1.2 从立体图形到平面图形-2025-2026学年上学期北师大版七年级数学上册典型例题系列专题讲义

2025-2026北师大版八年级数学上册典型例题系列「2026版」 第一章 1.2 从立体图形到平面图形 第一篇 专题精析 专题名称 从立体图形到平面图形 专题内容 根据立体图形的展开图，对立体图形进行研究 讲解建议 结合生活实际，进行探究 考点题型 第二篇 典型例题目录 题型一：从不同方向看几何体 1 题型二：几何展开图的认识 19 题型三：由展开图计算几何体的表面积 25 题型四：由展开图计算几何体的体积 39 题型五：几何体中的点，棱，面截一个几何体 63 题型六：正方体相对两面上的字 65 题型七：正方体几种展开图的识别 75 题型八：含图案的正方体的展开图 83 题型九：截一个几何体 88 题型十：求展开图上两点折叠后的距离 99 题型十一：补一个面使图形围成正方体 104 题型十二：平面图形形状的识别 108 题型十三：用七巧板拼图形 117 第三篇 典型例题汇总 题型一：从不同方向看几何体 【例题1-1】．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）由五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从上面看这个几何体得到的平面图形是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，解题关键是掌握从上面看得到的图形的特征．从上面看有2行，上面一行有3个正方形，下面一行最左侧有1个正方形，据此判断即可． 【详解】 解：从上面看这个几何体得到的平面图形是， 故选：B． 【例题1-2】．（2025·云南楚雄·二模）下列几何体中从正面、左面、上面看到的图都是圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，熟练掌握从不同方向看到的图形的形状是解题的关键． 根据从不同方向看到的图形的形状进行判断即可，注意所有的看到的棱都应表现在形状图中． 【详解】解：从正面、左面、上面看到的图都是圆的是球体，选项D符合题意． 故选D． 【例题1-3】．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）如图所示，桌上放着一个茶壶，4个同学从各自的方向观察，请指出下边的四幅图中，哪一个是小雯看到的（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】确定从左至右的图分别是主视图，后视图，右视图和左视图；再由四位同学的位置进行判断. 此题考查几何体的多种视图，分别从物体正面、 侧面和后面看所得到的图形，熟练掌握不同方向看的图形是解题的关键. 【详解】解：小阳是主视图，小明是后视图，小雯是右视图，彬彬是左视图， 所以丙是小雯看到的， 故选：A. 【例题1-4】．（2025·河南信阳·三模）四个物体中，从正面看得到的平面图形是示例图的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】此题主要考查了从不同方向看简单几何体，关键是掌握从不同方向看简单几何体的作图方法． 分别找出从正面看所得到的图形即可． 【详解】解：从正面看，①③④所得图形是示例图，②所得图形不是示例图， 故选：C 【例题1-5】．（2025·福建福州·三模）在下列几何体中，从正面看到的图形是三角形的是（   ） A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．长方体 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查简单几何体从不同方向看得到的平面图形，分别判断各选项的几何体从正面看得到的平面图形，即可解答． 【详解】解：圆锥从正面看是三角形，圆柱从正面看是矩形，球从正面看是是圆，长方体从正面看是矩形． 故选：A 【例题1-6】．（24-25七年级上·山西太原·开学考试）用5个小立方体摆立体图形，要求从正面看到的形状是，从左面看到的形状是（    ）肯定是不正确的． A． B． C． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查从不同方向看几何体，根据从正面看到的形状和左面看到的形状进行逐项分析，即可作答． 【详解】A．从左面看到的形状图形有层，上层1个，下层有个，而上层正方形靠左边，与已知符合，故本选项不符合题意； B．从左面看到的形状图形有层，上层1个，下层有个，而上层正方形靠左边，与已知符合，故本选项不符合题意 C．从左面看到的形状图形有层，上层1个，下层有个，而上层正方形靠右边，与已知不符合，故本选项符合题意； 故选：C． 【例题1-7】．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，一个圆柱体切去一部分，则从上面看到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】ｇｃ 本题主要考查了从三个方向看几何体．熟练掌握从三个方向看到的形状图是解题的关键．根据从上面看到的形状图判断即得． 【详解】 解：A. ，是从正面看到的图形； B. ，是从上面看到的图形； C. ，不是这个切去一部分的圆柱体从各个方面看到的图形； D. ，是从左面看到的图形． 故选：B． 【例题1-8】（2025·河南周口·模拟预测）如图是由三个相同的小立方块组成的几何体，该几何体从左面看到的形状图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查的是从不同方向看几何体，值得注意的是能看到的立体图形中的线条都要画成实线，看不到的画成虚线. 根据从左边看立体图形，看到的平面图形可得答案. 【详解】解：该几何体从左面看到的形状图有1列，看到2个正方形， 所以形状图是： ， 故选：C 【例题1-9】．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，下面是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，从上面看这个几何体得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据俯视图的意义，得到从上面看的图形，进而得出答案． 【详解】解：从上面看，得到的图形是两行，其中（上往下）第一行为3个小正方形，第二行是1个小正方形，选项C中的图形符合题意， 故选：C． 【例题1-10】．（2025·河南·模拟预测）如图是从上面看到的由12个小立方块所搭成的几何体的形状图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，从左面看该几何体的形状图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查由三视图还原简单组合体，再得到左视图，根据题意先还原出简单组合体，再从左面看组合体得到的平面图形是左视图即可得到答案，掌握左视图定义，发挥空间想象能力还原简单组合体是解决问题的关键． 【详解】解：从上面看到的由12个小立方块所搭成的几何体的形状图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数， 简单组合体有三层三列，其中第一列高为3，第二列高为1，第三列高为3， 从左面看，是三列三层，其中第一列高为3，第二列高为1，第三列高为3，则左视图为： ， 故选：C． 【例题1-11】．（24-25九年级下·湖北黄石·阶段练习）如图所示的家用热水瓶，从左面看这个家用热水瓶的形状图为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，从左面看，看到的图形可以分为三部分，从下到上依次为长方形，梯形，正方形，再结合还有一个手把即可得到答案． 【详解】解：从左面看，看到的图形下面一部分是一个长方形，紧挨着长方形的上面是一个梯形，梯形上面是一个正方形，且长方形中有一条从上而下的竖线，即看到的图形如下： ， 故选：B． 【例题1-12】．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）如图，这是由6个大小相同的小正方体搭成的几何体，则（   ） A．从正面看和从左面看到的形状图相同 B．从上面看和从左面看到的形状图相同 C．从正面看和从上面看到的形状图相同 D．从正面看、从左面看和从上面看到的形状图都相同 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，从正面看底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形，从左边看底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形，从上面看有三层，底层和中层有两个小正方形，上层有一个正方形，再逐项分析即可得解． 【详解】解：从正面看底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形， 从左边看底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形， 从上面看有三层，底层和中层有两个小正方形，上层有一个正方形， 故从正面看和从左面看到的形状图相同，从上面看和从左面看到的形状图不同，从正面看和从上面看到的形状图不同，从正面看、从左面看和从上面看到的形状图不同， 故选：A． 【例题1-13】．（2025·河北张家口·模拟预测）如下列各图片所示的景德镇瓷器中，若不考虑瓷器花纹等因素，从正面和左面看到的图形形状相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查从不同方向看几何体，根据题意，分别从正面和左面看各选项中的几何体，进行判断即可． 【详解】解：A选项：从正面看到的和从左面看到的图形形状相同，故A选项符合题意； B选项：从正面看花瓶瓶颈处两侧有装饰物，而从左面看时，瓶颈两侧没有装饰物，故B选项不符合题意； C选项：从正面看花瓶瓶颈处两侧有装饰物，而从左面看时，瓶颈两侧没有装饰物，故C选项不符合题意； D选项：从正面看花瓶瓶颈处两侧有装饰物，而从左面看时，瓶颈两侧没有装饰物，故D选项不符合题意； 故选：A． 【例题1-14】．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）分别从正面、左面和上面观察一个几何体，看到的形状图如图所示，这个几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，根据观察物体的方法，从上面看，是三列，正方形的个数从左到右依次是2、2、1，只有D选项满足． 【详解】解：从上面看，是三列，正方形的个数从左到右依次是2、2、1，A选项第二列是1个，B、C选项第一列是1个，只有D选项满足，D选项同时满足从正面看和从左面看到的图形． 故选：D． 【例题1-15】．（24-25七年级上·内蒙古通辽·期末）2024年12月11日至15日世界羽联世界巡回赛总决赛在我国浙江省杭州市杭州奥体中心体育馆举行，图①是颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台从上面看，得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查从不同方向看几何体，根据从上面看到的形状图即可求解． 【详解】解：此领奖台从上面看，得到的平面图形是 ， 故选：C． 【例题1-16】．（24-25七年级上·新疆克孜勒苏·期末）鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了从不同方向看几何体．找到从前面看到的图形即可． 【详解】 解：从前面看这个构件，可以得到的图形是， 故选：C． 【例题1-17】．（24-25七年级下·河南郑州·自主招生）在“观察物体”的课堂上，数学老师要求同学们搭出从以下两个方向看到的立体图形，那么同学们最少需要__________个正方体，最多可以用__________个正方体．（      ） A．4和7 B．5和7 C．4和6 D．5和6 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】题主要考查从不同方向看几何体，熟练掌握几何体的特征是解题的关键；利用从上面看几何体分别画出最少和最多时的正方形的个数，即可求解． 【详解】解：由题意可知：最少的小正方形的俯视图可以是 ∴至少有5个小正方形； 最多的小正方形的俯视图为 ∴最多可以有7个小正方形． 故选：B． 【例题1-18】．（24-25七年级上·广东佛山·期末）如图是用棱长为的正方体搭成的几何体，把几何体所有的表面都涂上红色．则4个面涂上红色的有 个正方体；这个几何体的体积是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了从不同方向看几何体.正方体有6个面，只有2个面与其它小正方体拼到一起的小正方体，有4个面涂色；先确定有几个小正方体，根据正方体体积=棱长×棱长×棱长，求出一个小正方体体积，再乘小正方体个数即可． 【详解】解：从上往下看的图形中，最下层的2个小正方体和最上层的2个小正方体只有2个面与其它小正方体拼到一起， 所以4个面涂色的小正方体有4个， ()， 这个几何体的体积是． 故答案为：；． 【例题1-19】．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）一个由若干个大小相同的小立方块搭成的几何体，从正面和从上面看到的形状图如图所示，则搭成这样的几何体最少需要 个小立方块． 【答案】7 【难度】0.65 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，具备较强的空间想象能力是解题关键．在从上面看得到的图形的对应位置上，根据从正面看得到的图形标注最少需要摆放的小立方块的个数，由此即可得． 【详解】解：在从上面看得到的图形的对应位置上，根据从正面看得到的图形标注最少需要摆放的小立方块的个数如下： 或 则搭成这样的几何体最少需要的小立方块的个数为（个）， 故答案为：7． 【例题1-20】．（24-25七年级上·河南商丘·期中）根据下列从三个方向看到的几何体的形状图（如图），填上对应几何体的名称： 图（1）所对应的几何体是 ；图（2）所对应的几何体是 ． 【答案】 六棱柱 三棱柱 【难度】0.65 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题主要考查从不同方向看几何体，掌握不同方向看到的几何图形判断几何体的形状的方法是解题的关键． 根据不同方向看到的几何图形判断几何体的形状判断即可． 【详解】解：（1）从正面和左面看到的图形可知改几何体为柱体，根据上面看到的图形是六边形，即可判断出该几何体为六棱柱； （2）从正面和上面看到的图形可知该几何体为柱体，再结合从左面看到的图形是三角形，即可判定该几何体为三棱柱． 故答案为：六棱柱、三棱柱． 【例题1-21】．（24-25七年级上·广东东莞·期末）如图，桌面上的模型由个棱长为的小正方体组成，现将该模型露在外面的部分涂上涂料，则涂上涂料部分的总面积为 ．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了几何体的表面积，涂上涂料部分的总面积就是从物体各个面看到的物体的各个面的面积总和，据此解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：从正面、上面，后面，左面，右面看都有个正方形，则共有个正方形， ∵每个正方形的面积为， ∴涂上涂料部分的总面积为， 故答案为：． 【例题1-22】．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习） （1）如图1，若将一个小立方块①移走，则变化后的几何体与变化前的几何体从______看到的形状图没有发生改变；（填“正面”、“上面”或“左面”） （2）如图2，请画出由6个小立方块搭成的几何体从上面和左面看到的形状图； （3）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图3所示，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，请画出从左面看到的形状图． 【答案】（1）正面；（2）形状图见解析；（3）形状图见解析 【难度】0.85 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题主要考查从不同方向看几何体，熟练掌握几何体的特征是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据几何体的特征分别画出从上面和左面看的形状图即可； （3）根据图3可知从左面看分别是3个、2个和3个，进而可画出从左面看的形状图 【详解】解：（1）如图1，将一个正方体①移走后，变化后的几何体与变化前的几何体从正面看到的形状图相同． 故答案为：正面； （2）如图所示： 从上面看到的形状图是 从左面看到的形状图是 （3）如图所示： 【例题1-23】．（24-25六年级上·山东威海·期中）用6个小正方体搭成的立体图形如图所示，请你画出从它的正面、左面和上面看到的形状图． 【答案】见详解 【难度】0.85 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题主要考查了从不同方向看简单组合体的图，根据从它的正面、左面和上面看到的形状图画出即可． 【详解】解：从它的正面、左面和上面看到的形状图如下： 【例题1-24】．（24-25七年级上·广东深圳·期末）小深周末带妹妹去坪由少儿图书馆，在那里发现一个有趣的玩具，叫做索玛立方体，把索玛立方体拆分，可以拆成7个立体图形，如图所示． (1)如果用一个平面去截正方体，则截面有可能是________．（回答一种即可） (2)小深发现6号方块从正面看和从左侧看的图形都与7号是一样的，请在下图画出其从正面看和从左侧看的图形． (3)你能帮忙算出1号方块涂色的面积吗？（每个小正方体棱长为1厘米） 【答案】(1)三角形或四边形或五边形或六边形（一种即可） (2)见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】截一个几何体、从不同方向看几何体 【分析】本题考查作图﹣三视图，几何体的表面积，截一个几何体，简单几何体的三视图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）正方体有6个面，截面共有4种情形； （2）从不同方向观察即可画出图形； （3）将正方体从上到下依次标号，则1号方块的三个小正方体分别为编号15，24，27，即可确定有7个面可以涂色． 【详解】（1）解：如果用一个平面去截正方体，则截面有可能三角形或四边形或五边形或六边形（一种即可）， 故答案为：三角形或四边形或五边形或六边形（一种即可）； （2）解：从正面看和从左侧看的图形如图所示： （3）解：将正方体从上到下依次标号，如图： 则1号方块的三个小正方体分别为编号15，24，27，类似于下图正面所对蓝色区域： ∴1号方块涂色面积为． 【例题1-25】．（24-25七年级上·福建宁德·期中）如图是由7个大小相同的小立方块搭成的一个几何体，根据要求完成下列题目： (1)请在指定位置分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图； (2)若给该几何体添加几个小立方块，所得新几何体与原几何体相比，从上面、左面看到的形状图保持不变，这样最多可以添加__________个小立方块， 【答案】(1)见解析 (2)3 【难度】0.65 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体： （1）观察图形可知， 从左面看到的图形是2列， 从左往右正方形个数依次是3，1； 从上面看到的图形是3列2层，从左往右正方形个数依次是1（上面一层）， 2， 1（上面一层），从正面看到的图形分为3列3层，从左往右正方形个数依次是1（最下面一层）， 3， 2（最下面一层和中间一层），据此即可画图； （2）根据从该几何体中添加一个小立方块， 所得新几何体与原几何体相比， 从左面、 上面看到的形状图保持不变，可在从上面看到的图形中从左往右的第1列添加2个，第3列添加1个，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，添加最多小立方块后（从上面、左面看到的形状图保持不变）从上面看到的图形如下： ∴这样最多可以添加个小立方块． 【例题1-26】．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）请按要求完成下列问题： (1)画出图1所示的圆柱的三视图； (2)如图2所示，用个大小相同的小正方体搭建一个几何体，小正方体的棱长为． ①从正面看和左面看该几何体所看到的平面图形保持不变，最多能再添加小立方体__________个； ②从正面看和上面看该几何体所看到的平面图形保持不变，最多能再添加小立方体__________个； ③从正面看和左面看该几何体所看到的平面图形保持不变，最多可移走小立方体__________个． 【答案】(1)如图所示； (2)①；②；③ 【难度】0.65 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了从不同方向看． （1）根据从不同方向看的意义画图即可； （2）①根据从正面看和左面看到的图形不变可以在第一层添加3个小立方体； ②根据从正面看和上面看到的图形不变可以在第二层最左边添加1个小立方体； ③根据从正面看和左面看到的图形不变结合体从上面看到的图形，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）①如图所示，从正面看和左面看该几何体所看到的平面图形保持不变，最多能再添加小立方体个 故答案为：3． ②如图所示，从正面看和上面看该几何体所看到的平面图形保持不变，最多能再添加小立方体个 故答案为：． ③如图所示，③从正面看和左面看该几何体所看到的平面图形保持不变，最多可移走小立方体个 故答案为：． 题型二：几何展开图的认识 【例题2-1】．（2025·江苏南京·二模）“粽团桃柳，盈门共饮”．又是一年端午时，某厂家推出一种新款粽子礼盒，它的外形是“三棱柱”，其展开图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据三棱柱的特征即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：“三棱柱”的平面展开图可能是 故选：D． 【例题2-2】（2025·山西晋中·一模）右图是亮亮制作的一个几何体的展开图，将其经过折叠可以围成的几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图确定立体图形是解题的关键； 根据几何体的展开图确定立体图形，即可求解； 【详解】解：根据亮亮制作的一个几何体的展开图，可以看到底面为三角形，侧面为长方形，可以围成的几何体为三棱柱； 故选：B 【例题2-3】．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（   ） A．三棱锥 B．圆锥 C．三棱柱 D．四棱锥 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题主要考查棱柱和棱锥，熟练掌握棱柱和棱锥的特点是解题的关键．根据有两个三角形作为顶面和底面，即可判断几何体的形状． 【详解】解：则该几何体是三棱柱． 故选C． 【例题2-4】．（24-25七年级上·广西防城港·期末）以下是圆柱展开图的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查了圆柱的展开图，熟练掌握圆柱的展开图是解题关键．根据圆柱的展开图特点逐项判断即可得． 【详解】解：圆柱的表面展开图是长方形和圆． A、没有长方形，则此项不符合题意； B、两个圆会重合，所以缺少一个底面，则此项不符合题意； C、是圆柱展开图，则此项符合题意； D、缺少两个底面，则此项不符合题意； 故选：C． 【例题2-5】（24-25七年级上·北京西城·期末）下列图形中可以作为一个长方体的展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查的是长方体的展开图，解决本题的关键是根据长方体的表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：A选项：两个底面在展开图的同一侧，折叠后左面缺一个面，故A选项不符合题意； B选项：两个底面在展开图的同一侧，另一个底面的位置缺一个面，故B选项不符合题意； C选项：展开图可以折叠成一个完整的长方体，故C选项符合题意； D选项：展开图的右面缺一个底面，故D选项不符合题意． 故选：C． 【例题2-6】．（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）如图是某几何体的展开图，该几何体是（   ） A．四棱锥 B．三棱锥 C．四棱柱 D．圆柱 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题主要考查了根据几何体的展开图还原几何体，熟知几何体的特征是解题的关键； 根据侧面为四个三角形，底面为一个矩形，即可得到该几何体为四棱锥， 【详解】解：侧面为四个三角形，底面为一个矩形， 这个几何体为四棱锥； 故选：A 【例题2-7】．（24-25六年级上·山东烟台·期中）下列选项中，左边的平面图形经过折叠能够围成右边的几何体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题注意考查立体几何图形的展开图，解题的关键是要熟悉一些常见立体几何的展开图．利用空间想象能力，对立体几何图形的展开图做一个判断，首先要确定，展开后的面的个数是否准确，再去确定面的位置是否合理． 【详解】解：A．正方体展开图错误，故本选项不符合题意； B．展开图多一个底面，错误，故本选项不符合题意； C．圆柱的展开图正确，故本选项符合题意． D．展开图少一个底面，故本选项不符合题意； 故选：C． 【例题2-8】．（24-25七年级上·全国·假期作业）如图，把一个长方体平均切成若干个小正方体，除底面外，其他面全部涂上颜色．两面涂色的小正方体有 个，一面涂色的小正方体有 个． 【答案】 14 14 【难度】0.65 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查长方体的相关知识．根据所给立体图形，观察两面涂色的小正方体和一面涂色的小正方体的个数即可．能判断出只有一面涂色或两面涂色的几何体的位置是解决本题的关键． 【详解】解：如图1：两面涂色的小正方体除图中标注的外，左面和后面相交的边长处的最底层和中间层处还有2个， ∴两面涂色的小正方体有14个． 如图2：只有一面涂色的小正方体前面有4个，可推测后面也有4个；右面有2个，可推测左面也有2个；上面有2个， ∴一面涂色的小正方体有（个）． 故答案为：14，14． 【例题2-9】．（24-25七年级上·广东深圳·期中）如图1为一个长方体，，，M为所在棱的中点，图2为图1的表面展开图，则图2中三角形的面积为 ； 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题主要考查长方体的展开图，根据长方体展开图的特点求出展开图的对应边长，再结合三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，在展开图中标出对应的点， 则，， 那么，三角形的面积为， 故答案为：3． 【例题2-10】．（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）“双十一”大促销临近，淘宝上某玩具商家根据所售玩具规格的不同，向厂家订制了不同型号的包装盒，所有包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图1所示）． (1)已知某种规格的长方体包装盒的长为5厘米，宽为3厘米，高为4厘米，那么制作一个该长方体纸箱需要______平方厘米纸板； (2)该玩具商家在今年“双十一”期间推出“买一送一”的活动，现要将两个同一型号的玩具重新包装在同一个更大的长方体的外包装盒内（如图1），已知单个玩具的长方体盒子长为5分米，宽为3分米，高为4分米．如图所示，现有三种摆放方式（图，，所示），请分别计算这三种摆放方式所需外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上），并比较哪一种方式所需纸板面积更少； (3)如图3-1，已知某长方体的长为5，宽为3，高为4，图是该长方体的一种表面展开图，请计算出这种表面展开图的外围周长是多少？你能设计一个使外围周长最大的表面展开图吗？请画出示意图（请使用直尺规范画图），此时的外围周长是______．（直接写出答案） 【答案】(1)109 (2)按图2-4所示的方式摆放所需的纸板面积更少； (3)50厘米，示意图见解析，62厘米． 【难度】0.65 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查了长方体的展开图，解题的关键是要发挥空间想象能力，计算出每个面的面积． （1）计算长方体的表面积再加底面面积，即可求出制作长方体纸箱的面积； （2）根据图示计算即可； （3）根据图示即可算出图的外围周长，要使展开图的外围周长最长，则需要使沿长为5的边剪开，使长为5的边尽可能多的作外围即可． 【详解】（1）解：， 故制作长方体纸箱需要109平方厘米纸板， 故答案为：109； （2）解：按图所示的方式摆放，需要（平方厘米）， 按图所示的方式摆放，需要（平方厘米）， 按图所示的方式摆放，需要（平方厘米）， ∵， ∴按图所示的方式摆放所需的纸板面积更少； （3）解：表面展开图的外围周长：（厘米）， 如图所示，此时外围周长最大， 最大周长为：（厘米）， 故答案为：62厘米． 题型三：由展开图计算几何体的表面积 【例题3-1】．（24-25七年级上·广东佛山·期末）如图，将一个边长为的无盖正方体纸盒展开成平面图形．这个平面图形的面积是 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由展开图计算几何体的表面积 【分析】本题考查几何体的展开图，掌握正方形面积的计算方法是正确解答的关键．根据正方形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：无盖正方体纸盒5个面的面积和为， 故答案为： 【例题3-2】．（2024七年级上·江苏·专题练习）小滨正对相同的长方体快递盒进行包装，如图1单个盒子的表面积为，如图2三个盒子叠一起的表面积为，则如图3四个盒子叠一起的表面积是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由展开图计算几何体的表面积 【分析】本题考查几何体的表面积，能用a，b，c表示出三个图中几何体的表面积及巧用整体思想是解题的关键．根据图1和图2的表面积，可得出关于a，b，c的两个等式，再用a，b，c表示出图3的表面积，利用整体思想即可解决问题． 【详解】解：设长方体一个上表面的面积为，一个右表面的面积为，一个前表面的面积为， 因为图1的表面积为，即， 则①． 因为图2的表面积为， 所以， 则②． 由①②得，，． 又因为图3的表面积可表示为， 则． 故答案为：． 【例题3-3】．（2024七年级上·全国·专题练习）一个六棱柱的侧棱长为，底面边长都是，则该六棱柱的侧面积为 ． 【答案】300 【难度】0.85 【知识点】由展开图计算几何体的表面积 【分析】本题考查了几何体的侧面积，解题的关键是确定几何体侧面是什么图形．根据题意可知该六棱柱的侧面是6个长为，宽为的长方形，然后根据长方形的面积公式计算即可得到答案． 【详解】解：， 即侧面展开图形面积是． 故答案为：300． 【例题3-4】．（24-25六年级下·山东滨州·阶段练习）观察下面左图，把罐头盒的商标纸如下图所示沿高剪开，再展开． (1)把圆柱侧面展开后，得到_____（填图形名称）；这个图形的各边与圆柱有什么关系？其中运用什么数学思想方法？ (2)观察上面右图，圆柱的表面是由哪几部分组成的？ (3)圆柱的表面积计算公式是：_________．（写字母表达式） 【答案】(1)长方形，长方形的长是圆柱底面圆的周长，宽为圆柱的高；转化的数学思想 (2)两个底面和一个侧面组成 (3) 【难度】0.65 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的表面积 【分析】（1）根据展开图判定是长方形，长恰好是圆柱底面圆的周长，宽为圆柱的高，解答即可． （2）根据几何体观察解答即可． （3）根据展开图，得到圆柱的表面积有两个底面圆的面积和侧面的长方形面积求和解答即可． 本题考查了圆柱的展开，圆柱表面积的计算，圆的面积，熟练掌握圆柱的展开，表面积的计算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据展开图判定是长方形，长恰好是圆柱底面圆的周长，宽为圆柱的高运用转化的数学思想． 故答案为：长方形． （2）解：根据题意，得圆柱两个底面和一个侧面组成． （3）解：设圆柱的高为h，底面圆的半径为r， 故． 故答案为：． 【例题3-5】．（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）如图1，这个长方体的高为，底面是一个边长为的正方形． (1)该长方体有___________个面，___________条棱． (2)如图2是该长方体表面展开图的一部分，请将它补充完整． (3)该长方体的侧面积是多少平方厘米？ 【答案】(1) (2)图见解析 (3)该长方体的侧面积是180平方厘米 【难度】0.65 【知识点】几何体中的点、棱、面、几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的表面积 【分析】本题考查长方体及其展开图： （1）根据长方体的特点，作答即可； （2）根据长方体的展开图，补全图形即可； （3）根据长方体的侧面积为底面周长乘以高进行计算即可． 【详解】（1）解：长方体有6个面，12条棱； 故答案为：； （2）由图，补全表面展开图如图： （3）； 答：该长方体的侧面积是180平方厘米． 【例题3-6】．（2024九年级上·全国·专题练习）如图是一个食品包装盒的展开图. (1)请写出这个包装盒的多面体形状的名称； (2)请根据图中所标的尺寸，计算这个多面体的侧面积和全面积（全面积是侧面积与两个底面积之和）. 【答案】(1)六棱柱； (2)；． 【难度】0.65 【知识点】由展开图计算几何体的表面积、几何体展开图的认识 【分析】本题考查几何体的展开图，解题的关键是熟悉平面图形的折叠及立体图形的展开图． 根据展开图是由两个全等的正六边形和六个全等的矩形组成的，可知包装盒是一个六棱柱； 侧面积为个长方形的面积之和，底面积为两个正六边形的面积之和，两者相加即可得出全面积. 【详解】（1）解：这个包装盒是一个六棱柱； （2）解：这个包装盒的侧面是个长为，宽为的长方形， 这个包装盒的侧面积是； 这个包装盒的两个底面是两个全等的正六边形， 如下图所示， 一个正六边形可以被分成个全等的等边三角形， 六棱柱底面正六边形的边长为， 且正六边形可看作是六个全等的正三角形组成，正三角形的边长为六边形的边长， 每一个正等边三角形的面积为， 六棱柱的两个底面的面积之和为， ． 【例题3-7】．（2024七年级上·全国·专题练习）某种茶叶的包装盒为长方体，它的长、宽、高分别为，，，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． (1)如图是给出的四种纸样①，②，③，④，其中正确的有________； (2)从已知正确的纸样中选出一种，在原图上标注上尺寸； (3)利用你所选的一种纸样，求出包装盒的侧面积和表面积． 【答案】(1)①，④ (2)见解析 (3)， 【难度】0.65 【知识点】由展开图计算几何体的表面积、几何体展开图的认识 【分析】本题考查了长方体的展开图和长方体表面积，解题的关键是掌握长方体的展开特点，以及长方体表面积的计算方法； (1)根据长方体的展开特点即可作出判断； (2)找到对应边，标注上尺寸即可； (3)根据长方体的侧面积，表面积的公式计算即可； 【详解】（1）解：①，④ （2）标注尺寸如答图． （3）； 【例题3-8】．（24-25七年级上·河南郑州·期中）综合与实践 主题：制作盒子． 情境：在学校的劳技课上，老师要求同学们利用手头的材料制作一个长方体盒子，用于存放学习用品． 素材：一块长方形硬纸板和热熔胶． 步骤1：把这块长方形硬纸板的四个角（虚线）都剪去一个长方形（如图1）； 步骤2：再折叠成一个长方体盒子（如图2），用热熔胶把边粘起来． 问题解决：图2是形状为长方体的某种包装盒，它的，其展开图如图1所示（不包含包装盒的黏合处）． (1)设该包装盒的长为6分米，则展开图中的长度为______分米； (2)若该包装盒的长为a分米，求该包装盒的体积； (3)若的长度为45分米，现对该包装盒外表面涂色（含底面），且每平方分米涂料的价格为元，求整个包装盒外表面涂色的费用是多少元？ 【答案】(1)18 (2) (3)101.25元 【难度】0.65 【知识点】由展开图计算几何体的体积、由展开图计算几何体的表面积、几何体展开图的认识 【分析】（1）根据，设长为，则宽为，高为，结合 包装盒的长为6分米，得到，根据题意，得展开图中的长度为，代入解答即可； （2）根据，设长为，则宽为，高为，结合 包装盒的长为分米，得到，解得，继而得到，宽，高，计算体积即可； （3）根据，设长为，则宽为，高为，根据题意，得展开图中的长度为，结合的长度为45分米，得到，确定长，宽，高，根据表面积计算公式解答即可． 【详解】（1）解：根据，不妨设长为，则宽为，高为， ∵包装盒的长为6分米， ∴， 解得， 根据题意，得展开图中的长度为， 故（分米）， 故答案为：18． （2）解：根据，设长为，则宽为，高为， ∵包装盒的长为分米， ∴ ， 解得， ∴宽为，高为， ∴长方体的体积为：（立方分米）． （3）解：根据，设长为，则宽为，高为，根据题意，得展开图中的长度为， ∵的长度为45分米， ∴， 解得， ∴ 长为，宽为，高为， 故长方体的表面积为： （平分分米）， 故整个包装盒外表面涂色的费用是：（元）． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，几何体的体积，表面积，生活应用，熟练掌握几何体的展开，计算是解题的关键． 【例题3-9】．（23-24七年级上·辽宁锦州·期中）已知：如图1为一个长方体，，，图2为图1的表面展开图，请回答下面问题：    (1)请用三角符号在图2中标出在图1中与面相对的面； (2)在图1中，点、均为所在棱的中点，试在图2中画出、的位置； (3)根据图中所给的数据，求图2中面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)36或138 【难度】0.65 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的表面积 【分析】本题主要考查了棱柱的侧面展开图． （1）根据两个面相隔一个面是对面可得答案； （2）根据展开图面与面的关系，可得M、N的位置，； （3）根据M、N的位置，依据三角形的面积公式，可得答案． 【详解】（1）如图所示，    （2）如图，点M、N即为所作：    （3）如图，    因为点为所在棱的中点， 所以点到的距离为6或者23， 所以 或者 【例题3-10】．（23-24七年级上·河北保定·期中）如图1，该三棱柱的高为，底面是一个每条边长都为的三角形．    (1)这个三棱柱有________个面，有________条棱． (2)如图2，这是该三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补充完整． (3)这个三棱柱的侧面积是________，要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开棱的棱长的和的最大值为________． 【答案】(1)5；9 (2)见解析 (3)135；37 【难度】0.65 【知识点】由展开图计算几何体的表面积、几何体展开图的认识、几何体中的点、棱、面 【分析】本题主要考查的是认识立体图形， 能够数出三棱柱没有剪开的棱的条数是解答此题的关键． （1）根据图中棱柱的特点即可求解； （2）结合立体图形作出图形即可； （3）将三棱柱的展开图画出来，然后结合图形求解即可； 【详解】（1）解：这个三棱柱有5个面，有条棱， 故答案为：5；9； （2）如图所示（画法不唯一）．    （3）侧面积为：；    如图所示的几种展开图： 由图形可知：没有剪开的棱的条数是4条， 则至少需要剪开的棱的条数是：(条)， 故至少需要剪开的棱的条数是5条， 需剪开棱的棱长的和的最大值为：， 故答案为：135；37 【例题3-11】．（24-25七年级上·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】在一次数学实践活动课上，同学们利用一张边长为的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动 （1）图1中，是无盖正方体的表面展开图的是______．（填序号） 【操作探究】如图2，勤学小组的同学先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒． 如图3，善思小组的同学先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒． 【计算分析】 （2）①图2中的长方体纸盒的底面周长为______； ②图3中的长方体纸盒的体积为______； 【问题解决】 （3）请你利用边长为的正方形纸板制作一个长方体纸盒（无盖，有盖均可），仿照图2，图3的绘图方式，画出2种不同的裁剪设计图． 【答案】（1）①；（2）①40；②294；（3）见解析 【难度】0.65 【知识点】由展开图计算几何体的表面积、由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握棱柱展开图的特征是正确解答的关键． （1）根据正方体表面展开图的特征进行判断即可； （2）①根据裁剪方法得出底面是边长为的正方形即可；②得出长方体的长、宽、高，再根据长方体的体积的计算方法进行计算即可； （3）根据棱柱的展开与折叠的方法进行解答即可． 【详解】解：（1）根据正方体表面展开图的“田凹应弃之”可得，是无盖正方体的表面展开图的是①， 故答案为：①； （2）①图1中的正方体的底面是边长为的正方形，因此底面周长为， 故答案为：40； ②由折叠可知，图2中长方体纸盒的长为，宽为，高为， 所以体积为， 故答案为：294； （3）利用边长为的正方形纸板，利用按照图3、图4的裁剪方法可制作一个有盖的长方体纸盒． 【例题3-12】（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）已知一个直棱柱有条棱，且所有棱长均为． (1)这个直棱柱是几棱柱？有几个面？ (2)求这个直棱柱的所有侧面的面积之和． 【答案】(1)这个直棱柱是五棱柱，有个面； (2)这个直棱柱的所有侧面的面积之和为． 【难度】0.94 【知识点】几何体中的点、棱、面、由展开图计算几何体的表面积 【分析】本题主要考查了认识立体图形，直棱柱的侧面展开图一个是长方形，长方形的长是直棱柱的底面周长宽是直棱柱的高． （1）根据棱柱有条棱求解即可； （2）求出直棱柱的底面周长，再求出侧面积即可． 【详解】（1）解：， 答：这个直棱柱是五棱柱，有7个面． （2）解： ， 答：这个直棱柱的所有侧面的面积之和为． 【例题3-13】．（24-25七年级上·广东清远·期中）综合与实践 【问题情境】 某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作长方体纸盒． 【操作探究】 (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的 图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒． (2)图2是嘉嘉的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的是 字． (3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，嘉嘉准备将其四个角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒，折成的纸盒高为． ①四角应各剪去边长为 的小正方形； ②计算此长方体纸盒的容积． (4)根据如图4方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在边长为的正方形纸板四角剪去两个边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来．该长方体纸盒的体积为多少？ 【答案】(1)C (2)卫 (3)①；② (4)这个长方体的体积为． 【难度】0.65 【知识点】由展开图计算几何体的表面积、正方体几种展开图的识别、正方体相对两面上的字 【分析】（1）根据正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”进行判断即可； （2）根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可得答案； （3）①高就是小正方形的边长；②确定长方体纸盒的长、宽、高，由体积计算公式进行计算即可； （4）根据棱柱的展开与折叠，求出长方体的长、宽、高，再根据体积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”可知，选项A、选项D不符合题意，而选项B只有4个面，不符合题意；而选项C可以折叠成无盖的正方体的盒子， 故答案为：C； （2）由正方体表面展开图的“相间、端是对面”可知，“保”的对面是“卫”， 故答案为：卫； （3）①若折成的纸盒高为，四角应各减去边长为的小正方形， 故答案为：； ②当小正方形的边长为时，所折叠成长方体纸盒的底面是边长为（）的正方形，高是， 所以体积为（）； （4）由裁剪、折叠可知，所折叠的长方体的长为，宽为，高为（）， 所以长方体的体积为（）， 答：这个长方体的体积为． 【例题3-14】．（24-25七年级上·福建福州·期末）综合与实践某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为24cm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一：根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为cm的小正方形，再沿虚线折合起来． 问题解决： （1）若cm，则该长方体纸盒的底面边长为__________cm；该长方体纸盒的体积为__________cm3； 动手操作二：根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为cm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 拓展延伸： （2）若cm，该长方体纸盒的表面积为多少cm2？ 【答案】（1）12，864  （2）486 【难度】0.85 【知识点】由展开图计算几何体的表面积、由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查求立体图形的体积和表面积，根据题意正确得出立体图形的长宽高是关键． （1）根据图形可得长方体纸盒的底面边长为大正方形的边长－两个小正方形的边长；根据图形求出长方体纸盒的长宽高即可求出体积； （2）根据图2的裁剪，折合后是一个有盖的长方体，表示出长，宽，高，则可求出表面积． 【详解】（1）解：该长方体纸盒的底面边长为：， 该长方体纸盒的体积为：； （2）解：裁剪后折叠成长方体的长为：， 裁剪后折叠成长方体的宽为：， 裁剪后折叠成长方体的高为： 3cm； ∴长方体纸盒的表面积为． 题型四：由展开图计算几何体的体积 【例题4-1】（24-25七年级上·广东深圳·期末）用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学的提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．一样大 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 分别求出各种方案所制作的长方体纸盒的长、宽、高，再计算出容积即可． 【详解】解：按照方案1，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案2，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案3，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， ， 按照方案2制作的长方体无盖之和的容积最大， 故选：． 【例题4-2】．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的小正方形的边长从变为时，长方体纸盒的容积（   ） A．减少了 B．减少了 C．增加了 D．增加了 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，分别求得剪去的正方形边长从变为后，长方体的纸盒容积即可得到结论． 【详解】解：当剪去的正方形边长从变为后，长方体的纸盒容积从变为． 故长方体的纸盒容积变小了． 即长方体纸盒的容积减少了． 故选：A． 【例题4-3】．（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段练习）在学校社团活动中，慎思小组的同学用一张边长为20cm的正方形纸板制作一个尽可能大的无盖长方体形收纳盒时，将剪去的小正方形的边长与折成的无盖长方体容积对应填入下表： 剪去正方形的边长/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积/ 324 512 588 576 500 384 252 128 36 0 观察表格，随着剪去的小正方形的边长的增大，所得无盖长方体盒子的容积（    ） A．一直增大 B．一直减小 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体．通过表中容积的变化可以直接得到结果． 【详解】解：由表中数据可知，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先增大后减小， 故选：D． 【例题4-4】．（2024七年级上·全国·专题练习）如图是国内某品牌牛奶长方体型包装盒的展开图（粘贴部分忽略不计），展开图的数据大小如图中所示，从该包装盒说明上知道，该牛奶含优质乳蛋白3.6克，则一盒这样的牛奶含优质乳蛋白（按装满计算）（　　） A．4.5克 B．9克 C．90克 D．900克 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】由展开图计算几何体的体积 【分析】本题主要考查几何图形，包装盒体积，据此即可求得答案． 【详解】包装盒体积 故选：B 【例题4-5】．（22-23七年级下·西藏·开学考试）我国古代数学名著《九章算术》中指出：底面为正方形的长方体体积是“方自乘，以高乘之即积尺”．即先用底面边长乘边长，再乘高得到长方体的体积．如果底面边长为a，高为h，底面积为S，体积为V，能完整表述这个方法的选项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由展开图计算几何体的体积 【分析】根据长方体体积的计算方法可知，长方体的体积底面积高，据此解答．本题主要考查长方体体积的计算方法及应用． 【详解】解：如果底面边长为，高为，底面积为，体积为，且长方体的体积=底面积×高 ∴能完整表述这个方法的选项是． 故选：B 【例题4-6】．（22-23七年级上·河南郑州·期末）如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的正方形的边长从变为后，长方体纸盒的容积（    ）． A．增加了28 B．减少了28 C．增加了8 D．减少了8 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，长方体的体积，熟记长方体的体积公式是解题的关键． 分别求得剪去的正方形边长从变为后，长方体的纸盒容积即可得到结论． 【详解】解：当剪去的正方形边长为时， 长方体的纸盒容积为： 当剪去的正方形边长为时， ∴当剪去的正方形的边长从变为后，长方体纸盒的容积增加了：． 即长方体纸盒的容积增加了8． 故选：C． 【例题4-7】（2024·河北邯郸·模拟预测）用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒．先在纸板上画出其表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图1和图2所示，图中A，B，C均为正方形： 下列说法正确的是（　　） A．方案 1中的 B．方案2中的 C．方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积 D．方案1所得的长方体纸盒的底面积与方案2所得的长方体纸盒的底面积相同 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查图形的展开与折叠，考查学生的运算能力、推理能力、空间观念．分别求出a和b的值，方案1和方案2的容积即可得到答案． 【详解】解：方案1：，故A选项错误， 所折成的无盖长方体的底面积为． 容积为． 方案2：，故B选项错误， 所折成的无盖长方体的底面积为． 容积为． ∴方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积， 故选：C． 【例题4-8】．（24-25七年级上·广东梅州·期中）在课题学习中，老师要求用长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图1，盒子底面的四边形是正方形． 乙：如图2，盒子底面的四边形是正方形． 丙：如图3，盒子底面的四边形是长方形，． 将三位同学折成的无盖的长方体的容积按从小到大的顺序排列为 ． 【答案】乙甲丙 【难度】0.65 【知识点】由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查了几何题的展开图，根据展开图分别求出每个同学的无盖长方体的容积，再比较大小即可． 【详解】解：由图形并结合题意可得： 甲所折成的无盖长方体的容积为， 乙所折成的无盖长方体的容积为， 丙所折成的无盖长方体的容积为， 所以从小到大排列顺序为乙甲丙， 故答案为：乙甲丙． 【例题4-9】．（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知一个圆柱的侧面展开图是长为8，宽为4的长方形，则该圆柱的体积为 （，结果保留π） 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查求圆柱的体积，分圆柱的高为8和高为4两种情况进行求解即可． 【详解】解：由题意，当圆柱的高为8，底面周长为4时，圆柱的体积为：； 当圆柱的高为4，底面周长为8时，圆柱的体积为：； 故答案为：或． 【例题4-10】．（24-25七年级上·江西吉安·阶段练习）某品牌牛奶包装盒的表面展开图如图所示（单位：），则此包装盒体积是 （包装材料厚度不计） 【答案】224000 【难度】0.85 【知识点】由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查图形的展开图，从平面图形到立体图形的思维，根据体积公式解题是关键．从展开图可得包装盒为长方体，先求出底面积，再乘以高计算即可． 【详解】解：包装盒的底面积为，包装盒的高为， 这种牛奶包装盒的体积是． 故答案：224000． 【例题4-11】．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，一个圆柱切开拼成一个近似长方体，有三种摆法．已知圆柱底面半径是，拼成近似长方体后，表面积增加了．这个圆柱的体积是 ． 【答案】785 【难度】0.85 【知识点】由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查的是长方形的面积与圆柱的体积公式，解题的关键是知道拼后的图形与圆柱的关系，再利用相应的公式解答．根据题意，知道长方体表面积增加的，是2个以圆柱的底面半径为宽，高为长的长方形的面积，由此即可求出圆柱的高，再利用圆柱的体积公式：求出这个圆柱的体积即可． 【详解】解：， ， 答：这个圆柱的体积是． 故答案为：785． 【例题4-12】．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）某几何体的展开图如图所示． (1)该几何体是 ；(填名称) (2)求这个几何体的体积． 【答案】(1)长方体 (2) 【难度】0.65 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的体积 【分析】（1）根据长方体有6个面，相对两个面的形状大小完全相同可知该几何体为长方体． （2）由该长方体的平面展开图可知宽为，高为，长为，根据才给他体积公式即可可求得该长方体的体积． 本题主要考查了长方体的平面展开图，熟练掌握长方体的特征是解题的关键． 【详解】（1）解：该几何体是长方体. 故答案为：长方体 （2）解：该长方体的宽是，高是，长是， 所以这个几何体的体积是. 【例题4-13】．（24-25七年级上·广东佛山·期中）【问题情境】 《制作无盖的长方体纸盒》是苏科版数学课本七年级上册的课题学习内容，某综合实践小组参考这一课题中的内容，开展了“制作长方体纸盒”的实践活动． 【问题解决】 (1)在如图1所示的四个图形中，能够通过折叠围成有盖的长方体纸盒的是______（填序号）． (2)该小组利用边长为的正方形纸板设计了如下两种不同的制作长方体纸盒的方案． ①按如图2所示的方案制作一个无盖的长方体纸盒，其操作步骤为：先在纸板的四个角上剪去个边长为的小正方形，再沿虚线折叠纸板．若，，则该无盖长方体纸盒的底面周长为_______． ②按如图3所示的方案制作一个有盖的长方体纸盒，其操作步骤为：先在纸板的四个角上剪去个边长为的小正方形和个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠纸板．若，，求该有盖长方体纸盒的体积． 【答案】(1)①②④ (2)①；② 【难度】0.65 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握棱柱的展开图的特征是正确解答的前提，根据展开图得出折叠后长方体的长、宽、高是解决问题的关键． （1）根据长方体的展开图特征求解即可； （2）①由折叠可得底面是边长为的正方形，进而求出底面周长即可；②由展开与折叠可知，折叠成长方体的长、宽、高分别为、、，根据体积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：能够通过折叠围成有盖的长方体纸盒的是①②④， 故答案为：①②④； （2）①该无盖长方体纸盒的底面周长为， 故答案为：； ②该长方体纸盒的长为，宽为，高为， 该有盖长方体纸盒的体积为． 【例题4-14】．（24-25七年级上·福建漳州·期中）如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题． (1)请你帮小华分析一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全； (2)修正后所折叠而成的长方体中，写出所有与点A重合的点： ； (3)若图中的正方形边长为，长方形的长为，宽为，请直接写出修正后所折叠而成的长方体的体积： 【答案】(1)见解析 (2)F、N (3)12 【难度】0.65 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查了平面图形的折叠与长方体的展开图及其体积的计算． （1）根据长方体展开图判断； （2）将展开图折叠成长方体，看与A重合的点即可； （3）由题意可知，此长方体的长、宽、高可分别看作、和，将数据代入长方体的体积公式即可求解． 【详解】（1）解：拼图存在问题，多了，如图： （2）解：修正后所折叠而成的长方体中，所有与点A重合的点：F、N； 故答案为：F、N； （3）解：由题意得，围成的长方体长，宽，高分别为、、 ， ∴体积为：． 故答案为：12． 【例题4-15】（24-25七年级上·山东滨州·期末）综合与实践 某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为18cm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一： 根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为ncm的小正方形，再沿虚线折合起来． (1)问题解决： 若，则该长方体纸盒的底面边长为________cm；该长方体纸盒的体积为________； 动手操作二： 根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为ncm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． (2)拓展延伸：若，该长方体纸盒的表面积为多少？ 【答案】(1)12，432 (2) 【难度】0.65 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的表面积、由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查几何图形，求立体图形的体积和表面积，根据题意正确得出立体图形的长宽高是关键． （1）根据图形可得长方体纸盒的底面边长为大正方形的边长－两个小正方形的边长；根据图形求出长方体纸盒的长宽高即可求出体积； （2）根据图2的裁剪，表示出长、宽、高进而求出体积． 【详解】（1）解：该长方体纸盒的底面边长为：， 该长方体纸盒的体积为：； 故答案为：； （2）解：， 裁剪后折叠成长方体的长为：， 裁剪后折叠成长方体的宽为：， 裁剪后折叠成长方体的高为：3． 长方体纸盒的表面积为． 【例题4-16】（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动． 【知识准备】 （1）如图①~⑥图形中，是正方体的表面展开图的有______（只填写序号）． 【制作纸盒】综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以上两种方式制作长方体形盒子． （2）如图⑦，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，此时，表面展开图的外围周长为，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子，制作成的无盖长方体盒子的体积是______； （3）如图⑧，先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，则，此时表面展开图的外围周长为______，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子．求制作成的有盖盒子的体积． 【拓展探究】 若长方体的长、宽、高分别为4、3、6．将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．则当该长方体形盒子表面展开图的外围周长最大时，该长方体形盒子表面展开图的外围的最大周长是______． 【答案】（1）①⑤⑥（2）588（3）80， 拓展探究：70 【难度】0.65 【知识点】正方体几种展开图的识别、由展开图计算几何体的体积、几何体展开图的认识 【分析】本题主要考查了立体图形表面展开图．熟练掌握正方体、长方体表面展开图特征，是解题的关键． （1）是正方体的表面展开图的有①⑤⑥； （2）长方体的一边长为14，另一边长也为14，体积为588； （3）表面展开图的外围周长为80，盒子一边长为14，另一边长为4，体积为168； 拓展探究：画出该长方体形盒子表面展开图的外围周长最大时的图形，计算其周长为70． 【详解】解：（1）是正方体的表面展开图的有①⑤⑥； 故答案为：①⑤⑥； （2）长方体的另一边长为： 另一边长为：， 体积为：； 故答案为：588； （3）表面展开图的外围周长为：， 盒子一边长为：， 另一边长为：， 体积为：， 故答案为：80； 拓展探究： 如图，是该长方体形盒子表面展开图的外围周长最大时的情形， 其周长为：． 故答案为：70． 【例题4-17】．（24-25七年级上·江西吉安·期中）问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是________．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中，． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面积为_______； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小在的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为_______； ③制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的______倍． (3)若有盖长方体的长、宽、高分别为，将它的表面沿某些棱剪开，展开一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______． 【答案】(1)①③④ (2)①；②；③ (3) 【难度】0.65 【知识点】正方体几种展开图的识别、由展开图计算几何体的体积、几何体展开图的认识 【分析】（1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据长方形面积公式即可得解； ②根据长方体的体积公式即可得解； ③分别求出无盖盒子的体积和有盖盒子体积，即可求解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，可得答案． 【详解】（1）解：根据构成，②只能折成个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒， 故选：①③④； （2）①长方体纸盒的底面面积为， ∴长方体纸盒的底面积为， 故答案为：； ②长方体纸盒的底面积为， ∴该长方体纸盒的体积为， 故答案为：； ③无盖盒子的体积：， 有盖盒子的体积：， ∵， ∴制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的倍， 故答案为：； （3）如图所示， ∴该长方体表面展开图的最大外围周长为， 故答案为：； 【点睛】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． 【例题4-18】．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期中）【问题情境】 《制作无盖的长方体纸盒》是北师大版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】 （1）如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的是 ．（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1）为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．回答下列问题： ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为多少cm? ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为多少？ 【问题进阶】 （3）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6、宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，请直接写出长方体表面展开图的最大外围周长． 【答案】（1）①③④；（2）①长方体纸盒的底面周长为；②长方体纸盒的体积为；（3） 【难度】0.65 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的表面积、由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． （1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据正方形周长公式即可得解； ②根据长方体的体积公式即可得解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，据此可得答案． 【详解】（1）根据展开图的折叠， ②只能折成4个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒， 故答案为：①③④； （2）①长方体纸盒的底面周长为：； ②长方体纸盒的长：， ∵正方形纸板的边长由空白的两个小长方形的宽和空白的两个大长方形的宽组成， ∴宽， ∴该长方体纸盒的体积为：； （3）如图所示， ∴该长方体表面展开图的最大外围周长为：． 【例题4-19】．（24-25七年级上·辽宁铁岭·阶段练习）聪聪在学习了“展开与折叠”这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，于是他在家用剪刀把一个长方体纸盒（如图1）剪开了，可是他一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图2中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：      (1)若这个长方体纸盒的长、宽、高分别是、、，则该长方体纸盒的体积是______． (2)聪聪一共剪开了_________条棱． (3)现在聪聪想将剪掉的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪掉的②粘贴到①中的什么位置？请你帮他在①上补全一种情况． 【答案】(1)70 (2)8 (3)见解析 【难度】0.65 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查长方体体积，将长方形裁成两图需剪开的棱数，画长方体所有展开图问题，掌握长方体体积公式，会画长方体平面展开图是解题关键． （1）利用体积公式：长宽高计算即可； （2）由总的棱数减去没剪开的棱数即可得到答案； （3）根据长方体的平面展开图再画图即可． 【详解】（1）解： ． 该长方体纸盒的体积是． 故答案为：70； （2）解：把纸盒剪成了两部分，即图（2）中的①和②．共有12条棱，4条没剪开， 聪聪一共剪开条棱； 故答案为：8； （3）解：如图，就是所画的图形（答案不唯一）． 【例题4-20】．（24-25七年级上·河南·阶段练习）如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题． (1)请你帮小华分析一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全； (2)在图中用○圈出折叠后与A重合的所有点； (3)若图中的长方形的长是宽的倍，折成的长方体所有棱长的和是，求这个长方体的体积． 【答案】(1)有多余块；多余部分图见解析 (2)见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】由展开图计算几何体的体积、几何体展开图的认识 【分析】本题考查了平面图形的折叠与长方体的展开图及其体积的计算，熟练掌握平面图形的折叠与长方体的展开图及其体积的计算是解题的关键． （1）由于长方体有6个面，且相对的两个面全等，所以展开图是6个长方形（包括正方形），而图中所拼图形共有7个面，所以有多余块，应该去掉一个；又所拼图形中有3个全等的正方形，结合平面图形的折叠可知，可将第二行最左边的一个正方形去掉； （2）根据题意用○圈出折叠后与重合的所有点； （3）由题意可知，设长方体的长、宽、高分别为厘米、厘米和厘米，根据所有棱长的和是，求得的值，进而将数据代入长方体的体积公式即可求解． 【详解】（1）解：根据长方体有6个面，可得拼图中有多余块．多余部分如图所示： （2）解：折叠后与A重合的所有点，如图所示， （3）解：设长方体的长、宽、高分别为厘米、厘米和厘米， 依题意， 解得： ∴长方体的长、宽、高分别为厘米、厘米和厘米， ∴这个长方体的体积为 答：长方体的体积为． 【例题4-21】．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下列问题： 观察判断： （1）小明共剪开了________条棱； 动手操作： （2）现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），小明在图1中补全图形有________种方法，请任选一种方法在图1中补全粘贴； 解决问题： （3）经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个边长为的正方形，其边长是长方体的高的5倍，求这个纸盒的体积． 【答案】（1）8；（2）4；（3） 【难度】0.65 【知识点】由展开图计算几何体的体积、几何体展开图的认识 【分析】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （1）根据平面图形中没有剪开的棱的条数，再求出剪开棱的条数； （2）根据长方体的展开图的情况可知有四种情况； （3）先求出长方体的高，再根据长方体的体积公式求出长方体纸盒的体积即可． 【详解】解（1）图1中没有剪开的棱有4条，所以小明共剪了条棱； 故答案为：8． （2）如图，四种情况． 故答案为：4； （3）长方体的高为：， 这个长方体纸盒的体积为． 【例题4-22】．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）综合与实践 问题情境 在一次数学实践活动课上，同学们利用一张边长为的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．如图1，勤学小组的同学先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒． 如图2，善思小组的同学先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒． 问题解决 （1）图1中的长方体纸盒的底面积为 ； （2）图2中的长方体纸盒的长为 ： 拓展延伸 （3）现有两张边长均为的正方形纸板，分别按勤学小组和善思小组的方法制作成无盖和有盖的两个长方体纸盒，若剪去部分的小正方形边长为，求无盖纸盒的体积是有盖纸盒体积的多少倍． 【答案】（1）；（2）14，（3）2倍． 【难度】0.65 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的体积 【分析】此题考查了长方体的体积、底面积等知识， （1）根据题意求出长方体纸盒的底面积即可； （2）根据题意求出长方体纸盒的长即可； （3）分别求出无盖纸盒的体积和有盖纸盒体积，即可求出答案． 【详解】（1）图1中的长方体纸盒的底面积为； 故答案为： （2）图2中的长方体纸盒的长为， 故答案为：14 （3）无盖纸盒的体积为：， 有盖纸盒体积为： ∵， ∴无盖纸盒的体积是有盖纸盒体积的2倍． 【例题4-23】．（23-24七年级下·广西南宁·期末）广西百色盛产芒果，芒果的包装盒设计为长方体．这个长方体可由边长为的正方形纸板制成．如图所示，在纸板四角分别剪去两个同样大小的小正方形和两个同样大小的小长方形（阴影部分），再把剩余部分按虚线折成一个有盖的长方体纸盒．设小正方形的边长为．    (1)与的数量关系是 ； (2)若，求和的长； (3)若长方体纸盒的底面长与宽的差不少于，求x取最大值时长方体纸盒的体积． 【答案】(1) (2)， (3) 【难度】0.65 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的体积 【分析】本题主要考查了展开图折叠成几何体，解题时要能读懂题意，列出关系式是关键． （1）依据题意，根据长方体纸盒折叠的关系可以得解； （2）依据题意，由正方形的边长为，从而可得，则，，又，进而计算可以得解； （3）依据题意，由（2）得，长方体纸盒长为，宽为，又由长方体纸盒的底面长与宽的差不少于，从而，故，再求出长与宽即可判断得解． 【详解】（1）解：根据长方体纸盒折叠的关系可得，． 故答案为：． （2）解：由题意，正方形的边长为， ． ，． 又， ，． （3）解：由（2）得，长方体纸盒长为，宽为， 又长方体纸盒的底面长与宽的差不少于， ． ． 当最大时为15，此时长方体纸盒的长为，宽为． 此时体积为． 答：取最大值15时长方体纸盒的体积为． 【例题4-24】．（23-24七年级上·山东济南·期末）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下列问题： (1)动手操作 现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），请你帮助小明在图1中补全图形（补出来一种即可）； (2)解决问题 经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个正方形，它的边长是长方体高的5倍，根据图1中的数据，求这个纸盒的体积． 【答案】(1)见解析 (2)这个纸盒的体积为 【难度】0.65 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的体积 【分析】本题主要考查了几何展开图． （1）根据长方体的展开图的情况可知有四种情况， （2）因为长方体纸盒的底面是一个正方形，则正方形的边长为，根据底边边长是长方体的高的5倍，得到高为，则体积可求． 【详解】（1）解：图形如图所示（只要画出一种情况即可）： ； （2）解：长方体纸盒的底面是一个正方形， 正方形的边长为， 底边边长是长方体的高的5倍， 高为， 体积：， 答：这个纸盒的体积为． 【例题4-25】．（23-24七年级上·山西晋城·期末）在数学活动课上，老师带领同学们以“制作无盖长方体盒子”为主题展开活动．如图1所示为宽、长的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）． (1)在图中的长方形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线、虚线表示折痕． (2)求折成的无盖长方体盒子的体积． (3)若用这样的一块长方形纸板折成高为的无盖长方体盒子，外表面都涂上色彩，则该盒子需要涂色的面积为 ．（用含a的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】由展开图计算几何体的表面积、由展开图计算几何体的体积、几何体展开图的认识 【分析】本题考查的是长方体的展开图的认识，长方体的表面积与体积的计算，熟练的求解体积与表面积是解本题的关键． （1）根据无盖的长方体的展开图的形状画图即可； （2）由长方体的体积公式进行计算即可； （3）根据无盖的长方体的表面积公式计算即可； 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2） ． 答：折成的无盖长方体盒子的体积为． （3）由题意可得表面积为： 【例题4-26】．（23-24七年级上·河南平顶山·期中）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盘剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下列问题，观察判断： (1)小明共剪开了______条棱； (2)动手操作： 现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3）请你帮助小明在图1中补全图形（补出来一种即可）； (3)解决问题： 经过测量，小明发现这个纸盘的底面是一个正方形，其边长是长方体的高的5倍，并且纸盒所有棱长的和是，求这个纸盒的体积． 【答案】(1)8 (2)见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的体积 【分析】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （1）根据平面图形得出剪开棱的条数， （2）根据长方体的展开图的情况可知有四种情况， （3）设最短的棱长高为，则长与宽相等为，根据棱长的和是，列出方程可求出长宽高，即可求出长方体纸盒的体积． 【详解】（1）小明共剪了8条棱， 故答案为：8． （2）图形如图所示： （3）长方体纸盒的底面是一个正方形， 设最短的棱长高为，则长与宽相等为， 长方体纸盒所有棱长的和是， ， 解得， 这个长方体纸盒的体积为． 题型五：几何体中的点，棱，面截一个几何体 【例题5-1】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）在学习完第一章《丰富的图形世界》后，小红对棱柱的内容进行了归纳与思考： (1)【棱柱的性质】 一个棱柱的命名是由底面边数决定的，而面数、顶点数、棱数都与它的底面边数有关，一个六棱柱有________个面，________个顶点，________条棱． (2)【棱柱的展开】 由于正方体的表面沿某些棱剪开可以展开成一个平面图形，发现每一次都剪开了7条棱，小红又尝试将其他棱柱的表面沿某些棱剪开展开成一个平面图形，记录如下： 剪开棱的条数 保留棱的条数 三棱柱 5 4 四棱柱 7 5 五棱柱 9 6 … … … 根据以上规律，二十棱柱要剪开________条棱． (3)【棱柱的截面】 用平面截一个正方体将其分为两个几何体，当截面是三角形时，所分出的两个几何体的顶点总个数可能是________．（填序号） ①8  ②9  ③10  ④11  ⑤12  ⑥13  ⑦14  ⑧15  ⑨16  ⑩17 【答案】(1) (2) (3)④⑤⑥⑦ 【难度】0.65 【知识点】几何体展开图的认识、几何体中的点、棱、面、截一个几何体 【分析】本题主要考查几何体，棱柱的性质，熟练掌握棱柱的性质是解题的关键． （1）根据棱柱的性质即可得到答案； （2）根据表格中的数据找到规律即可； （3）根据题意，当截面时三角形时，分情况分析所分出的两个几何体的顶点总个数即可． 【详解】（1）解：根据棱柱的性质可知，六棱柱有个面，个顶点，条棱， 故答案为：； （2）解：有表格可知，三棱柱剪开棱的条数为 四棱柱剪开棱的条数为 五棱柱剪开棱的条数为 棱柱剪开棱的条数为：， 把代入，得 故答案为：； （3）解：①不过顶点，所分出的两个几何体的顶点总个数为：（个）； ②过一个顶点时，所分出的两个几何体的顶点总个数为（个）； ③过两个顶点时，所分出的两个几何体的顶点总个数为（个）； ④过三个顶点时，所分出的两个几何体的顶点总个数为（个）； 综上所述，所分出的两个几何体的顶点总个数可能是④⑤⑥⑦． 故答案为：④⑤⑥⑦． 题型六：正方体相对两面上的字 【例题6-1】．（2025·河南郑州·二模）李莉学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“中牟幻乐之城”六个字，还原正方体后，“幻”的对面是（   ） A．中 B．牟 C．之 D．城 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的平面展开图找相对面的方法是解题的关键．根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共的顶点，结合展开图很容易找到与“幻”字所在面相对的面上的汉字． 【详解】解：根据图示知：“幻”与“城”相对； “中”与“之”相对； “牟”与“乐”相对． 故选：D． 【例题6-2】．（2025·河南南阳·一模）“柳叶鸣蜩绿暗，荷花落日红酣”描绘了一幅夏日傍晚绚丽多彩且富有生机的情景．将“荷花落日红酣”这六个字分别写在一个正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“荷”字所在面相对面上的汉字是（   ） A．红 B．日 C．落 D．酣 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】此题考查了正方体相对面上的字，根据正方体相对面之间间隔一个正方形即可解答，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得：与“荷”字所在面相对面上的汉字是“红”， 故选：A． 【例题6-3】．（24-25七年级上·广东深圳·期末）小明受到了飞行棋游戏中骰子的启发，自己也做了一个特别的正方体“骰子”（如图），该“骰子”的六个面分别写着，，，，，，小明用自己做的正方体“骰子”进行了次投掷，他看到的情形如图所示，那么“”对面的数字是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形是解题的关键； 根据题干可得“”和“”的对面，据此可得“”的对面． 【详解】解：由题意可知，“”的邻面有、、、，故“”的对面是“”； “”的邻面是、、、，故“”的对面是“”， 故“”的对面是“”． 故选：A 【例题6-4】．（24-25七年级上·广东深圳·期末）现在要制作一个相对的两面具有如图坪山标识，且写有“创”、“新”、“坪”、“山”的正方体宣传物，则它的展开图应该是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了本题考查了正方体的展开图，掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键． 根据正方体的表面展开图，相对面一定隔一个正方形即可判断． 【详解】解：A、D不能折成正方体，故不符合题意， ∵要制作一个相对的两面具有如图坪山标识， ∴一定要隔一个正方形， ∴B符合题意，C不符合题意， 故选：B． 【例题6-5】．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）如图是一个表面分别标有“文”“明”“百”“强”“孝”“义”字样的正方体展开图，则在原正方体中，与“文”相对的是（   ） A．百 B．强 C．孝 D．义 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了正方体的平面展开图，熟练掌握正方体的平面展开图的特点是解题关键．根据正方体的平面展开图的特点求解即可得． 【详解】解：由正方体的平面展开图的特点可知，“明”与“强”处在相对的面上、“文”与“孝”处在相对的面上、“百”与“义”处在相对的面上， 故选：C． 【例题6-6】．（24-25七年级上·江西吉安·期末）如图为正方体的一种平面展开图，各面都标有数字，则数字的面的对面上的数字是（   ） A．6 B．0 C．5 D．4 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】此题考查的是判断正方体展开图中一个面的对面．掌握正方体的展开图的特征是解决此题的关键．正方体展开图中所有相对的面没有公共顶点，没有公共边． 根据正方体的展开图的特征判断即可． 【详解】解：∵所有相对的面没有公共顶点，没有公共边， ∴数字1的面的对面上的数字是0，数字5的面的对面上的数字是4， ∴数字的面的对面上的数字是6． 故选：A． 【例题6-7】．（24-25七年级下·吉林长春·开学考试）现有一个如图所示的正方体，它的展开图可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了正方体的平面展开图，熟练掌握正方体的平面展开图的特点是解题关键．根据正方体的平面展开图的特点逐项判断即可得． 【详解】解：A、将此项的平面展开图还原为正方体后，“吧”字与“油”字处在相对面上，不符合题意； B、将此项的平面展开图还原为正方体后，“吧”字与“加”字处在相对面上，不符合题意； C、将此项的平面展开图还原为正方体后，“吧”字、“油字”、“加”字所在面是两两相邻的，符合题意； D、将此项的平面展开图还原为正方体后，“吧”字与“加”字处在相对面上，不符合题意； 故选：C． 【例题6-8】（24-25七年级上·云南昆明·期末）如图是一个正方体的展开图，则与“昆”字一面相对的字是（   ）． A．四 B．季 C．春 D．如 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是解题的关键．根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“昆”与“春”是对面， 故选：C． 【例题6-9】（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期末）一个正方体的相对面上的数相等，其展开图如图所示，则的结果是（   ） A．5 B．1 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了正方体相对面上的文字，根据相对的面上所标的两个数相等，得出的值，继而求出的值． 【详解】解：由正方体表面展开图可知， “a”与“1”的面是相对的面， “b”与“”的面是相对的面， “c”与“3”的面是相对的面， 又因为相对的表面上所标的数相等， 所以， 则． 故选：D． 【例题6-10】．（24-25七年级上·重庆·期末）在正方体的六个面上，分别标上“我、的、愉、快、初、一”六个字，如图是正方体的三种不同摆法，则从左到右三种摆法的左侧面上三个字分别是（   ） A．的、初、愉 B．中、的、愉 C．愉、初、一 D．的、初、一 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查的是正方体相对面上的字，“理解图形的摆放位置的特征”是解本题的关键． 从3个图形可得和我相邻的有快、的、一、初，那么和我相对的就是愉，而从第2中图可知一相邻的字为的，故第1个图形左侧为的，依次分析即可． 【详解】解：根据三个图形的汉字，可推断出来，和我相对的就是愉，和快相对的就是的，和一相对的就是初， ∴三种摆法的左侧面上三个字分别是的、初、一． 故选：D． 【例题6-11】．（2024七年级上·全国·专题练习）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了正方体相对两面上的字，找出变化的规律是解题的关键． 先向右翻滚，然后按逆时针方向旋转，叫做一次变换，那么连续次变换则是一个循环．本题先要找出次变换是一个循环，然后再求被整除后余数是几，从而确定第次变换后的点数． 【详解】解：第一次变换后朝上一面的点数为5， 第二次变换后朝上一面的点数为6， 第三次变换后朝上一面的点数为3， 第四次变换后朝上一面的点数为5， 连续3次变换是一个循环， 余， 连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是5， 故选：． 【例题6-12】．（2024七年级上·全国·专题练习）某个正方体的展开图如图所示，各个面上分别标有不同数字，则这个正方体相对面上数字之和错误的是（   ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查正方体的展开图；熟练掌握正方体展开图的对面特点是解题的关键． 根据正方体展开图对面的关系可知与是对面，与是对面，和是对面，再找出两面之和即可． 【详解】解：正方体展开图对面的关系可知与是对面， 则， 与是对面， ， 和是对面， ， 故错误的是， 故选：B 【例题6-13】．（24-25七年级上·浙江·开学考试）一个长方体的展开图如图所示，每个面分别标上的了1﹣6六个数字（数字在长方体的内侧），已知3、5、6三面面积之和是，且5号面是一个边长3厘米的正方形．如果2号面是长方体底面，那么 号面是长方体上面，这样围成长方体后每相连两个面上的数字之和是质数（可重复）的有 组，这个长方体的体积是 ．    【答案】 6 【难度】0.85 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的体积、正方体相对两面上的字、正方体、长方体的认识及特征 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握长方体表面展开图的“相间、端是对面”是解题的关键． 根据长方体表面展开图的“相间、端是对面”判断出相对的面，进而得到相邻的面，再由邻面中数字之和为质数的组数，再根据3、5、6三面面积之和是，且5号面是一个边长3厘米的正方形．求出3、6两个面的长，进而得到长方体的长、宽、高，最后由体积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：根据长方体的面积展开图的“相间、端是对面”可得： “1”与“3”，“2”与“6”，“4”与“5”是对面， “1和3”的邻面有“2、4、5、6”，其中，，，，，即相连两个面上的数字和为质数有5组， “2和6”的邻面有“1、3、4、5”，其中，，，，，即相连两个面上的数字和为质数有5组， “4和5”的邻面有“1、2、3、6”，其中，，，，即相连两个面上的数字和为质数有4组， 综上所述，围成长方体后每相连两个面上的数字之和是质数（可重复）的共有（组）； 由相对的面可知， 当2号面是长方体底面时，则6号面位长方体的上面， 3、5、6三面面积之和是，且5号面是一个边长3厘米的正方形， 5、6号面的较长的边长为， 因此这个长方体可以看作底面是边长为的正方形，高为， 体积为， 故答案为：6，，． 【例题6-14】（24-25七年级上·贵州毕节·期末）综合实践小组准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 【操作探究】（）综合实践小组准备制作一个无盖的正方体纸盒，如图中只有四个正方形，请在原图上补画一个正方形，使其经过折叠能围成无盖的正方体纸盒； 【问题解决】（）图是综合实践小组的设计图，把它折成无盖的正方体纸盒后与有“卫”字一面的相对面上的字是______；（字在盒外） 【拓展探究】（）如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个相同的小正方形，折成一个无盖长方体纸盒.当四角剪去的小正方形的边长为时，请求出纸盒的容积．（纸张厚度忽略不计） 【答案】（）画图见解析（答案不唯一）；（）“大”； （） 【难度】0.65 【知识点】由展开图计算几何体的体积、正方体几种展开图的识别、正方体相对两面上的字 【分析】（）根据题意画出图形即可； （）根据正方体的平面展开图中，相对的面中间必须隔着一个正方形进行解答即可求解； （）根据长方体体积公式计算即可； 本题考查了正方体的展开图，长方体的体积，正确识图是解题的关键． 【详解】（）画图如下： （）∵正方体的平面展开图中，相对的面中间必须隔着一个正方形， ∴“卫”和“大”相对， 故答案为：“大”； （）纸盒的容积． 答：纸盒的容积为． 【例题6-15】．（24-25七年级上·广东东莞·期末）综合与实践 问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的______经过折叠能围成无盖正方体纸盒； (2)如图，是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是______； (3)如图，有一张边长为30cm的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒： ①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的体积． 【答案】(1)C (2)卫 (3)①画图见解析；②这个纸盒的体积为． 【难度】0.65 【知识点】由展开图计算几何体的体积、正方体几种展开图的识别、正方体相对两面上的字 【分析】本题考查正方体的表面展开图、正方体相对两面上的字． （1）根据正方体的折叠，可得有5个面，依据正方体的展开图可得答案； （2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案； （3）①画出相应的图形即可；②直接根据体积公式计算即可． 【详解】（1）解：制作一个无盖的正方体纸盒， 展开图有5个面，选项B不符合题意； 再根据正方形的展开图的特征，可得选项A和选项D不符合题意，选项C符合题意； 故选C； （2）解：正方体的平面展开图中，相对的面中间必须隔着一个正方形，所以“保”字相对的字是“卫” 故答案为：卫； （3）解：①所画出的图形如图所示： ②当小正方形的边长为为时， 纸盒的底面积为 纸盒的体积为 答：这个纸盒的体积为． 【例题6-16】．（23-24七年级上·四川广元·期末）如图是一个长方体包装盒的展开图，已知长方体包装盒的长是宽的2倍． (1)包装盒展开图的6个面上分别标有如图所示的序号，若将展开图重新还原成一个包装盒，则面①与面 相对，面②与面 相对；（填序号） (2)若该长方体包装盒的宽为，求这个长方体包装盒的体积． 【答案】(1)⑤，④ (2)这个长方体包装盒的体积为 【难度】0.65 【知识点】由展开图计算几何体的体积、正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了长方体的平面展开图以及列代数式，注意根据题意分析及解答问题． （1）通过结合立体图形与平面图形的相互转化，可以知道长方体包装盒的六个面分别是那两个面一一对应； （2）根据题意和题干图列代数式，根据所给数据计算即可解答． 【详解】（1）解∶根据长方体纸盒展开图可知，①与⑤是相对的，②与④是相对的，③与⑥是相对的； 故答案为∶⑤，④； （2）解∶由长方体的宽为，长是宽的2倍可以得到长方体的长为；由图可知①与④的高相同，所以长方体的高为． 长方体的体积为∶长宽高， 答∶长方体包装盒的体积为． 题型七：正方体几种展开图的识别 【例题7-1】．（2025·广东·模拟预测）综合实践 “长方体纸盒的制作”实践活动 素材 一 走进商场，各种各样的商品琳琅满目，其中很多商品有着形形色色的包装盒．作为吸引顾客的第一道惊喜，厂家对包装盒的设计与制作可谓煞费苦心．包装盒上同样蕴涵着丰富的数学知识，而设计师与企业家们都是数学能手，对包装盒的设计在更优、更省、更美的目标上精益求精． 素材二 某纸箱厂用边长为的正方形纸板设计出两种不同的方案制作长方体盒子用于包装瓷器（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）①图1方式设计制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四个角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来． ②图2方式设计制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四个角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 素材三 包装盒的拆解，我们可以将同一形状的包装盒进行不同方式的拆解，从而得到不同的表面展开图．下面是对一个无盖长方体盒子（它缺一个长为8cm，宽为5cm的长方形盖子）的长、宽、高分别为、、进行拆解，如图是该长方体盒子的一种平面展开图，它的外围周长为．事实上，该长方体盒子的平面展开图还有不少种不同的方法． 任务一 下列图形中，不是无盖正方体盒子的表面展开图的是______（填序号）． 任务二 由材料二可知，图1长方体纸盒的底面周长为_____cm（用含，的代数式表示）． 图2的设计中，如果，计算该长方体纸盒的体积． 任务二 在材料三，这个无盖长方体的其它不同平面展开图中，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值． 【答案】任务一：；任务二：，；任务三：图见解析， 【难度】0.65 【知识点】由展开图计算几何体的体积、正方体几种展开图的识别 【分析】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． 任务一：根据无盖正方体纸盒的展开图求解即可； 任务二：①根据正方形周长公式即可得解；根据长方体的体积公式即可得解； 任务三：根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边画图，再据此求解即可． 【详解】解：任务一：不是无盖正方体盒子的表面展开图的是， 故答案为：； 任务二：图长方体纸盒的底面周长为：， 图的设计中，该长方体纸盒的体积为：， 当，时，该长方体纸盒的体积为：， 故答案为：； 任务三：该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图如下： 周长为：． 【例题7-2】．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）如图，是一个正方体，用字母分别对其12条棱进行了标注． (1)如果它的边长为，那么它的表面积为________，体积为________． (2)若沿棱，，，，，，将其剪开得到展开图，请将展开图画在下面的方框中． 【答案】(1)， (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】由展开图计算几何体的体积、正方体几种展开图的识别 【分析】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握正方体表面积、体积是解题的关键． （1）根据正方体表面积、体积计算公式进行计算即可； （2）根据正方体表面展开图的特征进行解答即可． 【详解】（1）解：它的边长为，那么它的表面积为， 体积为：， 故答案为：，． （2）解：沿棱，，，，，，将其剪开得到展开图， 【例题7-3】．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动． 【知识准备】 (1)如图①、图②、图③、图④中，不是正方体的表面展开图的为 ． 【制作纸盒】 (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以上两种方式制作长方体形盒子．如图⑤，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子，则制作成的无盖长方体盒子的体积为 ． 如图⑥，在纸板四角剪去两个同样大小且边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子．则制作成的有盖盒子的体积为 ． 【拓展探究】 (3)若无盖长方体形盒子的长、宽、高分别为4、3、5，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形． ①需要剪开 条棱． ②当该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最大时，直接写出该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最大值． 【答案】(1)图④ (2) 588 294 (3)①4；②周长最大值为54． 【难度】0.65 【知识点】由展开图计算几何体的体积、正方体几种展开图的识别 【分析】本题考查了几何体（正方体、长方体）的展开图、长方体的体积，熟练掌握正方体的展开图特点以及长方体的体积公式，学会根据长方体的展开图计算长方体的体积是解题的关键． （1）根据正方体的展开图特点，逐一判断即可得出结论； （2）结合图形分别求出无盖长方体盒子和有盖长方体盒子的长、宽、高，再利用长方体的体积公式：长方体体积长宽高，即可解答； （3）①只需要沿着一条侧棱，再剪开另外三条棱，即可解答；②根据题意，可知高长宽，要使该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最大，则它的表面应尽量多沿“高”剪开，画出符合要求的长方体形盒子的表面展开图，即可解答． 【详解】（1）解：根据表面展开图，图①、图②、图③可折成正方体，图④不可折成正方体， 故图④不是正方体的表面展开图， 故答案为：图④． （2）由图⑤得，无盖长方体盒子的长和宽相等，均为，高为， 则无盖长方体盒子的体积为：； 由图⑥得，有盖长方体盒子的长为，宽为，高为， 则有盖长方体盒子的体积为：； 故答案为：588；294． （3）①要沿表面某些棱剪开，展成一个平面图形，只需要剪一条侧棱，再剪开另外三条棱即可， 即需要剪开条棱， 故答案为：4； ②， 高长宽， 要使该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最大，则它的表面应尽量多沿“高”剪开， 则符合要求的长方体形盒子的表面展开图如图所示： 此时周长为：， 该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最大值为54． 【例题7-4】．（24-25七年级上·广东深圳·期中）【综合实践】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是_______；（填序号） 【实践探索】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒） ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______（用含a，b的式子表示）； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为_____． 【实践分析】 （3）一个无盖长方体的长、宽、高分别为，（它缺一个长为，宽为的长方形盖子），如图是该长方体的一种平面展开图，它的外围周长为．事实上，该长方体的平面展开图还有不少，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值． 【答案】（1）②（2）①②1000（3）见解析， 【难度】0.4 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的体积、正方体几种展开图的识别 【分析】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． （1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据正方形周长公式即可得解； ②根据长方体的体积公式即可得解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边画图，再据此求解即可． 【详解】（1）解：②不能折成一个无盖正方体纸盒，①③④能折成一个无盖正方体纸盒， 故答案为：②； （2）①解：由题意可知，长方体纸盒的底面为正方形，其边长为， ∴长方体纸盒的底面周长为， 故答案为：； ②由题意可知，该长方体纸盒的长为，高为，宽为， ∴该长方体纸盒的体积为， 故答案为：1000； （3）解：由题意知：边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，如图， 所以该长方体表面展开图的最大外围周长为． 【例题7-5】．（24-25七年级上·新疆阿克苏·期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，相对的面上的两个数互为相反数，求的值． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】正方体相对两面上的字、有理数加法运算、相反数的定义 【分析】本题考查有理数的运算，正方体展开图的相对面，根据正方体的相对面必定相隔一个小正方形，确定出相对面，进而求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：由图可知：的相对面是数字，的相对面是数字2，的相对面的数字3， ∵相对的面上的两个数互为相反数， ∴， ∴． 【例题7-6】．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是一个长方体纸盒的平面展开图，每个面都标有字母．请根据下面的要求回答问题： (1)如果C面在长方体的底面，那么哪个面在上面？ (2)如果D面在长方体前面，从左面看是C面，那么哪个面在后面？ (3)如果从前面能看到A面，从上面能看到F面，那么从左面能看到是哪个面？ 【答案】(1)F面 (2)E面 (3)D面 【难度】0.65 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了几何体的展开图，利用了对面与邻面间的关系． （1）根据隔面是对面的关系，可得答案； （2）根据隔面是对面的关系，可得答案； （3）根据邻面间的关系，可得答案． 【详解】（1）解：C面与F面是对面，C面在长方体的底面，F面在上面； （2）D面与E面是对面，D面在长方体前面，E面在后面； （3）A、F、D面是邻面，从前面能看到A面，从上面能看到F面，D面在左面． 【例题7-7】．（24-25七年级上·广东茂名·阶段练习）如图，这是正方体的平面展开图，若将图中的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，求的值是多少？ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】相反数的定义、已知字母的值 ，求代数式的值、正方体相对两面上的字 【分析】本题考查相反数，正方体的相对面上的文字，代数式求值；根据相对面上的两个数互为相反数，则“”与面“”相对，面“”与面“”相对，“”与面“”相对，得出，，，再代入求值即可． 【详解】解：∵“”与面“”相对，面“”与面“”相对，“”与面“”相对， 又∵相对面上的两个数互为相反数， ∴，，， ∴ 题型八：含图案的正方体的展开图 【例题8-1】．（24-25九年级下·辽宁锦州·开学考试）小丽制作了一个如图所示的正方体礼品盒，其对面图案都相同，那么这个正方体的平面展开图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】含图案的正方体的展开图 【分析】本题考查正方体的展开图，根据展开图中“相邻必不相对”分析求解，即可解题． 【详解】解：因为正方体礼品盒，其对面图案都相同， 根据展开图中“相邻必不相对”即可排除B、C、D， 故选：A． 【例题8-2】．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】含图案的正方体的展开图 【分析】本题考查了正方体的展开图，解决此类问题在于要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置．根据正方体展开图的特点求解，即可解题． 【详解】解：由图知，这三个面有一个公共点，且长方形面在圆的上方，五角星在圆的左面， 故正方体展开得到的图形是， 故选：C． 【例题8-3】．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列属于如图所示正方体的展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】含图案的正方体的展开图 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据正方体表面三角形和长方形的位置关系逐项判定即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】、选项两个长方形所在面互为相对面，不符合题意； 、选项当三角形所在面为正面时，其中一个长方形所在面为左面，不符合题意； 、选项经过折叠得到题图几何体，符合题意； 、选项三角形所在面和其中一个长方形所在面互为相对面，不符合题意； 故选：． 【例题8-4】（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）图1是由白色纸板拼成的立体图形，将此立体图形中的两面涂上颜色，如图2所示．下列四个图形中哪一个是图2的展开图（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】含图案的正方体的展开图 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点，利用排除法解题． 【详解】解：图2中阴影四边形与三角形相邻，四边形在三角形的左侧， B选项和D选项中，阴影四边形与三角形相对，不合题意， C选项中，阴影四边形与三角形相邻，但四边形在三角形的右侧，不合题意， 选项A中阴影四边形与三角形的位置符合题意． 故选A． 【例题8-5】．（23-24七年级上·北京通州·期末）如图是一个无盖正方体盒子，盒底标有一个字母m，现沿箭头所指方向将盒子剪开，则展开后的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】含图案的正方体的展开图 【分析】本题考查了几何体的侧面展开图，按照沿箭头所指方向将盒子剪开，可得到展开后的图形，解题的关键是要善于想象其侧面展开图的形状． 【详解】解：沿箭头所指方向将盒子剪开，可得到侧面展开为4个小正方形并连接一个标有一个字母m的小正方形，这个标有字母m的小正方形在最左侧小正方形的下面，由选项可得只有A符合， 故选：A． 【例题8-6】．（2025·四川绵阳·一模）将一个小正方体按图中所示方式展开．则在展开图中表示棱a的线段是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】含图案的正方体的展开图 【分析】本题考查几何体的展开图； 先找出阴影三角形的对面，再进行判断． 【详解】解：在正方体中，阴影三角形的对面为面， 则在展开图中表示棱a的线段是． 故选：C． 【例题8-7】（2025·重庆·二模）如图所示是某一正方体的展开图，正方体每一个面上有一个汉字，那么在原正方体中，与“我”字所在的面相对的面上的汉字是（   ） A．山 B．城 C．重 D．庆 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正方体相对两面上的字、含图案的正方体的展开图 【分析】考察了正方体展开图特性的理解，特别是相对面在展开图中的位置关系，掌握正方体展开图的常见形式和相对面的位置特点是解题的关键．根据正方体的表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：在原正方体中，与“我”字所在的面相对的面上的汉字是“城”． 故选：B． 【例题8-8】（24-25六年级上·山东淄博·期末）如图，一个正方体的上面和正面各有一块三角形的阴影，下列是该正方体的展开图的为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】含图案的正方体的展开图 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据题意，两个三角形有一个公共顶点，公共顶点一个为直角三角形的直角顶点，另一个为锐角的顶点，据此逐项分析解题． 【详解】解：A．折叠后，两个三角形没有公共点，故该选项不正确，不符合题意； B．有公共顶点，但是位置不对，故该选项不正确，不符合题意； C．图形是该正方体的展开图，符合题意， D．不是正方体的展开图，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 题型九：截一个几何体 【例题9-1】．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）图1、图2均是正方体，图3是由一些大小相同的正方体搭成的几何体从正面看和左面看得到的形状图，小敏同学经过研究得到如下结论： ①若将图1中正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，至少需要剪开7条棱； ②用一个平面从不同方向去截图1中的正方体，得到的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形； ③用一个平面去截图1中的正方体得到图2，截面三角形ABC中； ④如图3，要搭成该几何体的正方体的个数最少是6． 其中结论正确的为 （填写序号）．    【答案】①②④ 【难度】0.65 【知识点】正方体几种展开图的识别、截一个几何体 【分析】此题主要考查了正方体的展开图的性质，截正方体以及简单组合体的三视图等知识． 根据正方体的棱的条数以及展开后平面之间应有棱连着可判断①；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形可判断②③；作出相应的俯视图，标出搭成该几何体的小正方体的个数最多（少）时的数字即可判断④． 【详解】解：①若将图1中正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，需要剪开7条棱；正确，因为正方体有6个表面，12条棱，要展成一个平面图形必须5条棱连接，所以要剪开条棱．正确； ②用一个平面从不同方向去截图1中的正方体，得到的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形．正确； ③用一个平面去截图1中的正方体得到图2，是等边三角形，则．故③错误． ④如图3，要搭成该几何体的正方体的个数最少是6，故④正确． 故答案为：①②④． 【例题9-2】（23-24七年级上·北京·期末）按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），请你任意画出此正方体的两种平面展开图，并在展开图上画出所有的切割线． 【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】含图案的正方体的展开图、截一个几何体 【分析】本题考查了截一个几何体和几何体的展开图，观察思考与动手操作结合，得到相应的规律是解决本题的关键． 根据正六面体和截面的特征即可得到答案． 【详解】解：如图所示：（答案不唯一） 【例题9-3】．（24-25六年级上·山东烟台·期末）用一个平面去截下列几何体，不能截出三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】截一个几何体 【分析】此题考查截一个几何体，看所给选项的截面能否得到三角形即可，当截面的角度和方向不同时，圆柱体的截面不相同，无论什么方向截取圆柱都不会截得三角形． 【详解】解：．正方体的截面可能是三角形，或四边形，或五边形，或六边形，故该选项不符合题意； ．四棱锥截面图形可能是三角，四边形、五边形，该选项不符合题意； ．截面截圆柱，可以是四边形，圆形，但不可能有三角形，故该选项符合题意； ．圆锥的截面可能是圆，三角形等，故不符合题意； 故选：C． 【例题9-4】（2024七年级上·全国·专题练习）用一个平面去截一个几何体，截面的形状是长方形，那么这个几何体不可能是（　　） A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．长方体 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】截一个几何体 【分析】本题主要考查了几何体的截面，熟练掌握各几何体的结构特征是解题关键．根据圆锥、圆柱、三棱柱和长方体的几何特征，逐一分析判断即可． 【详解】解：用一个平面去截一个几何体，截面的形状是长方形， 那么这个几何体可能是圆柱、三棱柱、长方体，但不可能是圆锥． 故选：A． 【例题9-5】（24-25七年级上·广东河源·期中）分别用一平面去截如图所示的几何体，能得到截面是长方形的几何体有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③⑤ 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】截一个几何体 【分析】本题考查了截一个几何体，熟练掌握长方体、圆柱、三棱柱、圆锥、球体的结构特征是解题关键．根据长方体、圆柱、三棱柱、圆锥、球体的结构特征求解即可得． 【详解】解：用一个平面去截长方体、圆柱、三棱柱，都能得到截面是长方形， 用一个平面去截圆锥、球体，都不能得到截面是矩形， 则能得到截面是长方形的几何体有①②③， 故选：A． 【例题9-6】．（24-25七年级上·广东深圳·期中）物理中的打印技术通过读取截面相关的信息，用液体状、粉状或片状的材料将这些截面逐层打印出来，再将各层面以多种方式粘合起来，从而制造出一个实体．莲花中学数学兴趣小组利用打印机，读取到截面的相关信息有三角形、梯形和六边形，那么打印机可能打出来的是哪一种立体图形（   ） A．圆柱 B．圆锥 C．四棱锥 D．正方体 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】截一个几何体 【分析】本题主要考查几何体的截面，截面截圆柱，截面可能为矩形、圆、椭圆等，但是无法截出六边形；截面截圆锥，截面图形可以是三角形、圆、椭圆等，但是无法截出梯形和六边形；截面截正四棱锥，截面图形可以是三角形、四边形、五边形，但是无法截出六边形；截面截正方体，截面图形可以是三角形、四边形、五边形、六边形．根据此作答即可． 【详解】解：． 圆柱的截面可能为矩形、圆、椭圆等，但是是无法截出六边形，该选项错误，不符合题意； ． 圆锥的截面可能为三角形、圆、椭圆等，但是无法截出梯形和六边形，该选项错误，不符合题意； ．四棱锥的截面可能为三角形和四边形、五边形，但是无法截出六边形，该选项错误，不符合题意； ．正方体的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形，该选项正确，符合题意； 故选：D． 【例题9-7】（23-24七年级上·辽宁阜新·期末）截一个几何体可以得到不同的平面图形，下面四个平面图形均可由哪一个几何体截得（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【难度】0.65 【知识点】截一个几何体 【分析】此题考查了几何体的截面图，根据题意进行排除即可，解题的关键是正确理解几何体的截面图 【详解】根据几何体的截面可知， 、圆锥的截面图为圆，三角形，此选项不符合题意； 、正方体的截面图如图，此选项不符合题意；    、球的截面图为圆，此选项不符合题意； 、圆柱的截面图为圆，长方形，此选项不符合题意； 故选：． 【例题9-8】．（2025·贵州贵阳·二模）用一个平面去截下列几何体，截面一定是圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】截一个几何体 【分析】本题考查了截一个几何体，根据不同几何体的截面的形状，进行判断即可，掌握各种几何体的截面形状是解题的关键． 【详解】解：、用一个平面去截，截面可能是三角形或四边形，不合题意； 、用一个平面去截，截面可能是圆形或四边形，不合题意； 、用一个平面去截，截面可能是三角形或四边形，不合题意； 、球体无论怎样去截，其截面一定是圆形的，符合题意； 故选：． 【例题9-9】．（2025·江苏南京·二模）如图，从一个长方体的一角截去一个三棱锥，剩余的几何体的顶点数不可能是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】截一个几何体 【分析】本题考查了截一个几何体，根据不同的截法，得出各个情况的剩余的几何体的顶点数，运用数形结合思想，进行作答即可． 【详解】解：一个长方体的一角截去一个三棱锥，如图所示： 此时剩余的几何体的顶点数是8， 一个长方体的一角截去一个三棱锥，如图所示： 此时剩余的几何体的顶点数是9， 一个长方体的一角截去一个三棱锥，如图所示： 此时剩余的几何体的顶点数是10， 故选：D 【例题9-10】．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）玲玲用两种不同的方法分别去截同一个几何体，分别得到了如图所示的图形，这个几何体可能是（    ） A．球 B．圆柱 C．长方体 D．圆锥 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】截一个几何体 【分析】本题考查了几何体的截面，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，根据圆锥、圆柱、球体，长方体的几何特征，分别分析出用一个平面去截该几何体时，可能得到的截面的形状，逐一比照后，即可得到答案． 【详解】解：A、用不同的方法截球体，不能得到长方形，故该选项不符合题意； B、用不同的方法截圆柱，能得到以上各种图形，故该选项符合题意； C、用不同的方法截长方体，不能得到圆形，故该选项不符合题意； D、用不同的方法截圆锥，不能得到长方形，故该选项不符合题意； 故选：B． 【例题9-11】．（2025·陕西咸阳·一模）妙妙有一块如图所示的长方体橡皮，她用刀去切这块橡皮，切一刀，则截面形状不可能是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．圆 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】截一个几何体 【分析】此题考查的是长方形的截面图形，掌握长方形的各个截面图形的形状是解决此题的关键． 长方体共有六个面，故用平面截一个长方体时，最多与六个面都相交，此时截面为六边形，最少与三个面相交，此时为三角形，因此，截面图形的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形，不可能是圆． 【详解】解：长方体共有六个面，故用平面截一个长方体时，最多与六个面都相交，此时截面为六边形， 最少与三个面相交，此时为三角形， 因此，截面图形的形状可能为三角形、四边形、五边形、六边形，不可能为圆． 故选：D． 【例题9-12】（24-25六年级上·山东威海·期中）用一个平面截下列几何体，若所得截面是长方形，则该几何体可能是（    ） A．正方体、三棱锥 B．圆柱、正方体 C．圆锥、棱柱 D．球、长方体 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】截一个几何体 【分析】本题主要考查用一平面去截几何体，根据正方体、圆柱、圆锥，球、棱柱等的形状特点判断即可． 【详解】解：．用一个平面截三棱锥，所得截面得不出长方形，故该选项不符合题意； ．用一个平面 圆柱、正方体，都可以得出长方形，故该选项符合题意； ．用一个平面截圆锥，所得截面得不出长方形，故该选项不符合题意； ．用一个平面截球，所得截面得不出长方形，故该选项不符合题意； 故选：B． 【例题9-13】．（24-25七年级上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（   ） A．五棱柱有10个顶点，10条棱，7个面 B．点动成线，线动成面，面动成体 C．圆锥的侧面展开图是一个圆 D．用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形、七边形 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】截一个几何体、几何体中的点、棱、面、点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查立体图形的基本特征、点线面体的关系以及正方体的截面相关知识，解题的关键是准确记忆和理解这些概念． 分别对每个选项所涉及的知识点进行分析判断． 【详解】A、五棱柱上下底面各有5个顶点，共10个顶点；棱包括上下底面的棱和侧棱，上下底面各5条棱，侧棱有5条，共15条棱；面包括上下2个底面和5个侧面，共7个面，所以该选项中棱的数量错误； B、点动成线，比如笔尖在纸上移动能画出线；线动成面，例如汽车雨刮器在挡风玻璃上运动时，雨刮器经过的区域形成一个面；面动成体，像把长方形绕着它的一条边旋转一周就形成一个圆柱体，该选项说法正确； C、圆锥的侧面展开图是一个扇形，而不是圆，所以该选项错误； D、用平面去截一个正方体，最多与6个面相交，得到六边形，不可能得到七边形，所以该选项错误． 故选：B． 【例题9-14】．（24-25六年级下·山东滨州·阶段练习）圆锥的截面不可能是（   ）． A．圆形 B．三角形 C．椭圆形 D．平行四边形 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】截一个几何体 【分析】根据圆锥的特点，考虑截面从不同角度和方向截取的情况即可解答． 本题考查了截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法． 【详解】解：用平面截圆锥，横切就是圆，竖切就是三角形，斜切侧面是椭圆，不论怎么切不可能是平行四边形． 故选：D． 【例题9-15】．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，把一个长方体平均切成若干个小正方体，除底面外，其他面全部涂上颜色．两面涂色的小正方体有 个，一面涂色的小正方体有 个． 【答案】 14 14 【难度】0.65 【知识点】截一个几何体 【分析】本题考查长方体的相关知识．观察后动手操作，判断出只有一面涂色或两面涂色的几何体的位置，是解决本题的关键．根据所给立体图形，观察两面涂色的小正方体和一面涂色的小正方体的个数即可． 【详解】解：如图1：两面涂色的小正方体除图中标注的外，左面和后面相交的边长处的最底层和中间层处还有2个， ∴两面涂色的小正方体有14个． 如图2：只有一面涂色的小正方体前面有4个，可推测后面也有4个；右面有2个，可推测左面也有2个；上面有2个， ∴一面涂色的小正方体有（个）． 故答案为：14，14． 【例题】（19-20七年级上·河南平顶山·阶段练习）用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是圆，那么这个几何体可能是 ．（请写出一种） 【答案】球（答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】截一个几何体 【分析】本题考查了截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．根据球的形状特点可得答案． 【详解】解：∵球的截面为圆， ∴这个几何体可能是球， 故答案为：球（答案不唯一）． 【例题】（2024七年级上·全国·专题练习）如果用平面截掉一个正方体的一个角，那么剩下的几何体有 个顶点． 【答案】7或8或9或10 【难度】0.65 【知识点】截一个几何体 【分析】本题考查了截一个正方体一个角的问题，注意分情况讨论，做到不重复不遗漏，有一定的难度． 当截面截取由三个顶点组成的面时可以得到三角形，剩下的几何体有7个顶点、12条棱、7个面；当截面截取一棱的一点和两底点组成的面时可剩下几何体有8个顶点、13条棱、7个面；当截面截取由2条棱中点和一顶点组成的面时剩下几何体有9个顶点、14条棱、7个面；当截面截取由三棱中点组成的面时，剩余几何体有10个顶点、15条棱、7个面． 【详解】解∶剩下的几何体可能有∶7个顶点、12条棱、7个面；或8个顶点、13条棱、7个面； 或9个顶点、14条棱、7个面； 或10个顶点、15条棱、7个面 如图所示∶ 故答案为：7或8或9或10． 【例题9-16】．（24-25七年级上·江苏盐城·开学考试）把一根长2米的长方体木料切成3段，表面积增加8平方分米．这根木料的体积是 立方分米． 【答案】40 【难度】0.65 【知识点】截一个几何体、正方体、长方体的认识及特征 【分析】本题主要考查了长方体的体积、木料的切割特点等知识点，求出横截面的面积是解题的关键． 锯成3段后，表面积是增加了4个横截面的面积，根据增加的表面积求出横截面的面积，再利用体积=横截面面积×长，求出体积即可． 【详解】解：2米=20分米， 横截面面积为平方分米， （立方分米）， 答：这根方木的体积是40立方分米． 故答案为：40． 【例题9-17】（2024七年级上·全国·专题练习）用一个平面将一个长方体截去一个三棱柱，剩下的几何体可能是（写出所有可能的结果） ． 【答案】三棱柱或四棱柱或五棱柱 【难度】0.65 【知识点】截一个几何体 【分析】本题考查了用平面截长方体．从长方体中截去一个三棱柱后剩下的几何体的形状与截面的位置有关，所以本题需要分情况讨论． 三棱柱中三角形所在面的个顶点在长方体的顶点上； 三棱柱中三角形所在面的2个顶点在长方体的顶点上； 三棱柱中三角形所在面的1个顶点在长方体的顶点上． 【详解】解：如图所示：用一个平面将一个长方体截去一个三棱柱，剩下的几何体是：三棱柱或四棱柱或五棱柱． 方法一、如下图所示，当三棱柱的底面三角形的个顶点分别在长方体的个顶点上时，剩下的几何体是一个三棱柱； 方法二、如下图所示，当三棱柱的底面三角形的个顶点分别在长方体的个顶点上，另个顶点在长方体的条棱上时，剩下的几何体是一个四棱柱； 方法三、如下图所示，当三棱柱的底面三角形的个顶点分别在长方体的个顶点上，另个顶点分别在长方体的条棱上时，剩下的几何体是一个五棱柱 故答案为：三棱柱或四棱柱或五棱柱． 【例题9-18】．（24-25七年级上·全国·随堂练习）用一平面去截下列几何体，其截面可能是长方形的有 个． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】截一个几何体 【分析】本题考查几何体的截面，根据圆柱、长方体、圆锥、四棱柱的形状判断即可，可用排除法，关键要理解面与面相交得到线，注意：截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关． 【详解】解：圆锥不可能得到长方形截面， ∴能得到长方形截面的几何体有：圆柱、长方体、四棱柱，一共有3个， 故答案为：3． 题型十：求展开图上两点折叠后的距离 【例题10-1】（2025·河南焦作·二模）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求展开图上两点折叠后的距离 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解． 【详解】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点距离最远的顶点是， 故选：A． 【例题10-2】．（2023·山东·中考真题）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求展开图上两点折叠后的距离 【分析】根据题意画出立体图形，即可求解． 【详解】解：折叠之后如图所示，    则K与点D的距离最远， 故选D． 【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力． 【例题10-3】（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（   ） A．A B．B C．C D．D 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求展开图上两点折叠后的距离 【解析】略 【例题10-4】（22-23七年级上·重庆合川·期末）图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求展开图上两点折叠后的距离 【分析】将图①折成正方体，然后判断出、的在正方体中的位置，从而可得到之间的距离． 【详解】解：如图所示，将图①折成正方体后点、的在正方体中的位置， 蜗牛是从点沿该正方体的棱爬行到点 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了展开图折成几何体，判断出、的在正方体中的位置是解题的关键． 【例题10-5】（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为 ． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】求展开图上两点折叠后的距离 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据A、B两点在展开图上的位置，确定其在正方体上的位置是解题关键．将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线，据此即可得到答案． 【详解】解：将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线， 因为展开图中，即两倍对角线为8， 那么对角线的长度就是4， 即正方体A、B两点间的距离为4， 故答案为：4． 【例题10-6】（22-23六年级上·山东威海·期末）如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形的顶点A、B在图2围成的小正方体上的距离是 ．    【答案】1 【难度】0.85 【知识点】求展开图上两点折叠后的距离 【分析】本题考查了展开图折成几何体，判断出A、B两点在正方体上的位置是解题关键．由展开图折叠成几何体可知，正方体上的顶点A、B是同一棱上的两个端点，据此即可得到答案． 【详解】解：由展开图折叠成几何体可知，正方体上的顶点A、B是同一棱上的两个端点， 即A、B的距离是正方体的棱长1， 故答案为：1． 【例题10-7】（23-24九年级上·重庆·期中）如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，它从顶点沿着棱直接爬到点所走的路程，比它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程少 ． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】求展开图上两点折叠后的距离 【分析】本题考查了几何体的展开图，两点之间线段最短，勾股定理，先展开，三角形的一条直角边为，另一边为，勾股定理计算即可． 【详解】如图，根据题意，得，， 则， 故答案为：4． 【例题10-8】．（22-23七年级上·陕西西安·期末）如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上两点间的距离为 ． 【答案】3 【难度】0.94 【知识点】求展开图上两点折叠后的距离 【分析】将正方体的展开图叠成一个正方体，A、B刚好是同一个面的对角线，于是可以求出结果． 【详解】将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线， 因为两倍对角线为6，那么对角线的长度就是， 即正方体上两点间的距离为：3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了正方体的展开与折叠，将正方体的展开图正确折叠是解题的关键，难点在于确定A、B两点折叠后的位置． 题型十一：补一个面使图形围成正方体 【例题11-1】（2025·福建厦门·三模）如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】补一个面使图形围成正方体 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 根据“141型”，②能与阴影部分组成正方体展开图， 故选：B． 【例题11-2】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】补一个面使图形围成正方体 【分析】本题主要是正方体的展开图形，将一个正方体展开，可能得到的形状有以下几种：①“一四一”型；②“二三一”型或“一三二”型；③“二二二”型；④“三三”型；结合题中所给的图形，运用正方体常见展开的几种形式分析求解即可． 【详解】解：根据正方体的表面展开图，选A、B、C、D四个位置即可． 故选：D． 【例题11-3】（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）【正方体的表面积】将一个正方体等分成8个小正方体，任取其中都在顶点处的一个小正方体后，其表面积和原来相比，（   ） A．减少了 B．增大了 C．没有变化 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】补一个面使图形围成正方体 【分析】本题考查了正方体的表面积，抓住拿掉的小正方体只有3个表面在外面，而剩余的部分也多了3个面，即可求解； 【详解】解：∵拿掉的小正方体只有3个表面在外面，而剩余的部分也多了3个面， ∴表面积和原来相比没有变化 故选：C ． 【例题11-4】（23-24七年级上·河北唐山·期末）图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】补一个面使图形围成正方体 【分析】本题考查了正方体的展开图，熟知正方体的11种展开图是解题关键，据此即可求解． 【详解】解：将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有②③⑤三种情况，图1的正方形放在图2中①④的位置，会出现重叠的面，无法围成正方体． 故选：C 【例题11-5】（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使添加后的图形能折叠成一个正方体，共有（  ）种添法．    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】补一个面使图形围成正方体 【分析】根据正方体的展开图得出结论即可． 【详解】解：在图中添加一个小正方形，使它能折成一个正方体的情况如下：    共有4种添法， 故选：B 【点睛】本题主要考查正方体的展开图，根据正方体的展开图得出结论是解题的关键． 【例题11-6】（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）用一个平面去截四棱柱、圆锥、圆柱、五棱柱、球，截面可能是三角形的几何体有（    ） A．3个 B．2个 C．4个 D．5个 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】截一个几何体 【分析】本题考查了截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，根据几何体的形状，判断出截面的形状，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：用一个平面去截四棱柱、圆锥、圆柱、五棱柱、球，截面可能是三角形的几何体有四棱柱、圆锥、五棱柱，共有3个， 故选：A． 【例题11-7】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有 种选法． 【答案】4 【难度】0.94 【知识点】补一个面使图形围成正方体 【分析】本题主要考查了正方体的展开图．解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．利用正方体的展开图即可解决问题，共4种． 【详解】解：如图所示：共4种． 【例题11-8】（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴形的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的涂法有 种． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】补一个面使图形围成正方体 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的特征是解题关键．根据正方体的展开图求解即可． 【详解】解：如图所示： 故答案为：． 【例题11-9】（2023·黑龙江大庆·一模）黑龙江省第五届旅游发展大会将于2023年夏季在大庆市举办，为“迎旅发”，创建美丽城市，九年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“庆”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有 种添加方式． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】补一个面使图形围成正方体 【分析】根据正方体的表面展开图的特征，即可解答． 【详解】解：将写有“庆”字的正方形分别放在“建”、“设”、“美”、“丽”的上方均可构成完整的正方体展开图， 所以，共有4种添加方式， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握正方体的表面展开图的特征是解题的关键． 题型十二：平面图形形状的识别 【例题12-1】（2025·广西钦州·二模）下列图形是平面图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】平面图形形状的识别 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，如果一个图形是由几个不同的面围成的，那么这个图形是立体图形；如果一个图形可以放在一个平面内，那么这个图形是平面图形，据此判断即可求解，掌握平面图形和立体图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、是立体图形，不合题意； 、是立体图形，不合题意； 、是立体图形，不合题意； 、是平面图形，符合题意； 故选：． 【例题12-2】（24-25七年级上·吉林长春·开学考试）用（   ）长的这几根小棒可以围成一个长方形． A．7厘米、4厘米、6厘米、4厘米 B．7厘米、4厘米、6厘米、5厘米 C．7厘米、4厘米、7厘米、4厘米 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】平面图形形状的识别 【分析】此题考查了长方形的性质，根据长方形的性质求解即可． 【详解】解：∵长方形的对边相等， ∴用7厘米、4厘米、7厘米、4厘米长的这几根小棒可以围成一个长方形． 故选：C． 【例题12-3】（24-25七年级上·广西防城港·阶段练习）下列图形中是平面图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】平面图形形状的识别 【分析】本题考查了平面图形和立体图形的认识．熟悉平面图形与立体图形的特点是解本题的关键． 有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形；有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形．根据概念逐一分析即可． 【详解】解：三角形的边与角都在平面内，是平面图形，故A符合题意； 正方体，球，六棱柱都是立体图形，故B，C，D不符合题意； 故选A． 【例题12-4】（24-25七年级上·吉林长春·开学考试）将下图沿着虚线剪开，会得到（   ） A． B． C． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】平面图形形状的识别 【分析】本题考查了基本图形，根据图形沿着虚线剪开可知得到直角三角形． 【详解】解：由图可知，得到的图形是直角三角形， 故选C． 【例题12-5】（24-25七年级上·广西贵港·期末）下列图形中，属于平面图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】平面图形形状的识别 【分析】本题主要考查了平面图形的定义，解题的关键是认识平面图形与立体图形，根据平面图形的概念逐个选项分析判断即可． 【详解】解：A、圆属于平面图象，符合题意； B、圆锥是立体图形，不符合题意； C、正方体属于立体图形，不符合题意； D、圆柱属于立体图形，不符合题意． 故选：A． 【例题12-6】（24-25七年级上·陕西西安·期末）若将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角度数比为，则最小的扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】平面图形形状的识别 【分析】本题考查了平面图形的认识．用乘以，即可求解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 【例题12-7】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，组成这个标志的几何图形有（   ） A．圆、长方形、正方形 B．圆、线段、正方形 C．球、长方形、正方形 D．球、线段、点 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】平面图形形状的识别 【分析】本题主要考查了平面图形的识别，解题关键是掌握平面图形的定义．根据平面图形定义，即可找出正确答案． 【详解】解：组成这个标志的几何图形有圆、长方形、正方形． 故选：A． 【例题12-8】（2024七年级上·全国·专题练习）将一个圆分割成A、B、C三个扇形，若A，B，C三个扇形的面积比是，则扇形B的圆心角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】平面图形形状的识别 【分析】本题考查了认识平面图形，将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的和为，再由A，B，C三个扇形的面积比是，可求出扇形B的圆心角度数． 【详解】解：由题意可得，三个圆心角的和为， 又因为A，B，C三个扇形的面积比是， 所以这三个扇形的圆心角的度数比为， 所以扇形B的圆心角的度数为：， 故选：B． 【例题12-9】（2024七年级上·全国·专题练习）在长方形、长方体、三角形、球、圆中，多边形有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．2个 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】平面图形形状的识别 【分析】本题主要考查了平面图形以及多边形的概念， 根据多边形的定义逐个判断解答即可． 【详解】长方形和三角形是多边形． 故选：D． 【例题12-10】．（23-24七年级上·全国·课后作业）下列图形属于平面图形的是（） A．长方体 B．球 C．圆柱 D．三角形 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】平面图形形状的识别 【分析】此题考查了平面图形，解题的关键是掌握平面图形的定义．根据平面图形的概念逐个选项分析判断即可． 【详解】解：A、长方体是立体图形，不是平面图形，此选项不符合题意； B、球是立体图形，不是平面图形，此选项不符合题意； C、圆柱是立体图形，不是平面图形，此选项不符合题意； D、三角形是平面图形，此选项符合题意； 故选：D． 【例题12-11】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）沿湖的环形道上有A、B两个路牌，某人从某点开始沿环道散步一周，开始走了20分钟后，此时的位置到A、B路牌距离相等，继续走了50分钟后，此时的位置到A、B路牌距离也相等，假设此人速度保持不变，则此人沿环道再走 分钟回到出发点． 【答案】30 【难度】0.85 【知识点】平面图形形状的识别 【分析】本题考查了图形的性质，理解题意作出示意图是解题的关键．设到A、B路牌距离相等的位置分别为、，根据题意得到从点散步到点的路程为环形道周长的一半，且需要50分钟，得出沿环形道散步一周的时间，即可求解． 【详解】解：如图，设到A、B路牌距离相等的位置分别为、， 由题意得，从点散步到点的路程为环形道周长的一半，且需要50分钟， 沿环形道散步一周需要分钟， 回到出发点需要沿环道再走分钟． 故答案为：30． 【例题12-12】（24-25七年级上·广东惠州·期末）如图，构成该图案的几何图形有 ．（任写三个） 【答案】三角形、正方形、长方形（答案不唯一） 【难度】0.94 【知识点】平面图形形状的识别 【分析】本题主要考查了平面图形的识别，解题关键是掌握平面图形的定义．根据平面图形定义，即可找出正确答案． 【详解】解：组成这个标志的几何图形有圆、三角形、正方形、长方形、梯形． 故答案为：三角形、正方形、长方形（答案不唯一）． 【例题12-13】（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）请写出一个你知道的平面图形 ． 【答案】三角形（答案不唯一） 【难度】0.85 【知识点】平面图形形状的识别 【分析】本题考查平面图形的定义，熟练掌握平面图形的定义是解题的关键； 根据平面图形的定义即可求解； 【详解】解：根据平面图形的定义可知，三角形为平面图形； 故答案为：三角形 【例题12-14】（24-25七年级上·上海松江·期末）如图，现有三种不同型号的卡片共12张，其中有3张边长为3的正方形型卡片，有4张长为3，宽为2的长方形型卡片，有5张边长为2的正方形型卡片．我们可以选取一些卡片，无重叠，无缝隙地拼成不同形状的长方形，那么能拼成面积最大的长方形的面积是 ． 【答案】55 【难度】0.85 【知识点】平面图形形状的识别 【分析】本题考查的是几何图形的拼接，理解题意，得到新的长方形的长与宽即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：新的长方形的长为：，宽为； 如图， 或 ∴最大面积为， 故答案是：55； 【例题12-15】（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）回顾·反思 回顾本学期学习的第四章“基本平面图形”，我们感悟了一些研究图形的基本思路和方法．在今后的学习中我们将继续研究平面图形中的三角形，基于你研究图形的认识，你觉得可以研究三角形的 、 ．（填写两个方面即可） 【答案】 边 角 【难度】0.94 【知识点】平面图形形状的识别 【分析】本题考查了基本平面图形，研究三角形可以从组成三角形的基本元素边、角进行研究． 【详解】解：研究平面图形中的三角形可以研究三角形的边、角，边角之间的关系等； 故答案为边；角． 【例题12-16】（24-25七年级上·山东菏泽·期末）在下列几何图形中，属于平面图形的有 (填序号) ①线段，②球，③正方体，④三角形，⑤角，⑥圆 【答案】①④⑤⑥ 【难度】0.94 【知识点】常见的几何体、平面图形形状的识别 【分析】本题考查了学生对平面图形与立体图形的理解与辨识能力．在数学几何学中，平面图形指的是所有点都位于同一平面上的图形，而立体图形则是在三维空间中占据体积的图形．因此，解题的关键在于准确区分这两种图形． 【详解】解：线段，三角形，角，圆是平面图形，球和正方体是立体图形， 故答案为：①④⑤⑥． 【例题12-17】（2024七年级上·全国·专题练习）如图是由一副七巧板组成的花样滑冰图形，图中含有的平面图形有 ． 【答案】正方形、三角形和平行四边形 【难度】0.94 【知识点】平面图形形状的识别 【分析】本题考查平面图形的认识，关键是掌握四边形、三角形的概念．由三角形是由三条线段首尾相接组成的图形可找出图中的三角形； 由四边形是四条线段首尾相接组成的图形可找出图中的四边形． 【详解】解：观察可知图形中的平面图形有三角形、正方形、平行四边形， 故答案为：三角形、正方形、平行四边形． 【例题12-18】（2024七年级上·全国·专题练习）下列几何图形中，是平面图形的有 ，是立体图形的有 ．（填序号） 【答案】 ②④⑤⑧⑨ ①③⑥⑦ 【难度】0.94 【知识点】常见的几何体、平面图形形状的识别 【分析】本题考查了平面图形与立体图形的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键．各个部分在同一平面内的为平面图形；各个部分都不在同一平面内的为立体图形． 【详解】解：因为各个部分在同一平面内的为平面图形， 所以②④⑤⑧⑨为平面图形， 因为各个部分都不在同一平面内的为立体图形， 所以①③⑥⑦为立体图形． 故答案为：②④⑤⑧⑨；①③⑥⑦． 【例题12-19】（2024七年级上·全国·专题练习）下列几何图形：①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤圆锥；⑥圆柱．其中属于立体图形的是 ，属于平面图形的是 ．（填序号） 【答案】 ③⑤⑥ ①②④ 【难度】0.94 【知识点】立体图形的分类、平面图形形状的识别 【分析】本题考查了学生对平面图形与立体图形的理解与辨识能力.在数学几何学中，平面图形指的是所有点都位于同一平面上的图形，而立体图形则是在三维空间中占据体积的图形.因此，解题的关键在于准确区分这两种图形. 【详解】解：根据平面图形与立体图形的定义： 平面图形：①三角形，②长方形，④圆，这些图形的点都在同一平面上，因此它们是平面图形. 立体图形：③正方体，⑤圆锥，⑥圆柱，这些图形在三维空间中占据体积，因此它们是立体图形. 故属于立体图形的是③正方体，⑤圆锥，⑥圆柱，属于平面图形的是①三角形，②长方形，④圆. 故答案为：③⑤⑥； ①②④． 【例题12-20】（2024七年级上·全国·专题练习）将如图所示的一个圆分割成四个扇形，这四个扇形的圆心角的度数比为． (1)求这四个扇形的圆心角的度数； (2)若圆的半径为，请分别求出这四个扇形的面积． 【答案】(1)，，， (2)，，， 【难度】0.65 【知识点】平面图形形状的识别 【分析】本题考查圆内扇形与圆的关系． （1）四个圆心角的度数和为，再根据每个角所占整个圆心角的几分之几求解即可； （2）根据扇形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：四个扇形的圆心角度数分别如下： ； ； ； ； （2）解：扇形的面积：； 扇形的面积：； 扇形的面积：； 扇形的面积：． 题型十三：用七巧板拼图形 【例题13-1】（2025·河北唐山·二模）七巧板是中国古代人民创造的益智玩具.如图，用一副七巧板拼出了“灵蛇开运”图.若七巧板中的那两块最大等腰直角三角形的直角边的长为，则拼出右边的“灵蛇开运”图的面积是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】本题考查七巧板．熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系是解题的关键．根据小三角形的面积是小正方形面积的一半；平行四边形和最左侧腰直角三角形的面积与小正方形的面积相等；大三角形的面积是小正方形面积的2倍，即可求出结果． 【详解】解：两块最大等腰直角三角形的直角边的长为， 两块最大等腰直角三角形的面积为， 平行四边形和最左侧腰直角三角形的面积与小正方形的面积相等，且等于大三角形的面积的一半， 平行四边形、最左侧腰直角三角形、小正方形的面积都为， 小三角形的面积是小正方形面积的一半， 小三角形的面积是， “灵蛇开运”图的面积是， 故选：B． 【例题13-2】（2025·福建宁德·二模）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．用图1所示的“七巧板”中的六块，拼成图2所示的“家”的图形，图1中没用上的那一块七巧板是（   ） A．④ B．⑤ C．⑥ D．⑦ 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】该题考查了七巧板，根据图1和图2分析即可解答． 【详解】解：根据图1可得：①和②面积相等，占整个图的，④和⑥面积相等，占整个图的，⑦占整个图的，⑤占整个图的，③占整个图的，④和⑥面积之和等于⑦的面积，④、⑥、⑦面积之和等于①的面积， 根据图2可知空白部分为长方形，则④、⑥、⑦、①四部分可以组成长方形， 故图1中没用上的那一块七巧板是⑤， 故选：B． 【例题13-3】（24-25六年级上·上海·阶段练习）七巧板是我们民间流传广泛的一种古典智力玩具，由正方形分割而成（如图），图中①号部分的面积是正方形面积的（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】此题主要考查了七巧板问题，分数的定义，解答此题的关键是要明确七块板的图形的特征．把整个图形的面积看作单位“1”，图中①号部分和②号部分的面积占整个图形面积的，图中①号部分和②号部分的面积相等，据此可得答案． 【详解】解：， ∴图中①号部分的面积是正方形面积的， 故选：B． 【例题13-4】（24-25七年级上·河南商丘·期末）用边长为8的正方形，做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为（    ） A．16 B．24 C．32 D．64 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】本题主要考查正方形对角线的性质及用七巧板拼图，解题的关键是得出阴影部分与整体的位置关系．读图分析阴影部分与整体的位置关系，易得阴影部分的面积即为原正方形的面积的一半，据此求解即可． 【详解】解：读图可得，阴影部分的面积为原正方形的面积的一半， 则阴影部分的面积为． 故选：C． 【例题13-5】（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）数学活动课上，小明用一张边长为的正方形纸片制作了一副如图1所示的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2所示的“天鹅”作品，则该“天鹅”作品中，阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】本题主要考查了七巧板的知识，熟练掌握七巧板各图形边长之间的关系是解题的关键．根据七巧板的特征求解即可． 【详解】解：根据七巧板的特征可知，图2中小正方形的面积， 图2中阴影三角形的面积， 阴影部分的面积为， 故选：． 【例题13-6】（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，是一个同学用一副七巧板拼出的一个三角形，下列说法不正确的是（    ） A．第⑥块的面积是第③块的4倍 B．图中的等腰直角三角形一共有8个 C．第①块的面积是整个面积的 D．第②块的面积与第⑤块的面积相等 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】本题考查了三角形，解题的关键是了解七巧板，（七巧板是由五块等腰直角三角形两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形，一块正方形和一块平行四边形组成）．设①和③的面积为，计算其他几块的面积即可解答． 【详解】解：设①和③的面积为， 则②的面积为，④的面积为，⑤的面积为，⑥和⑦的面积为， ∴整个三角形的面积为， ∴第⑥块的面积是第③块的倍，A选项不符合题意； 图中的等腰直角三角形一共有个，B选项不符合题意； 第①块的面积是整个面积的，C选项符合题意； 第②块的面积与第⑤块的面积相等，D选项不符合题意， 故选∶C． 【例题13-7】（24-25七年级上·福建泉州·期末）七巧板是中国古代人民创造的益智玩具．如图，用一副七巧板拼出了“灵蛇开运”图，若七巧板中的那块小正方形的面积为4，那么拼出的图形的面积是 ． 【答案】32 【难度】0.65 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】本题考查了七巧板，熟练掌握七巧板的特点是解题关键．先求出大等腰直角三角形板的边长为4，再求出大正方形的面积，由此即可得． 【详解】解：∵七巧板中的那块小正方形的面积为4， ∴七巧板中的那块小正方形的边长为2， ∴七巧板中的那块大等腰直角三角形的边长为， ∴图中利用七巧板拼成的大正方形的面积为， ∴拼出的“灵蛇开运”图的面积是32， 故答案为：32． 【例题13-8】（24-25七年级上·福建泉州·期末）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．已知图是边长为的大正方形，图是小红同学将七巧板摆拼而成的“奔跑者”图案，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质、七巧板问题的求解等知识与方法，正确地找出组成图中阴影部的图形与图中的对应图形是解题的关键． 由题意可知四边形和四边形都是正方形，且正方形的边长为，则，所以，求得，而平行四边形、正方形、面积相等，与面积的和等于的面积，所以，因为图中的阴影部分由图中的和平行四边形组成，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，由题意可知，四边形和四边形都是正方形，且正方形的边长为， ， ， 和都是等腰直角三角形， ， 、、都是等腰直角三角形，四边形是正方形， ， ∴平行四边形、正方形、面积相等，与面积的和等于的面积， ， ∵图中的阴影部分由图中的和平行四边形组成， ， 故答案为： 【例题13-9】（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，用边长为8的正方形，做了如图1所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图2所示的图形，则图2中阴影部分的面积为 ． 【答案】16 【难度】0.65 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】由七巧板的制作过程可知，阴影部分是用平行四边形和一个小正方形拼成的，所以面积是正方形面积的． 【详解】解：阴影部分面积等于大正方形的面积减去两个大三角形的面积和两个中等三角形的面积所得的值， 而两个中等三角形的面积等于一个大三角形的面积，四个大三角形的面积等于正方形的面积， ∴阴影部分的面积等于正方形面积的 即． 故答案为：16． 【例题13-10】（2024七年级上·全国·专题练习）文化情境•传统文化 七巧板又称七巧图、智慧板，是中国民间流传的智力玩具．如图是由一副七巧板组成的一个“狐狸”，组成这个图案的平面图形有 ． 【答案】等腰直角三角形、正方形、平行四边形 【难度】0.94 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】本题考查简单的平面图形的特征，熟悉常见的平面图形的特点是解题的关键．根据等腰直角三角形，正方形、平行四边形特征判断． 【详解】解：图形由等腰直角三角形，正方形，平行四边形组成， 故答案为：等腰直角三角形、正方形、平行四边形． 【例题13-11】（2025·河北沧州·模拟预测）七巧板游戏是将一个正方形分割成七块． 然后用这七块拼接成丰富多彩的几何图形． 如图1是正方形的一种分割方法，并在每块上标了号码． (1)设正方形网格的边长为1，则面积为2的图形块有 （填数字）； (2)图2是用该七巧板拼成的一个类似“拱桥”图形、请在图中用粗实线画出各块拼板的轮廓线（不用写号码）； (3)请从图1的七巧板之中选五块板拼接成一个正方形，在图3中画出拼接后的示意图（标上号码），要求无重叠无缝隙，并写出该正方形的面积． 【答案】(1)4，6，7 (2)见解析 (3)见解析，正方形的面积为8． 【难度】0.65 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】本题考查了正方形的性质，概率公式，七巧板，三角形的面积，熟练掌握七巧板是解题的关键． （1）先计算出各个图块的面积，可得出答案； （2）根据题意用七巧板拼成的一个类似“拱桥”图形即可； （3）依据题意，在图2中画出拼接后的示意图，再计算出面积即可． 【详解】（1）解：正方形网格的边长为1，则面积为2的图形块有 图形块1，2的面积为：， 图形块3的面积为：， 图形块4的面积为：， 图形块5的面积为：， 图形块6的面积为：， 图形块7的面积为：， 面积为2的图形块有4，6，7， 故答案为：4，6，7； （2）解：如图所示， （3）解：如图所示， 正方形的面积为8． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026北师大版七年级数学上册典型例题系列「2026版」 第一章 1.2 从立体图形到平面图形 第一篇 专题精析 专题名称 从立体图形到平面图形 专题内容 根据立体图形的展开图，对立体图形进行研究 讲解建议 结合生活实际，进行探究 考点题型 第二篇 典型例题目录 题型一：从不同方向看几何体 1 题型二：几何展开图的认识 19 题型三：由展开图计算几何体的表面积 25 题型四：由展开图计算几何体的体积 39 题型五：几何体中的点，棱，面截一个几何体 63 题型六：正方体相对两面上的字 65 题型七：正方体几种展开图的识别 75 题型八：含图案的正方体的展开图 83 题型九：截一个几何体 88 题型十：求展开图上两点折叠后的距离 99 题型十一：补一个面使图形围成正方体 104 题型十二：平面图形形状的识别 108 题型十三：用七巧板拼图形 117 第三篇 典型例题汇总 题型一：从不同方向看几何体 【例题1-1】．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）由五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从上面看这个几何体得到的平面图形是（    ）． A． B． C． D． 【例题1-2】．（2025·云南楚雄·二模）下列几何体中从正面、左面、上面看到的图都是圆的是（   ） A． B． C． D． 【例题1-3】．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）如图所示，桌上放着一个茶壶，4个同学从各自的方向观察，请指出下边的四幅图中，哪一个是小雯看到的（   ） A． B． C． D． 【例题1-4】．（2025·河南信阳·三模）四个物体中，从正面看得到的平面图形是示例图的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题1-5】．（2025·福建福州·三模）在下列几何体中，从正面看到的图形是三角形的是（   ） A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．长方体 【例题1-6】．（24-25七年级上·山西太原·开学考试）用5个小立方体摆立体图形，要求从正面看到的形状是，从左面看到的形状是（    ）肯定是不正确的． A． B． C． 【例题1-7】．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，一个圆柱体切去一部分，则从上面看到的图形是（   ） A． B． C． D． 【例题1-8】（2025·河南周口·模拟预测）如图是由三个相同的小立方块组成的几何体，该几何体从左面看到的形状图是（    ） A． B． C． D． 【例题1-9】．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，下面是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，从上面看这个几何体得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【例题1-10】．（2025·河南·模拟预测）如图是从上面看到的由12个小立方块所搭成的几何体的形状图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，从左面看该几何体的形状图是（    ） A． B． C． D． 【例题1-11】．（24-25九年级下·湖北黄石·阶段练习）如图所示的家用热水瓶，从左面看这个家用热水瓶的形状图为（    ） A． B． C． D． 【例题1-12】．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）如图，这是由6个大小相同的小正方体搭成的几何体，则（   ） A．从正面看和从左面看到的形状图相同 B．从上面看和从左面看到的形状图相同 C．从正面看和从上面看到的形状图相同 D．从正面看、从左面看和从上面看到的形状图都相同 【例题1-13】．（2025·河北张家口·模拟预测）如下列各图片所示的景德镇瓷器中，若不考虑瓷器花纹等因素，从正面和左面看到的图形形状相同的是（   ） A． B． C． D． 【例题1-14】．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）分别从正面、左面和上面观察一个几何体，看到的形状图如图所示，这个几何体是（   ） A． B． C． D． 【例题1-15】．（24-25七年级上·内蒙古通辽·期末）2024年12月11日至15日世界羽联世界巡回赛总决赛在我国浙江省杭州市杭州奥体中心体育馆举行，图①是颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台从上面看，得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【例题1-16】．（24-25七年级上·新疆克孜勒苏·期末）鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【例题1-17】．（24-25七年级下·河南郑州·自主招生）在“观察物体”的课堂上，数学老师要求同学们搭出从以下两个方向看到的立体图形，那么同学们最少需要__________个正方体，最多可以用__________个正方体．（      ） A．4和7 B．5和7 C．4和6 D．5和6 【例题1-18】．（24-25七年级上·广东佛山·期末）如图是用棱长为的正方体搭成的几何体，把几何体所有的表面都涂上红色．则4个面涂上红色的有 个正方体；这个几何体的体积是 ． 【例题1-19】．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）一个由若干个大小相同的小立方块搭成的几何体，从正面和从上面看到的形状图如图所示，则搭成这样的几何体最少需要 个小立方块． 【例题1-20】．（24-25七年级上·河南商丘·期中）根据下列从三个方向看到的几何体的形状图（如图），填上对应几何体的名称： 图（1）所对应的几何体是 ；图（2）所对应的几何体是 ． 【例题1-21】．（24-25七年级上·广东东莞·期末）如图，桌面上的模型由个棱长为的小正方体组成，现将该模型露在外面的部分涂上涂料，则涂上涂料部分的总面积为 ．    【例题1-22】．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习） （1）如图1，若将一个小立方块①移走，则变化后的几何体与变化前的几何体从______看到的形状图没有发生改变；（填“正面”、“上面”或“左面”） （2）如图2，请画出由6个小立方块搭成的几何体从上面和左面看到的形状图； （3）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图3所示，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，请画出从左面看到的形状图． 【例题1-23】．（24-25六年级上·山东威海·期中）用6个小正方体搭成的立体图形如图所示，请你画出从它的正面、左面和上面看到的形状图． 【例题1-24】．（24-25七年级上·广东深圳·期末）小深周末带妹妹去坪由少儿图书馆，在那里发现一个有趣的玩具，叫做索玛立方体，把索玛立方体拆分，可以拆成7个立体图形，如图所示． (1)如果用一个平面去截正方体，则截面有可能是________．（回答一种即可） (2)小深发现6号方块从正面看和从左侧看的图形都与7号是一样的，请在下图画出其从正面看和从左侧看的图形． (3)你能帮忙算出1号方块涂色的面积吗？（每个小正方体棱长为1厘米） 【例题1-25】．（24-25七年级上·福建宁德·期中）如图是由7个大小相同的小立方块搭成的一个几何体，根据要求完成下列题目： (1)请在指定位置分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图； (2)若给该几何体添加几个小立方块，所得新几何体与原几何体相比，从上面、左面看到的形状图保持不变，这样最多可以添加__________个小立方块， 【例题1-26】．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）请按要求完成下列问题： (1)画出图1所示的圆柱的三视图； (2)如图2所示，用个大小相同的小正方体搭建一个几何体，小正方体的棱长为． ①从正面看和左面看该几何体所看到的平面图形保持不变，最多能再添加小立方体__________个； ②从正面看和上面看该几何体所看到的平面图形保持不变，最多能再添加小立方体__________个； ③从正面看和左面看该几何体所看到的平面图形保持不变，最多可移走小立方体__________个． 题型二：几何展开图的认识 【例题2-1】．（2025·江苏南京·二模）“粽团桃柳，盈门共饮”．又是一年端午时，某厂家推出一种新款粽子礼盒，它的外形是“三棱柱”，其展开图可能是（   ） A． B． C． D． 【例题2-2】（2025·山西晋中·一模）右图是亮亮制作的一个几何体的展开图，将其经过折叠可以围成的几何体是（    ） A． B． C． D． 【例题2-3】．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（   ） A．三棱锥 B．圆锥 C．三棱柱 D．四棱锥 【例题2-4】．（24-25七年级上·广西防城港·期末）以下是圆柱展开图的是（   ）． A． B． C． D． 【例题2-5】（24-25七年级上·北京西城·期末）下列图形中可以作为一个长方体的展开图的是（   ） A． B． C． D． 【例题2-6】．（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）如图是某几何体的展开图，该几何体是（   ） A．四棱锥 B．三棱锥 C．四棱柱 D．圆柱 【例题2-7】．（24-25六年级上·山东烟台·期中）下列选项中，左边的平面图形经过折叠能够围成右边的几何体的是（    ） A． B． C． D． 【例题2-8】．（24-25七年级上·全国·假期作业）如图，把一个长方体平均切成若干个小正方体，除底面外，其他面全部涂上颜色．两面涂色的小正方体有 个，一面涂色的小正方体有 个． 【例题2-9】．（24-25七年级上·广东深圳·期中）如图1为一个长方体，，，M为所在棱的中点，图2为图1的表面展开图，则图2中三角形的面积为 ； 【例题2-10】．（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）“双十一”大促销临近，淘宝上某玩具商家根据所售玩具规格的不同，向厂家订制了不同型号的包装盒，所有包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图1所示）． (1)已知某种规格的长方体包装盒的长为5厘米，宽为3厘米，高为4厘米，那么制作一个该长方体纸箱需要______平方厘米纸板； (2)该玩具商家在今年“双十一”期间推出“买一送一”的活动，现要将两个同一型号的玩具重新包装在同一个更大的长方体的外包装盒内（如图1），已知单个玩具的长方体盒子长为5分米，宽为3分米，高为4分米．如图所示，现有三种摆放方式（图，，所示），请分别计算这三种摆放方式所需外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上），并比较哪一种方式所需纸板面积更少； (3)如图3-1，已知某长方体的长为5，宽为3，高为4，图是该长方体的一种表面展开图，请计算出这种表面展开图的外围周长是多少？你能设计一个使外围周长最大的表面展开图吗？请画出示意图（请使用直尺规范画图），此时的外围周长是______．（直接写出答案） 题型三：由展开图计算几何体的表面积 【例题3-1】．（24-25七年级上·广东佛山·期末）如图，将一个边长为的无盖正方体纸盒展开成平面图形．这个平面图形的面积是 【例题3-2】．（2024七年级上·江苏·专题练习）小滨正对相同的长方体快递盒进行包装，如图1单个盒子的表面积为，如图2三个盒子叠一起的表面积为，则如图3四个盒子叠一起的表面积是 ． 【例题3-3】．（2024七年级上·全国·专题练习）一个六棱柱的侧棱长为，底面边长都是，则该六棱柱的侧面积为 ． 【例题3-4】．（24-25六年级下·山东滨州·阶段练习）观察下面左图，把罐头盒的商标纸如下图所示沿高剪开，再展开． (1)把圆柱侧面展开后，得到_____（填图形名称）；这个图形的各边与圆柱有什么关系？其中运用什么数学思想方法？ (2)观察上面右图，圆柱的表面是由哪几部分组成的？ (3)圆柱的表面积计算公式是：_________．（写字母表达式） 【例题3-5】．（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）如图1，这个长方体的高为，底面是一个边长为的正方形． (1)该长方体有___________个面，___________条棱． (2)如图2是该长方体表面展开图的一部分，请将它补充完整． (3)该长方体的侧面积是多少平方厘米？ 【例题3-6】．（2024九年级上·全国·专题练习）如图是一个食品包装盒的展开图. (1)请写出这个包装盒的多面体形状的名称； (2)请根据图中所标的尺寸，计算这个多面体的侧面积和全面积（全面积是侧面积与两个底面积之和）. 【例题3-7】．（2024七年级上·全国·专题练习）某种茶叶的包装盒为长方体，它的长、宽、高分别为，，，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． (1)如图是给出的四种纸样①，②，③，④，其中正确的有________； (2)从已知正确的纸样中选出一种，在原图上标注上尺寸； (3)利用你所选的一种纸样，求出包装盒的侧面积和表面积． 【例题3-8】．（24-25七年级上·河南郑州·期中）综合与实践 主题：制作盒子． 情境：在学校的劳技课上，老师要求同学们利用手头的材料制作一个长方体盒子，用于存放学习用品． 素材：一块长方形硬纸板和热熔胶． 步骤1：把这块长方形硬纸板的四个角（虚线）都剪去一个长方形（如图1）； 步骤2：再折叠成一个长方体盒子（如图2），用热熔胶把边粘起来． 问题解决：图2是形状为长方体的某种包装盒，它的，其展开图如图1所示（不包含包装盒的黏合处）． (1)设该包装盒的长为6分米，则展开图中的长度为______分米； (2)若该包装盒的长为a分米，求该包装盒的体积； (3)若的长度为45分米，现对该包装盒外表面涂色（含底面），且每平方分米涂料的价格为元，求整个包装盒外表面涂色的费用是多少元？ 【例题3-9】．（23-24七年级上·辽宁锦州·期中）已知：如图1为一个长方体，，，图2为图1的表面展开图，请回答下面问题：    (1)请用三角符号在图2中标出在图1中与面相对的面； (2)在图1中，点、均为所在棱的中点，试在图2中画出、的位置； (3)根据图中所给的数据，求图2中面积． 【例题3-10】．（23-24七年级上·河北保定·期中）如图1，该三棱柱的高为，底面是一个每条边长都为的三角形．    (1)这个三棱柱有________个面，有________条棱． (2)如图2，这是该三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补充完整． (3)这个三棱柱的侧面积是________，要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开棱的棱长的和的最大值为________． 【例题3-11】．（24-25七年级上·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】在一次数学实践活动课上，同学们利用一张边长为的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动 （1）图1中，是无盖正方体的表面展开图的是______．（填序号） 【操作探究】如图2，勤学小组的同学先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒． 如图3，善思小组的同学先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒． 【计算分析】 （2）①图2中的长方体纸盒的底面周长为______； ②图3中的长方体纸盒的体积为______； 【问题解决】 （3）请你利用边长为的正方形纸板制作一个长方体纸盒（无盖，有盖均可），仿照图2，图3的绘图方式，画出2种不同的裁剪设计图． 【例题3-12】（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）已知一个直棱柱有条棱，且所有棱长均为． (1)这个直棱柱是几棱柱？有几个面？ (2)求这个直棱柱的所有侧面的面积之和． 【例题3-13】．（24-25七年级上·广东清远·期中）综合与实践 【问题情境】 某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作长方体纸盒． 【操作探究】 (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的 图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒． (2)图2是嘉嘉的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的是 字． (3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，嘉嘉准备将其四个角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒，折成的纸盒高为． ①四角应各剪去边长为 的小正方形； ②计算此长方体纸盒的容积． (4)根据如图4方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在边长为的正方形纸板四角剪去两个边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来．该长方体纸盒的体积为多少？ 【例题3-14】．（24-25七年级上·福建福州·期末）综合与实践某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为24cm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一：根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为cm的小正方形，再沿虚线折合起来． 问题解决： （1）若cm，则该长方体纸盒的底面边长为__________cm；该长方体纸盒的体积为__________cm3； 动手操作二：根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为cm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 拓展延伸： （2）若cm，该长方体纸盒的表面积为多少cm2？ 题型四：由展开图计算几何体的体积 【例题4-1】（24-25七年级上·广东深圳·期末）用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学的提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．一样大 【例题4-2】．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的小正方形的边长从变为时，长方体纸盒的容积（   ） A．减少了 B．减少了 C．增加了 D．增加了 【例题4-3】．（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段练习）在学校社团活动中，慎思小组的同学用一张边长为20cm的正方形纸板制作一个尽可能大的无盖长方体形收纳盒时，将剪去的小正方形的边长与折成的无盖长方体容积对应填入下表： 剪去正方形的边长/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积/ 324 512 588 576 500 384 252 128 36 0 观察表格，随着剪去的小正方形的边长的增大，所得无盖长方体盒子的容积（    ） A．一直增大 B．一直减小 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【例题4-4】．（2024七年级上·全国·专题练习）如图是国内某品牌牛奶长方体型包装盒的展开图（粘贴部分忽略不计），展开图的数据大小如图中所示，从该包装盒说明上知道，该牛奶含优质乳蛋白3.6克，则一盒这样的牛奶含优质乳蛋白（按装满计算）（　　） A．4.5克 B．9克 C．90克 D．900克 【例题4-5】．（22-23七年级下·西藏·开学考试）我国古代数学名著《九章算术》中指出：底面为正方形的长方体体积是“方自乘，以高乘之即积尺”．即先用底面边长乘边长，再乘高得到长方体的体积．如果底面边长为a，高为h，底面积为S，体积为V，能完整表述这个方法的选项是（    ） A． B． C． D． 【例题4-6】．（22-23七年级上·河南郑州·期末）如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的正方形的边长从变为后，长方体纸盒的容积（    ）． A．增加了28 B．减少了28 C．增加了8 D．减少了8 【例题4-7】（2024·河北邯郸·模拟预测）用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒．先在纸板上画出其表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图1和图2所示，图中A，B，C均为正方形： 下列说法正确的是（　　） A．方案 1中的 B．方案2中的 C．方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积 D．方案1所得的长方体纸盒的底面积与方案2所得的长方体纸盒的底面积相同 【例题4-8】．（24-25七年级上·广东梅州·期中）在课题学习中，老师要求用长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图1，盒子底面的四边形是正方形． 乙：如图2，盒子底面的四边形是正方形． 丙：如图3，盒子底面的四边形是长方形，． 将三位同学折成的无盖的长方体的容积按从小到大的顺序排列为 ． 【例题4-9】．（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知一个圆柱的侧面展开图是长为8，宽为4的长方形，则该圆柱的体积为 （，结果保留π） 【例题4-10】．（24-25七年级上·江西吉安·阶段练习）某品牌牛奶包装盒的表面展开图如图所示（单位：），则此包装盒体积是 （包装材料厚度不计） 【例题4-11】．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，一个圆柱切开拼成一个近似长方体，有三种摆法．已知圆柱底面半径是，拼成近似长方体后，表面积增加了．这个圆柱的体积是 ． 【例题4-12】．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）某几何体的展开图如图所示． (1)该几何体是 ；(填名称) (2)求这个几何体的体积． 【例题4-13】．（24-25七年级上·广东佛山·期中）【问题情境】 《制作无盖的长方体纸盒》是苏科版数学课本七年级上册的课题学习内容，某综合实践小组参考这一课题中的内容，开展了“制作长方体纸盒”的实践活动． 【问题解决】 (1)在如图1所示的四个图形中，能够通过折叠围成有盖的长方体纸盒的是______（填序号）． (2)该小组利用边长为的正方形纸板设计了如下两种不同的制作长方体纸盒的方案． ①按如图2所示的方案制作一个无盖的长方体纸盒，其操作步骤为：先在纸板的四个角上剪去个边长为的小正方形，再沿虚线折叠纸板．若，，则该无盖长方体纸盒的底面周长为_______． ②按如图3所示的方案制作一个有盖的长方体纸盒，其操作步骤为：先在纸板的四个角上剪去个边长为的小正方形和个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠纸板．若，，求该有盖长方体纸盒的体积． 【例题4-14】．（24-25七年级上·福建漳州·期中）如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题． (1)请你帮小华分析一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全； (2)修正后所折叠而成的长方体中，写出所有与点A重合的点： ； (3)若图中的正方形边长为，长方形的长为，宽为，请直接写出修正后所折叠而成的长方体的体积： 【例题4-15】（24-25七年级上·山东滨州·期末）综合与实践 某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为18cm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一： 根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为ncm的小正方形，再沿虚线折合起来． (1)问题解决： 若，则该长方体纸盒的底面边长为________cm；该长方体纸盒的体积为________； 动手操作二： 根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为ncm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． (2)拓展延伸：若，该长方体纸盒的表面积为多少？ 【例题4-16】（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动． 【知识准备】 （1）如图①~⑥图形中，是正方体的表面展开图的有______（只填写序号）． 【制作纸盒】综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以上两种方式制作长方体形盒子． （2）如图⑦，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，此时，表面展开图的外围周长为，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子，制作成的无盖长方体盒子的体积是______； （3）如图⑧，先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，则，此时表面展开图的外围周长为______，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子．求制作成的有盖盒子的体积． 【拓展探究】 若长方体的长、宽、高分别为4、3、6．将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．则当该长方体形盒子表面展开图的外围周长最大时，该长方体形盒子表面展开图的外围的最大周长是______． 【例题4-17】．（24-25七年级上·江西吉安·期中）问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是________．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中，． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面积为_______； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小在的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为_______； ③制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的______倍． (3)若有盖长方体的长、宽、高分别为，将它的表面沿某些棱剪开，展开一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______． 【例题4-18】．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期中）【问题情境】 《制作无盖的长方体纸盒》是北师大版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】 （1）如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的是 ．（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1）为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．回答下列问题： ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为多少cm? ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为多少？ 【问题进阶】 （3）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6、宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，请直接写出长方体表面展开图的最大外围周长． 【例题4-19】．（24-25七年级上·辽宁铁岭·阶段练习）聪聪在学习了“展开与折叠”这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，于是他在家用剪刀把一个长方体纸盒（如图1）剪开了，可是他一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图2中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：      (1)若这个长方体纸盒的长、宽、高分别是、、，则该长方体纸盒的体积是______． (2)聪聪一共剪开了_________条棱． (3)现在聪聪想将剪掉的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪掉的②粘贴到①中的什么位置？请你帮他在①上补全一种情况． 【例题4-20】．（24-25七年级上·河南·阶段练习）如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题． (1)请你帮小华分析一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全； (2)在图中用○圈出折叠后与A重合的所有点； (3)若图中的长方形的长是宽的倍，折成的长方体所有棱长的和是，求这个长方体的体积． 【例题4-21】．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下列问题： 观察判断： （1）小明共剪开了________条棱； 动手操作： （2）现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），小明在图1中补全图形有________种方法，请任选一种方法在图1中补全粘贴； 解决问题： （3）经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个边长为的正方形，其边长是长方体的高的5倍，求这个纸盒的体积． 【例题4-22】．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）综合与实践 问题情境 在一次数学实践活动课上，同学们利用一张边长为的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．如图1，勤学小组的同学先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒． 如图2，善思小组的同学先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒． 问题解决 （1）图1中的长方体纸盒的底面积为 ； （2）图2中的长方体纸盒的长为 ： 拓展延伸 （3）现有两张边长均为的正方形纸板，分别按勤学小组和善思小组的方法制作成无盖和有盖的两个长方体纸盒，若剪去部分的小正方形边长为，求无盖纸盒的体积是有盖纸盒体积的多少倍． 【例题4-23】．（23-24七年级下·广西南宁·期末）广西百色盛产芒果，芒果的包装盒设计为长方体．这个长方体可由边长为的正方形纸板制成．如图所示，在纸板四角分别剪去两个同样大小的小正方形和两个同样大小的小长方形（阴影部分），再把剩余部分按虚线折成一个有盖的长方体纸盒．设小正方形的边长为．    (1)与的数量关系是 ； (2)若，求和的长； (3)若长方体纸盒的底面长与宽的差不少于，求x取最大值时长方体纸盒的体积． 【例题4-24】．（23-24七年级上·山东济南·期末）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下列问题： (1)动手操作 现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），请你帮助小明在图1中补全图形（补出来一种即可）； (2)解决问题 经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个正方形，它的边长是长方体高的5倍，根据图1中的数据，求这个纸盒的体积． 【例题4-25】．（23-24七年级上·山西晋城·期末）在数学活动课上，老师带领同学们以“制作无盖长方体盒子”为主题展开活动．如图1所示为宽、长的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）． (1)在图中的长方形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线、虚线表示折痕． (2)求折成的无盖长方体盒子的体积． (3)若用这样的一块长方形纸板折成高为的无盖长方体盒子，外表面都涂上色彩，则该盒子需要涂色的面积为 ．（用含a的代数式表示） 【例题4-26】．（23-24七年级上·河南平顶山·期中）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盘剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下列问题，观察判断： (1)小明共剪开了______条棱； (2)动手操作： 现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3）请你帮助小明在图1中补全图形（补出来一种即可）； (3)解决问题： 经过测量，小明发现这个纸盘的底面是一个正方形，其边长是长方体的高的5倍，并且纸盒所有棱长的和是，求这个纸盒的体积． 题型五：几何体中的点，棱，面截一个几何体 【例题5-1】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）在学习完第一章《丰富的图形世界》后，小红对棱柱的内容进行了归纳与思考： (1)【棱柱的性质】 一个棱柱的命名是由底面边数决定的，而面数、顶点数、棱数都与它的底面边数有关，一个六棱柱有________个面，________个顶点，________条棱． (2)【棱柱的展开】 由于正方体的表面沿某些棱剪开可以展开成一个平面图形，发现每一次都剪开了7条棱，小红又尝试将其他棱柱的表面沿某些棱剪开展开成一个平面图形，记录如下： 剪开棱的条数 保留棱的条数 三棱柱 5 4 四棱柱 7 5 五棱柱 9 6 … … … 根据以上规律，二十棱柱要剪开________条棱． (3)【棱柱的截面】 用平面截一个正方体将其分为两个几何体，当截面是三角形时，所分出的两个几何体的顶点总个数可能是________．（填序号） ①8  ②9  ③10  ④11  ⑤12  ⑥13  ⑦14  ⑧15  ⑨16  ⑩17 题型六：正方体相对两面上的字 【例题6-1】．（2025·河南郑州·二模）李莉学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“中牟幻乐之城”六个字，还原正方体后，“幻”的对面是（   ） A．中 B．牟 C．之 D．城 【例题6-2】．（2025·河南南阳·一模）“柳叶鸣蜩绿暗，荷花落日红酣”描绘了一幅夏日傍晚绚丽多彩且富有生机的情景．将“荷花落日红酣”这六个字分别写在一个正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“荷”字所在面相对面上的汉字是（   ） A．红 B．日 C．落 D．酣 【例题6-3】．（24-25七年级上·广东深圳·期末）小明受到了飞行棋游戏中骰子的启发，自己也做了一个特别的正方体“骰子”（如图），该“骰子”的六个面分别写着，，，，，，小明用自己做的正方体“骰子”进行了次投掷，他看到的情形如图所示，那么“”对面的数字是（　　） A． B． C． D． 【例题6-4】．（24-25七年级上·广东深圳·期末）现在要制作一个相对的两面具有如图坪山标识，且写有“创”、“新”、“坪”、“山”的正方体宣传物，则它的展开图应该是（   ） A． B． C． D． 【例题6-5】．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）如图是一个表面分别标有“文”“明”“百”“强”“孝”“义”字样的正方体展开图，则在原正方体中，与“文”相对的是（   ） A．百 B．强 C．孝 D．义 【例题6-6】．（24-25七年级上·江西吉安·期末）如图为正方体的一种平面展开图，各面都标有数字，则数字的面的对面上的数字是（   ） A．6 B．0 C．5 D．4 【例题6-7】．（24-25七年级下·吉林长春·开学考试）现有一个如图所示的正方体，它的展开图可能是（    ） A． B． C． D． 【例题6-8】（24-25七年级上·云南昆明·期末）如图是一个正方体的展开图，则与“昆”字一面相对的字是（   ）． A．四 B．季 C．春 D．如 【例题6-9】（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期末）一个正方体的相对面上的数相等，其展开图如图所示，则的结果是（   ） A．5 B．1 C． D． 【例题6-10】．（24-25七年级上·重庆·期末）在正方体的六个面上，分别标上“我、的、愉、快、初、一”六个字，如图是正方体的三种不同摆法，则从左到右三种摆法的左侧面上三个字分别是（   ） A．的、初、愉 B．中、的、愉 C．愉、初、一 D．的、初、一 【例题6-11】．（2024七年级上·全国·专题练习）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例题6-12】．（2024七年级上·全国·专题练习）某个正方体的展开图如图所示，各个面上分别标有不同数字，则这个正方体相对面上数字之和错误的是（   ） A．5 B．6 C．7 D．9 【例题6-13】．（24-25七年级上·浙江·开学考试）一个长方体的展开图如图所示，每个面分别标上的了1﹣6六个数字（数字在长方体的内侧），已知3、5、6三面面积之和是，且5号面是一个边长3厘米的正方形．如果2号面是长方体底面，那么 号面是长方体上面，这样围成长方体后每相连两个面上的数字之和是质数（可重复）的有 组，这个长方体的体积是 ．    【例题6-14】（24-25七年级上·贵州毕节·期末）综合实践小组准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 【操作探究】（）综合实践小组准备制作一个无盖的正方体纸盒，如图中只有四个正方形，请在原图上补画一个正方形，使其经过折叠能围成无盖的正方体纸盒； 【问题解决】（）图是综合实践小组的设计图，把它折成无盖的正方体纸盒后与有“卫”字一面的相对面上的字是______；（字在盒外） 【拓展探究】（）如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个相同的小正方形，折成一个无盖长方体纸盒.当四角剪去的小正方形的边长为时，请求出纸盒的容积．（纸张厚度忽略不计） 【例题6-15】．（24-25七年级上·广东东莞·期末）综合与实践 问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的______经过折叠能围成无盖正方体纸盒； (2)如图，是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是______； (3)如图，有一张边长为30cm的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒： ①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的体积． 【例题6-16】．（23-24七年级上·四川广元·期末）如图是一个长方体包装盒的展开图，已知长方体包装盒的长是宽的2倍． (1)包装盒展开图的6个面上分别标有如图所示的序号，若将展开图重新还原成一个包装盒，则面①与面 相对，面②与面 相对；（填序号） (2)若该长方体包装盒的宽为，求这个长方体包装盒的体积． 题型七：正方体几种展开图的识别 【例题7-1】．（2025·广东·模拟预测）综合实践 “长方体纸盒的制作”实践活动 素材 一 走进商场，各种各样的商品琳琅满目，其中很多商品有着形形色色的包装盒．作为吸引顾客的第一道惊喜，厂家对包装盒的设计与制作可谓煞费苦心．包装盒上同样蕴涵着丰富的数学知识，而设计师与企业家们都是数学能手，对包装盒的设计在更优、更省、更美的目标上精益求精． 素材二 某纸箱厂用边长为的正方形纸板设计出两种不同的方案制作长方体盒子用于包装瓷器（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）①图1方式设计制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四个角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来． ②图2方式设计制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四个角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 素材三 包装盒的拆解，我们可以将同一形状的包装盒进行不同方式的拆解，从而得到不同的表面展开图．下面是对一个无盖长方体盒子（它缺一个长为8cm，宽为5cm的长方形盖子）的长、宽、高分别为、、进行拆解，如图是该长方体盒子的一种平面展开图，它的外围周长为．事实上，该长方体盒子的平面展开图还有不少种不同的方法． 任务一 下列图形中，不是无盖正方体盒子的表面展开图的是______（填序号）． 任务二 由材料二可知，图1长方体纸盒的底面周长为_____cm（用含，的代数式表示）． 图2的设计中，如果，计算该长方体纸盒的体积． 任务二 在材料三，这个无盖长方体的其它不同平面展开图中，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值． 【例题7-2】．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）如图，是一个正方体，用字母分别对其12条棱进行了标注． (1)如果它的边长为，那么它的表面积为________，体积为________． (2)若沿棱，，，，，，将其剪开得到展开图，请将展开图画在下面的方框中． 【例题7-3】．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动． 【知识准备】 (1)如图①、图②、图③、图④中，不是正方体的表面展开图的为 ． 【制作纸盒】 (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以上两种方式制作长方体形盒子．如图⑤，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子，则制作成的无盖长方体盒子的体积为 ． 如图⑥，在纸板四角剪去两个同样大小且边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子．则制作成的有盖盒子的体积为 ． 【拓展探究】 (3)若无盖长方体形盒子的长、宽、高分别为4、3、5，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形． ①需要剪开 条棱． ②当该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最大时，直接写出该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最大值． 【例题7-4】．（24-25七年级上·广东深圳·期中）【综合实践】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是_______；（填序号） 【实践探索】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒） ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______（用含a，b的式子表示）； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为_____． 【实践分析】 （3）一个无盖长方体的长、宽、高分别为，（它缺一个长为，宽为的长方形盖子），如图是该长方体的一种平面展开图，它的外围周长为．事实上，该长方体的平面展开图还有不少，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值． 【例题7-5】．（24-25七年级上·新疆阿克苏·期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，相对的面上的两个数互为相反数，求的值． 【例题7-6】．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是一个长方体纸盒的平面展开图，每个面都标有字母．请根据下面的要求回答问题： (1)如果C面在长方体的底面，那么哪个面在上面？ (2)如果D面在长方体前面，从左面看是C面，那么哪个面在后面？ (3)如果从前面能看到A面，从上面能看到F面，那么从左面能看到是哪个面？ 【例题7-7】．（24-25七年级上·广东茂名·阶段练习）如图，这是正方体的平面展开图，若将图中的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，求的值是多少？ 题型八：含图案的正方体的展开图 【例题8-1】．（24-25九年级下·辽宁锦州·开学考试）小丽制作了一个如图所示的正方体礼品盒，其对面图案都相同，那么这个正方体的平面展开图可能是（   ） A． B． C． D． 【例题8-2】．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【例题8-3】．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列属于如图所示正方体的展开图的是（   ） A． B． C． D． 【例题8-4】（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）图1是由白色纸板拼成的立体图形，将此立体图形中的两面涂上颜色，如图2所示．下列四个图形中哪一个是图2的展开图（    ） A． B． C． D． 【例题8-5】．（23-24七年级上·北京通州·期末）如图是一个无盖正方体盒子，盒底标有一个字母m，现沿箭头所指方向将盒子剪开，则展开后的图形是（    ） A． B． C． D． 【例题8-6】．（2025·四川绵阳·一模）将一个小正方体按图中所示方式展开．则在展开图中表示棱a的线段是（   ） A． B． C． D． 【例题8-7】（2025·重庆·二模）如图所示是某一正方体的展开图，正方体每一个面上有一个汉字，那么在原正方体中，与“我”字所在的面相对的面上的汉字是（   ） A．山 B．城 C．重 D．庆 【例题8-8】（24-25六年级上·山东淄博·期末）如图，一个正方体的上面和正面各有一块三角形的阴影，下列是该正方体的展开图的为（  ） A． B． C． D． 题型九：截一个几何体 【例题9-1】．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）图1、图2均是正方体，图3是由一些大小相同的正方体搭成的几何体从正面看和左面看得到的形状图，小敏同学经过研究得到如下结论： ①若将图1中正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，至少需要剪开7条棱； ②用一个平面从不同方向去截图1中的正方体，得到的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形； ③用一个平面去截图1中的正方体得到图2，截面三角形ABC中； ④如图3，要搭成该几何体的正方体的个数最少是6． 其中结论正确的为 （填写序号）．    【例题9-2】（23-24七年级上·北京·期末）按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），请你任意画出此正方体的两种平面展开图，并在展开图上画出所有的切割线． 【例题9-3】．（24-25六年级上·山东烟台·期末）用一个平面去截下列几何体，不能截出三角形的是（   ） A． B． C． D． 【例题9-4】（2024七年级上·全国·专题练习）用一个平面去截一个几何体，截面的形状是长方形，那么这个几何体不可能是（　　） A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．长方体 【例题9-5】（24-25七年级上·广东河源·期中）分别用一平面去截如图所示的几何体，能得到截面是长方形的几何体有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③⑤ 【例题9-6】．（24-25七年级上·广东深圳·期中）物理中的打印技术通过读取截面相关的信息，用液体状、粉状或片状的材料将这些截面逐层打印出来，再将各层面以多种方式粘合起来，从而制造出一个实体．莲花中学数学兴趣小组利用打印机，读取到截面的相关信息有三角形、梯形和六边形，那么打印机可能打出来的是哪一种立体图形（   ） A．圆柱 B．圆锥 C．四棱锥 D．正方体 【例题9-7】（23-24七年级上·辽宁阜新·期末）截一个几何体可以得到不同的平面图形，下面四个平面图形均可由哪一个几何体截得（    ）    A．   B．   C．   D．   【例题9-8】．（2025·贵州贵阳·二模）用一个平面去截下列几何体，截面一定是圆的是（   ） A． B． C． D． 【例题9-9】．（2025·江苏南京·二模）如图，从一个长方体的一角截去一个三棱锥，剩余的几何体的顶点数不可能是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【例题9-10】．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）玲玲用两种不同的方法分别去截同一个几何体，分别得到了如图所示的图形，这个几何体可能是（    ） A．球 B．圆柱 C．长方体 D．圆锥 【例题9-11】．（2025·陕西咸阳·一模）妙妙有一块如图所示的长方体橡皮，她用刀去切这块橡皮，切一刀，则截面形状不可能是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．圆 【例题9-12】（24-25六年级上·山东威海·期中）用一个平面截下列几何体，若所得截面是长方形，则该几何体可能是（    ） A．正方体、三棱锥 B．圆柱、正方体 C．圆锥、棱柱 D．球、长方体 【例题9-13】．（24-25七年级上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（   ） A．五棱柱有10个顶点，10条棱，7个面 B．点动成线，线动成面，面动成体 C．圆锥的侧面展开图是一个圆 D．用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形、七边形 【例题9-14】．（24-25六年级下·山东滨州·阶段练习）圆锥的截面不可能是（   ）． A．圆形 B．三角形 C．椭圆形 D．平行四边形 【例题9-15】．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，把一个长方体平均切成若干个小正方体，除底面外，其他面全部涂上颜色．两面涂色的小正方体有 个，一面涂色的小正方体有 个． 【例题】（19-20七年级上·河南平顶山·阶段练习）用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是圆，那么这个几何体可能是 ．（请写出一种） 【例题】（2024七年级上·全国·专题练习）如果用平面截掉一个正方体的一个角，那么剩下的几何体有 个顶点． 【例题9-16】．（24-25七年级上·江苏盐城·开学考试）把一根长2米的长方体木料切成3段，表面积增加8平方分米．这根木料的体积是 立方分米． 【例题9-17】（2024七年级上·全国·专题练习）用一个平面将一个长方体截去一个三棱柱，剩下的几何体可能是（写出所有可能的结果） ． 【例题9-18】．（24-25七年级上·全国·随堂练习）用一平面去截下列几何体，其截面可能是长方形的有 个． 题型十：求展开图上两点折叠后的距离 【例题10-1】（2025·河南焦作·二模）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【例题10-2】．（2023·山东·中考真题）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【例题10-3】（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（   ） A．A B．B C．C D．D 【例题10-4】（22-23七年级上·重庆合川·期末）图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例题10-5】（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为 ． 【例题10-6】（22-23六年级上·山东威海·期末）如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形的顶点A、B在图2围成的小正方体上的距离是 ．    【例题10-7】（23-24九年级上·重庆·期中）如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，它从顶点沿着棱直接爬到点所走的路程，比它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程少 ． 【例题10-8】．（22-23七年级上·陕西西安·期末）如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上两点间的距离为 ． 题型十一：补一个面使图形围成正方体 【例题11-1】（2025·福建厦门·三模）如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【例题11-2】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例题11-3】（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）【正方体的表面积】将一个正方体等分成8个小正方体，任取其中都在顶点处的一个小正方体后，其表面积和原来相比，（   ） A．减少了 B．增大了 C．没有变化 【例题11-4】（23-24七年级上·河北唐山·期末）图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例题11-5】（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使添加后的图形能折叠成一个正方体，共有（  ）种添法．    A．3 B．4 C．5 D．6 【例题11-6】（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）用一个平面去截四棱柱、圆锥、圆柱、五棱柱、球，截面可能是三角形的几何体有（    ） A．3个 B．2个 C．4个 D．5个 【例题11-7】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有 种选法． 【例题11-8】（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴形的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的涂法有 种． 【例题11-9】（2023·黑龙江大庆·一模）黑龙江省第五届旅游发展大会将于2023年夏季在大庆市举办，为“迎旅发”，创建美丽城市，九年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“庆”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有 种添加方式． 题型十二：平面图形形状的识别 【例题12-1】（2025·广西钦州·二模）下列图形是平面图形的是（   ） A． B． C． D． 【例题12-2】（24-25七年级上·吉林长春·开学考试）用（   ）长的这几根小棒可以围成一个长方形． A．7厘米、4厘米、6厘米、4厘米 B．7厘米、4厘米、6厘米、5厘米 C．7厘米、4厘米、7厘米、4厘米 【例题12-3】（24-25七年级上·广西防城港·阶段练习）下列图形中是平面图形的是（   ） A． B． C． D． 【例题12-4】（24-25七年级上·吉林长春·开学考试）将下图沿着虚线剪开，会得到（   ） A． B． C． 【例题12-5】（24-25七年级上·广西贵港·期末）下列图形中，属于平面图形的是（    ） A． B． C． D． 【例题12-6】（24-25七年级上·陕西西安·期末）若将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角度数比为，则最小的扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【例题12-7】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，组成这个标志的几何图形有（   ） A．圆、长方形、正方形 B．圆、线段、正方形 C．球、长方形、正方形 D．球、线段、点 【例题12-8】（2024七年级上·全国·专题练习）将一个圆分割成A、B、C三个扇形，若A，B，C三个扇形的面积比是，则扇形B的圆心角的度数为（    ） A． B． C． D． 【例题12-9】（2024七年级上·全国·专题练习）在长方形、长方体、三角形、球、圆中，多边形有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．2个 【例题12-10】．（23-24七年级上·全国·课后作业）下列图形属于平面图形的是（） A．长方体 B．球 C．圆柱 D．三角形 【例题12-11】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）沿湖的环形道上有A、B两个路牌，某人从某点开始沿环道散步一周，开始走了20分钟后，此时的位置到A、B路牌距离相等，继续走了50分钟后，此时的位置到A、B路牌距离也相等，假设此人速度保持不变，则此人沿环道再走 分钟回到出发点． 【例题12-12】（24-25七年级上·广东惠州·期末）如图，构成该图案的几何图形有 ．（任写三个） 【例题12-13】（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）请写出一个你知道的平面图形 ． 【例题12-14】（24-25七年级上·上海松江·期末）如图，现有三种不同型号的卡片共12张，其中有3张边长为3的正方形型卡片，有4张长为3，宽为2的长方形型卡片，有5张边长为2的正方形型卡片．我们可以选取一些卡片，无重叠，无缝隙地拼成不同形状的长方形，那么能拼成面积最大的长方形的面积是 ． 【例题12-15】（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）回顾·反思 回顾本学期学习的第四章“基本平面图形”，我们感悟了一些研究图形的基本思路和方法．在今后的学习中我们将继续研究平面图形中的三角形，基于你研究图形的认识，你觉得可以研究三角形的 、 ．（填写两个方面即可） 【例题12-16】（24-25七年级上·山东菏泽·期末）在下列几何图形中，属于平面图形的有 (填序号) ①线段，②球，③正方体，④三角形，⑤角，⑥圆 【例题12-17】（2024七年级上·全国·专题练习）如图是由一副七巧板组成的花样滑冰图形，图中含有的平面图形有 ． 【例题12-18】（2024七年级上·全国·专题练习）下列几何图形中，是平面图形的有 ，是立体图形的有 ．（填序号） 【例题12-19】（2024七年级上·全国·专题练习）下列几何图形：①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤圆锥；⑥圆柱．其中属于立体图形的是 ，属于平面图形的是 ．（填序号） 【例题12-20】（2024七年级上·全国·专题练习）将如图所示的一个圆分割成四个扇形，这四个扇形的圆心角的度数比为． (1)求这四个扇形的圆心角的度数； (2)若圆的半径为，请分别求出这四个扇形的面积． 题型十三：用七巧板拼图形 【例题13-1】（2025·河北唐山·二模）七巧板是中国古代人民创造的益智玩具.如图，用一副七巧板拼出了“灵蛇开运”图.若七巧板中的那两块最大等腰直角三角形的直角边的长为，则拼出右边的“灵蛇开运”图的面积是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【例题13-2】（2025·福建宁德·二模）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．用图1所示的“七巧板”中的六块，拼成图2所示的“家”的图形，图1中没用上的那一块七巧板是（   ） A．④ B．⑤ C．⑥ D．⑦ 【例题13-3】（24-25六年级上·上海·阶段练习）七巧板是我们民间流传广泛的一种古典智力玩具，由正方形分割而成（如图），图中①号部分的面积是正方形面积的（   ）    A． B． C． D． 【例题13-4】（24-25七年级上·河南商丘·期末）用边长为8的正方形，做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为（    ） A．16 B．24 C．32 D．64 【例题13-5】（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）数学活动课上，小明用一张边长为的正方形纸片制作了一副如图1所示的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2所示的“天鹅”作品，则该“天鹅”作品中，阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【例题13-6】（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，是一个同学用一副七巧板拼出的一个三角形，下列说法不正确的是（    ） A．第⑥块的面积是第③块的4倍 B．图中的等腰直角三角形一共有8个 C．第①块的面积是整个面积的 D．第②块的面积与第⑤块的面积相等 【例题13-7】（24-25七年级上·福建泉州·期末）七巧板是中国古代人民创造的益智玩具．如图，用一副七巧板拼出了“灵蛇开运”图，若七巧板中的那块小正方形的面积为4，那么拼出的图形的面积是 ． 【例题13-8】（24-25七年级上·福建泉州·期末）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．已知图是边长为的大正方形，图是小红同学将七巧板摆拼而成的“奔跑者”图案，则图中阴影部分的面积为 ． 【例题13-9】（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，用边长为8的正方形，做了如图1所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图2所示的图形，则图2中阴影部分的面积为 ． 【例题13-10】（2024七年级上·全国·专题练习）文化情境•传统文化 七巧板又称七巧图、智慧板，是中国民间流传的智力玩具．如图是由一副七巧板组成的一个“狐狸”，组成这个图案的平面图形有 ． 【例题13-11】（2025·河北沧州·模拟预测）七巧板游戏是将一个正方形分割成七块． 然后用这七块拼接成丰富多彩的几何图形． 如图1是正方形的一种分割方法，并在每块上标了号码． (1)设正方形网格的边长为1，则面积为2的图形块有 （填数字）； (2)图2是用该七巧板拼成的一个类似“拱桥”图形、请在图中用粗实线画出各块拼板的轮廓线（不用写号码）； (3)请从图1的七巧板之中选五块板拼接成一个正方形，在图3中画出拼接后的示意图（标上号码），要求无重叠无缝隙，并写出该正方形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$