·河南驻马店·期中）下列说法正确的是（    ） A．是负分数 B．是负数，但不是整数 C．0是正数 D．是分数但不是正数 【例题2-4】．（22-23七年级上·河南南阳·期中）下列语句中正确的有(   )个． ①不带“”号的数都是正数；②如果是正数，那么一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 【例题2-5】．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．一个数前面加上“”号，这个数就是负数 B．表示没有温度 C．若是正数，则不一定是负数 D．0既不是正数也不是负数 【例题2-6】（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）下列有关0的说法中，不正确的是（   ） A．0是整数 B．0既不是正数，也不是负数 C．0乘任何有理数仍得0 D．0除以任何有理数仍得0 【例题2-7】．（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）下面关于0的结论错误的是（   ） A．0是有理数 B．0的绝对值是它本身 C．0的倒数是0 D．0的相反数是它本身 【例题2-8】．（2024七年级上·全国·专题练习）下列关于零的说法中，正确的个数是（　　） ①零是正数；②零是负数；③零既不是正数，也不是负数；④零仅表示没有． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三：有理数的分类 【例题3-1】．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列各数中：，，0，，，，，（每相邻两个2之间0的个数逐次加1），其中正有理数有 个． 【例题3-2】．（2024七年级上·全国·专题练习）在…（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则 ． 【例题3-3】．（2024七年级上·全国·专题练习）把下列各数填在相应的集合中： ，，，，，，，，，，，，，． 正整数集：{    …}； 正数集：{    …}； 负分数集：{    …}； 负数集：{    …}； 非负整数集：{    …}； 分数集：{    …}． 【例题3-4】．（24-25七年级上·云南·期中）把下列各数分别填在它所在的集合里： ，，，，，，，，，． (1)正有理数集合{　　　　…}； (2)负有理数集合{　　　　…}； (3)分数集合{　　　　…}； (4)非负整数集合{　　　　…}． 【例题3-5】．（24-25七年级上·山西晋城·阶段练习）将下列各数填入适当的括号内： 5，，，，π，，，，0， 正整数集： 负分数集： 整数集： 正有理数集： 负有理数集： 自然数集： 有理数集： 【例题3-6】．（24-25七年级上·贵州毕节·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号里： ，，，，，，（每两个之间增加一个）， （1）正有理数集合：{                    }； （2）整数集合：{                        }； （3）分数集合：{                        }； （4）负数集合：{                        }． 【例题3-7】（24-25七年级上·福建漳州·期中）把下列各数填写在相应的集合中． ，7， ，，，，，0 ， (1)整数集合：； (2)分数集合：； (3)正数集合：； (4)非负数集合：． 【例题3-8】．（2024七年级上·全国·专题练习）[教材习题变式] 把下列各数填入表示它所在的数集的大括号里：，，，，，，，，，，． 正数集合：{ }； 负数集合：{ }； 非负整数集合：{ }； 正分数集合：{ }； 有理数集合：{ }． 题型四：带非字的有理数 【例题4-1】（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列说法中：（1）一个整数不是正数就是负数；（2）最小的整数是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包括正有理数、零和负有理数；（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、负数统称为有理数；（9）非负有理数是指正有理数和0．正确的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题4-2】．（23-24七年级上·四川眉山·期中）有下列说法，正确的个数是（   ）个 ①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数 ；③若是正数，则是负数； ④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数． A．0 B．1 C．2 D．3 【例题4-3】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法：是非负整数；非正数包括和负数；非负数就是正整数和；正整数、正分数和都属于非负有理数．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【例题4-4】．（23-24七年级上·全国·单元测试）把下列各数分别填入相应的集合：，，，，，，，，． 自然数集{ ……}； 正有理数集{ ……}； 负有理数集{ ……}； 非负数集{ ……}； 整数集{ ……}； 分数集{ ……}． 【例题4-5】．（24-25七年级上·山西阳泉·阶段练习）把下列各数填在相应的括号里 ，，，，，，，，， 整数集合：{                      } 有理数集合：{                    } 非负数集合：{                    } 非负整数集合：{                  } 【例题4-6】．（24-25七年级上·湖南郴州·阶段练习）把下列各数序号填在相应的大括号里． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧ 正整数： ____________…； 非正数：____________…； 负分数：____________…； 【例题4-7】（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）把下列各数填在相应集合中：，0，，，，，． 分数集合：{______}；非负数集合：{______} 题型五：数轴的三要素及其画法 【例题5-1】（24-25七年级上·全国·期末）下列各图中，数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【例题5-2】．（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列所画数轴完全正确的是（   ） A． B． C． D． 【例题5-3】（24-25七年级上·福建莆田·期中）以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【例题5-4】（2024七年级上·全国·专题练习）以下数轴画法正确的是（　　） A． B． C． D． 【例题5-5】（24-25七年级上·云南文山·阶段练习）下列图形中是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【例题5-6】（24-25七年级上·福建龙岩·期中）下列图形是四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型六：用数轴上的点表示有理数 【例题6-1】．（2025·河南商丘·二模）数轴上，在原点的左侧，且距原点3个单位长度的点表示的数是（   ） A． B．3 C． D． 【例题6-2】．（2025·山西晋中·三模）若将下面的四个有理数表示在数轴上，则位于最左边的是（    ） A． B． C． D．3 【例题6-3】．（2025·河南安阳·三模）若，则有理数在数轴上对应的点的位置是（    ） A． B． C． D． 【例题6-4】．（2025·山西朔州·三模）如图，数轴上点表示的数是0，点表示的数可能是下列四个数中的（   ） A． B． C．2 D．3 【例题6-5】．（2025·河北唐山·二模）如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和0，则数轴上x的值最有可能是（   ） A．1.8 B．2 C．2.3 D．5.5 【例题6-6】．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上，刻度尺上的“0”和“2”分别对应数轴上的和0，则数轴上x的值最有可能是（   ） A． B． C． D． 【例题6-7】．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，，，，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2024将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【重难点】数轴上的数分类讨论问题 【例题6-8】．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）A，B，C是数轴上的三个点，点A表示数3，且点A、B的距离为4，C为线段的中点，点C在数轴上表示的数是 ， 【例题6-9】．（24-25七年级上·广东广州·期中）若点在数轴上对应，点与点的距离为，则点在数轴上对应的有理数为 ． 【例题6-10】．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）在数轴上与原点相距个单位的点表示的数为 ． 题型七：利用数轴比较有理数的大小 【例题7-1】（24-25七年级上·山西晋中·期中）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【例题7-2】（24-25七年级上·广东广州·期中）已知有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【例题7-3】．（2025·陕西宝鸡·一模）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则b ．（填“”“”或“”） 【例题7-4】．（24-25七年级上·山东德州·期末）如图．数轴上点表示的数是．点表示的数是． (1)在图中所示的数轴上标出原点，记为点， (2)在图中所示的数轴上表示下列各数，再把它们按照从大到小的顺序排列，并用“”连接． 【例题7-5】．（24-25七年级上·山西运城·期中）把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上标出下列各数，并用“”将下列各数连接起来． ，，0， 【例题7-6】（24-25七年级上·吉林松原·阶段练习）请把下面不完整的数轴补充完整，并将，，，在数轴上表示出来，并用“”连接起来． 【例题7-7】．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图的数轴上，每小格的宽度相等． (1)填空：数轴上点A表示的数是______，点表示的数是______． (2)点表示的数是，点表示的数是，请在数轴上分别画出点和点的位置． 【例题7-8】．（24-25七年级上·吉林长春·期末）先把下列各数在数轴上表示出来，再用“”把它们连接起来． ． 【例题7-9】．（24-25七年级上·云南昆明·期末）画出数轴，在数轴上表示下面个原数，并将这个数用“”号连接． ，，，． 【例题7-10】．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，数轴的单位长度为1，点B表示的数是3． (1)点A表示的数是______； (2)在数轴上表示出下列各数：，2，，并将这些数及点A，B表示的数用“”号连接起来． 题型八：数轴上两点之间的距离 【例题8-1】．（2025·湖北襄阳·一模）一只蚂蚁从数轴上一点A出发向右爬了3个单位长度到了原点，则点A所表示的数是（   ） A．3 B． C． D． 【例题8-2】．（2025·辽宁本溪·一模）如图，点和点在数轴上，分别位于原点两侧，且，当点表示的数是2025时，点表示的数是（   ） A．2025 B． C． D． 【例题8-3】．（24-25九年级下·四川广安·期中）如图，数轴上点表示的数是，则点表示的数是（    ） A．2025 B． C． D． 【例题8-4】．（24-25七年级上·广西柳州·期中）如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示2和4的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为（   ）    A． B．0 C．1 D．2 【例题8-5】．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 【例题8-6】．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）已知数轴上的点表示的数为，点是数轴上的点，原点为，且，若点是的中点，那么点表示的数是（    ） A．2或 B．2或4 C．或3 D．1或3 【例题8-7】．（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，已知数轴上点表示的数是2024，且，则点表示的数是 ． 【例题8-8】．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）根据小明和小慧的对话，小慧家的位置唯一确定吗？请利用数轴（以学校为原点）求出小慧家位置所表示的数． 【重难点1】数轴上两点间被墨水污染 【例题8-9】．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在数轴上点表示的数是3，点被墨水遮住了，已知，则点表示的数为 ． 【例题8-10】．（24-25七年级上·河南南阳·期中）小宇不小心将墨水滴在了数轴上，使部分数轴被墨迹遮盖，则被遮盖的部分中表示整数的点有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【重难点2】数轴上两点之间距离分类讨论问题 【例题8-11】．（24-25七年级上·河北邢台·期中）如图，数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等，已知点A表示的数是，点H表示的数是2． (1)表示原点的是点____________，点E表示的有理数是____________； (2)已知B，C两点间的距离为m，B，D两点间的距离为n．计算B，C，D三点对应的数的和，直接写出的值； (3)已知数轴上有两点M，N，满足点M到点F距离为3，点N到点F的距离为6，则点M，N之间的距离为多少？ 【例题8-12】．（23-24七年级上·山西运城·期中）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事非．”可见数形结合对于数学学习是多么重要，数学课上老师让同学们将数轴对折探究其中的数学问题．    (1)如图①，勤学小组的同学将数轴对折，使表示2的点与表示的点重合． ①对折后表示5的点与表示________的点重合； ②对折后表示的点与表示________的点重合．（用含的代数式表示） (2)如图②，善思小组的同学将数轴对折，使表示3的点与表示的点重合． ①对折后表示7的点与表示________的点重合； ②对折后数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点与点之间的距离为8，则点表示的数为________，点表示的数为________． (3)如图③，智慧小组的同学将数轴对折，使表示的点与表示的点重合，经对折后数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点和点之间的距离为10，则点表示的数为________，点表示的数为________．（用含的代数式表示） 【例题8-13】．（24-25七年级上·广东广州·期中）若点在数轴上对应，点与点的距离为，则点在数轴上对应的有理数为 ． 【例题8-14】（24-25七年级上·重庆·期末）如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是，8．若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒，当点Q遇到点P时，两点都立即以原来的速度向相反的方向运动，当点P到达点A时，两点同时停止运动．当 秒时，． 【例题8-15】．（24-25七年级上·西藏林芝·期中）数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则点，之间的距离为 ，点，之间的距离为 ． 【例题8-16】．（24-25七年级上·全国·期末）在数学超市课上，李老师出了这样一道题：点是数轴上一点，一只蚂蚁从点出发爬了个单位长度到了表示的数的点，则点所表示的数是 ． 【例题8-17】．（2024七年级上·全国·专题练习）[教材练习2变式]已知点A在数轴上表示的数是，则距离A点个单位长度的点所表示的数是 ． 【例题8-18】．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，数轴上标出的所有点中，相邻任意两点间的距离都相等，已知点A表示，点G表示8． (1)表示原点的是点______，点C表示的数是______； (2)数轴上有两点M，N，点M到点E的距离为4，点N到点E的距离是3，求点M，N之间的距离． 【重难点3】数轴上两点间距离最值问题 【例题8-19】．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）在数轴上，把原点记作O，表示数2的点记作A，对于数轴上任意一点P（不与点O，A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点M，N，，则线段最长为（   ） A． B． C． D． 【重难点4】数轴上两点间距离圆的距离问题 【例题8-20】．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，周长为4个单位长度的圆上4等分点为，，，，点落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上的点是（   ） A． B． C． D． 【例题8-21】．（24-25七年级上·广西柳州·期中）如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为，点A落在1的位置．如果将圆在数轴上沿负方向连续滚动，那么落在数轴上的点是点（   ） A． B． C． D． 题型九：根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例题9-1】（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，有理数，，，在数轴上的对应点分别是，，，．若，互为相反数，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【例题9-2】．（2024七年级上·全国·专题练习）有理数a，b，c在数轴上的对应点如图． (1)在横线上填上“”或“”：a_____0，b_____0，c_____0，_____； (2)在数轴上标出表示，，的点； (3)用“”将a，，b，，c，，0连接起来． 【例题9-3】．（24-25七年级上·四川自贡·期中）已知数在数轴上对应的点如图所示： (1) ， ．（填“”、“”或“”） (2)在数轴上标出的相反数的对应点的位置． (3)若与相隔个单位长度，求的值． 题型十：数轴上点的平移（动点问题） 【重难点1】数轴上简单平移规律问题 【例题10-1】．（24-25七年级上·四川泸州·期中）在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，我们称点是点的“相关点”，已知数轴上的相关点为，点的相关点为，点的相关点为，这样依次得到点、、、，…，．若点在数轴表示的数是，则点在数轴上表示的数是 ． 【例题10-2】．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）等边在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为0和，若绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1；则翻转2018次后，点B所对应的数是（    ） A．2017 B．2016 C．2015 D．2014 【重难点2】数轴上一个动点问题 【例题10-3】（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： (1)若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数______对应的点重合； (2)若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为_______，点对应的数为_______； (3)在（2）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒．动点从点向右出发，为何值时，、点之间的距离为15个单位长度； 【例题10-4】．（23-24七年级上·吉林长春·期中）如图，数轴上点Q表示的数为，线段AB的端点A与表示数2的点重合，端点B与表示数4的点重合．点P从点Q出发，沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度．同时，线段以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点A与点P相遇时，线段立即折返，沿数轴向右运动，速度不变，设运动时间为t秒．    (1)线段的长为______． (2)当点P运动t秒时，则点P表示的数为______（用含t的式子表示）． (3)当点P与点A相遇时t的值为______；当点P与点B相遇时，t的值为______． (4)当点P到点A的距离等于点P到点B的距离的2倍时，t的值为______． 【重难点3】数轴上两个动点朝同一个方向平移问题 【例题10-5】（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 【重难点4】数轴上两个动点相对运动 【例题10-6】．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，点、在数轴上表示的数分别是，1，点在点的右侧，且、两点间的距离为4． (1)点表示的数为______； (2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动的时间为t秒． ①当为何值时，、两点相遇？ ②当点表示的数为2时，求、两点间的距离． 【重难点5】数轴上三个动点运动距离定值问题 【例题10-7】．（24-25七年级上·河北保定·期中）在数轴上点A在原点的左侧，点C在原点的右侧，点A距离原点2个单位长度，点C距离原点7个单位长度，点B表示的数是最小的正整数， (1)点A、B、C表示的数分别是：________，________，________； (2)点A与点B之间的距离为________，点A与点C之间的距离为________，点B与点C之间的距离为________； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，t秒钟过后，用含t的代数式分别表示点A与点B之间的距离，点A与点C之间的距离以及点B与点C之间的距离； (4)在（3）的条件下，若点B与点C之间的距离用BC表示，点A与点B之间的距离用AB表示，则的值是否随着时间t的变化而改变？若改变，请说明理由：若不变，请求其值． 【例题10-8】．（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）已知，数轴上点A在原点左边，到原点的距离为8个单位长度，点B在原点的右边，从点A走到点B，要经过32个单位长度． (1)求A，B两点所对应的数； (2)若点C也是数轴上的点，点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍，求点C对应的数； (3)已知，点M从点A向右出发，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B向右出发，速度为每秒2个单位长度，设线段的中点为P，线段的值是否变化？若不变，请求其值；若变化，请说明理由． 【例题10-9】．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 （2）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______． 在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【例题10-10】．（23-24七年级上·广东湛江·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，已知是，数是最大的负整数，是单项式的次数． (1)_____，_______． (2)点，，开始在数轴上运动，若点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为． ①_____，________．（用含的代数式表示） ②探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． ③若点，，与三点同时开始在数轴上运动，点从原点出发以每秒4个单位长度的速度向左运动，请含的式子表示． 【例题10-11】（23-24七年级上·江苏连云港·期中）如图，在数轴上A点表示数，B点表示数6． (1)A、B两点之间的距离等于 ； (2)若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，请在数轴上找一点C，使，则C点表示的数是 ； (3)若在原点O的左边2个单位处放一挡板，一小球P从点A处以4个单位/秒的速度向右运动；同时另一小球Q从点B处以2个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）两球分别以原来的速度向相反的方向运动，设运动时间为秒，已知在小球Q开始运动的前两秒、和触碰到挡板返回至点B的过程中，对应的的值是定值，请分别求出相应定值． 【例题10-12】．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，4． 点A到点C的距离可以用表示，且． (1)应用： ， ； (2)拓展：若点A沿数轴向右以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒时点A表示的数是 ，此时， （用含t的式子表示）； (3)探究：若点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和8个单位长度的速度向左运动，则的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求出的值． 【重难点6】数轴上动点问题新定义问题 【例题10-13】．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离倍，我们就称点是【，】的美好点．若规定、两点之间的距离为，即当时，我们称点是【，】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为． (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是；写出【，】美好点所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【例题10-14】．（23-24七年级上·北京延庆·期末）对于数轴上三个不同的点A，B，C，给出如下定义：在线段中，若其中有两条线段相等，则称A，B，C三点是“均衡点”． (1)点A表示的数是，点B表示的数是1，点C表示的数是3， ①A，B，C三点______（填“是”或“不是”）“均衡点”； ②点M表示的数是m，且B，C，M三点是“均衡点”，则________； (2)点D表示的数是x，点E表示的数是n，线段（a为正整数），线段，若D，E，F三点是“均衡点”，且关于x的一元一次方程的解为整数，求n的最小值． 题型十一：数轴上找原点 【例题11-1】．（24-25七年级上·山东聊城·期中）如图，如果有理数的绝对值是的绝对值的3倍，那么点中 可能是数轴的原点． 【例题11-2】．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是 ； (2)把这些数用数轴上的点表示出来：．请将这些数按从小到大的顺序排列（用“”连接）． 【例题11-3】．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是______． (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为______． 题型十二：数轴上整点覆盖问题 【例题12-1】．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）若在单位长度的数轴上随意画出一条长的线段，则线段盖住的整数点至少有(    ) A．9个 B．10个 C．100个 D．101个 【例题12-2】．（21-22七年级上·湖北武汉·阶段练习）若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 【例题12-3】．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有 个． 题型十三：数轴上的规律探究 【例题13-1】．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【例题13-2】．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，等边三角形的边在数轴上，现将等边三角形沿着数轴向右翻滚（无滑动），第1次翻滚后点到点位置．若点表示的数为，等边三角形的边长为2，则翻滚2024次后点在数轴上对应的数为（    ） A．2024 B．4047 C．4049 D．6071 【例题13-3】．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的所对应的点将与圆周上字母（   ）所对应的点重合． A． B． C． D． 【例题13-4】．（24-25七年级上·浙江金华·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2024对应的点是（   ）． A． B． C． D． 【例题13-5】．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2024次后，数轴上数2025所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 题型十四：相反数的定义 【例题14-1】．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（    ） A．符号不同的两个有理数互为相反数 B．任何有理数都小于或等于它的绝对值 C．任何有理数都大于或等于它的相反数 D．如果一个数的相反数等于它的绝对值，那么这个数一定是负数 【例题14-2】．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）下列说法：①若、互为相反数，则；②若，则、互为相反数；③若、互为相反数，则；④若，则、互为相反数．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例题14-3】．（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【例题14-4】．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）请你利用所学知识判断，下列叙述错误的是（   ） A．正负数是表示在生活中互为相反的方向上数量发生改变需要产生的计数方式； B．表示正负数时前面的符号代表方向，是人为规定的，后面的数字代表数量； C．0没有相反数； D．互为相反数的量在不同的情况下，可以互换表示． 题型十五：化简多重符号 【例题15-1】．（24-25七年级上·山东聊城·期末）下列各对数中，相等的一对是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【例题15-2】．（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）给出下列各数：，，，，．其中负数有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【例题15-3】．（23-24七年级上·新疆喀什·期中）的相反数的倒数是（    ） A． B．3 C． D． 【例题15-4】．（15-16七年级上·广东韶关·期中）下列化简，正确的是（　　） A． B． C． D． 【例题15-5】．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）化简： ， ． 【例题15-6】．（22-23七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）的值是 ． 【例题15-7】．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习） ， 【例题15-8】（23-24七年级上·北京·期末）把下列各数表示在数轴上，然后把这些数按从大到小的顺序用“>”连接起来． 0，，，，，． 【例题15-9】．（23-24七年级上·全国·课堂例题）化简下列各数： ① ； ② ； ③ ； ④ ． 【例题15-10】（22-23七年级·江苏·假期作业）化简下列各数中的符号． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 题型十六：相反数的应用 【例题16-1】（23-24七年级上·四川成都·期末）若a，b互为相反数，的倒数是，则b的值为 ． 【例题16-2】．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）若、互为相反数，、互为倒数，则的值是 ． 【例题16-3】．（23-24七年级上·天津河北·期末）如果互为相反数，互为倒数，那么 ． 【例题16-4】（23-24七年级上·湖南邵阳·期中）已知、互为相反数且，，互为倒数，的绝对值是最小的正整数，求 的值 ． 【例题16-5】．（23-24七年级上·广东珠海·期中）对于一个数，我们用表示小于的最大整数，例如；如果和互为相反数，那么式子的最大值为 ． 【例题16-6】．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）若a和b互为相反数，a在b的右边，且表示数a的点到表示数b的点的距离为10，则 ， . 【例题16-7】．（23-24七年级上·湖北十堰·阶段练习）和互为相反数，那么 ． 题型十七：绝对值的几何意义 【例题17-1】．（2024七年级上·全国·专题练习）若，且，则 ；若，则 ． 【例题17-2】（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）下列说法：①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④有理数绝对值越大，离原点越远．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 【例题17-3】（24-25六年级下·江西鹰潭·阶段练习）直线上有，，，四个点，其中（   ）最接近0． A． B． C． D． 【例题17-4】（24-25七年级上·福建厦门·期末）数m，n在数轴上如图示，则下列最可能表示数的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【例题17-5】．（24-25七年级上·福建泉州·期末）有理数、、、在数轴上的位置如图所示，若，则、、、四个数中，绝对值最大的数是（   ） A． B． C． D． 【例题17-6】．（24-25七年级上·河北保定·期末）若，则m的值为（   ） A．或 B． C．2或 D． 【例题17-7】．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【例题17-8】．（24-25七年级上·河南南阳·期中）已知a，b是有理数，若a在数轴上的对应点的位置如图所示，且，下列结论不正确的是（   ）    A． B． C． D． 【例题17-9】．（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【例题17-10】．（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）点、、在数轴上的位置如图所示． (1)点B表示的数是______，点C表示的数是______； (2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点与表示数______的点重合； (3)有理数、在数轴上对应点之间的距离可表示为，如5与2在数轴上所对应的点之间的距离为． ①求的最小值； ②若、两点之间的距离为2024（点在点的左侧），将数轴折叠，使得1对应的点与对应的点重合，此时、两点也重合，求、两点分别表示的数； 【例题17-11】（24-25七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）如图，四个相邻的整数对应数轴上的点，数对应数轴上的点，则的最小值为 ． 【例题17-12】．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合． (1)【问题情境】如图，探究数轴上任意两点之间与两点的对应数的关系： ①点和点之间的距离为______，②点到点的距离为______； ③点和点之间的距离为______，④点到点的距离为______； (2)【发现新知】如果数轴上点对应的数是，点对应的数是，那么点和点之间的距离可表示为______．（用含，的式子表示） (3)【综合运用】①数轴上表示和的两点，之间的距离是10，求的值． ②式子的最小值是______． 【例题17-13】．（2024七年级上·全国·专题练习）【阅读材料】数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如：表示与的差的绝对值，实际上也可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似的，表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．一般地，，两点在数轴上表示有理数，，那么，两点之间的距离表示为． 【解决问题】如图，已知数轴上两点，表示的数分别为，，数轴上另一个点表示的数为，试探索： （1）点，之间的距离______；折叠数轴，使得点与点重合，则表示的点与表示______的点重合； （2）若，则______； 【联系拓广】 （3）若点在，两点之间，则______；若，则点表示的数为______；由此可得：点到，两点的距离之和最小时，若点表示的数为整数，则这样的点有______个． 题型十八：求一个数的绝对值 【例题18-1】（2025·海南·一模）如图，数轴上点A所表示的数的绝对值是（   ） A． B． C．1 D．2 【例题18-2】．（2025·广东东莞·二模）的绝对值等于（） A． B． C． D． 【例题18-3】．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在数轴上有A、B两点，点A在原点左侧，点B在原点右侧，点A对应整数a，点B对应整数b，若，当a取最大值时，b值是（   ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 【例题18-4】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（　　） A．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 B．有理数a的倒数是 C．一个数的绝对值一定大于或等于这个数 D．一个数的相反数一定小于或等于这个数 【例题18-5】（24-25七年级上·北京顺义·期末）下列各数是负数的是（   ） A． B． C． D． 【例题18-6】（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）的相反数是（    ） A． B． C． D． 【例题18-7】（2024七年级上·全国·专题练习）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 题型十九：带有字母的绝对值化简问题 【例题19-1】．（2024七年级上·全国·专题练习）若，且，则 ；若，则 ． 【例题19-2】．（24-25七年级上·重庆·期中）我们知道，数轴上两个点，它们表示的数分别是，那么两点之间的距离为．如与的距离可表示为，与的距离可表示为． （）的最小值为 ； （）的最小值为 ． 【例题19-3】．（24-25七年级上·四川成都·期中）下列说法正确的序号是 ． ①已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为1或； ②四个数w、x、y、z满足，则最小的数是w，最大的数是z； ③适合的整数x的值有7个 ④如果定义，当，，时，的值为． 【例题19-4】．（24-25七年级上·重庆长寿·期中）当x满足条件 时，取得最大值，最大值为 ； 当x满足条件 时，取得最小值，最小值为 ． 【例题19-5】．（24-25七年级上·广东湛江·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 【例题19-6】（24-25七年级上·福建南平·期中）【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）点，表示的数分别为，2，则_______； （2）若，则_________； 【应用】 （3）如图，数轴上表示数的点，问是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． （4）由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由． 【例题19-7】．（24-25七年级上·江西抚州·期末）我们知道，是指数轴上表示数的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点分别对应数，那么两点间的距离为． (1)如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，则_____，_____，_____； (2)若，则_____； (3)已知三个数在数轴上的位置如图所示，化简：． 题型二十：绝对值非负性 【例题20-1】．（24-25六年级上·上海·阶段练习）若，则a的值是（   ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 【例题20-2】（2024七年级上·全国·专题练习）若，则 ； ． 【例题20-3】（2024七年级上·浙江·专题练习）式子的最小值为 ． 【例题20-4】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）式子的最大值是（   ） A．5 B．7 C．3 D．0 【例题20-5】（24-25七年级上·云南曲靖·阶段练习）若与互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【例题20-6】．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，则的相反数的绝对值为 ． 【例题20-7】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是 （填序号）． 题型二十一：绝对值方程 【例题21-1】．（2024·重庆开州·模拟预测）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果，如依次输入1，2，则输出的结果是．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算． 下列说法： ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2； ②若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是5； ③若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数a，2，b，全部输入完毕后显示的最后结果为k．若k的最大值为，则k的最小值为． 其中正确的个数有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 题型二十二：绝对值的其他应用 【例题22-1】．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果，如依次输入1，2，则输出的结果是．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是（   ）； A．1 B．3 C．5 D．7 【例题22-2】．（24-25七年级上·全国·期末）阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为． 理解：（1）数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ； （3）当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有 种调配方案，使调动的车辆数最少． 题型二十三：有理数大小比较 【例题23-1】．（24-25七年级上·福建莆田·期末）比较大小： （填“”“”或“”）． 【例题23-2】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）比较大小： ． 【例题23-3】．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）用“>”“<”或“=”填空： ① 0.2 ② ③ 【例题23-4】．（2025·山东·模拟预测）有理数2，，0，，中最小的是（   ） A． B． C．0 D． 【例题23-5】（2025·河南新乡·一模）下列各数中，比大的数为（    ） A． B． C． D． 【例题23-6】（24-25七年级上·江苏南通·期末）A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的右侧），若点A，B分别对应的有理数为a，b．且，则a，b，，中最大的数是（    ） A．a B． C．b D． 【例题23-7】．（24-25七年级上·辽宁营口·阶段练习）下列各组数中，比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【例题23-8】．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）（1）画出数轴并把下列各数在数轴上表示出来 （2）把以上各数用“”连接起来． 【例题23-9】．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）把下列各数分别填入相应的横线上： ，0，，，，，， 正有理数：______． 非负整数：______． 分数：______． 并用数轴上的点表示以上非正整数，用“”把这些非正整数连接起来． 【例题23-10】．（24-25七年级上·福建莆田·期中）（1）画出数轴，并在数轴上表示下列各数：，0，，． （2）按从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来： 【例题23-11】（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）在数轴上标出以下各数，并把它们用“”连接起来：，，，． 【例题23-12】（24-25七年级上·吉林·期中）如图，数轴上的点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是 ； (2)在数轴上有一点，它与点的距离为个单位长度，那么点表示的数是 ； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大连接起来． 【例题23-13】（2025·陕西西安·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 【例题23-14】．（2024七年级上·全国·专题练习）比较有理数的大小： ． 题型二十四：有理数大小比较的实际应用 【例题24-1】．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图表示某天我国城市的最低气温，这些城市中气温最高是（   ） A．武汉 B．广州 C．北京 D．哈尔滨 【例题24-2】．（2025·浙江杭州·二模）世界上陆地海拔最低的四个地方主要分布在极端干旱或地质活动频繁的洼地、湖泊及盆地中，以下是具体信息： 地区 阿萨勒湖 艾丁湖 盖塔拉洼地 死海 最低海拔（m） 其中海拔最低的是（    ） A．阿萨勒湖 B．艾丁湖 C．盖塔拉洼地 D．死海 【例题24-3】（2025·浙江丽水·二模）下表记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（    ） 北京 上海 天津 重庆 A．北京 B．上海 C．天津 D．重庆 【例题24-4】．（2025·江苏苏州·二模）以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（   ） 北京 太原 郑州 苏州 0℃ 3℃ 4℃ A．北京 B．苏州 C．太原 D．郑州 【例题24-5】（2025·河南南阳·二模）下列选项记录了我省四个城市某年一月份的平均气温，其中平均气温最低的是（　　） A．郑州 B．周口 C．南阳 D．开封 【例题24-6】（2025·河北邯郸·二模）为了解某种盒装茶叶的质量（单位：）情况，质检员抽样监测了其中4盒茶叶．其中超标的记为正数，不足的记为负数．检验结果分别是，，，，其中最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【例题24-7】（2025·辽宁沈阳·二模）东北四城市年月份平均气温如下表所示，其中气温最低的城市是（    ） 城市 沈阳 大连 哈尔滨 长春 月份平均气温 A．沈阳 B．大连 C．哈尔滨 D．长春 学科网（北京）股份有限公司 $$